（福建專）高考數(shù)學一輪復習 8.5 直線、平面垂直的判定與性質課件 文

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1、8.5直線、平面垂直的判定與性質知識梳理考點自測1.直線與平面垂直 任意 mn=O a 知識梳理考點自測b ab 知識梳理考點自測2.平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的定義兩個平面相交,如果它們所成的二面角是,就說這兩個平面互相垂直.(2)判定定理與性質定理直二面角 垂線 交線 l 知識梳理考點自測直線與平面垂直的五個結論(1)若一條直線垂直于一個平面,則這條直線垂直于這個平面內的任意直線.(2)若兩條平行線中的一條垂直于一個平面,則另一條也垂直于這個平面.(3)垂直于同一條直線的兩個平面平行.(4)一條直線垂直于兩平行平面中的一個,則這一條直線與另一個平面也垂直.(5)兩個相交平面同時垂直

2、于第三個平面,它們的交線也垂直于第三個平面.知識梳理考點自測1.判斷下列結論是否正確,正確的畫“”,錯誤的畫“”.(1)已知直線a,b,c,若ab,bc,則ac.()(2)直線l與平面內的無數(shù)條直線都垂直,則l.()(3)設m,n是兩條不同的直線,是一個平面,若mn,m,則n.()(4)若兩平面垂直,則其中一個平面內的任意一條直線垂直于另一個平面.()(5)若平面內的一條直線垂直于平面內的無數(shù)條直線,則.()知識梳理考點自測2.設l,m,n均為直線,其中m,n在平面內,則“l(fā)”是“l(fā)m且ln”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件A解析解析:當l時,lm

3、且ln.但當lm,ln時,若m,n不是相交直線,則得不到l.即l是lm且ln的充分不必要條件.故選A.知識梳理考點自測3.(2017湖南岳陽一模,文4)已知,表示兩個不同的平面,m為平面內的一條直線,則“m”是“”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件A解析解析:根據(jù)面面垂直的判定定理得,若m,則成立,即充分性成立,若,則m不一定成立,即必要性不成立,故m是的充分不必要條件,故選A.知識梳理考點自測4.如圖所示,在立體圖形D-ABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中點,則下列結論正確的是()A.平面ABC平面ABDB.平面ABD平面BDCC.平面

4、ABC平面BDE,且平面ADC平面BDED.平面ABC平面ADC,且平面ADC平面BDEC解析解析:AB=CB,且E是AC的中點,BEAC,同理有DEAC,而BEDE=E,AC平面BDE.AC在平面ABC內,平面ABC平面BDE.又AC在平面ADC內,平面ADC平面BDE.故選C.知識梳理考點自測5.(2017湖北武昌1月調研,文16)在矩形ABCD中,ABBC,現(xiàn)將ABD沿矩形的對角線BD所在的直線進行翻折,在翻折的過程中,給出下列結論:存在某個位置,使得直線AC與直線BD垂直;存在某個位置,使得直線AB與直線CD垂直;存在某個位置,使得直線AD與直線BC垂直.其中正確結論的序號是.(寫出所

5、有正確結論的序號)解析解析:如圖,AEBD,CFBD,連接CE,ABBC,CE不垂直于BD.知識梳理考點自測若存在某個位置,使得直線AC與直線BD垂直,BDAE,BD平面AEC,從而BDEC,這與已知矛盾,排除;若存在某個位置,使得直線AB與直線CD垂直,則CD平面ABC.作MECF,交BC于點M,連接AM(圖略),則MEBD,又AEBD,AEME=E,BD平面AME,AMBD.又CD平面ABC,CDAM.又CDBD=D,AM平面BCD,即點A在平面BCD上的射影M位于邊BC上時,直線AB與直線CD垂直,故正確;若存在某個位置,使得直線AD與直線BC垂直,則BC平面ACD,從而平面ACD平面B

