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高中數(shù)學圓錐曲線基本知識與典型例題
第一部分：橢圓
基本知識點
1.橢圓的定義：
第一定義：平面內到兩個定點F1、F2的距離之和等于定值2a(2a>|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓,這兩個定點叫做橢圓的焦點,兩焦點的距離叫做橢圓的焦距.
第二定義: 平面內到定點F與到定直線l的距離之比是常數(shù)e(0
b>0)的兩個焦點，P是以F1F2為直徑的圓與橢圓的一個交點,若∠PF1F2=5∠PF2F1,則橢圓的離心率為( )
(A) (B) (C) (D)
例6. 設A(－2, )，橢圓3x2＋4y2=48的右焦點是F，點P在橢圓上移動，當|AP|＋2|PF|取最小值時P點的坐標是( )。
(A) (0, 2) (B)(0, －2) (C)(2, ) (D)(－2, )
例7. P點在橢圓上，F(xiàn)1、F2是兩個焦點，若，則P點的坐標是 .
例8.寫出滿足下列條件的橢圓的標準方程：
(1)長軸與短軸的和為18，焦距為6; .
(2)焦點坐標為,,并且經(jīng)過點(2，1); .
(3)橢圓的兩個頂點坐標分別為,,且短軸是長軸的; ____.
(4)離心率為，經(jīng)過點(2，0); .
例9. 是橢圓的左、右焦點，點在橢圓上運動，則的最大值是 ．
例10. 橢圓中心是坐標原點O，焦點在x軸上，e=，過橢圓左焦點F的直線交橢圓于P、Q兩點，|PQ|=，且OP⊥OQ，求此橢圓的方程.
第二部分：雙曲線
1、 基本知識點
1.雙曲線的定義：
標準方程
圖形
頂點
對稱軸
軸，軸，實軸長為，虛軸長為
焦點
焦距
焦距為
離心率
(e>1)
準線方程
點P(x0,y0)
的焦半徑公式
如需要用到焦半徑就自己推導一下:如設是雙曲線上一點, (c,o)為右焦點,點到相應準線的距離為, 則.
當在右支上時, ;
當在左支上時,
即, 類似可推導
第一定義：平面內到兩個定點F1、F2的距離之差的絕對值等于定值2a(0<2a<|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線,這兩個定點叫做雙曲線的焦點,兩焦點的距離叫做雙曲線的焦距.
3典型例題
例11.命題甲：動點P到兩定點A、B的距離之差的絕對值等于2a(a>0)；命題乙： 點P的軌跡是雙曲線。則命題甲是命題乙的( )
(A) 充要條件 (B) 必要不充分條件 (C) 充分不必要條件 (D) 不充分也不必要條件
例12.到定點的距離與到定直線的距離之比等于log23的點的軌跡是（ ）
(A)圓 (B)橢圓 (C)雙曲線 (D)拋物線
例13. 過點(2，-2)且與雙曲線有相同漸近線的雙曲線的方程是( )
(A) (B) (C) (D)
例14. 如果雙曲線的焦距為6，兩條準線間的距離為4，那么雙曲線的離心率為（ ）
（A） （B） （C） （D）2
例15. 如果雙曲線上一點到它的左焦點的距離是8，那么點到它的右準線的距離是( )
(A) (B) (C) (D)
例16. 雙曲線的兩焦點為在雙曲線上,且滿足,則的面積為( )
例17. 設的頂點，，且，則第三個頂點C的軌跡方程是________.
例18. 連結雙曲線與(a＞0，b＞0)的四個頂點的四邊形面積為，連結四個焦點的四邊形的面積為，則的最大值是________．
例19.根據(jù)下列條件，求雙曲線方程:
⑴與雙曲線有共同漸近線，且過點(-3，)；
⑵與雙曲線有公共焦點，且過點(，2).
例20. 設雙曲線上兩點A、B，AB中點M（1，2）
⑴求直線AB方程；
⑵如果線段AB的垂直平分線與雙曲線交于C、D兩點，那么A、B、C、D是否共圓，為什么？
第三部分：拋物線
1、 基本知識點
1.拋物線的定義:
平面內到定點F和定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線(點F不在上).定點F叫做拋物線的焦點, 定直線叫做拋物線的準線.
2.拋物線的標準方程及其幾何性質(如下表所示)
標準方程
圖形
對稱軸
軸
軸
軸
軸
焦點
頂點
原點
準線
離心率
1
點P(x0,y0)
的焦半徑公式
用到焦半徑自己推導一下即可
如:開口向右的拋物線上的點P(x0,y0)的焦半徑等于x0+.
