內(nèi)蒙古伊圖里河高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第四講概率統(tǒng)計(jì) 理

內(nèi)蒙古伊圖里河高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：第四講概率統(tǒng)計(jì)(理)從近三年高考看，新課標(biāo)降低了計(jì)數(shù)原理的難度要求，排列組合、二項(xiàng)式定理每年必考，考題多以選擇題、填空題出現(xiàn)，題小而靈活，涉及知識(shí)點(diǎn)都在兩三個(gè)左右，綜合運(yùn)用排列組合知識(shí)，分類計(jì)數(shù)和分步計(jì)數(shù)原理；用二項(xiàng)式定理及二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)計(jì)算，突出了冪運(yùn)算在二項(xiàng)式定理中的應(yīng)用，強(qiáng)調(diào)運(yùn)算的正確性難度值一般在0.550.8之間. 考試要求：（1）分類加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理：理解分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理；會(huì)用分類加法計(jì)數(shù)原理或分步乘法計(jì)數(shù)原理分析和解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.（2）排列與組合：理解排列、組合的概念.能利用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式.能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.（3）二項(xiàng)式定理：能用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理.會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開(kāi)式有關(guān)的簡(jiǎn)單問(wèn)題.題型一 兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合問(wèn)題例1（1）從6臺(tái)原裝計(jì)算機(jī)和5臺(tái)組裝計(jì)算機(jī)中任意選取5臺(tái),其中至少有原裝與組裝計(jì)算機(jī)各兩臺(tái),則不同的取法有 種（2）在AOB的OA邊上取m個(gè)點(diǎn)，在OB邊上取n個(gè)點(diǎn)(均除O點(diǎn)外)，連同O點(diǎn)共m+n+1個(gè)點(diǎn)，現(xiàn)任取其中三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形，可作的三角形有( )點(diǎn)撥（1）抓住分類用加、分步用乘，兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理，解決問(wèn)題注意分步和分類往往交互使用（2）科學(xué)分類將問(wèn)題分成三類求解；正難則反從總數(shù)中排除三點(diǎn)共線的組合 解：（1）分為2臺(tái)原裝3臺(tái)組裝和3臺(tái)原裝2臺(tái)組裝兩類，完成第一類分兩步：第一步在原裝計(jì)算機(jī)中任意選取2臺(tái)，有種方法；第二步是在組裝計(jì)算機(jī)任意選取3臺(tái)，有種方法，據(jù)乘法原理共有種方法同理，完成第二類有種方法據(jù)加法原理完成全部的選取過(guò)程共有種方法（2）解法一 第一類辦法 從OA邊上(不包括O)中任取一點(diǎn)與從OB邊上(不包括O)中任取兩點(diǎn)，可構(gòu)造一個(gè)三角形，有CC個(gè)；第二類辦法 從OA邊上(不包括O)中任取兩點(diǎn)與OB邊上(不包括O)中任取一點(diǎn)，與O點(diǎn)可構(gòu)造一個(gè)三角形，有CC個(gè)；第三類辦法 從OA邊上(不包括O)任取一點(diǎn)與OB邊上(不包括O)中任取一點(diǎn)，與O點(diǎn)可構(gòu)造一個(gè)三角形，有CC個(gè) 由加法原理共有N=CC+CC+CC個(gè)三角形，故選C解法二 從m+n+1中任取三點(diǎn)共有C個(gè)，其中三點(diǎn)均在射線OA(包括O點(diǎn))，有C個(gè)，三點(diǎn)均在射線OB(包括O點(diǎn))，有C個(gè) 所以，個(gè)數(shù)為N=CCC個(gè) 整理后得CC+CC+CC易錯(cuò)點(diǎn)：（1）要意識(shí)到“選取2臺(tái)原裝與3臺(tái)組裝計(jì)算機(jī)或是3臺(tái)原裝與2臺(tái)組裝計(jì)算機(jī)”是完成任務(wù)的兩“類”辦法，每類辦法中還要分步完成不能先保證每種選2臺(tái)后從剩下的當(dāng)中選1臺(tái)的辦法（2）A中含有構(gòu)不成三角形的組合，如 CC中，包括O、Bi、Bj；CC中，包含O、Ap、Aq，其中Ap、Aq,Bi、Bj分別表示OA、OB邊上不同于O的點(diǎn)；B漏掉AiOBj；D有重復(fù)的三角形 如CC中有AiOBj,CC中也有AiOBj 變式與引申1：（1）在一次運(yùn)動(dòng)會(huì)上有四項(xiàng)比賽的冠軍在甲、乙、丙三人中產(chǎn)生，那么不同的奪冠情況共有（ ）種A          B        C         D（2）四名優(yōu)等生保送到三所學(xué)校去，每所學(xué)校至少得一名，則不同的保送方案的總數(shù)是_ 題型二 排列組合的應(yīng)用問(wèn)題例2（1）（2010年江西理科卷第14題）將6位志愿者分成4組，其中兩個(gè)組各2人，另兩個(gè)組各1人，分赴世博會(huì)的四個(gè)不同場(chǎng)館服務(wù)，不同的分配方案有 種（用數(shù)字作答）（2）2位男生和3位女生共5位同學(xué)站成一排，若男生甲不站兩端，3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)是（ ） A 60 B 48 C 42 D 36點(diǎn)撥（1）根據(jù)分組元素個(gè)數(shù)相同注意平均分組問(wèn)題（2）有限制條件的排列組合問(wèn)題，常用方法有相鄰問(wèn)題捆綁法；不相鄰問(wèn)題插空法；特殊元素(位置)優(yōu)先法等解：（1） 先分組，考慮到有2個(gè)是平均分組，得兩個(gè)兩人組 ，兩個(gè)一人組 ，再全排列得：種（2）解法一：從3名女生中任取2人“捆”在一起記作A，（A共有種不同排法），剩下一名女生記作B，兩名男生分別記作甲、乙；則男生甲必須在A、B之間（若甲在A、B兩端則為使A、B不相鄰，只有把男生乙排在A、B之間，此時(shí)就不能滿足男生甲不在兩端的要求）此時(shí)共有6×212種排法（A左B右和A右B左）最后再在排好的三個(gè)元素中選出四個(gè)位置插入乙，所以，共有12×448種不同排法 故選B解法二：同解法一，從3名女生中任取2人“捆”在一起記作A， A共有種不同排法，剩下一名女生記作B，兩名男生分別記作甲、乙；為使男生甲不在兩端可分三類情況：第一類：女生A、B在兩端，男生甲、乙在中間，共有=24種排法；第二類：“捆綁”A和男生乙在兩端，則中間女生B和男生甲只有一種排法，此時(shí)共有12種排法第三類：女生B和男生乙在兩端，同樣中間“捆綁”A和男生甲也只有一種排法此時(shí)共有12種排法， 三類之和為24121248種，選B易錯(cuò)點(diǎn)：（1）排列組合中常會(huì)遇到元素分配問(wèn)題、平均分組問(wèn)題等，這些問(wèn)題要注意避免重復(fù)計(jì)數(shù)，產(chǎn)生錯(cuò)誤（2）解含有限制條件的排列組合問(wèn)題時(shí),首先要弄清是“有序”還是“無(wú)序”，還有如果直接法分情況比較多,則間接法比較簡(jiǎn)單,變式與引申2：（1）5本不同的書(shū)全部分給4個(gè)學(xué)生，每個(gè)學(xué)生至少一本，不同的分法種數(shù)為（ ） A480 種         B240種      C120種         D96種（2）某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開(kāi)演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目，如果將這兩個(gè)節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同的插法的種數(shù)為（ ）A42種 B30種 C20種 D12種（3）用1、2、3、4、5、6這六個(gè)數(shù)字可組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字且不能被5整除的五位數(shù)？