6、CD,即A在底面BCD上的射影應位于線段CD上,這是不可能的,排除.故答案為.考點一考點二考點三考點四證明空間線面垂直證明空間線面垂直例1如圖,在三棱臺ABC-DEF中,平面BCFE平面ABC,ACB=90,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.(1)求證:BF平面ACFD;(2)求直線BD與平面ACFD所成角的余弦值.考點一考點二考點三考點四(1)證明 延長AD,BE,CF相交于一點K,如圖所示.因為平面BCFE平面ABC,ACBC,平面BCFE平面ABC=BC,所以AC平面BCK,因此BFAC.又因為EFBC,BE=EF=FC=1,BC=2,所以BCK為等邊三角形,且F為CK的中點,則

7、BFCK.所以BF平面ACFD.考點一考點二考點三考點四考點一考點二考點三考點四考點一考點二考點三考點四思考證明線面垂直的常用方法有哪些?解題心得證明線面垂直的常用方法(1)利用線面垂直的判定定理.(2)利用“兩平行線中的一條與平面垂直,則另一條也與這個平面垂直”.(3)利用“一條直線垂直于兩個平行平面中的一個,則與另一個也垂直”.(4)利用面面垂直的性質定理.考點一考點二考點三考點四對點訓練對點訓練1(2017山東濰坊一模,文18)在如圖所示的空間幾何體中,EC平面ABCD,四邊形ABCD是菱形,CEBF,且CE=2BF,G,H,P分別為AF,DE,AE的中點.求證:(1)GH平面BCEF;

8、(2)FP平面ACE.考點一考點二考點三考點四(1)證明 PA平面ABCD,又AB平面ABCD,ABPA,又ABC=ADC=60,在ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABBCcos 60=BC2-AB2,AB2+AC2=BC2,即ABAC,又PAAC=A,PA平面PAC,AC平面PAC,AB平面PAC,又PC平面PAC,ABPC.考點一考點二考點三考點四考點一考點二考點三考點四證明空間兩條直線垂直證明空間兩條直線垂直例2(2017遼寧鞍山一模,文19)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,ADC=60,AB=AD,PA平面ABCD,E為PD的中點.(1)求證:A

9、BPC;(2)若PA=AB=AD=2,求三棱錐P-AEC的體積.考點一考點二考點三考點四(1)證明 證法一:連接AC,由已知得PAD,ACD均為正三角形,PA=AC,PD=CD,M為PC的中點,PCAM,PCDM,又AM平面AMD,DM平面AMD,AMDM=M,PC平面AMD,又AD平面AMD,PCAD.證法二:取AD的中點O,連接OP,OC,AC,由已知得PAD,ACD均為正三角形,OCAD,OPAD,又OCOP=O,OC平面POC,OP平面POC,AD平面POC,又PC平面POC,PCAD.考點一考點二考點三考點四考點一考點二考點三考點四思考證明空間兩條直線垂直有哪些基本方法?解題心得1.

10、證明線線垂直的常用方法(1)利用特殊圖形中的垂直關系.(2)利用等腰三角形底邊中線的性質.(3)利用勾股定理的逆定理.(4)利用直線與平面垂直的性質.2.在證明線線垂直時,要注意題中隱含的垂直關系,如等腰三角形底邊上的高、中線和頂角的角平分線三線合一、矩形的內角、直徑所對的圓周角、菱形的對角線互相垂直、直角三角形(或給出線段長度,經(jīng)計算滿足勾股定理)、直角梯形等等.考點一考點二考點三考點四對點訓練對點訓練2(2017江西九江一模,文18)如圖所示,四棱錐P-ABCD的側面PAD是邊長為2的正三角形,底面ABCD是菱形,ABC=60,M為PC的中點,PC=.(1)求證:PCAD;(2)求三棱錐M

11、-PAB的體積.(1)證明 因為四邊形ABCD為菱形,所以ACBD.因為BE平面ABCD,所以ACBE.故AC平面BED.又AC平面AEC,所以平面AEC平面BED.考點一考點二考點三考點四考點一考點二考點三考點四證明空間兩個平面垂直證明空間兩個平面垂直例3如圖,四邊形ABCD為菱形,G為AC與BD的交點,BE平面ABCD.(1)證明:平面AEC平面BED;(2)若ABC=120,AEEC,三棱錐E-ACD的體積為 ,求該三棱錐的側面積.考點一考點二考點三考點四考點一考點二考點三考點四考點一考點二考點三考點四思考證明面面垂直的常用方法有哪些?解題心得1.面面垂直的證明方法(1)定義法:利用面面

