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1、洪創(chuàng)教育文檔工作室
第 23 講 不會(huì)輸?shù)挠螒?
【專(zhuān)題簡(jiǎn)析】
小朋友都很喜歡做游戲，數(shù)學(xué)中也有很多游戲。通過(guò)數(shù)學(xué)游戲，不僅能培養(yǎng)我們把實(shí)際問(wèn) 題數(shù)學(xué)化的能力，而且還能培養(yǎng)我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。
在這些游戲中，想要使拿到最后一個(gè)者獲勝，首先要決定誰(shuí)先拿，如果把物品總數(shù)除以每次 取物品個(gè)數(shù)的和，沒(méi)有余數(shù)，就讓對(duì)方先拿，自己拿的個(gè)數(shù)必須和對(duì)方拿的個(gè)數(shù)合起來(lái)是兩 人每次的和。
【例題 1】
桌上有 21 根火柴，小邱和小紅輪流取，每人每次取 1 根或 2 根，誰(shuí)取到最后一根誰(shuí)就獲勝。 小紅該怎樣取才能保證獲勝？
思路導(dǎo)航：
因?yàn)槊咳嗣看沃荒苣?1 根或 2 根
2、，所以只要小邱先拿，小紅就一定能拿到第三根，即小邱拿1 根，小紅就
拿 2 根，小邱拿 2 根，小紅就拿 1 根，如此拿下去小紅就能把 3、6、9、12、15、18、21 這些“制高點(diǎn)〞
掌握在手，從而獲勝。因此只要把火柴總數(shù)除以二人每次取火柴的和，如果沒(méi)有余數(shù)，就讓雙方先拿。 解：小紅讓小邱先拿，并且每次自己拿的個(gè)數(shù)和小邱拿的根數(shù)合起來(lái)是 3，那么小紅保證能 獲勝。
練習(xí) 1
1.小明和小剛一起做游戲，他們把 18 粒棋子放在桌上，然后輪流拿，每人每次只能拿 1 ?；?者 2 粒，誰(shuí)拿到最后一粒誰(shuí)就獲勝，你能讓小明保證獲勝嗎？
2.桌上放著一堆火柴，共 56
3、 根。由甲乙兩人輪流拿，每人每次拿 1 至 3 根，拿到最后一根的 人獲勝，問(wèn)該怎樣拿才能保證獲勝？
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3.桌上有 20 顆彩珠，小麗和小蘭輪流拿，每人每次只能拿 1 顆或 2 顆，誰(shuí)拿到最后五顆，誰(shuí) 就獲勝，小蘭該怎樣拿才能保證獲勝呢？
【例題 2】甲、乙兩名同學(xué)從 1 到 30 輪流連續(xù)報(bào)數(shù)，誰(shuí)先報(bào)到 30 這個(gè)數(shù)，誰(shuí)就獲勝，規(guī)定： 每人每次最多報(bào)三個(gè)數(shù)，最少一個(gè)數(shù)。如甲報(bào) 1，乙可報(bào) 2 或 2，3 或報(bào) 2，3，4；接著甲可 報(bào)乙報(bào)的數(shù)后面的 1 個(gè)數(shù)或 2 個(gè)數(shù)或 3 個(gè)數(shù)。問(wèn)：有沒(méi)有必勝的報(bào)數(shù)策略？
思路導(dǎo)
4、航：
要想必勝，就要搶到 30。要搶到 30，只要撿到 26，這時(shí)如果對(duì)方報(bào) 27，你就報(bào) 28，29，30；如果對(duì)方報(bào)
27，28，你就報(bào) 29，30；對(duì)方報(bào) 27，28，29，你就報(bào) 30。同理，要搶到 26，只要搶到 22。要搶到 22，
只要搶到 18。同理只要搶以 14，10，6，2 即可。也就是從 30 繼續(xù)減去 4〔30÷4＝7……2，余數(shù)是幾，就 必須先搶到幾〕。策略是自己先報(bào)，且先報(bào)到 2，這樣就能確保搶到 6。
解：你先報(bào)到 2，對(duì)方報(bào) 3，你就報(bào) 4，5，6；對(duì)方報(bào) 3，4，你就報(bào) 5，6；對(duì)方報(bào) 3，4，5， 你就報(bào) 6；同理可以確保搶到 10，
5、14，18，22，26，30。
練習(xí) 2
1.小東和小華做游戲，他們把 19 粒棋子放在桌上，然后輪流拿，每人每次能拿 1 ?；蛘?2 粒， 誰(shuí)拿到最后一粒，誰(shuí)就獲勝。這次小東該怎樣拿才能保證獲勝呢？
2.桌上有 22 根火柴，小明和小紅輪流取，每人每次只能取 1 根或 2 根，誰(shuí)取到最后一根誰(shuí)獲 勝。這次小紅該怎樣取才能保證獲勝？