題型三 二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)例3（1）（2010遼寧理科卷第13題）的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)（2）展開(kāi)式中的系數(shù)為10，則實(shí)數(shù)a等于 點(diǎn)撥：（1）抓住二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，“常數(shù)項(xiàng)”與“指數(shù)為零”的轉(zhuǎn)化（2）抓住二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)與指數(shù)是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵解：（1）的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，當(dāng)r=3時(shí)，當(dāng)r=4時(shí)，因此常數(shù)項(xiàng)為-20+15= -5（2）解析：本題考查二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式由得，有易錯(cuò)點(diǎn)：求展開(kāi)式中的特定項(xiàng)時(shí)，運(yùn)算要準(zhǔn)確，特別要注意符號(hào)變式與引申3：（1）求展開(kāi)所得的多項(xiàng)式中，系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)數(shù)；（2）求展開(kāi)式中的系數(shù)（3）求展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)題型四 二項(xiàng)式系數(shù)的綜合應(yīng)用例4已知，求點(diǎn)撥：二項(xiàng)式的一般展開(kāi)式中，求系數(shù)和常用賦值法 解：令時(shí)，有令時(shí)，有 易錯(cuò)點(diǎn)：賦值法是給代數(shù)式（或方程或函數(shù)表達(dá)式）中的某些字母賦予一定的特殊值，從而達(dá)到便于解決問(wèn)題的目的 變式與引申4：（1）已知，求（2）除以9的余數(shù)是多少？本節(jié)主要考查：（1）知識(shí)點(diǎn)有兩個(gè)計(jì)數(shù)原理、排列數(shù)組合公式和性質(zhì)、二項(xiàng)式定理 (2)求解排列組合問(wèn)題常見(jiàn)題型方法：相鄰問(wèn)題捆綁法，不相鄰問(wèn)題插空法，分排問(wèn)題直排法，定序問(wèn)題除法，平均分組（除），部分平均分組（部分除），不平均分組；（3）分類選派問(wèn)題：注意要分類清楚；（4）數(shù)字問(wèn)題：注意0的特殊性，注意有無(wú)重復(fù)數(shù)字，注意數(shù)字位數(shù)；（5）會(huì)根據(jù)多項(xiàng)式還原為二項(xiàng)式，注意項(xiàng)數(shù)以及次數(shù)的對(duì)應(yīng)；（6）賦值法應(yīng)用點(diǎn)評(píng)：（1）兩個(gè)計(jì)數(shù)原理、排列組合知識(shí)與概率聯(lián)系十分密切,2010年全國(guó)及各省市命題,總有一小題是對(duì)排列組合應(yīng)用的考查對(duì)于概率的解答題中,用排列、組合知識(shí)作答的占多數(shù)；（2）解排列組合問(wèn)題通常考察的是有附加條件的問(wèn)題，解決這類問(wèn)題通常有三種途徑： 以元素為主，應(yīng)先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素；以位置為主，應(yīng)先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置；先不考慮附加條件，計(jì)算出總數(shù)再減去不符合條件的個(gè)數(shù)；（3）二項(xiàng)式定理部分主要考查求二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)或二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，要熟記通項(xiàng)公式；注意區(qū)別系數(shù)和二項(xiàng)式系數(shù)，并會(huì)求系數(shù)最大的項(xiàng)以及二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)（4）熟記幾個(gè)組合數(shù)公式性質(zhì)以及推論，會(huì)熟練應(yīng)用其求值習(xí)題411、（2009陜西卷文）若,則的值為（ ） A2B0C D 13254圖4-1-12、 如圖4-1-1，一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有 種（以數(shù)字作答）3、有紅、黃、蘭色的球各5只,分別標(biāo)有A、B、C、D、E五個(gè)字母,現(xiàn)從中 取5只,要求各字母均有且三色齊備,則共有多少種不同的取法4、有五張卡片，它們的正、反面分別寫(xiě)0與1，2與3，4與5，6與7，8與9，將其中任意三張并排放在一起組成三位數(shù)，共可組成多少個(gè)不同的三位數(shù)？5、已知f(x)(1x)m(12x)n(m，nN)的展開(kāi)式中x的系數(shù)為11(1)求x2的系數(shù)的最小值；(2)當(dāng)x2的系數(shù)取得最小值時(shí)，求f(x)展開(kāi)式中x的奇次冪項(xiàng)的系數(shù)之和第二節(jié) 概率近三年高考概率試題的題量大致為2道，約占全卷總分的6-10，試題的難度為中等偏易或中等，仍然是高考卷中的主流應(yīng)用題試題特點(diǎn)是小題更加注重基礎(chǔ)，大題更加注重能力，通過(guò)對(duì)課本知識(shí)的重新組合，著重考查古典概型與幾何概型，互斥事件與條件概率，離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差等難度值一般在0.50.8之間.考試要求：概率（必修）：（1）事件與概率 了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義，了解頻率與概率的區(qū)別. 了解兩個(gè)互斥事件的概率加法公式.（2）古典概型理解古典概型及其概率計(jì)算公式.會(huì)計(jì)算一些隨機(jī)事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率.（3）隨機(jī)數(shù)與幾何概型了解隨機(jī)數(shù)的意義，能運(yùn)用模擬方法估計(jì)概率.了解幾何概型的意義.概率（選修）： 理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念，了解分布列對(duì)于刻畫(huà)隨機(jī)現(xiàn)象的重要性. 理解超幾何分布及其導(dǎo)出過(guò)程，并能進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用. 了解條件概率和兩個(gè)事件相互獨(dú)立的概念，理解n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型及二項(xiàng)分布，并能解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題. 理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量均值、方差的概念，能計(jì)算簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量的均值、方差，并能解決一些實(shí)際問(wèn)題. 利用實(shí)際問(wèn)題的直方圖，了解正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義.題型一 古典概型與幾何概型例1（1）甲盒中有紅，黑，白三種顏色的球各3個(gè)，乙盒子中有黃，黑，白三種顏色的球各2個(gè)，從兩個(gè)盒子中各取1個(gè)球則取出的兩個(gè)球是不同顏色的概率為 （2）在等腰的斜邊取一點(diǎn)，則的概率為 點(diǎn)撥：（1）抓住每個(gè)基本事件等可能性，建立適當(dāng)?shù)墓诺涓怕誓Ｐ停?）