《指數函數的圖像與性質》教學案例

指數函數的圖像與性質教學案例一、提出問題：新課程認為知識不是單方面通過教師傳授得到的，而是學生在一定的情境中，運用已有的學習經驗，并通過與他人（教師指導和同學的幫助）協(xié)作，主動建構而獲得的。它強調以學生為中心，視學生為認知的主體，教師只對學生的意義建構起幫助和促進作用。通過多年教學實踐和對新課程的認識 ,我認為若遵循這個原則進行數學課堂教學，學生的學習將是一 種高效的活動。二、教材中的地位：本節(jié)內容是在指數范圍擴充到實數的基礎上引入指數函數的，而指數函數是高中研究的第一種具體函數。是在初中已經初步探討了正比例函數，反比例函數，一次函數，二次函數的圖像和性質的基礎上，在進一步學習了函數的概念及有關性質的前提下，去研究學習的。重點是指數函數的圖像及性質，難點在于弄清楚底數 a 對于函數變化的影響。這節(jié)課主要是學生利用描點法畫出函數的圖像，并描述出函數的圖像特征，從而指出函數的性質。使學生 從形到數的熟悉，體驗研究函數的過程與思路，實現意識的深化。三、設計背景：在新教材的教學中，我慢慢體會到新教材滲透的、螺旋式上升的基本理念，知識點的形成過程經歷從具體的實例引入，形成概念，再次運用于實際問題或具體數學問題的過程，它的應用性，實用性更明顯的體現出來。學數學重在培養(yǎng)學生的思維品質，經過多年的數學學習，學生還是害怕學數學，尤其高中的數學，它對于學生來說顯得很抽象。所以如果再讓學生感到數學離我們的生活太遠，那么將很難激發(fā)他們的學習興趣。所以在教學中我盡力抓住知識的本質，以實際問題引入新知識。另外，就本章來說，指數函數是學習函數概念及基本性質之后研究的第一個重要的函數，讓學生學會研究一個新的具體函數的方法比學會本身的知識更重要。在這個過程中，所有的知識都是生疏的，在大腦中沒有形成基本的框架結構，需要老師的引導，使他們逐漸建立。數學中任何知識的形成都體現出它的思想與方法，因而授課中注重讓學生領悟其中的思想，運用其中的方法去學習新的知識，是非常重要的。 四、教學目標：（一、）知識：理解指數函數的定義，能初步把握指數函數的圖像，性質及其簡單應用。（二、）過程與方法：由實例引入指數函數的概念，利用描點作圖的方法做出指數函數的圖像，（有條件的話借助計算機演示驗證指數函數圖像）由圖像研究指數函數的性質。利用性質解決實際問題。 （三、） 能力：1通過指數函數的圖像和性質的研究，培養(yǎng)學生觀察，分析和歸納的能力，進一步體會數 形結合的思想方法。2通過對指數函數的研究，使學生能把握函數研究的基本方法。五、教學過程：由實際問題引入：問題 1：某種細胞分裂時，由 1 個分裂成 2 個，2 個分裂成 4 個，1 個這樣的細胞分裂 x 次后，得到的細胞的個數 y 與 x 之間的關系是什么？分裂次數與細胞個數1，2；2，2×2=22；3，2×2×2=23；x，2×2××2=2x歸納：y=2x問題 2：某種放射性物質不斷變化為其它物質，每經過 1 年剩留的這種物質是原來的 84%， 那么經過 x 年后剩留量 y 與 x 的關系是什么？經過 1 年，剩留量 y=1×1；經過 2 年，剩留量×2經過 x 年，剩留量 x尋找異同：你能從以上的兩個例子中得到的關系式里找到什么異同點嗎？共同點：變量 x 與 y 構成函數關系式，是指數的形式，自變量在指數位置，底數是常數；不 同點：底數的取值不同。那么，今天我們來學習一個新的基本函數：指數函數得到指數函數的定義：定義：形如 y=ax（a>0 且 a1）的函數叫做指數函數。在以前我們學過的函數中，一次函數用形如 y=kx+b（k0）的形式表示，反比例函數用形如 y=k/x（k0）表示，二次函數 y=ax2+bx+c(a0)表示。對于其一般形式上的系數都有相 應的限制。問：為什么指數函數對底數有這樣的要求呢？若 a=0，當 x>0 時，恒等于 0，沒有研究價值 當 x0 時，無意義。若 a<0，當 x=1/2，1/4時是無意義的，沒有研究價值。