數學分析教案 (華東師大版)第十四章 冪級數

《數學分析教案 (華東師大版)第十四章 冪級數》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《數學分析教案 (華東師大版)第十四章 冪級數（22頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、《數學分析》教案 第十四章 冪級數 教學目的：1.理解冪級數的有關概念，掌握其收斂性的有關問題；2.理解冪級數的運算，掌握函數的冪級數展開式并認識余項在確定函數能否展為冪級數時的重要性。 教學重點難點：本章的重點是冪級數的收斂區(qū)間、收斂半徑、展開式；難點是收斂區(qū)間端點處斂散性的判別。 教學時數：12學時 § 1 冪級數（ 4 時 ） 冪級數的一般概念. 型如 和 的冪級數 . 冪級數由系數數列 唯一確定. 冪級數至少有一個收斂點. 以下只討論型如 的冪級數.冪級數是最簡單的函數項級數之一.? 一.??????????? 冪級數的收斂域: 1.????

2、???????? 收斂半徑 、收斂區(qū)間和收斂域： Th 1 （ Abel ） 若冪級數 在點 收斂 ， 則對滿足不等式的任何 ，冪級數 收斂而且絕對收斂 ；若在點 發(fā)散 ，則對滿足不等式 的任何 ，冪級數 發(fā)散. 證 收斂, { }有界. 設| | , 有 | , 其中 . . 定理的第二部分系第一部分的逆否命題. 冪級數 和 的收斂域的結構. 定義冪級數的收斂半徑 R. ? 收斂半徑 R的求法. ? Th 2 對于冪級數 , 若 , 則 ⅰ> 時,;ⅱ> 時; ⅲ> 時 . 證 , ( 強調開方次數與

3、的次數是一致的). …… 由于 , 因此亦可用比值法求收斂半徑. 冪級數 的收斂區(qū)間: . 冪級數 的收斂域: 一般來說 , 收斂區(qū)間 收斂域. 冪級數 的收斂域是區(qū)間 、 、 或 之一. 例1 求冪級數 的收斂域 . 例2 求冪級數 的收斂域 . 例3 求下列冪級數的收斂域: ⑴ ; ⑵ . 2. 復合冪級數 : 令 , 則化為冪級數 .設該冪級數的收斂區(qū)間為 ，則級數 的收斂區(qū)間由不等式 確定.可相應考慮收斂域. 特稱

4、冪級數 為正整數)為缺項冪級數 .其中 . 應注意 為第項的系數 . 并應注意缺項冪級數 并不是復合冪級數 , 該級數中,為第 項的系數 . 例4 求冪級數 的收斂域 . 解 是缺項冪級數 . . 收斂區(qū)間為 . 時, 通項 . 因此 , 該冪級數的收斂域為 . 例5 求級數 的收斂域 . 解 令 , 所論級數成為冪級數 .由幾何級數的斂散性結果, 當且僅當 時級數 收斂. 因此當且僅當 , 即時級數 收斂. 所以所論級數的收斂域為 . 例6 求冪級數 的收斂半徑 . 解 .? 二．

5、 冪級數的一致收斂性： Th 3 若冪級數 的收斂半徑為 ，則該冪級數在區(qū)間 內閉一致收斂 . 證 , 設 , 則對 , 有 , 級數 絕對收斂, 由優(yōu)級數判別法, 冪級數 在 上一致收斂. 因此 , 冪級數 在區(qū)間 內閉一致收斂. Th 4 設冪級數 的收斂半徑為 ,且在點 ( 或 )收斂,則冪級數 在區(qū)間 ( 或 )上一致收斂 . 證 . 收斂 , 函數列 在區(qū)間 上遞減且一致有界,由Abel判別法,冪級數在區(qū)間上一致收斂 . 易見 , 當冪級數 的收斂域為 ( 時 , 該冪級數即在區(qū)間上一致收斂 . 三. 冪級數的性質:

6、 1. 逐項求導和積分后的級數: 設 , *) 和 **)仍為冪級數. 我們有 命題1 *) 和 **)與 有相同的收斂半徑 . ( 簡證 ) 值得注意的是，*) 和 **)與 雖有相同的收斂半徑（ 因而有相同的收斂區(qū)間），但未必有相同的收斂域 ， 例如級數 . 2. 冪級數的運算性質: 定義 兩個冪級數 和 在點 的某鄰域內相等是指：它們在該鄰域內收斂且有相同的和函數. 命題2 ,.(由以下命題4系2) 命題3 設冪級數 和 的收斂半徑分別為 和 , , 則 ⅰ> , — Const ，