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3.報(bào) 80，兩人輪流報(bào)，從 1 開(kāi)始，每人每次報(bào) 1~5 個(gè)連續(xù)數(shù)，如果一人報(bào) 1，另一個(gè)人可報(bào) 2 或 2，3 或 2，3，4，或 2，3，4，5，或 2，3，4， 5，6；如
6、果一人報(bào) 1、2、3、另一人可報(bào) 4 或 4， 5 或 4，5，6 或 4，5，6，7 或 4，5，6，7，8，誰(shuí)先報(bào)到 80 誰(shuí)就獲勝。問(wèn)怎樣報(bào)才 能取勝？
【例題 3】
有兩堆枚數(shù)相等的棋子，甲、乙兩人輪流在其中任意一堆里取，多取不限，但不有不取。誰(shuí) 取到了最后一枚棋子為勝，如果甲后取，他一定能取勝嗎？
思路導(dǎo)航：
由于兩堆棋子的枚數(shù)相等，例如都有 5 枚，如圖：
如果乙先在左邊取 2 枚，甲在右邊取 2 枚，這時(shí)兩邊都還有 3 枚：
乙先在哪一邊取幾枚，甲就在另一邊取幾枚，甲一定取走最后一枚棋子。甲后取，一定能獲勝，不管乙先
在其中哪
7、一堆里取多少枚棋子，甲總可以在另一堆里取相同枚數(shù)的棋子，因此甲一定能獲勝，如果兩堆棋
子數(shù)不相等，只要甲先取出較多一堆里比另一堆多的枚數(shù)，使得兩堆棋子枚數(shù)相等，就可以轉(zhuǎn)化為例題中 的情形。
解：見(jiàn)思路導(dǎo)航
練習(xí) 3
1.左邊有 10 枚棋子，右邊有 12 棋子，兩人輪流去取，取到最后一枚的得勝，先取好還是后 取好？怎樣取才能獲勝？
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2.有三行棋子如下列圖，兩人輪流取，每人每次只能在同一行中至少取走 1 枚或 2 枚，誰(shuí)最 后取完為勝，問(wèn)：要想獲勝是先取還是后取？
【例題 4】
小東和小華玩 2
8、5 根小棒輪流取的游戲，每人每次可取 1 根或 2 根，誰(shuí)取到最后一根誰(shuí)就獲勝。 小東先取了 2 根，小華怎樣取才能獲勝？
思路導(dǎo)航：
25 根小棒小東先取走了 2 根，還有 25－2＝23〔根〕，23÷3＝7……2，小華也跟著取 2 根，然后不管小東 取幾根，只要小華每次取的和小東每次取的根數(shù)合起來(lái)是 3，小華就一定能獲勝。
解：見(jiàn)思路導(dǎo)航
練習(xí) 4
1.小華和小東做游戲，桌上有 45 粒棋子，每人每次可取 1 ?；?2 粒，誰(shuí)取到最后一粒誰(shuí)獲勝， 小華先拿走了 1 粒，問(wèn)小東怎樣取才能獲勝？
2.小軍和小明在做游戲，他們?cè)谧郎戏?50 根火柴棒，規(guī)定
9、每人每次可取 1 根至 3 根，誰(shuí)拿到 最后一根，誰(shuí)獲勝，小軍先拿了 3 根，問(wèn)小明怎樣取才能獲勝？
3.兩堆糖，兩人輪流拿，一次只能在其中一堆拿，拿幾根不限，最后一個(gè)把糖拿走的人算輸， 怎樣拿會(huì)輸？
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【例題 5】
12 枚棋子擺成一圈，小華和小東輪流從中取走一枚或兩枚，如果取走 2 枚，這兩枚必須相鄰。 誰(shuí)取走最后一枚誰(shuí)就獲勝，小華應(yīng)采取什么樣的策略才能獲勝？
思路導(dǎo)航：
小華可以這樣做：
〔1〕讓小東先取走一枚或兩枚之后，圓圈的某一位置將出現(xiàn)單獨(dú)的空當(dāng)。于是小華從圓圈中與這個(gè)空當(dāng) 相對(duì)的一側(cè)取走
10、一枚或兩枚，使得余下的棋子被兩個(gè)空當(dāng)分成數(shù)目相等的兩局部。
〔2〕從這以后，小東從哪一局部中取走一枚或兩枚，小華就從另一局部中取走相同數(shù)量的棋子，這樣小
華就能取走最后一枚而獲勝。
解：如右圖：〔數(shù)字是圖中棋子的編號(hào)〕小東在一側(cè)
10
11
12
1
2
取一枚或幾枚棋子，小華就在空當(dāng)相對(duì)的另一側(cè)取走 相同數(shù)量的棋子，小華獲勝。
9
8
3
4
7
6
5
練習(xí) 5
1.桌子上擺成一圈放著 10 枚棋子，甲、乙兩人輪流從中取，每次取一枚或取相鄰的兩枚，如 果 2 枚棋子之間已有
11、棋子被取走，它們不算相鄰的，誰(shuí)取到最后一枚就算勝利，你看是先取 有利還是后取有利？有沒(méi)有必勝的方法？