若 a=1，則=1,是一個常量，也沒有研究的必要。所以有規(guī)定且 a>0 且 a1。由定義，我們可以對指數函數有一初步熟悉。進一步理解函數的定義：指數函數的定義域：在我們學過的指數運算中，指數可以是有理數，當指數是無理數時，也是一個確定的實數，對于無理數，學過的有理指數冪的性質和運算法則都適用，所以指數函 數的定義域為 R.研究函數的途徑：由函數的圖像及性質，從形與數兩方面研究。學習函數的一個很重要的目標就是應用，那么首先要對函數作一研究，研究函數的圖像及性質，然后利用其圖像性質去解決數學問題和實際問題。根據以往的經驗，你會從那幾個角度考慮？（圖像的分布范圍，圖像的變化趨勢，）圖像的分布情況與函數的定義域，值域有關，函數的變化趨勢體現函數的單調性。引導學生從定義域，值域，單調性，奇偶性，與坐 標軸的交點情況著手開始。首先我們做出指數函數的圖像，我們研究一般性的事物，常用的方法是：由特殊到一般。我們以具體函數入手，讓學生以小組形式取不同底數的指數函數畫它們的圖像，將學生畫的 函數圖像展示，（畫函數的圖像的步驟是：列表，描點，連線。）。最后，老師在黑板（電腦）上演示列表，描點，連線的過程，并且，畫出取不同的值時，函 數的圖像。要求學生描述出指數函數圖像的特征，并試著描述出性質。數學發(fā)展的歷史表明，每一個重要的數學概念的形成和發(fā)展，其中都有豐富的經歷，新課程較好的體現了這點。對新課程背景下的學生而言，數學的知識應該是一個數學化的過程，即通過對常識材料進行細致的觀察、思考，借助于分析、比較、綜合、抽象、概括等思維活動，對常識材料進行去粗取精、去偽存真的精加工。該案例正是從數學研究和數學實驗的過程中進行設計。雖然學生的思維不一定真實的重演了人類對數學知識探索的全過程，但確確實實通過實驗、觀察、比較、分析、歸納、抽象、概括等思維活動，在探索中將數學數學化， 從而才使學生對數學學習產生了樂趣，對數學的研究方法有了一定的了解。雖然學生要學的數學是歷史上前人已建構好了的，但對他們而言，仍是全新的、未知的，需要用他們自己的學習活動來再現類似的過程。該案例正是從創(chuàng)設問題情景作為教學設計的重要的內容之一。教師應該把教學設計成學生動手操作、觀察猜想、揭示規(guī)律等一系列過程，側重于學生的探索、分析與思考，側重于過程的探究及在此過程中所形成的一般數學能力。教師的地位應由主導者轉變?yōu)橐龑д撸菇虒W活動真正成為學生的活動。在教學過程中，把學習的主動權交給學生，在時間和空間上保證學生在教師的指導下，學生能自己獨立自主的探究學習。使教學活動始終處于學生的“最近發(fā)展區(qū)”，使每一個學生通過自己的努力， 在自己原有的基礎上都有所獲，都有提高?？傊?，通過案例研究，不斷研究新教材、新理念，不斷調整教學策略優(yōu)化課堂教學，培 養(yǎng)學生探究學習與創(chuàng)新學習能力將是我們在數學教學中要繼續(xù)探究的課題。指數函數的圖象及其性質一、 教學內容分析本節(jié)課是普通高中課程標準實驗教科書·數學必修（1）（人教 A 版） 第二章第一節(jié)第二課（2.1.2）指數函數及其性質。根據我所任教的學生的實 際情況，我將指數函數及其性質劃分為兩節(jié)課（探究圖象及其性質，指數函 數及其性質的應用），這是第一節(jié)課“探究圖象及其性質”。 指數函數是重要的 基本初等函數之一，作為常見函數，它不僅是今后學習對數函數和冪函數的基礎， 同時在生活及生產實際中有著廣泛的應用，所以指數函數應重點研究。二、 學生學習況情分析指數函數是在學生系統(tǒng)學習了函數概念，基本掌握了函數的性質的基礎上 進行研究的，是學生對函數概念及性質的第一次應用。教材在之前的學習中給出 了兩個實際例子（GDP 的增長問題和炭 14 的衰減問題），已經讓學生感受到指數 函數的實際背景，但這兩個例子背景對于學生來說有些陌生。本節(jié)課先設計一個 看似簡單的問題，通過超出想象的結果來激發(fā)學生學習新知的興趣和欲望。