幾何概型主要有長(zhǎng)度、角度、面積、體積等度量值之比解：（1）在每個(gè)盒中不同顏色的球的個(gè)數(shù)相同，從顏色考慮，在甲盒中取球有種可能，在乙盒中取球有種可能，總共有種可能，兩個(gè)球顏色不同有種可能，不同顏色的概率為（2）點(diǎn)在上任何一個(gè)位置的可能性相等，且，則的概率為易錯(cuò)點(diǎn)：構(gòu)建概率模型時(shí)忽略每個(gè)基本事件的等可能性要求，如變式中題目變式與引申1：（1）甲盒中有紅，黑，白三種顏色的球各2個(gè)；乙盒子中有黃，黑二種顏色的球各2個(gè)，白球各1個(gè)，從兩個(gè)盒子中各取1個(gè)球則取出的兩個(gè)球是不同顏色的概率為 （2）在等腰中，過(guò)點(diǎn)作直線交斜邊于點(diǎn)，則的概率為 題型二 互斥事件與對(duì)立事件例2、袋中裝著標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5的小球各2個(gè)，從袋中任取3個(gè)小球，按3個(gè)小球上最大數(shù)字的9倍計(jì)分，每個(gè)小球被取出的可能性都相等，用表示取出的3個(gè)小球上的最大數(shù)字，求：（1）取出的3個(gè)小球上的數(shù)字互不相同的概率；（2）計(jì)分介于20分到40分之間的概率 點(diǎn)撥：互斥事件的概率加法公式與對(duì)立事件的概率計(jì)算解：（1）解法一：“一次取出的3個(gè)小球上的數(shù)字互不相同”的事件記為，則解法二：“一次取出的3個(gè)小球上的數(shù)字互不相同的事件記為A”，“一次取出的3個(gè)小球上有兩個(gè)數(shù)字相同”的事件記為，則事件和事件是互斥事件，因?yàn)?，所以?）“一次取球所得計(jì)分介于20分到40分之間”的事件記為，即最大數(shù)字為3或4，則最大數(shù)字為3時(shí)：最大數(shù)字為4時(shí)：易錯(cuò)點(diǎn)：在計(jì)算互斥事件的概率時(shí)分類不清；不能利用對(duì)立事件進(jìn)行快速計(jì)算變式與引申2：盒內(nèi)有大小相同的9個(gè)球，其中2個(gè)紅色球，3個(gè)白色球，4個(gè)黑色球. 規(guī)定取出1個(gè)紅色球得1分，取出1個(gè)白色球得0分，取出1個(gè)黑色球得分 . 現(xiàn)從盒內(nèi)任取3個(gè)球.（1）求取出的3個(gè)球得分之和恰為1分的概率； （2）求取出的3個(gè)球中至少兩個(gè)球顏色相同的概率題型三 相互獨(dú)立事件與條件概率例3、袋中有6個(gè)黃色、4個(gè)白色的乒乓球，作不放回抽樣，每次任取一球，取2次，（1）作不放回抽樣，求第二次才取到黃色球的概率（2）作有放回抽樣，求第二次才取到黃色球的概率點(diǎn)撥： “第二次才取到黃色球”是指“第一次取到白色球”與“第二次取到黃色球”同時(shí)發(fā)生解: 記“第一次取到白球”為事件A，“第二次取到黃球”為事件B,”第二次才取到黃球”為事件C,（） .（）易錯(cuò)點(diǎn)：容易混淆P(AB)與P(B/A)的含義, P(AB)表示在樣本空間S中,A與B同時(shí)發(fā)生的概率；而P（B/A）表示在縮減的樣本空間SA中，作為條件的A已經(jīng)發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率變式與引申3：（2010年安徽卷理科第15題）甲罐中有5個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙罐中有4個(gè)紅球，3個(gè)白球和3個(gè)黑球先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，分別以和表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再?gòu)囊夜拗须S機(jī)取出一球，以表示由乙罐取出的球是紅球的事件，則下列結(jié)論中正確的是_ _（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的編號(hào)）； ； 事件與事件相互獨(dú)立；是兩兩互斥的事件；的值不能確定，因?yàn)樗c中哪一個(gè)發(fā)生有關(guān)題型四 隨機(jī)變量的期望與方差例4、在一次數(shù)學(xué)考試中, 第14題和第15題為選做題規(guī)定每位考生必須且只須在其中選做一題 設(shè)4名考生選做這兩題的可能性均為()其中甲、乙2名學(xué)生選做同一道題的概率;()設(shè)這4名考生中選做第15題的學(xué)生數(shù)為個(gè),求的分布列及數(shù)學(xué)期望點(diǎn)撥：抓住考生之間的選題是相互獨(dú)立的，4個(gè)考生選做是4次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)，隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布解： (1)設(shè)事件表示“甲選做14題”,事件表示“乙選做14題”,則甲、乙2名學(xué)生選做同一道題的事件為“”,且事件、相互獨(dú)立 =(2)隨機(jī)變量的可能取值為0,1,2,3,4且 所以變量的分布列為01234 或易錯(cuò)點(diǎn)：（）忽略分為兩個(gè)互斥事件（）次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)概率的計(jì)算公式記不清變式與引申4：(2009·天津高考改編)在10件產(chǎn)品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，從這10件產(chǎn)品中任取3件，求：(1)取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)X的分布列；(2)取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)的概率本節(jié)考查：（1）互斥事件的概率，條件概率、相互獨(dú)立事件的概率，離散型隨機(jī)變量的分布列和期望等基本概念及基本運(yùn)算，以及運(yùn)用概率知識(shí)解決問(wèn)題的能力（2）解題時(shí)，注意列舉法、分類討論與正難則反思想方法運(yùn)用點(diǎn) 評(píng)：在復(fù)習(xí)備考中著重做到：（1）三個(gè)理解：理解互斥事件與相互獨(dú)立事件；理解古典概型與幾何概型；理解二項(xiàng)分布與超幾何分布（2）四個(gè)會(huì)：會(huì)用排列組合公式計(jì)算概率；會(huì)用互斥事件的概率加法公式計(jì)算概率；會(huì)用獨(dú)立事件的概率乘法公式計(jì)算概率；會(huì)根據(jù)分布列求離散隨機(jī)變量的期望與方差求離散型隨機(jī)變量的分布列的應(yīng)用問(wèn)題，可分如下幾個(gè)步驟：（1）明確隨機(jī)變量的所有可能值；（2）求出與這些可能取值等價(jià)事件的概率；（3）按要求寫(xiě)出分布列；（4）再根據(jù)所得分布列來(lái)解決其他的問(wèn)題在復(fù)習(xí)中，應(yīng)注意聯(lián)系實(shí)際，重視數(shù)學(xué)在生產(chǎn)、生活及科學(xué)中的應(yīng)用，能以數(shù)學(xué)語(yǔ)言為工具進(jìn)行數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)交流注意“至少”“恰有”“至多”一類詞語(yǔ)的含義，找出事件A包含的基本事件數(shù)習(xí)題41、已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(3.1)，且=0.6826，則p（X>4）=（ ）A、0.1588 B、0.1587 C、0.1586 D0.15852、在區(qū)間（0，1）中，隨機(jī)的取出兩數(shù)，其和小于的概率 ；3、某安全生產(chǎn)監(jiān)督部門對(duì)5家小型煤礦進(jìn)行安全檢查(簡(jiǎn)稱安檢).若安檢不合格,則必須進(jìn)行整改.若整改后經(jīng)復(fù)查仍不合格,則強(qiáng)行關(guān)閉.