7、 . ⅱ> + , . ⅲ> ( )( ) , , . 3. 和函數的性質: 命題4 設在 ( 內 . 則 ⅰ> 在 內連續(xù); ⅱ> 若級數 或 收斂, 則 在點 ( 或 )是左( 或右 )連續(xù)的; ⅲ> 對 , 在點 可微且有 ; ⅳ> 對 , 在區(qū)間 上可積, 且 . 當級數 收斂時, 無論級數 在點 收斂與否,均有 . 這是因為: 由級數 收斂, 得函數 在點 左連續(xù), 因此有 . 推論1 和函數 在區(qū)間 內任意次可導, 且有

8、, …… . 由系1可見, 是冪級數的和函數的必要條件是 任意次可導. 推論2 若 , 則有 例7 驗證函數 滿足微分方程 . 驗證 所給冪級數的收斂域為 . . , 代入, .? § 2 函數的冪級數展開 一.??????????? 函數的冪級數展開: 1.?????? Taylor級數: 設函數 在點 有任意階導數. Taylor公式和Maclaurin公式 . Taylor公式： . 余項 的形式: Peano型余項: ,

9、 （ 只要求在點 的某鄰域內有 階導數 ， 存在 ） Lagrange型余項: 在 與 之間. 或 . 積分型余項: 當函數 在點 的某鄰域內有 階連續(xù)導數時, 有 . Cauchy余項: 在上述積分型余項的條件下, 有Cauchy余項 . 特別地， 時，Cauchy余項為 在 與 之間.? Taylor級數: Taylor公式僅有有限項, 是用多項式逼近函數. 項數無限增多時, 得

10、 , 稱此級數為函數 在點 的Taylor級數. 只要函數 在點 無限次可導, 就可寫出其Taylor級數. 稱 = 時的Taylor級數為Maclaurin級數, 即級數 . 自然會有以下問題: 對于在點 無限次可導的函數 , 在 的定義域內或在點 的某鄰域內, 函數 和其Taylor級數是否相等呢 ? 2． 函數與其Taylor級數的關系： 例1 函數 在點 無限次可微 . 求得 . 其Taylor級數為 . 該冪級數的收斂域為 . 僅在區(qū)間 內有 = . 而在其他點并不相等, 因為級數發(fā)散. 那么, 在Tayl

11、or級數的收斂點, 是否必有 和其Taylor級數相等呢 ? 回答也是否定的 . 例2 函數 在點 無限次可導且有 因此其 Taylor級數 ，在 內處處收斂 . 但除了點 外, 函數 和其Taylor級數并不相等. 另一方面, 由本章§1命題4推論2（和函數的性質）知：在點 的某鄰域內倘有,則在點無限次可導且級數 必為函數在點 的Taylor級數. 綜上 , 我們有如下結論: ⑴ 對于在點 無限次可導的函數 , 其Taylor級數可能除點 外均發(fā)散, 即便在點 的某鄰域內其Taylor級數收斂, 和函數也未必就是 . 由此可見, 不同的函數可能會有完全相同的T

12、aylor?級數. ⑵ 若冪級數 在點 的某鄰域內收斂于函數 , 則該冪級數就是函數 在點 的Taylor級數. 于是 , 為把函數 在點 的某鄰域內表示為關于 的冪級數，我們只能考慮其Taylor級數.? 3． 函數的Taylor展開式： 若在點 的某鄰域內函數 的Taylor級數收斂且和恰為 ，則稱函數 在點 可展開成Taylor級數(自然要附帶展開區(qū)間. 稱此時的Taylor級數為函數 在點 的Taylor展開式或冪級數展開式. 簡稱函數 在點 可展為冪級數. 當= 0 時, 稱Taylor展開式為Maclaurin展開式. 通常多考慮的是Maclaur

13、in展開式. 4.????????? 可展條件: Th 1 ( 必要條件 ) 函數 在點 可展 , 在點 有任意階導數 . Th 2 ( 充要條件 ) 設函數在點 有任意階導數 . 則 在區(qū)間 內等于其Taylor級數( 即可展 )的充要條件是: 對 ,有 . 其中 是Taylor公式中的余項. 證 把函數 展開為 階Taylor公式, 有 . Th 3 ( 充分條件 ) 設函數 在點 有任意階導數 , 且導函數所成函數列一致有界, 則函數 可展. 證 利用Lagrange型余項 , 設 , 則有 . 例3? 展開函數 ⅰ>

