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1、2022年高考數(shù)學(xué)前三大題猜想（深圳東升學(xué)校）新人教A版
1三角函數(shù)
1．(本小題滿分12分)已知向量，向量，，.（Ⅰ）試用“五點(diǎn)作圖法”作出函數(shù)的圖象；
（Ⅱ）（ⅰ) 若,求的取值范圍；
（ⅱ）若方程的兩根分別為，試求的值.
.本小題主要考查平面向量、三角函數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.滿分12分.
解：（Ⅰ）.……… ……3分
令，則，.列表：
………………………………5分
描點(diǎn)畫圖，即得函數(shù)的圖象，如圖所示.
…
2、……7分
（ⅰ)即，∵，
∴，且 ∴的取值范圍為. ……9分
（ⅱ）∵是方程的兩根，∴，
∵當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱， 10分
∴， ∴.……12分
2．（本題滿分12分）已知函數(shù)．
(Ⅰ) 求函數(shù)的最小值和最小正周期；
（Ⅱ）已知內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，若向量與共線，求的值．
17． 解：(Ⅰ)
……………………………………………………3分
∴ 的最小值為，最小正周期為. ………………………………5分
（Ⅱ）∵ ， 即
∵ ，，∴ ，∴ ． ……7分
∵ 共線，∴ ．由正弦定理 ， 得 ①……9分
∵ ，由
3、余弦定理，得， ②……………………10分
解方程組①②，得． …………………………………………12分
2 概率統(tǒng)計(jì)
1 . 某校高三（1）班的一次數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)的莖葉圖和頻率分布直方圖都受到不同程度的破壞，但可見部分如下，據(jù)此解答如下問題．
⑴求全班人數(shù)及分?jǐn)?shù)在之間的頻數(shù)；
⑵估計(jì)該班的平均分?jǐn)?shù)，并計(jì)算頻率分布直方圖中間的矩形的高；
⑶若要從分?jǐn)?shù)在之間的試卷中任取兩份分析學(xué)生失分情況，在抽取的試卷中，求至少有一份分?jǐn)?shù)在之間的概率．
⑴由莖葉圖知，分?jǐn)?shù)在之間的頻數(shù)為，頻率為，
全班人數(shù)為．
所以分?jǐn)?shù)在之間的頻數(shù)為
⑵分?jǐn)?shù)在之間的總分為；
分?jǐn)?shù)在之
4、間的總分為；
分?jǐn)?shù)在之間的總分?jǐn)?shù)為
；
分?jǐn)?shù)在之間的總分約為；
分?jǐn)?shù)在之間的總分?jǐn)?shù)為；
所以，該班的平均分?jǐn)?shù)為．
估計(jì)平均分時(shí)，以下解法也給分：
分?jǐn)?shù)在之間的頻率為；
分?jǐn)?shù)在之間的頻率為；
分?jǐn)?shù)在之間的頻率為；
分?jǐn)?shù)在之間的頻率為；
分?jǐn)?shù)在之間的頻率為；
所以，該班的平均分約為
頻率分布直方圖中間的矩形的高為．
⑶將之間的個(gè)分?jǐn)?shù)編號(hào)為，之間的個(gè)分?jǐn)?shù)編號(hào)為，在之間的試卷中任取兩份的基本事件為：
，，，，
，，，，
，，
，
共個(gè)， 其中，至少有一個(gè)在之間的基本事件有個(gè)，
故至少有一份分?jǐn)?shù)在之間的概率是．
2（本小題滿分10分）
2012年3月
5、2日，國(guó)家環(huán)保部發(fā)布了新修訂的《環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)》．其中規(guī)定：居民區(qū)的PM2．5年平均濃度不得超過35微克/立方米，PM2．5的24小時(shí)平均濃度不得超過75微克/立方米． 某城市環(huán)保部門隨機(jī)抽取了一居民區(qū)去年20天PM2．5的24小時(shí)平均濃度的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：
組別
PM2．5濃度（微克/立方米）
頻數(shù)（天）
頻率
第一組
(0,25]
5
0．25
第二組
(25,50]
10
0．5
第三組
(50,75]
3
0．15
第四組
(75,100)
2
0．1
合計(jì)
20
1
(Ⅰ) 根據(jù)上面的頻率分布表，估計(jì)該居民區(qū)PM2．5的2
6、4小時(shí)平均濃度超過50微克/立方米的概率；
（Ⅱ）計(jì)算樣本眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)，并根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，從PM2．5的年平均濃度考慮，判斷該居民區(qū)的環(huán)境是否需要改進(jìn)？說明理由．
（3）畫頻率分布直方圖
解:（Ⅰ）由已知共監(jiān)測(cè)了20天，用頻率估計(jì)相應(yīng)的概率為0.25.