設(shè)每家煤礦安檢是否合格是相互獨(dú)立的,且每家煤礦整改前安檢合格的概率是0.5, 整改后安檢合格的概率是0.8,計(jì)算(結(jié)果精確到0.01):(1)恰好有兩家煤礦必須整改的概率;(2)平均有多少家煤礦必須整改;(3)至少關(guān)閉一家煤礦的概率.4、已知5只動(dòng)物中有1只患有某種疾病，需要通過(guò)化驗(yàn)血液來(lái)確定患病的動(dòng)物血液化驗(yàn)結(jié)果呈陽(yáng)性的即為患病動(dòng)物，呈陰性即沒(méi)患病下面是兩種化驗(yàn)方法：方案甲：逐個(gè)化驗(yàn)，直到能確定患病動(dòng)物為止方案乙：先任取3只，將它們的血液混在一起化驗(yàn)若結(jié)果呈陽(yáng)性則表明患病動(dòng)物為這3只中的1只，然后再逐個(gè)化驗(yàn)，直到能確定患病動(dòng)物為止；若結(jié)果呈陰性則在另外2只中任取1只化驗(yàn)（1）求依方案甲所需化驗(yàn)次數(shù)不少于依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)的概率；（2）表示依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)，求的期望5、(2010年山東卷理科第20題）某學(xué)校舉行知識(shí)競(jìng)賽，第一輪選撥共設(shè)有四個(gè)問(wèn)題，規(guī)則如下：每位參加者計(jì)分器的初始分均為10分，答對(duì)問(wèn)題分別加1分，2分，3分，6分，答錯(cuò)任意題減2分；每答一題，計(jì)分器顯示累計(jì)分?jǐn)?shù)，當(dāng)累積分?jǐn)?shù)小于8分時(shí)，答題結(jié)束，淘汰出局；當(dāng)累積分?jǐn)?shù)大于或等于14分時(shí)，答題結(jié)束，進(jìn)入下一輪；答完四題累計(jì)分?jǐn)?shù)不足14分時(shí)，答題結(jié)束淘汰出局；每位參加者按順序作答，直至答題結(jié)束假設(shè)甲同學(xué)對(duì)問(wèn)題回答正確的概率依次為，且各題回答正確與否相互之間沒(méi)有影響（1）求甲同學(xué)能進(jìn)入下一輪的概率；（2）用表示甲同學(xué)本輪答題的個(gè)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望第三節(jié) 統(tǒng)計(jì)、統(tǒng)計(jì)案例 從近三年高考試卷看，在選擇填空題和客觀題中都有統(tǒng)計(jì)內(nèi)容出現(xiàn)，分值一般在12分左右，約占試卷總分的8，一般是容易或中檔題為主, 難度值在0.50.7之間.統(tǒng)計(jì)案例（回歸分析、獨(dú)立性檢驗(yàn)）作為新增內(nèi)容，在2010年高考全國(guó)新課標(biāo)卷出現(xiàn)解答題.分析發(fā)現(xiàn)統(tǒng)計(jì)及統(tǒng)計(jì)案例在高考中有增加的趨勢(shì).考試要求：統(tǒng)計(jì)（必修）：（1）隨機(jī)抽樣： 理解隨機(jī)抽樣的必要性和重要性. 會(huì)用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法從總體中抽取樣本；了解分層抽樣和系統(tǒng)抽樣方法.（2）：用樣本估計(jì)總體 了解分布的意義和作用，會(huì)列頻率分布表，會(huì)畫(huà)頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖，理解它們各自的特點(diǎn). 理解樣本數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用，會(huì)計(jì)算數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差. 能從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征（如平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差），并給出合理的解釋. 會(huì)用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，會(huì)用樣本的基本數(shù)字特征估計(jì)總體的基本數(shù)字特征，理解用樣本估計(jì)總體的思想. 會(huì)用隨機(jī)抽樣的基本方法和樣本估計(jì)總體的思想解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.（3）變量的相關(guān)性： 會(huì)作兩個(gè)有關(guān)聯(lián)變量的數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，會(huì)利用散點(diǎn)圖認(rèn)識(shí)變量間的相關(guān)關(guān)系. 了解最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程.統(tǒng)計(jì)案例：了解下列一些常見(jiàn)的統(tǒng)計(jì)方法，并能應(yīng)用這些方法解決一些實(shí)際問(wèn)題.（1）獨(dú)立性檢驗(yàn)了解獨(dú)立性檢驗(yàn)（只要求2×2列聯(lián)表）的基本思想、方法及其簡(jiǎn)單應(yīng)用.（2）回歸分析：了解回歸的基本思想、方法及其簡(jiǎn)單應(yīng)用.題型一 三種抽樣方法例1 某初級(jí)中學(xué)有學(xué)生270人，其中一年級(jí)108人，二、三年級(jí)各81人，現(xiàn)要利用抽樣方法抽取10人參加某項(xiàng)調(diào)查，考慮選用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、分層抽樣和系統(tǒng)抽樣三種方案，使用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和分層抽樣時(shí)，將學(xué)生按一、二、三年級(jí)依次統(tǒng)一編號(hào)為1，2，270；使用系統(tǒng)抽樣時(shí)，將學(xué)生統(tǒng)一隨機(jī)編號(hào)1，2，270，并將整個(gè)編號(hào)依次分為10段.如果抽得號(hào)碼有下列四種情況：7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；30，57，84，111，138，165，192，219，246，270；關(guān)于上述樣本的下列結(jié)論中，正確的是（ ）A、都不能為系統(tǒng)抽樣B、都不能為分層抽樣C、都可能為系統(tǒng)抽樣D、都可能為分層抽樣點(diǎn)撥：抓住分層抽樣中“按比例抽取”的本質(zhì)；抓住系統(tǒng)抽樣中“按相同的間隔規(guī)律抽取樣本”的特點(diǎn)； 解：對(duì)于系統(tǒng)抽樣應(yīng)在1-27，28-54，55-81，82-108，109-135，136-162，163-189，190-216，217-243，244-270中各抽取一號(hào)，對(duì)于分層抽樣應(yīng)在1-108抽取4個(gè)號(hào)，109-189抽取3個(gè)號(hào)，190-270抽取3個(gè)號(hào)，故選D.易錯(cuò)點(diǎn)：在本例中,要能正確審清題意，否則求解思路受阻；不能把每層抽的人數(shù)轉(zhuǎn)化為在哪個(gè)區(qū)間取號(hào)；（3）忽視系統(tǒng)抽樣等距的特點(diǎn)，分段的臨界值會(huì)出錯(cuò). 變式與引申1：（1）為了考察某校的教學(xué)水平，將抽查這個(gè)學(xué)校高三年級(jí)的部分學(xué)生本年度的考試成績(jī).為了全面反映實(shí)際情況，采取以下三種方式進(jìn)行抽查（已知該校高三年級(jí)共有20個(gè)班，并且每個(gè)班內(nèi)的學(xué)生已經(jīng)按隨機(jī)方式編好了學(xué)號(hào)，假定該校每班學(xué)生的人數(shù)相同）：從高三年級(jí)20個(gè)班中任意抽取一個(gè)班，再?gòu)脑摪嘀腥我獬槿?0名學(xué)生，考察他們的學(xué)習(xí)成績(jī)；每個(gè)班抽取1人，共計(jì)20人，考察這20名學(xué)生的成績(jī)；把學(xué)生按成績(jī)分成優(yōu)秀、良好、普通三個(gè)級(jí)別，從其中共抽取100名學(xué)生進(jìn)行考察（已知該校高三學(xué)生共1 000人，若按成績(jī)分，其中優(yōu)秀生共150人，良好生共600人，普通生共250人）.根據(jù)上面的敘述，試回答下列問(wèn)題：（）上面三種抽取方式的總體、個(gè)體、樣本分別是什么？每一種抽取方式抽取的樣本中，樣本容量分別是多少？（）上面三種抽取方式各自采用的是何種抽取樣本的方法？（）試分別寫(xiě)出上面三種抽取方式各自抽取樣本的步驟.（2）某單位有工程師6人，技術(shù)員12人，技工18人，要從這些人中抽取一個(gè)容量為n的樣本.如果采用系統(tǒng)抽樣法和分層抽樣法抽取，不用剔除個(gè)體；如果樣本容量增加一個(gè)，則在采用系統(tǒng)抽樣時(shí)，需要在總體中先剔除1個(gè)個(gè)體，求樣本容量n.