12、垂直的定義,即判定兩平面所成的二面角為直二面角,將證明面面垂直問題轉化為證明平面角為直角的問題.(2)定理法:利用面面垂直的判定定理,即證明其中一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線,把問題轉化成證明線面垂直加以解決.2.三種垂直關系的轉化由于“線線垂直”“線面垂直”“面面垂直”之間可以相互轉化,因此整個證明過程圍繞著線面垂直這個核心展開,這是化解空間垂直關系難點的技巧所在.3.兩平面垂直的性質定理是把面面垂直轉化為線面垂直的依據(jù),運用時要注意“平面內的直線”這一條件.考點一考點二考點三考點四對點訓練對點訓練3(2017河南洛陽三模,文18)在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,四邊形ABCD為平行

13、四邊形,AA1平面ABCD,BAD=60,AB=2,BC=1,AA1=,E為A1B1的中點.(1)求證:平面A1BD平面A1AD;(2)求多面體A1E-ABCD的體積.考點一考點二考點三考點四考點一考點二考點三考點四垂直關系中的存在問題垂直關系中的存在問題例4考點一考點二考點三考點四(1)證明 在直角梯形ABCD中,ABCD,ABBC,AB=2CD,DEAB,沿DE將AED折起到A1ED的位置,DEA1E,DEBE,A1EBE=E,DE平面A1BE,A1B平面A1BE,DE丄A1B.(2)證明 取CD中點F,連接NF,MF,M,N分別為A1C,BE的中點,MFA1D,NFDE,又DEA1D=D

14、,NFMF=F,DE平面A1DE,A1D平面A1DE,NF平面MNF,MF平面MNF,平面A1DE平面MNF.MN平面A1ED.考點一考點二考點三考點四(3)解 取A1B的中點G,連接EG,A1E=BE,EGA1B,由(1)知DE平面A1BE,DEBC,BC平面A1BE,EGBC,又A1BBC=B,EG平面A1BC.故棱A1B上存在中點G,使得EG平面A1BC,考點一考點二考點三考點四思考探索性問題的一般處理方法是什么?解題心得線面垂直中的探索性問題同“平行關系中的探索性問題”的規(guī)律方法一樣,一般是先探求點的位置,多為線段的中點或某個三等分點,然后給出符合要求的證明.考點一考點二考點三考點四對

15、點訓練對點訓練4(2017北京房山區(qū)一模,文18)如圖1,在直角梯形ABCD中,ABCD,ABBC,AB=2CD,DEAB,沿DE將AED折起到A1ED的位置,連接A1B,A1C,M,N分別為A1C,BE的中點,如圖2.(1)求證:DEA1B.(2)求證:MN平面A1ED.(3)在棱A1B上是否存在一點G,使得EG丄平面A1BC?若存在,求出 的值;若不存在,說明理由.考點一考點二考點三考點四1.轉化思想:垂直關系的轉化 2.在證明兩平面垂直時,一般先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線,若圖中不存在這樣的直線,則可通過作輔助線來解決.如有平面垂直時,一般要用性質定理,在一個平面內作交線的垂線,使之轉化為線面垂直,然后進一步轉化為線線垂直.故熟練掌握“線線垂直”“線面垂直”“面面垂直”間的轉化條件是解決這類問題的關鍵.考點一考點二考點三考點四1.在解決直線與平面垂直的問題過程中,要注意直線與平面垂直的定義、判定定理和性質定理的聯(lián)合交替使用,即注意線線垂直和線面垂直的互相轉化.2.面面垂直的性質定理是作輔助線的一個重要依據(jù).我們要作一個平面的一條垂線,通常是先找這個平面的一個垂面,在這個垂面中,作交線的垂線即可.