注: 1.通徑為2p，這是拋物線的過焦點的所有弦中最短的弦.
2. (或)的參數(shù)方程為(或)(為參數(shù)).
2、 典型例題
例21. 頂點在原點，焦點是的拋物線方程是( )
(A)x2=8y (B)x2= -8y (C)y2=8x (D)y2= -8x
例22. 拋物線上的一點到焦點的距離為1，則點的縱坐標是( )
(A) (B) (C) (D)0
例23.過點P(0,1)與拋物線y2=x有且只有一個交點的直線有( )
(A)4條 (B)3條 (C)2條 (D)1條
例24. 過拋物線(a>0)的焦點F作一直線交拋物線于P、Q兩點，若線段PF與FQ的長分別為p、q，則等于( )
(A)2a (B) (C) (D)
例25. 若點A的坐標為(3，2)，F(xiàn)為拋物線y2=2x的焦點，點P在拋物線上移動，為使|PA|+|PF|取最小值，P點的坐標為( )
(A)(3，3) (B)(2，2) (C)(，1) (D)(0，0)
例26. 動圓M過點F(0，2)且與直線y=-2相切，則圓心M的軌跡方程是 .
例27. 過拋物線y2＝2px的焦點的一條直線和拋物線交于兩點，設這兩點的縱坐標為y1、y2，則y1y2＝_________.
例28. 以拋物線的焦點為圓心，通徑長為半徑的圓的方程是_____________.
例29. 過點(-1,0)的直線l與拋物線y2=6x有公共點，則直線l的傾斜角的范圍是 .
例30設是一常數(shù)，過點的直線與拋物線交于相異兩點A、B，以線段AB為直經(jīng)作圓H（H為圓心）。
(Ⅰ)試證:拋物線頂點在圓H的圓周上；
(Ⅱ)求圓H的面積最小時直線AB的方程.
第四部分：軌跡問題
如何求曲線(點的軌跡)方程,它一般分為兩類基本題型：一是已知軌跡類型求其方程，常用待定系數(shù)法，如求直線及圓的方程就是典型例題；二是未知軌跡類型，此時除了用代入法、交軌法、參數(shù)法等求軌跡的方法外，通常設法利用已知軌跡的定義解題，化歸為求已知軌跡類型的軌跡方程。
因此在求動點軌跡方程的過程中，一是尋找與動點坐標有關的方程(等量關系)，側重于數(shù)的運算，一是尋找與動點有關的幾何條件，側重于形，重視圖形幾何性質的運用。
求軌跡方程的一般步驟:建、設、現(xiàn)（限）、代、化.
例31. 已知兩點M（－2，0），N（2，0），點P滿足=12，則點P的軌跡方程為（ ）
例32.⊙O1與⊙O2的半徑分別為1和2，|O1O2|=4，動圓與⊙O1內切而與⊙O2外切，則動圓圓心軌跡是( )
(A)橢圓 (B)拋物線 (C)雙曲線 (D)雙曲線的一支
例33. 動點P在拋物線y2=-6x上運動,定點A(0,1),線段PA中點的軌跡方程是( )
（A）(2y+1)2=-12x（B）(2y+1)2=12x （C）(2y-1)2=-12x（D）(2y-1)2=12x
例34. 過點（2，0）與圓相內切的圓的圓心的軌跡是（ ）
（A）橢圓 ?。˙）雙曲線 ?。–）拋物線 （D）圓
例35. 已知的周長是16，，B則動點的軌跡方程是( )
(A)(B) (C) (D)
例36. 橢圓中斜率為的平行弦中點的軌跡方程為 .
例37. 已知動圓P與定圓C: （x＋2）＋y＝１相外切，又與定直線l：x＝１相切,那么動圓的圓心P的軌跡方程是______________.
例38. 在直角坐標系中,,則點的軌跡方程是______.
第五部分：圓錐曲線綜合問題
直線與圓錐曲線的位置關系
⑴直線與圓錐曲線的位置關系和判定
直線與圓錐曲線的位置關系有三種情況：相交、相切、相離.
直線方程是二元一次方程,圓錐曲線方程是二元二次方程,由它們組成的方程組,經(jīng)過消元得到一個一元二次方程,直線和圓錐曲線相交、相切、相離的充分必要條件分別是、、.
⑵直線與圓錐曲線相交所得的弦長
直線具有斜率,直線與圓錐曲線的兩個交點坐標分別為,則它的弦長
注:實質上是由兩點間距離公式推導出來的,只是用了交點坐標設而不求的技巧而已(因為，運用韋達定理來進行計算.
當直線斜率不存在是,則.