題型二 數(shù)據(jù)的數(shù)字特征例2 為了解A，B兩種輪胎的性能，某汽車制造廠分別從這兩種輪胎中隨機(jī)抽取了8個(gè)進(jìn)行測(cè)試，下面列出了每一個(gè)輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程數(shù)（單位：1 000 km）輪胎A96，112,97,108,100,103,86,98輪胎B108，101，94，105，96，93，97，106（1）分別計(jì)算A，B兩種輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的平均數(shù)，中位數(shù)；（2）分別計(jì)算A，B兩種輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的極差、標(biāo)準(zhǔn)差；（3）根據(jù)以上數(shù)據(jù)你認(rèn)為哪種型號(hào)的輪胎性能更加穩(wěn)定？點(diǎn)撥：（1）分析數(shù)據(jù)，利用公式與定義求平均數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、極差；（2）抓住數(shù)字特征數(shù)值大小與數(shù)據(jù)穩(wěn)定的關(guān)系解：（1）A輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的平均數(shù)為： 中位數(shù)為： ；B輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的平均數(shù)為： 中位數(shù)為：.(2)A輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的極差為：112-86=26，標(biāo)準(zhǔn)差為： B輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的極差為：108-93=15，標(biāo)準(zhǔn)差為：（3）由于A和B的最遠(yuǎn)行駛里程的平均數(shù)相同，而B(niǎo)輪胎行駛的最遠(yuǎn)里程的極差和標(biāo)準(zhǔn)差較小，所以B輪胎性能更加穩(wěn)定.易錯(cuò)點(diǎn)：（1）錯(cuò)誤理解中位數(shù)、極差定義；不知用標(biāo)準(zhǔn)差反映穩(wěn)定性；（2）忘記求標(biāo)準(zhǔn)差公式；（3）運(yùn)算不仔細(xì)，導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤.甲班 乙班2 18 19 9 1 0 17 0 3 6 8 98 8 3 2 16 2 5 8 8 15 9 圖4-3-1變式與引申2：隨機(jī)抽取某中學(xué)甲乙兩班各10名同學(xué),測(cè)量他們的身高(單位:cm),獲得身高數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖示.(1)根據(jù)莖葉圖判斷哪個(gè)班的平均身高較高;(2)計(jì)算甲班的樣本方差(3)現(xiàn)從乙班這10名同學(xué)中隨機(jī)抽取兩名身高不低于173cm的同學(xué),求身高為176cm的同學(xué)被抽中的概率.題型三 用樣本估計(jì)總體圖4-3-2例3 （2010湖南理科卷第17題）如圖是某城市通過(guò)抽樣得到的居民某年的月均用水量（單位：噸）的頻率分布直方圖.（1）求直方圖中x的值 . （2）若將頻率視為概率，從這個(gè)城市隨機(jī)抽取3位居民（看作有放回的抽樣），求月均用水量在3至4噸的居民數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望.點(diǎn)撥：利用矩形面積之和等于1求x的值；理解問(wèn)題(2)有放回任取3位居民，其概率分布符合二項(xiàng)分布，利用公式計(jì)算分布列和數(shù)學(xué)期望.解：（1），（2），X0123P0.7290.2430.0270.001易錯(cuò)點(diǎn)：（1）不清楚矩形面積表示的就是頻率；（2）從頻率分布直方圖讀取數(shù)據(jù)時(shí),不注意組距及縱坐標(biāo)是頻率除以組距,而各長(zhǎng)方形面積和為1；（3）不記得二項(xiàng)分布及期望的計(jì)算公式.變式與引申3：某工廠有工人1000名， 其中250名工人參加過(guò)短期培訓(xùn)（稱為A類工人），另外750名工人參加過(guò)長(zhǎng)期培訓(xùn)(稱為B類工人），現(xiàn)用分層抽樣方法（按A類、B類分二層）從該工廠的工人中共抽查100名工人，調(diào)查他們的生產(chǎn)能力（此處生產(chǎn)能力指一天加工的零件數(shù)）.（1）求甲、乙兩工人都被抽到的概率，其中甲為A類工人，乙為B類工人； （2）從A類工人中的抽查結(jié)果和從B類工人中的抽插結(jié)果分別如下表1和表2.表1生產(chǎn)能力分組情況解人數(shù)4853表2生產(chǎn)能力分組人數(shù)6y3618（）先確定x，y，再在答題紙上完成下列頻率分布直方圖.就生產(chǎn)能力而言，A類工人中個(gè)體間的差異程度與B類工人中個(gè)體間的差異程度哪個(gè)更?。浚ú挥糜?jì)算，可通過(guò)觀察直方圖直接回答結(jié)論）圖4-3-3（）分別估計(jì)A類工人和B類工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)，并估計(jì)該工廠工人的生產(chǎn)能力的平均數(shù)，同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表） 題型四 回歸分析及獨(dú)立性檢驗(yàn)例4 一個(gè)車間為了規(guī)定工時(shí)定額，須要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此進(jìn)行了10次實(shí)驗(yàn)，測(cè)得的數(shù)據(jù)如下：零件個(gè)數(shù)x(個(gè))102030405060708090100加工時(shí)間y（分）626875818995102108115122（1）與是否具有線性相關(guān)關(guān)系？ （2）如果與具有線性相關(guān)關(guān)系，求回歸直線方程.（3）并據(jù)此估計(jì)加工200個(gè)零件所用的時(shí)間為多少？ 點(diǎn)撥：畫(huà)散點(diǎn)圖，觀察所給的數(shù)據(jù)列成的點(diǎn)是否在一條直線的附近；利用樣本相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式對(duì)其進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)；利用公式計(jì)算出,再由求出，寫(xiě)出回歸直線方程.解：（1） ，. 于是： ，又查得相應(yīng)于顯著性水平0.05和的相關(guān)系數(shù)臨界值，由.（2）設(shè)所求的回歸直線方程為，同時(shí)，利用上表可得，即所求的回歸直線方程為.()當(dāng)時(shí)，的估計(jì)值.故加工200個(gè)零件時(shí)所用的工時(shí)約為189個(gè).易錯(cuò)點(diǎn)：(1)解題時(shí)應(yīng)注意準(zhǔn)確代數(shù)與計(jì)算，不可錯(cuò)用公式；(2) 題目中若已知呈線性相關(guān)關(guān)系，就無(wú)須進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn).否則，應(yīng)先進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn).因?yàn)槿魞蓚€(gè)變量不具備相關(guān)關(guān)系，或者說(shuō)它們之間相關(guān)關(guān)系不顯著，即使求出回歸方程也是毫無(wú)意義的，而且用其估計(jì)和預(yù)測(cè)的量也是不可信的；（3）此題對(duì)計(jì)算能力的要求較高，若計(jì)算不慎，可導(dǎo)致對(duì)線性相關(guān)性的判斷有誤.變式與引申4：（1）以下是某地搜集到的新房屋的銷售價(jià)格和房屋的面積的數(shù)據(jù)： 房屋面積（）11511080135105銷售價(jià)格（萬(wàn)元）24.821.618.429.222 （）畫(huà)出數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的散點(diǎn)圖；（）求線性回歸方程，并在散點(diǎn)圖中加上回歸直線；（）據(jù)（）的結(jié)果估計(jì)當(dāng)房屋面積為時(shí)的銷售價(jià)格 (2010遼寧理科卷第18題) 為了比較注射A, B兩種藥物后產(chǎn)生的皮膚皰疹的面積，選200只家兔做試驗(yàn)，將這200只家兔隨機(jī)地分成兩組，每組100只，其中一組注射藥物A，另一組注射藥物B. （）甲、乙是200只家兔中的2只，求甲、乙分在不同組的概率；（）下表1和表2分別是注射藥物A和B后的試驗(yàn)結(jié)果.