2.桌上擺成一圈放著 8 根小棒，每次只能取一根或相鄰的兩根〔如果兩根小棒之間有小棒被 取走，就不算相鄰〕，小芳先取，樂(lè)樂(lè)后取，誰(shuí)能取到最后一根就算勝利，樂(lè)樂(lè)要想取勝應(yīng)怎 樣取？
3.有 11 根火柴，A、B 兩個(gè)比賽，規(guī)定每個(gè)人每次可以拿 1~3 根火柴，但不能連續(xù)再次拿去 相同數(shù)目的火柴，誰(shuí)拿到最后一根火柴，誰(shuí)就得勝，如果 A 先開(kāi)始拿，是否有必勝的方法？
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練習(xí)題答案
練習(xí) 1
1.讓小剛先拿，小
12、明 每次拿的個(gè)數(shù)與小剛拿的個(gè)數(shù)合起來(lái)是 3，小剛保證能獲勝。
2.56÷4＝14 沒(méi)有余數(shù)，假設(shè)甲先拿，剛乙只要每次拿的火柴數(shù)和甲的合起來(lái)是 4，乙就會(huì)拿 到最后一根而獲勝。
3.小蘭必須先拿兩顆，然后按小麗 1 顆，小蘭 2 顆；或小麗 2 顆，小蘭 1 顆的方法繼續(xù)拿下 去，小蘭才能保證獲勝。
練習(xí) 2
1.19÷3＝6……1，余數(shù)是 1，小東就先拿 1 粒，然后不管小華拿幾粒，他都能保證拿到第 4， 第 7……最后獲勝。
2.22÷3＝7……1，除下來(lái)有余數(shù)，小紅應(yīng)先把這個(gè) 1 根拿下，然后不管小明幾根，只要小紅 每次拿的火柴根數(shù)和小明拿的火柴根數(shù)合起來(lái)是
13、3，小紅就能獲勝。
3.80÷6＝13……2，除下來(lái)有余數(shù)，先報(bào)者應(yīng)先報(bào)兩個(gè)數(shù)，然后不管后報(bào)者報(bào)幾個(gè)數(shù)，只要先 報(bào)者每次報(bào)數(shù)的個(gè)數(shù)和后者合起來(lái)是 6，先報(bào)者就會(huì)報(bào)到 80，從而獲勝。
練習(xí) 3
1.要想取勝，要先取右邊的 2 枚，然后對(duì)方取幾枚，你就在另一堆也取幾枚。
2.應(yīng)先取。甲先在第二行取一枚棋子，如甲乙在第一行〔或第二行〕取 1 枚棋子，甲只需在 第三行取 2 枚棋子，那么剩下第三行一枚棋子和第二行〔或第一行〕一枚棋子，甲必勝；甲 先在第二行取一枚棋子，如果乙在第三行取一枚棋子，那么甲只需在第三行取剩下的棋子， 這時(shí)在第一行和第二行分別剩下一枚棋子，甲必勝；甲先
14、在第二行取一枚棋子，如果乙在第 三行取 2 枚棋子，那么甲只需在任一行取一枚棋子，這時(shí)在剩余的兩行分別剩下一枚，甲必 勝。
練習(xí) 4
1.45－1＝＝44〔?！?，44÷3＝14……2，小東拿 2 粒，然后不管小華拿幾粒，只要小東每次取 的和小華合起來(lái)是 3，小東就一定取勝。
2.50－3＝47〔根〕，47÷4＝11……3，小軍先拿 3 根，小明也跟著拿 3 根，然后小軍不管拿幾 根，只要小明每次拿的和小軍合起來(lái)是 4，小明就一定獲勝。
3.〔1〕如果兩堆糖同樣多，甲先拿幾塊，乙在另一堆也拿和甲同樣多的塊數(shù)，這樣拿下去， 后拿的人一定得輸。
〔2〕如果兩堆糖不一樣多
15、，可以先從多的一堆里取出比少的一堆多的塊數(shù)，然后后拿的人 拿幾塊，先拿的人也拿幾塊，這樣下去，先拿的一定得輸。
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練習(xí) 5
1.后取者有利，有必勝的方法，無(wú)論先取者取走 1 枚或 2 枚棋子，后者總是在“缺口〞對(duì)面取 走 1 枚或 2 枚棋子，使余下的棋子變成數(shù)目相同的兩段以后，無(wú)論先取者取走哪些棋子，后 取者總在另一段相應(yīng)的位置上取走同樣多的棋子，這樣可以必勝。
2.樂(lè)樂(lè)后取，要想取勝，可以這樣想：不管小芳先取 1 根還是 2 根，樂(lè)樂(lè)總在“缺口〞的對(duì)面 取走 1 根或 2 根，使余下的小棒變成數(shù)目相同的兩段以后，不管小芳取走哪些小棒，樂(lè)樂(lè)只 要在另一段同樣位置上取走同樣多的小棒，這樣可以必勝。
3.A 先拿，第一次拿 3 根，以后每次按規(guī)那么拿后，使余下的根數(shù)為 8 或 4 或 0 根，即可取 勝。
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