專練06 空間線面的垂直-新教材2019-2020學年下學期高一數(shù)學期末考點必殺題(人教A版必修第二冊)（解析版）

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1、 專練06 空間線面的垂直 一、基礎強化 1. 設l是直線,α,β是兩個不同的平面,則下列命題正確的是 (　　) A.若l∥α,l∥β,則α∥β B.若l∥α,l⊥β,則α⊥β C.若α⊥β,l⊥α,則l⊥β D.若α⊥β,l∥α,則l⊥β 【參考答案】B　 【解析】對于A選項,設α∩β=a,若l∥a,且l?α,l?β,則l∥α,l∥β,此時α與β相交,即A選項錯誤;對于B選項,若l∥α,l⊥β,則存在直線a?α,使得l∥a,此時a⊥β,由平面與平面垂直的判定定理得α⊥β,即B選項正確;對于C選項,若α⊥β,l⊥α,則l∥β或l?β,即C選項錯誤;對于D選項

2、,若α⊥β,l∥α,則l與β的位置關系不確定,即D選項錯誤.故選B. 2. (2019·山東濰坊月考)已知平面α和直線a,b,若a∥α,則“b⊥a”是“b⊥α”的(　　) A．充分不必要條件　 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 【參考答案】B　 【解析】根據(jù)空間中直線與平面之間的位置關系,由a∥α,b⊥α,可得b⊥a,反之不成立,可能b與α相交或平行．∴“b⊥a”是“b⊥α”的必要不充分條件．故選B. 3. 已知在直四棱柱ABCD -A1B1C1D1中,AB＝,AD＝,BD＝,AA1＝1,則異面直線A1B與B1D1所成角的大小為(　　) A．

3、 B． C． D． 【參考答案】C　 【解析】如圖所示： 在直四棱柱ABCD -A1B1C1D1中,AB＝,AD＝,AA1＝1.所以D1C＝,B1C＝.且易知D1C∥A1B,所以∠B1D1C(或其補角)即為所求．在△B1D1C中,D1C＝,B1C＝,BD＝,所以∠D1CB1＝,∠B1D1C＝.故選C. 4. 如圖,PA垂直于矩形ABCD所在的平面,則圖中與平面PCD垂直的平面是(　　) A．平面ABCD B．平面PBC C．平面PAD D．平面PAB 【參考答案】C 【解析】由PA⊥平面ABCD得PA⊥CD,由四邊

4、形ABCD為矩形得CD⊥AD,從而有CD⊥平面PAD,所以平面PCD⊥平面PAD. 故選C. 5.在直三棱柱ABC -A1B1C1中,∠BAC＝,AB＝AC＝2AA1,則異面直線AC1與A1B所成角的余弦值為(　　) A． B．－ C． D．－ 【參考答案】A　 【解析】將三棱柱補為長方體ABDC-A1B1D1C1,異面直線AC1與A1B所成的角即為∠AC1D, 設AA1＝1,則AC＝CD＝2,AC1＝DC1＝,AD＝2. 由題意知cos ∠AC1D＝＝.故選A. 6. 在三棱錐P-ABC中,點P在平面ABC上的射影為點O,若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,則點O是

5、△ABC的　　　　心.? 【參考答案】垂 【解析】如圖∵PC⊥PA,PB⊥PC,PA∩PB=P,∴PC⊥平面PAB,又AB?平面PAB,∴PC⊥AB,又AB⊥PO,PO∩PC=P,∴AB⊥平面PGC,又CG?平面PGC,∴AB⊥CG,即CG為AB邊上的高.同理可證BD,AH分別為AC邊,BC邊上的高,則O為△ABC的垂心. 7. 如圖,已知圓柱的軸截面ABB1A1是正方形,C是圓柱下底面弧AB的中點,C1是圓柱上底面弧A1B1的中點,那么異面直線AC1與BC所成角的正切值為________. 【參考答案】　 【解析】取圓柱下底面弧AB的另一中點D,連接C1D,AD,

6、 因為C是圓柱下底面弧AB的中點,所以AD∥BC,所以直線AC1與AD所成角等于異面直線AC1與BC所成角．因為C1是圓柱上底面弧A1B1的中點,所以C1D⊥圓柱下底面,所以C1D⊥AD,因為圓柱的軸截面ABB1A1是正方形,所以C1D＝AD,所以直線AC1與AD所成角的正切值為,所以異面直線AC1與BC所成角的正切值為. 8. 正方體ABCD-A1B1C1D1的棱和六個面的對角線共24條,其中與體對角線AC1垂直的有　　　　條.? 【參考答案】6 【解析】如圖,連接AC,則BD⊥AC. 在正方體ABCD-A1B1C1D1中, ∵C1C⊥平面BCD,BD?平面BCD, ∴C1C⊥B