（皰疹面積單位：mm2）表1：注射藥物A后皮膚皰疹面積的頻數(shù)分布表皰疹面積頻數(shù)30402010表2：注射藥物B后皮膚皰疹面積的頻數(shù)分布表皰疹面積頻數(shù)1025203015（）完成下面頻率分布直方圖，并比較注射兩種藥物后皰疹面積的中位數(shù)大??；（）完成下面2×2列聯(lián)表，并回答能否有99.9%的把握認(rèn)為“注射藥物A后的皰疹面積與注射藥物B后的皰疹面積有差異”.表3： 皰疹面積小于70皰疹面積不小于70合計(jì)注射藥物A注射藥物B合計(jì)附：本節(jié)主要考查：知識(shí)點(diǎn)有；1.三種常用抽樣方法：(1)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣；（2）系統(tǒng)抽樣；（3）分層抽樣.2用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征： （1）眾數(shù)、中位數(shù)；（2）平均數(shù)與方差.3頻率分布直方圖、折線圖與莖葉圖.4線性回歸：回歸直線方程.5統(tǒng)計(jì)案例：相關(guān)系數(shù)（回歸分析）、獨(dú)立性檢驗(yàn).考查在應(yīng)用問(wèn)題中構(gòu)造抽樣模型、識(shí)別模型、收集數(shù)據(jù)等能力方法；考查頻率分布直方圖、莖葉圖、平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差為主，同時(shí)考查對(duì)樣本估計(jì)總體的思想的理解；會(huì)用隨機(jī)抽樣的基本方法和樣本估計(jì)總體的思想解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題；作兩個(gè)相關(guān)聯(lián)變量數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，判斷兩個(gè)變量的線性相關(guān)性，了解最小二乘法的思想，會(huì)求相關(guān)系數(shù)及線性回歸方程；考查看圖、作圖和運(yùn)算求解等基本數(shù)學(xué)能力；了解獨(dú)立檢驗(yàn)的基本思想、方法及其簡(jiǎn)單應(yīng)用；并借助解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題來(lái)了解一些基本的統(tǒng)計(jì)思想點(diǎn)評(píng)：統(tǒng)計(jì)案例（回歸分析、獨(dú)立性檢驗(yàn)）是新增內(nèi)容，在全國(guó)的高考中并沒(méi)有涉及到，但在一些省市的統(tǒng)考中已有所體現(xiàn)，隨著新課標(biāo)的實(shí)施，在以后的高考中會(huì)有考的內(nèi)容（如2010年高考新課標(biāo)卷第19題）.統(tǒng)計(jì)案例主要考查回歸直線方程(如例4)、獨(dú)立性檢驗(yàn)(如例4的變式引申).通常用樣本的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差、方差來(lái)估計(jì)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差、方差；平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)取值的平均水平，標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大小標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的分散程度越大，越不穩(wěn)定；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的分散程度越小，越穩(wěn)定在解決具體問(wèn)題時(shí)，要先進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)(有時(shí)可繪制散點(diǎn)圖來(lái)判斷)，通過(guò)檢驗(yàn)確認(rèn)兩個(gè)變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系，若它們之間具有相關(guān)關(guān)系，再求回歸方程.對(duì)于相關(guān)系數(shù)r來(lái)說(shuō), |r|1,并且|r|越接近于1,兩個(gè)變量的線性相關(guān)程度越強(qiáng); |r|越接近于0,兩個(gè)變量的線性相關(guān)程度越弱.當(dāng)|r|大于0.75時(shí),我們認(rèn)為x與Y有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系,這時(shí)求回歸直線方程有必要也有意義,否則,在|r|<0.75時(shí),尋找回歸直線方程就沒(méi)有意義.如果低于，就認(rèn)為沒(méi)有充分的證據(jù)說(shuō)明變量和是有關(guān)系統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例中，很多數(shù)據(jù)都是圖、表的形式給出，要善于看圖、作圖、理解圖所傳遞的信息，對(duì)數(shù)據(jù)的精確處理要有較強(qiáng)的計(jì)算能力.因?yàn)檫@幾年的高考應(yīng)用題基本都落實(shí)在概率統(tǒng)計(jì)的內(nèi)容上，另一方面，這部分內(nèi)容本身和實(shí)際聯(lián)系較多，所以我們?cè)趶?fù)習(xí)中加強(qiáng)培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí).習(xí)題4-396 98 100 102 104 106 0.150 0.125 0.100 0.075 0.050 克 頻率/組距 圖 4-3-4 .某工廠對(duì)一批產(chǎn)品進(jìn)行了抽樣檢測(cè).右圖4-3-4是根據(jù)抽樣檢測(cè)后的產(chǎn)品凈重（單位：克）數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖，其中產(chǎn)品凈重的范圍是96，106，樣本數(shù)據(jù)分組為96，98），98，100),100，102)，102，104),104，106,已知樣本中產(chǎn)品凈重小于100克的個(gè)數(shù)是36，則樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產(chǎn)品的個(gè)數(shù)是( ).A.90 B.75 C. 60 D.452下列說(shuō)法：將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都加上或減去同一個(gè)常數(shù)后，方差恒不變；圖4-3-回歸方程bxa必過(guò)點(diǎn)(，)；曲線上的點(diǎn)與該點(diǎn)的坐標(biāo)之間具有相關(guān)關(guān)系；在一個(gè)2×2列聯(lián)表中，由計(jì)算得K213.079，則其兩個(gè)變量間有關(guān)系的可能性是 90%.其中錯(cuò)誤的是_.如圖4-3-5，從參加環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽的學(xué)生中抽出名，將其成績(jī)（均為整數(shù)）整理后畫(huà)出的頻率分布直方圖如下：觀察圖形，回答下列問(wèn)題：（1）這一組的頻數(shù)、頻率分別是多少？（2）估計(jì)這次環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽的及格率（分及以上為及格）4一個(gè)工廠在某年里每月產(chǎn)品的總成本y（萬(wàn)元）與該月產(chǎn)量x（萬(wàn)件）之間由如下一組數(shù)據(jù)：x1.081.121.191.281.361.481.591.681.801.871.982.07y2.252.372.402.552.642.752.923.033.143.263.363.50（1）畫(huà)出散點(diǎn)圖；（2）檢驗(yàn)相關(guān)系數(shù)r的顯著性水平；（3）求月總成本y與月產(chǎn)量x之間的回歸直線方程. 