三、設計思想1.函數及其圖象在高中數學中占有很重要的位置。如何突破這個即重要又 抽象的內容，其實質就是將抽象的符號語言與直觀的圖象語言有機的結合起來， 通過具有一定思考價值的問題，激發(fā)學生的求知欲望持久的好奇心。我們知 道，函數的表示法有三種：列表法、圖象法、解析法，以往的函數的學習大多只 關注到圖象的作用，這其實只是借助了圖象的直觀性，只是從一個角度看函數， 是片面的。本節(jié)課，力圖讓學生從不同的角度去研究函數，對函數進行一個全方 位的研究，并通過對比總結得到研究的方法，讓學生去體會這種的研究方法,以 便能將其遷移到其他函數的研究中去。2.結合參加我校組織的兩個課題對話反思選擇和新課程實施中同伴合作和師生互動研究的研究，在本課的教學中我努力實踐以下兩點： .在課堂活動中通過同伴合作、自主探究培養(yǎng)學生積極主動、勇于探索的學習方式。.在教學過程中努力做到生生對話、師生對話，并且在對話之后重視體會、 總結、反思，力圖在培養(yǎng)和發(fā)展學生數學素養(yǎng)的同時讓學生掌握一些學習、研究 數學的方法。3.通過課堂教學活動向學生滲透數學思想方法。四、教學目標根據任教班級學生的實際情況，本節(jié)課我確定的教學目標是：理解指數函數 的概念，能畫出具體指數函數的圖象；在理解指數函數概念、性質的基礎上，能 應用所學知識解決簡單的數學問題；在教學過程中通過類比，回顧歸納從圖象和 解析式這兩種不同角度研究函數性質的數學方法，加深對指數函數的認識，讓學 生在數學活動中感受數學思想方法之美、體會數學思想方法之重要；同時通過本 節(jié)課的學習，使學生獲得研究函數的規(guī)律和方法；培養(yǎng)學生主動學習、合作交流 的意識。五、教學重點與難點教學重點：指數函數的概念、圖象和性質。教學難點：對底數的分類，如何由圖象、解析式歸納指數函數的性質。 六、教學過程：（一）創(chuàng)設情景、提出問題 (約 3 分鐘)師：如果讓 1 號同學準備 2 粒米，2 號同學準備 4 粒米，3 號同學準備 6 粒 米，4 號同學準備 8 粒米，5 號同學準備 10 粒米，按這樣的規(guī)律，51 號同 學該準備多少米？學生回答后教師公布事先估算的數據：51 號同學該準備 102 粒米，大約 5 克重。師：如果改成讓 1 號同學準備 2 粒米，2 號同學準備 4 粒米，3 號同學準備 8 粒米，4 號同學準備 16 粒米，5 號同學準備 32 粒米，按這樣的規(guī)律，51 號同學該準備多少米？【學情預設：學生可能說很多或能算出具體數目 】師：大家能否估計一下，51 號同學該準備的米有多重？教師公布事先估算的數據：51 號同學所需準備的大米約重 1.2 億噸。 師：1.2 億噸是一個什么概念？根據_9 月 13 日美國農業(yè)部發(fā)布的最新數據顯示，2007_度我國大米產量預計為 1.27 億噸。這就是說 51 號同學所需 準備的大米相當于 2007_度我國全年的大米產量！【 設計意圖：用一個看似簡單的實例，為引出指數函數的概念做準備；同 時通過與一次函數的對比讓學生感受指數函數的爆炸增長，激發(fā)學生學習新知 的興趣和欲望?！吭谝陨蟽蓚€問題中，每位同學所需準備的米粒數用 y 表示，每位同學的座號 數用 x 表示， y 與 x 之間的關系分別是什么？學生很容易得出 y=2x（ x Î N*）和 y =2x（ x Î N*）【學情預設：學生可能會漏掉 x 的取值范圍，教師要引導學生思考具體問題 中 x 的范圍。】（二）師生互動、探究新知1指數函數的定義*師：其實，在本章開頭的問題 2 中，也有一個與 y =2 （ x Î N, x £20 ）x類似的關系式 y =1.073x讓學生思考討論以下問題（問題逐個給出）：（約 3 分鐘） y =2x（ x Î N*）和 y =1.073x（ x Î N*, x £20 ）這兩個解析式有什么共同特征？它們能否構成函數？是我們學過的哪個函數？