7、D, 又AC∩CC1=C,∴BD⊥平面ACC1, ∵AC1?平面ACC1,∴AC1⊥BD. 同理A1B,A1D,B1D1,CD1,B1C都與AC1垂直. 正方體ABCD-A1B1C1D1的棱中沒有與AC1垂直的棱, 故與體對角線AC1垂直的有6條. 9.如圖,點M,N分別是正方體ABCD -A1B1C1D1的棱BB1和B1C1的中點,則MN和CD1所成角的大小是________. 【參考答案】60° 【解析】因為MN∥BC1,CD1∥A1B,所以∠A1BC1就是MN和CD1所成角,而△A1BC1是等邊三角形,所以∠A1BC1＝60°. 10.已知長方體的外接球體積為,且,

8、則與平面所成的角為 。 【參考答案】 【解析】設外接球的半徑為R,則,解得.則長方體的體對角線. 又由得,解得. 因為平面,平面,即, 所以直線與平面所成的角為,,則. 11. 如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA＝PD,E,F分別為AD,PB的中點． (1)求證：PE⊥BC； (2)求證：平面PAB⊥平面PCD； 【參考答案】證明　(1)因為PA＝PD,E為AD的中點, 所以PE⊥AD. 因為底面ABCD為矩形, 所以BC∥AD,所以PE⊥BC. (2)因為底面ABCD為矩形, 所以

9、AB⊥AD. 又因為平面PAD⊥平面ABCD, 所以AB⊥平面PAD, 所以AB⊥PD. 又因為PA⊥PD, 所以PD⊥平面PAB. 所以平面PAB⊥平面PCD. 12.如圖,在三棱錐P -ABC中,PA⊥底面ABC,D是PC的中點．已知∠BAC＝,AB＝2,AC＝2,PA＝2. 求：(1)三棱錐P-ABC的體積； (2)異面直線BC與AD所成角的余弦值． 【解析】(1)S△ABC＝×2×2＝2,三棱錐P-ABC的體積為V＝S△ABC·PA＝×2×2＝. (2)如圖,取PB的中點E,連接DE,AE,則ED∥BC,所以∠ADE(或其補角)是異面直線BC與AD所成的角．

10、 在△ADE中,DE＝2,AE＝,AD＝2, cos∠ADE＝＝. 故異面直線BC與AD所成角的余弦值為. 二、能力提升 1. 已知為異面直線,平面平面.直線滿足,則（ ） A.且 B.且 C.與相交,且交線垂直于 D.與相交,且交線平行于 【參考答案】D 【解析】由于m,n為異面直線,平面平面β,則平面α與平面β必相交,但未必垂直,且交線垂直于直線m,n,又直線l滿足,,則交線平行于l. 2.(2019·福建福州檢測題)直三棱柱ABC -A1B1C1中,若∠BAC＝90°,AB＝AC＝AA1,則異面直線BA1與AC1所成的角等于(　　) A．30°

11、 B．45° C．60° D．90° 【參考答案】C　 【解析】如圖,延長CA到點D,使得AD＝AC,連接DA1,BD, 則四邊形ADA1C1為平行四邊形,所以∠DA1B就是異面直線BA1與AC1所成的角．又A1D＝A1B＝DB,所以△A1DB為等邊三角形,所以∠DA1B＝60°. 3. △ABC中,∠ACB＝90°,AB＝8,∠ABC＝60°,PC⊥平面ABC,PC＝4,M是AB上的一個動點,則PM的最小值為________. 【參考答案】2　 【解析】作CH⊥AB于H,連接PH. 因為PC⊥平面ABC,所以PH⊥AB,

12、PH為PM的最小值,等于2. 4. (2019·河南洛陽月考檢測試題)如圖所示,在四棱錐P -ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各邊都相等,M是PC上的一動點,當點M滿足________時,平面MBD⊥平面PCD．(只要填寫一個你認為正確的條件即可) 【參考答案】DM⊥PC(或BM⊥PC等)　 【解析】∵PA⊥底面ABCD,∴BD⊥PA,連接AC,則BD⊥AC,且PA∩AC＝A,∴BD⊥平面PAC,∴BD⊥PC. ∴當DM⊥PC(或BM⊥PC)時,即有PC⊥平面MBD,而PC?平面PCD,∴平面MBD⊥平面PCD. 5. 如圖所示,四邊形ABCD是矩形, ABE, ,F為CE上的點,且平面ACE,AC與BD交于點G。 （1）求證：平面BCE （2）求證：AE//平面BFD （3）求三棱錐的體積 【解析】（1）∵平面ABE,AD//BC ∴平面 ∵平面 ∴ 又∵平面 ∴ 又∵,平面 ∴平面 （2）依題意可知：G是AC中點 由平面ACE知,而 ∴F是EC中點 ∴在中,FG//AE 又∵平面,平面 ∴AE//平面 （3）∵AE//平面BFD ∴AE//FG,而平面BCE, ∴平面BCE,即平面BCF ∵G是AC中點,F是CE中點 ∴FG//AE且 又知在中,, ∴ ∴ 科教興國 6