5（2010新課標(biāo)第19題）為調(diào)查某地區(qū)老人是否需要志愿者提供幫助，用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法從該地區(qū)調(diào)查了500位老年人，結(jié)果如下： 性別 是否需要志愿男女需要4030不需要160270（）估計(jì)該地區(qū)老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例；（）能否有99的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)？（）根據(jù)（）的結(jié)論，能否提供更好的調(diào)查方法來(lái)估計(jì)該地區(qū)老年人，需要志愿幫助的老年人的比例？說(shuō)明理由附：0.0500.0100.0013.8416.63510.828第四節(jié) 概率與統(tǒng)計(jì)的綜合應(yīng)用概率與統(tǒng)計(jì)內(nèi)容在高考中會(huì)出現(xiàn)一道大題和12道小題，占分大約1722分，占整個(gè)高考的15左右，試題的難度為中等偏易或中等，試題特點(diǎn)是小題更加注重基礎(chǔ)，大題更加注重能力，通過(guò)對(duì)課本知識(shí)的重新組合，考查概率與統(tǒng)計(jì)內(nèi)容的要點(diǎn)知識(shí)和典型方法，是高考卷中的主流應(yīng)用題的備考點(diǎn) 考試要求：（1）掌握概率與統(tǒng)計(jì)的基本概念（2）掌握幾種典型概型、分布列及計(jì)算公式（3）掌握統(tǒng)計(jì)及統(tǒng)計(jì)案例的典型問(wèn)題（4）能抓住與各模塊知識(shí)的聯(lián)系，解決概率與統(tǒng)計(jì)的綜合應(yīng)用問(wèn)題題型一 概率與排列組合例1 在1，2，3，4，5的所有排列中，（1）求滿足的概率；（2）記為某一排列中滿足的個(gè)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望點(diǎn)撥：涉及幾個(gè)量的聯(lián)系，不容易一下考慮清楚，列舉分類解決問(wèn)題解：（1）所有的排列種數(shù)有個(gè)滿足的排列中，若取集合中的元素，取集合中的元素，都符合要求，有個(gè)若取集合中的元素，取集合中的元素，這時(shí)符合要求的排列只有；共4個(gè)故滿足的概率（2）隨機(jī)變量可以取，故的分布列為01235的數(shù)學(xué)期望14分易錯(cuò)點(diǎn)：涉及到的數(shù)字較多，大小交叉，分類計(jì)算時(shí)容易錯(cuò)變式與引申1：由數(shù)字1，2，3，4組成五位數(shù)，從中任取一個(gè)（1）求取出的數(shù)滿足條件：“對(duì)任意的正整數(shù)，至少存在另一個(gè)正整數(shù)，使得”的概率；（2）記為組成這個(gè)數(shù)的相同數(shù)字的個(gè)數(shù)的最大值，求的分布列和期望題型二 概率與方程不等式例2 一個(gè)袋中裝有若干個(gè)大小相同的黑球，白球和紅球已知從袋中任意摸出1個(gè)球，得到黑球的概率是；從袋中任意摸出2個(gè)球，至少得到1個(gè)白球的概率是（1）若袋中共有10個(gè)球，（）求白球的個(gè)數(shù)；（）從袋中任意摸出3個(gè)球，記得到白球的個(gè)數(shù)為，求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望（2 ）求證：從袋中任意摸出2個(gè)球，至少得到1個(gè)黑球的概率不大于并指出袋中哪種顏色的球個(gè)數(shù)最少點(diǎn)撥：關(guān)鍵是設(shè)定未知量，將問(wèn)題還原成常見(jiàn)的概率類型，第一問(wèn)結(jié)合目標(biāo)設(shè)袋中白球的個(gè)數(shù)為第二問(wèn)針對(duì)黑球的概率設(shè)置問(wèn)題，因而設(shè)袋中有個(gè)黑球，且總球數(shù)為 解：（1）（i）記“從袋中任意摸出兩個(gè)球，至少得到一個(gè)白球”為事件A，設(shè)袋中白球的個(gè)數(shù)為，則，得到故白球有5個(gè)（ii）隨機(jī)變量的取值為0，1，2，3，分布列是0123的數(shù)學(xué)期望 （2）證明：設(shè)袋中有個(gè)球，其中個(gè)黑球，由題意得，所以，故記“從袋中任意摸出兩個(gè)球，至少有1個(gè)黑球”為事件B，則所以白球的個(gè)數(shù)比黑球多，白球個(gè)數(shù)多于，紅球的個(gè)數(shù)少于故袋中紅球個(gè)數(shù)最少易錯(cuò)點(diǎn)：審題忽略關(guān)鍵詞，變量設(shè)定不科學(xué)計(jì)算與分析討論易出錯(cuò)變式與引申2：在一個(gè)盒子中有個(gè)球，其中2個(gè)球的標(biāo)號(hào)是不同的偶數(shù)，其余n個(gè)球的標(biāo)號(hào)是不同的奇數(shù)甲乙兩人同時(shí)從盒子中各取出2個(gè)球，若這4個(gè)球的標(biāo)號(hào)之和為奇數(shù)，則甲勝；若這4個(gè)球的標(biāo)號(hào)之和為偶數(shù)，則乙勝規(guī)定：勝者得2分，負(fù)者得0分 （1）當(dāng)時(shí)，求甲的得分的分布列和期望； （2）當(dāng)乙勝概率為的值題型三 概率與函數(shù)例3 袋中有紅球和白球共100個(gè)，從這只袋中任取3只，問(wèn)袋中有幾個(gè)紅球時(shí)，使取得的3個(gè)球全為同色的概率最小？點(diǎn)撥：設(shè)紅球或者白球個(gè)數(shù)，構(gòu)造函數(shù)模型解題解：設(shè)分別為紅球，白球的個(gè)數(shù)，則有，從100個(gè)球中任取3個(gè)球，全為紅色球的概率為；從100個(gè)球中任取3個(gè)球全為白色的概率為，所以取得3個(gè)同色球的概率為=；時(shí)，最小，此時(shí)易錯(cuò)點(diǎn)：設(shè)元列式解題時(shí)，化簡(jiǎn)過(guò)程出錯(cuò) 變式與引申3：某企業(yè)準(zhǔn)備投產(chǎn)一批特殊型號(hào)的產(chǎn)品，已知該種產(chǎn)品的成本與產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系式為，該種產(chǎn)品的市場(chǎng)前景無(wú)法確定，有三種可能出現(xiàn)的情況，各種情形發(fā)生的概率及產(chǎn)品價(jià)格與產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系式如下表所示：市場(chǎng)情形概率價(jià)格與產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系式好04中04差02設(shè)分別表示市場(chǎng)情形好、中、差時(shí)的利潤(rùn)，隨機(jī)變量表示當(dāng)產(chǎn)量為時(shí)市場(chǎng)前景無(wú)法確定的利潤(rùn)（1）分別求利潤(rùn)與產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)產(chǎn)量確定時(shí)，求期望；（3）試問(wèn)產(chǎn)量取何值時(shí)，取得最大值題型四 概率與數(shù)列例4 甲、乙兩人各拿兩顆骰子做拋擲游戲,規(guī)則如下：若擲出的點(diǎn)數(shù)之和為3的倍數(shù)時(shí),原擲骰子的人再繼續(xù)擲；若擲出的點(diǎn)數(shù)之和不是3的倍數(shù)時(shí),就由對(duì)方接著擲第一次由甲開(kāi)始擲,若第n次由甲擲的概率為, （1）求甲拋擲一次的點(diǎn)數(shù)之和為3的倍數(shù)的概率；（2）求點(diǎn)撥：第n+1次由甲擲這一事件，包含兩類：第n次由甲擲和第n次由乙擲；構(gòu)造數(shù)列模型解題解：（1）因拋拋兩顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為：1、2、3、4、5、6,其點(diǎn)數(shù)和為3的倍數(shù)的情況有：(1,2), (2,1), (3,3), (3,6), (6,3), (6,6), (2,6), (6,2), (4,5), (5,4), (1,5), (5,1)共12種可能甲擲出的點(diǎn)數(shù)之和為3的倍數(shù)的概率為 （2）第n+1次由甲擲這一事件,包含兩類： 第n次由甲擲,第n+1次繼續(xù)由甲擲,概率為：, 第n次由乙擲,第n+1次由甲擲,概率為：(1)(1),從而有(1)(1),即（其中=1）, 即=()于是=()·(, 