（Ⅱ）樣本眾數(shù)約為37.5，中位數(shù)約為37.5，平均值約（微克/立方米）
去年該居民區(qū)PM2.5年平均濃度為：40（微克/立方米）．
因?yàn)?，所以去年該居民區(qū)PM2.5年平均濃度不符合環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)，故該居民區(qū)的環(huán)境需要改進(jìn)．
7、
那么如何從頻率分布直方圖中估計(jì)中位數(shù)呢？
在樣本數(shù)據(jù)中，有50%的個(gè)體小于或等于中位數(shù)，也有50%的個(gè)體大于或等于中位數(shù)。因此，在頻率分布直方圖中，矩形的面積大小正好表示頻率的大小，即中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等
3 立體幾何
1 （本小題滿分12分）
已知，在水平平面上有一長(zhǎng)方體繞旋轉(zhuǎn)得到如圖1所示的幾何體．
（Ⅰ）證明：平面平面；
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，且長(zhǎng)方體體積為4時(shí)，求四棱錐體積的最小值．
（1）證明：，，
，，
即
又 ……………………………………2分
，……………………………………4分
…
8、…………………………………5分
平面……………………………………6分
（2）設(shè)AB=a，四棱錐的體積為V，
長(zhǎng)方體的體積為4，……………………………………7分
由（1）知，，
，…10分
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)，等號(hào)成立，……………………………………11分
側(cè)視圖
俯視圖
直觀圖
所以四棱錐的體積的最小值為。……………12分
2（本題滿分12分）
如圖是某直三棱柱（側(cè)棱與底面垂直）被削去上底后的直觀圖與三視圖的側(cè)視圖、俯視圖，在直觀圖中，是的中點(diǎn)，側(cè)視圖是直角梯形，俯視圖是等腰直角三角形，有關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示.
(Ⅰ)求出該幾何體的體積。
(Ⅱ)若是的
9、中點(diǎn)，求證：平面；
(Ⅲ)求證：平面平面.
20. （本小題滿分12分）
解：(Ⅰ)由題意可知：四棱錐中，
平面平面，
所以，平面………………2分。又，
則四棱錐的體積為：…………4分
(Ⅱ)連接，則
又，所以四邊形為平行四邊形， …………6分
平面,平面,所以，平面；……………8分
(Ⅲ) ,是的中點(diǎn),
又平面平面 平面………………10分
由(Ⅱ)知： 平面
又平面 所以，平面平面.…………12分
3 （本小題滿分12分）
如圖，在六面體中，平面∥平面，平面，,,∥，且,
．
（1）求證：平面平面；
（2）求證：∥平面；（3）求三棱錐的體積．
20．解:（1）∵平面∥平面，平面平面,
平面平面.,
∴為平行四邊形，. …………2分
平面,平面，
平面,
∴平面平面. …………4分
（2）取的中點(diǎn)為，連接、，
則由已知條件易證四邊形是平行四邊形，
∴，又∵， ∴ …………………………6分
∴四邊形是平行四邊形，即，
又平面 故 平面. …………………………8分
（3）平面∥平面，則F到面ABC的距離為AD.
＝.…………………………12分
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