如果不是，你能否根據該函數的特征給它起個恰 當的名字？【設計意圖 ：引導學生從具體問題、實際問題中抽象出數學模型。學生對比已經學過一次函數、反比例函數、二次函數，發(fā)現 y =2x， y =1.073x是一個新的函數模型，再讓學生給這個新的函數命名，由此激發(fā)學生的學習興趣。】 引導學生觀察，兩個函數中，底數是常數，指數是自變量。師：如果可以用字母 a 代替其中的底數，那么上述兩式就可以表示成 y =a 的形式。自變量在指數位置，所以我們把它稱作指數函數。讓學生討論并給出指數函數的定義。（約 6 分鐘）對于底數的分類，可將問題分解為：x若 a 0 會有什么問題？（如 a =-2， x = 不存在）12則在實數范圍內相應的函數值若會有什么問題？（對于 x £0 ， a x 都無意義）若又會怎么樣？（無論取何值,它總是 1,對它沒有研究的必要.）師：為了避免上述各種情況的發(fā)生,所以規(guī)定 在這里要注意生生之間、師生之間的對話。且 .【學情預設： 若學生從教科書中已經看到指數函數的定義，教師可以問， 為什么要求 a f 0，且 a ¹1 ； a =1 為什么不行？若學生只給出 y =ax，教師可以引導學生通過類比一次函數k（ y =kx +b, k ¹0 ）、反比例函數（ y = , k ¹0 ）、二次函數x（ y =ax 2 +bx +c, a ¹0 ）中的限制條件， 思考指數函數中底數的限制條件?！?【設計意圖 ：對指數函數中底數限制條件的討論可以引導學生研究一個函數應注意它的實際意義和研究價值；討論出 a f 0，且a ¹1 ，也為下面研究性質時對底數的分類做準備。】 接下來教師可以問學生是否明確了指數函數的定義，能否寫出一兩個指數函數？教師也在黑板上寫出一些解析式讓學生判斷，如 y =2 ´3x，y =32 x，y =-2x?！緦W情預設：學生可能只是關注指數是否是變量，而不考慮其它的。】 【設計意圖 ：加深學生對指數函數定義和呈現形式的理解?！?指數函數性質提出兩個問題（約 3 分鐘）目前研究函數一般可以包括哪些方面；【設計意圖 ：讓學生在研究指數函數時有明確的目標：函數三個要素（對 應法則、定義域、值域、）和函數的基本性質（單調性、奇偶性）。】研究函數（比如今天的指數函數）可以怎么研究？用什么方法、從什么角 度研究？可以從圖象和解析式這兩個不同的角度進行研究；可以從具體的函數入手 （即底數取一些數值）；當然也可以用列表法研究函數，只是今天我們所學的函 數用列表法不易得出此函數的性質，可見具體問題要選擇適當的方法來研究才能 事半功倍！還可以借助一些數學思想方法來思考?！驹O計意圖 ：讓學生知道圖象法不是研究函數的唯一方法，由此引導學 生可以從圖象和解析式 (包括列表)不同的角度對函數進行研究；對學生進行數學思想方法（從一般到特殊再到一般、數形結合、分類討 論）的有機滲透?！糠纸M活動，合作學習（約 8 分鐘）師：好，下面我們就從圖象和解析式這兩個不同的角度對指數函數進行研究。 讓學生分為兩大組，一組從解析式的角度入手（不畫圖）研究指數函數，一組借助電腦通過幾何畫板的操作從圖象的角度入手研究指數函數；每一大組再分為若干合作小組（建議 4 人一小組）；每組都將研究所得到的結論或成果寫出來以便交流。【學情預設：考慮到各組的水平可能有所不同，教師應巡視，對個別組可 做適當的指導。】【設計意圖 ：通過自主探索、合作學習不僅讓學生充當學習的主人更可加 深對所得到結論的理解?！拷涣?、總結（約 1012 分鐘）師：下面我們開一個成果展示會!教師在巡視過程中應關注各組的研究情況，此時可選一些有代表性的小組上 臺展示研究成果，并對比從兩個角度入手研究的結果。教師可根據上課的實際情況對學生發(fā)現、得出的結論進行適當的點評或要求 學生分析。這里除了研究定義域、值域、單調性、奇偶性外，再引導學生注意是 否還有其它性質？師：各組在研究過程中除了定義域、值域、單調性、奇偶性外是否還得到一些有價值的副產品呢？