即=+·(易錯(cuò)點(diǎn)：不能正確找到與的關(guān)系變式與引申4：從原點(diǎn)出發(fā)的某質(zhì)點(diǎn)，按照向量移動(dòng)的概率為，按照向量移動(dòng)的概率為，設(shè)可到達(dá)點(diǎn)的概率為（1）求概率、；（2）求 與、 的關(guān)系并證明數(shù)列是等比數(shù)列；（3）求本節(jié)考查：在高考解答題中，常常是將概率與統(tǒng)計(jì)內(nèi)容與其它知識(shí)內(nèi)容交匯在一起進(jìn)行考查，主要考查綜合理解能力計(jì)算能力此類問(wèn)題一般都同時(shí)涉及多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，它們相互交織在一起，難度較大，解答此類題時(shí)，要在透徹理解各類事件、各個(gè)知識(shí)內(nèi)容的基礎(chǔ)上，準(zhǔn)確把題目含義，將問(wèn)題進(jìn)行分解，特別是要注意挖掘題目中的隱含條件概率與方程、不等式、函數(shù)等知識(shí)的綜合應(yīng)用題，通過(guò)對(duì)課本原題進(jìn)行改編，對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的重新組合、變式和拓展，解題時(shí)，應(yīng)注意各知識(shí)要點(diǎn)的聯(lián)系及列舉法、分類討論與正難則反思想方法運(yùn)用點(diǎn) 評(píng)：隨著新課改的深入，高考將越來(lái)越重視這部分的內(nèi)容，概率、統(tǒng)計(jì)都將是重點(diǎn)考查內(nèi)容，至少會(huì)考查其中的一種類型在復(fù)習(xí)備考中，注意掌握概率與統(tǒng)計(jì)的基本概念，對(duì)于一些容易混淆的概念，應(yīng)注意弄清它們之間的聯(lián)系與區(qū)別；掌握幾種典型概型、分布列及計(jì)算公式，體會(huì)解決概率應(yīng)用題的思考方法，正向思考時(shí)要善于將較復(fù)雜的問(wèn)題進(jìn)行分解，解決有些問(wèn)題時(shí)還要學(xué)會(huì)運(yùn)用逆向思考的方法，特別明確(1)計(jì)算古典概型問(wèn)題的關(guān)鍵是怎樣把一個(gè)事件劃分為基本事件的和的形式，以便準(zhǔn)確計(jì)算事件A所包含的基本事件的個(gè)數(shù)和總的基本事件個(gè)數(shù)；計(jì)算幾何概型問(wèn)題的關(guān)鍵是怎樣把具體問(wèn)題（如時(shí)間問(wèn)題等）轉(zhuǎn)化為相應(yīng)類型的幾何概型問(wèn)題，及準(zhǔn)確計(jì)算事件A所包含的基本事件對(duì)應(yīng)的區(qū)域的長(zhǎng)度、面積或體積(2)在古典概型問(wèn)題中，有時(shí)需要注意區(qū)分試驗(yàn)過(guò)程是有序還是無(wú)序；在幾何概型問(wèn)題中需注意先判斷基本事件是否是“等可能”的(3)幾何概型中，線段的端點(diǎn)、圖形的邊框是否包含在事件之內(nèi)不影響所求結(jié)果；掌握統(tǒng)計(jì)及統(tǒng)計(jì)案例的典型問(wèn)題，注意理解抽樣、數(shù)據(jù)分析、求線性回歸方程的方法，回歸分析方法，獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法及其應(yīng)用問(wèn)題；能抓住知識(shí)的綜合聯(lián)系解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題 習(xí)題441、某校從參加高一年級(jí)期末考試的學(xué)生中抽出60名學(xué)生，將其成績(jī)（均為整數(shù)）分成六段，后畫(huà)出如下部分頻率分布直方圖觀察圖形的信息，回答下列問(wèn)題：（1）求第四小組的頻率，并補(bǔ)全這個(gè)頻率分布直方圖；（2）估計(jì)這次考試的及格率（60分及以上為及格）；（3）從成績(jī)是70分以上（包括70分）的學(xué)生中選兩人，求他們?cè)谕环謹(jǐn)?shù)段的概率圖4-4-12、在一個(gè)盒子中，放有標(biāo)號(hào)分別為，的三張卡片，現(xiàn)從這個(gè)盒子中，有放回地先后抽得兩張卡片的標(biāo)號(hào)分別為、，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，記()求隨機(jī)變量的最大值，并求事件“取得最大值”的概率；()求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望3、質(zhì)點(diǎn)位于數(shù)軸處，質(zhì)點(diǎn)位于處.這兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)每隔1秒就向左或向右移動(dòng)1個(gè)單位，設(shè)向左移動(dòng)的概率為，向右移動(dòng)的概率為（1）求3秒后，質(zhì)點(diǎn)位于點(diǎn)處的概率；（2）求2秒后，質(zhì)點(diǎn)同時(shí)在點(diǎn)處的概率；（3）假若質(zhì)點(diǎn)在兩處之間移動(dòng)，并滿足：當(dāng)質(zhì)點(diǎn)在處時(shí)，1秒后必移到處；當(dāng)質(zhì)點(diǎn)在處，1秒后分別以的概率停留在處或移動(dòng)到處，今質(zhì)點(diǎn)在處，求8秒后質(zhì)點(diǎn)在處的概率4、一個(gè)口袋中裝有個(gè)紅球（且）和5個(gè)白球，一次摸獎(jiǎng)從中摸兩個(gè)球，兩個(gè)球顏色不同則為中獎(jiǎng) （1）試用表示一次摸獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率； （2）若，求三次摸獎(jiǎng)（每次摸獎(jiǎng)后放回）恰有一次中獎(jiǎng)的概率； （3）記三次摸獎(jiǎng)（每次摸獎(jiǎng)后放回）恰有一次中獎(jiǎng)的概率為當(dāng)取多少時(shí)，最大？5、已知三個(gè)正數(shù)滿足(1)若是從中任取的三個(gè)數(shù),求能構(gòu)成三角形三邊長(zhǎng)的概率;(2)若是從中任取的三個(gè)數(shù),求能構(gòu)成三角形三邊長(zhǎng)的概率第四講 測(cè)試卷一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1.連擲兩次骰子得到點(diǎn)數(shù)分別為m和n，記向量=(m,n)與向量=(1,-1)的夾角為，則的概率是（）A. B. C. D.2.若采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣從含有10個(gè)個(gè)體的總本中抽取一個(gè)容量為3的樣本，這個(gè)總體中的個(gè)體a前兩次未抽到，第三次被抽到的概率為（）A. B. C. D.3.設(shè)含有個(gè)元素的集合的全部子集數(shù)為，其中由個(gè)元素組成的子集數(shù)為，則的值為（ ）A. B C D4設(shè)有編號(hào)為1，2，3，4，5的五個(gè)小球和編號(hào)為1，2，3，4，5的五個(gè)盒子，現(xiàn)將這五個(gè)球投放到五個(gè)盒子內(nèi)，要求每個(gè)盒內(nèi)放1個(gè)球，并且恰好有兩個(gè)球的編號(hào)與盒子編號(hào)相同，則這樣的投放方法總數(shù)為 （ ）A60 B48 C 30 D 205在某五場(chǎng)籃球比賽中，甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員得分的莖葉圖如右.下列說(shuō)法正確的是（ ）A在這五場(chǎng)比賽中，甲的平均得分比乙好，且甲比乙穩(wěn)定B在這五場(chǎng)比賽中，甲的平均得分比乙好，但乙比甲穩(wěn)定C在這五場(chǎng)比賽中，乙的平均得分比甲好，且乙比甲穩(wěn)定D在這五場(chǎng)比賽中，乙的平均得分比甲好，但甲比乙穩(wěn)定6. 四棱錐的八條棱代表8種不同的化工產(chǎn)品，由公共點(diǎn)的兩條棱代表的化工產(chǎn)品放在同一倉(cāng)庫(kù)是危險(xiǎn)的，沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條棱代表的化工產(chǎn)品放在同一倉(cāng)庫(kù)是安全的，現(xiàn)打算用編號(hào)為、的4個(gè)倉(cāng)庫(kù)存放這8種化工產(chǎn)品，那么安全存放的不同方法種數(shù)為 （ ）A96 B48 C24 D07. 展開(kāi)式中只有第六項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大,則展開(kāi)式中