注: 1.圓錐曲線，一要重視定義，這是學好圓錐曲線最重要的思想方法，二要數(shù)形結合，既熟練掌握方程組理論，又關注圖形的幾何性質，以簡化運算。
2.當涉及到弦的中點時，通常有兩種處理方法：一是韋達定理；二是點差法.
3.圓錐曲線中參數(shù)取值范圍問題通常從兩個途徑思考:一是建立函數(shù)，用求值域的方法求范圍；二是建立不等式，通過解不等式求范圍。
例39. AB為過橢圓=1中心的弦，F(xiàn)(c，0)為橢圓的右焦點，則△AFB的面積最大值是( )
(A)b2 (B)ab (C)ac (D)bc
例40. 若直線y＝kx＋2與雙曲線的右支交于不同的兩點，則k的取值范圍是（ ）
, , , ,
例41.若雙曲線x2－y2=1右支上一點P(a, b)到直線y=x的距離為，則a＋b的值是( ).
或 (D)2或－2
例42.拋物線y=x2上的點到直線2x- y =4的距離最近的點的坐標是( )
) (B)(1,1) (C) () (D) (2,4)
例43. 拋物線y2=4x截直線所得弦長為3，則k的值是( )
(A)2 (B)-2 (C)4 (D)-4
例44. 把曲線按向量平移后得曲線，曲線有一條準線方程為，則的值為（ ）
例45.如果直線與雙曲線沒有交點，則的取值范圍是 .
例46. 已知拋物線上兩點關于直線對稱，且，那么m的值為 .
例47. 以雙曲線－y2=1左焦點F，左準線l為相應焦點、準線的橢圓截直線y=kx+3所得弦恰被x軸平分，則k的取值范圍是___________.
例48. 雙曲線3x2-y2=1上是否存在關于直線y=2x對稱的兩點A、B?若存在，試求出A、B兩點的坐標；若不存在，說明理由.
例題答案
例1. D 例2. B 例3. C 先考慮M+m=2a，然后用驗證法.
例4. B提示：e=,P點到左準線的距離為2.5，它到左焦點的距離是2， 2a=10, P點到右焦點的距離是8，∴P點到右焦點的距離與到左焦點的距離之比是4 : 1;
例5. B∵，∴.
例6. C提示：橢圓3x2＋4y2=48中，a=4, c=2, e=, 設橢圓上的P點到右準線的距離為d，則=, ∴|AP|＋2|PF|=|AP|＋d, ∴當AP平行于x軸且P點在A點與右準線之間時，|AP|＋d為一直線段，距離最小，此時P點縱坐標等于，∴P點坐標是(2, )
例7. (3,4) 或(-3, 4)
例8. (1)或; (2) ;
(3)或; (4) 或.
例9. ≤
例10. 解:設橢圓方程為+=1,(a>b>0)
⑴PQ⊥x軸時，F(xiàn)(-c,0)，|FP|=，又|FQ|=|FP|且OP⊥OQ，∴|OF|=|FP|,即c=∴ac=a2-c2,∴e2+e-1=0,∴e=與題設e=不符,所以PQ不垂直x軸.
⑵PQ∶y=k(x+c),P(x1,y1),Q(x2,y2),∵e=,∴a2=c2,b2=c2,
所以橢圓方程可化為:3x2+12y2-4c2=0,將PQ方程代入，
得(3+12k2)x2+24k2cx+12k2c2-4c2=0,∴x1+x2=,x1x2=
由|PQ|=得·=①
∵OP⊥OQ,∴·= -1即x1x2+y1y2=0,∴(1+k2)x1x2+k2c(x1+x2)+c2k2=0②
把，代入，解②得k2=，把代入①解得c2=3
∴a2=4,b2=1，則所求橢圓方程為+y2=1.
例11. B 例12. C 例13. D 例14. C 例15. C
例16. A假設,由雙曲線定義且,
解得而由勾股定理得
[點評]考查雙曲線定義和方程思想.
例17. 例18.
例19.⑴設雙曲線方程為(λ≠0),∴ ∴ ,
∴ 雙曲線方程為;⑵設雙曲線方程為∴ ,解之得k=4,∴ 雙曲線方程為
評注：與雙曲線共漸近線的雙曲線方程為(λ≠0)，當λ>0時，焦點在x軸上；當λ<0時，焦點在y軸上。與雙曲線共焦點的雙曲線為(a2+k>0，b2-k>0)。比較上述兩種解法可知，引入適當?shù)膮?shù)可以提高解題質量，特別是充分利用含參數(shù)方程的幾何意義，可以更準確地理解解析幾何的基本思想.