14、按冪; ⅱ> 按冪. 解 , , . 所以 , ⅰ> . 可見 , 的多項式 的Maclaurin展開式就是其本身. ⅱ> . 二.?????????? 初等函數的冪級數展開式: ? 初等函數的冪級數展開式才是其本質上的解析表達式. ? 為得到初等函數的冪級數展開式 , 或直接展開, 或間接展開. 1. . ( 驗證對 R ， 在 區(qū)間 ( 或 )上有界, 得一致

15、有界. 因此可展 ). . 2. , . , . 可展是因為 在 內一致有界. 3. 二項式 的展開式: 為正整數時, 為多項式, 展開式為其自身; 為不是正整數時, 可在區(qū)間 內展開為 對余項的討論可利用Cauchy余項. 具體討論參閱[1]P56.? 時, 收斂域為 ; 時, 收斂域為 ; 時, 收斂域為 . 利用二項式 的展開式 , 可得到很多函數的展開式. 例如取 ,得 ，

16、 . 時, , .? 間接展開: 利用已知展開式 , 進行變量代換、四則運算以及微積運算, 可得到一些函數的展開式. 利用微積運算時, 要求一致收斂. 冪級數在其收斂區(qū)間內閉一致收斂 ,總可保證這些運算暢通無阻. 4. . . 事實上 , 利用上述 的展開式, 兩端積分 , 就有 ,

17、 . 驗證知展開式在點 收斂, 因此 , 在區(qū)間 上該展開式成立. 5. . 由 . 兩端積分,有 驗證知上述展開式在點 收斂, 因此該展開式在區(qū)間 上成立.(這里應用了習題中第2題的結果,) 例4 展開函數 . 解 . 例5 展開函數 . 解 . 習 題 課? 一. 求收斂區(qū)間或收斂域: 例1 求冪級數 的收斂區(qū)間 . 例2

18、求冪級數 的收斂域. 解 設 , 注意到 , 有 . 時, 收斂域為 . 二. 函數展開: 例3 把函數 展開成 的冪級數 . 解 , , , ; ; , . 與 的展開式 比較. 例4 展開函數 . 解 , , . 因此,? ， . 例5 展開函數 . 解 , ; 因此,

19、 , . 例6 把函數 展開成 的冪級數. 解 , . 而 = , . ? 三. 函數展開式應用舉例: ? 1.?????? 做近似計算 : 例7 計算積分 , 精確到 . 解 . 因此, . ? 上式最后是Leibniz型級數 , 其余和的絕對值不超過余和首項的絕對值 . 為使,可取 .故從第 項到第 項這前7 項之和達到要求的精度.于是

20、 ? . ? 2. 利用展開式求高階導數: 原理. 例8 設 證明對 存在并求其值. 解 , . 時, , 直接驗證可知上式當 時也成立 . 因此在 內有 , . 函數 作為 的冪級數的和函數, 對 存在 , 且 即 四. 冪級數求和: ? 原理: 對某些冪級數, 有可能利用初等運算或微積

21、運算以及變量代換化為已知的函數展開式( 特別是化為函數 和 的展開式 ),借以求和. 例9 求冪級數 的和函數并求級數 和Leibniz級數 的和. 解 冪級數 的 收斂域為 , 設和函數為 ,則在 內有 , 注意到 , 則對 有 . 又 在點 連續(xù) , 于是在區(qū)間 內上式成立. 即有 , . 取 , 有 . 取 , 有 . 例10 求冪級數 的和函數. 并利用該冪級數的和函數求冪級數 的和函數以及數項級數 的和. 解 該冪級數的收斂域為 . 在 內設 . 現

22、求 . 對 ,有 . 由 連續(xù) , 有 . 因此, , . 作代換 , 有 . . . 例11 求冪級數 的和函數. 解法一 收斂域為 ,設和函數為 , 則有 . 因此, = , . 解法二 , . 例12 求冪級數 的和函數. 解 . 例13 求數項級數 的和. 解 該級數為Leibniz型級數, 因此收斂. 考慮冪級數 , 其收斂域為 . 設和函數為 , 在 內有 , . 注意到 ,對 有 , . 于是, . - 22 -