（如過定點（0，1）， y =ax1 與 y =( )ax的圖象關于 y 軸對稱）【學情預設： 首先選一從解析式的角度研究的小組上臺匯報；對于從圖象的角度研究的，可先選沒對底數進行分類的小組上臺匯報； 問其它小組有沒不同的看法，上臺補充，讓學生對底數進行分類，引導學生思考哪個量決定著指數函數的單調性，以什么為分界，教師可以馬上通過 電腦操作看函數圖象的變化?！俊驹O計意圖： 函數的表示法有三種：列表法、圖象法、解析法，通過這 個活動，讓學生知道研究一個具體的函數可以也應該從多個角度入手，從圖象 角度研究只是能直觀的看出函數的一些性質，而具體的性質還是要通過對解析 式的論證；特別是定義域、值域更是可以直接從解析式中得到的。讓學生上臺匯報研究成果，讓學生有種成就感，同時還可訓練其對數學 問題的分析和表達能力，培養(yǎng)其數學素養(yǎng)；對指數函數的底數進行分類是本課的一個難點，讓學生在討論中自己解 決分類問題使該難點的突破顯得自然?！繋煟簭膱D象入手我們很容易看出函數的單調性、奇偶性、以及過定點（0，1）， 但定義域、值域卻不可確定；從解析式（結合列表）可以很容易得出函數的定義 域、值域，但對底數的分類卻很難想到。教師通過幾何畫板中改變參數 a 的值，追蹤 y =a x 的圖象，在變化過程中， 讓全體學生進一步觀察指數函數的變化規(guī)律。師生共同總結指數函數的圖象和性質，教師可以邊總結邊板書。圖象定義域值 域性質0<a<1 a>1R過定點（0，1）非奇非偶在 R 上是減函數（三）鞏固訓練、提升總結 （約 8 分鐘）在 R 上是增函數1例：已知指數函數 f ( x) =ax( a 0, 且a ¹1) 的圖象經過點 (3,p) ，求f (0), f (1), f ( -3) 的值。解：因為 f ( x ) =a x 的圖象經過點 (3, p) ，所以 f (3) =p即 a3=p，解得 a =p13，于是 f (3) =px3。所以 f (0) =1, f (1) =3 p, f ( -3) =1p?！驹O計意圖：通過本題加深學生對指數函數的理解?！繋煟焊鶕绢}，你能說出確定一個指數函數需要什么條件嗎？師：從方程思想來看，求指數函數就是確定底數，因此只要一個條件， 即布列一個方程就可以了?！?設計意圖 ：讓學生明確底數是確定指數函數的要素，同時向學生滲 透方程的思想?！?練習：在同一平面直角坐標系中畫出 y =3x1 和 y =( )3x的大致圖象，并說出這兩個函數的性質；求下列函數的定義域： y =2x -21 ， y =( )21x。3師：通過本節(jié)課的學習，你對指數函數有什么認識？你有什么收獲？【 學情預設 ：學生可能只是把指數函數的性質總結一下，教師要引導 學生談談對函數研究的學習，即怎么研究一個函數?！俊驹O計意圖：讓學生再一次復習對函數的研究方法（可以從也應該 從多個角度進行），讓學生體會本課的研究方法 , 以便能將其遷移到其他函 數的研究中去?？偨Y本節(jié)課中所用到的數學思想方法。 強調各種研究數學的方法之間有區(qū)別又有聯(lián)系，相互作用，才能融 會貫通。 】4作業(yè)：課本 59 頁習題 21A 組第 5 題。七、教學反思1本節(jié)課改變了以往常見的函數研究方法，讓學生從不同的角度去研究函 數，對函數進行一個全方位的研究，不僅僅是通過對比總結得到指數函數的性質， 更重要的是讓學生體會到對函數的研究方法 ,以便能將其遷移到其他函數的研究 中去，教師可以真正做到“授之以漁”而非“授之以魚”。2教學中借助信息技術可以彌補傳統(tǒng)教學在直觀感、立體感和動態(tài)感方面 的不足，可以很容易的化解教學難點、突破教學重點、提高課堂效率，本課使用 幾何畫板可以動態(tài)地演示出指數函數的底數的動態(tài)過程，讓學生直觀觀察底數對 指數函數單調性的影響。3在教學過程中不斷向學生滲透數學思想方法，讓學生在活動中感受數學 思想方法之美、體會數學思想方法之重要，部分學生還能自覺得運用這些數學思 想方法去分析、思考問題。