例20. 解題思路分析：
法一：顯然AB斜率存在設AB：y-2=k(x-1) 由得：(2-k2)x2-2k(2-k)x-k2+4k-6=0
當△>0時，設A（x1,y1），B（x2,y2） 則∴ k=1，滿足△>0∴ 直線AB：y=x+1
法二：設A（x1,y1），B（x2,y2）則兩式相減得：(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2)
∵ x1≠x2∴ ∴ ∴ AB：y=x+1代入得：△>0
評注：法一為韋達定理法，法二稱為點差法，當涉及到弦的中點時，常用這兩種途徑處理。在利用點差法時，必須檢驗條件△>0是否成立。
（2）此類探索性命題通?？隙M足條件的結論存在，然后求出該結論，并檢驗是否滿足所有條件.本題應著重分析圓的幾何性質，以定圓心和定半徑這兩定為中心
設A、B、C、D共圓于⊙OM，因AB為弦，故M在AB垂直平分線即CD上；又CD為弦，故圓心M為CD中點。因此只需證CD中點M滿足|MA|=|MB|=|MC|=|MD|
由得：A（-1，0），B（3，4）又CD方程：y=-x+3
由得：x2+6x-11=0設C（x3,y3），D（x4,y4），CD中點M（x0,y0）
則∴ M（-3，6）
∴ |MC|=|MD|=|CD|=又|MA|=|MB|=∴ |MA|=|MB|=|MC|=|MD|
∴ A、B、C、D在以CD中點，M（-3，6）為圓心，為半徑的圓上
評注：充分分析平面圖形的幾何性質可以使解題思路更清晰，在復習中必須引起足夠重視.
例21. B() 例22. B
例23. B(過P可作拋物線的切線兩條，還有一條與x軸平行的直線也滿足要求。)
例24. C作為選擇題可采用特殊值法,取過焦點，且垂直于對稱軸的直線與拋物線相交所形成線段分別為p,q，
則p=q=|FK|,
例25. 解析：運用拋物線的準線性質.答案：B 例26. x2=8y 例27. －p2
例28. 例29.
例30. 解：由題意，直線AB不能是水平線， 故可設直線方程為：.
又設，則其坐標滿足消去x得
由此得∴
因此,即.
故O必在圓H的圓周上.
又由題意圓心H（）是AB的中點，
故由前已證
OH應是圓H的半徑，
且.從而當k=0時，圓H的半徑最小，亦使圓H的面積最小.此時，直線AB的方程為：x=2p.
注:1.解決直線和圓錐曲線的位置關系問題，一般方法是聯(lián)立方程組，消元得一元二次方程，必須討論二次項系數(shù)和判別式△，利用韋達定理尋找兩根之和與兩根之積之間的關系．求解有時借助圖形的幾何性質更為簡潔．此題設直線方程為x=ky+2p；因為直線過x軸上是點Q(2p，0)，通常可以這樣設，可避免對直線的斜率是否存在討論．2．凡涉及弦的中點及中點弦問題，利用平方差法；涉及垂直關系往往也是利用韋達定理，設而不求簡化運算．3．在引入點參數(shù)(本題中以AB弦的兩個端點的坐標作為主參數(shù))時，應盡量減少參數(shù)的個數(shù)，以便減少運算量．由OA⊥OB得x1x2+y1y2=O這個關系對于解決此類問題十分有用．4．列出目標函數(shù)，|OH|=P，運用函數(shù)思想解決解析幾何中的最值問題是解決此類問題的基本思路，也可利用基本不等式a2+b2≥2ab當且僅當a=b時“=”成立求解．
例31. B 例32. D 例33. C 例34. A例35. B
例36. 9x+16y=0 (橢圓內部分 例37. y２＝－8x 例38.
例39. 解析：∵S△AFB=2S△AOF，∴當點A位于短軸頂點處面積最大.答案：D
例40. D41. B 42. B 數(shù)形結合估算出D
例43. D
例40. C∵由已知得曲線的準線為,∴焦點在軸上且,,
∴,∴
例45.k< 例46. 例47. (0，)
例48. 解：設AB：y=-x+m,代入雙曲線方程得11x2+4mx-4(m2+1)=0,
這里△=(4m)2-4×11［-4(m2+1)］=16(2m2+11)＞0恒成立，
設A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中點為M(x0,y0),則x1+x2=-，∴x0=-,y0=-x0+m=,
若A、B關于直線y=2x對稱，則M必在直線y=2x上，
∴=-得m=1，由雙曲線的對稱性知，直線y=-x與雙曲線的交點的A、B必關于直線y=2x對稱.
∴存在A、B且求得A(，-)，B(-，)
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