北京科技大學附中2013版高考數(shù)學二輪復習 沖刺訓練提升 導數(shù)及其應用

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1、北京科技大學附中2013版高考數(shù)學二輪復習沖刺訓練提升：導數(shù)及其應用 本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分．滿分150分．考試時間120分鐘． 第Ⅰ卷(選擇題　共60分) 一、選擇題 (本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的) 1．下列命題為真命題的是( ) A．在處存在極限，則在連續(xù) B．在處無定義，則在無極限 C．在處連續(xù)，則在存在極限 D．在處連續(xù)，則在可導 【答案】C 2．設函數(shù)的圖象與軸相交于點P, 則曲線在點P的切線方程為( ) A． B． C． D． 【答案】A 3．

2、若，則等于( ) A．－1 B．－2 C．－ D． 【答案】C 4．給出下列四個結論： ①； ②命題“的否定是“”； ③“若 則”的逆命題為真； ④集合，則“”是“”成立的充要條件. 則其中正確結論的序號為 ( ) A．①③ B．①② C．②③④ D．①②④ 【答案】B 5．若存在過點(1,0)的直線與曲線和都相切,則( ) A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 　 【答案】A 6．如圖，設是圖中邊長為的正方形區(qū)域，是內函數(shù)圖象下方的點構成的區(qū)域．向中隨機投一點，則該點落入中的概率為( ) A． B． C．

3、 D． 【答案】C 7．曲線y＝sinx與直線y＝x所圍成的平面圖形的面積是( ) A． B． C． D． 【答案】C 8．已知二次函數(shù)的導數(shù)，且的值域為，則的最小值為( ) A．3 B． C．2 D． 【答案】C 9．用邊長為6分米的正方形鐵皮做一個無蓋的水箱，先在四角分別截去一個小正方形，然后把四邊翻轉，再焊接而成（如圖）。設水箱底面邊長為分米，則( ) A．水箱容積最大為立方分米 B．水箱容積最大為立方分米 C．當在時，水箱容積隨增大而增大 D．當在時，水箱容積隨增大而減小 【答案】C 10．由直線，及ｘ軸圍成平面圖形的面積為(

4、) A． B． C． D． 【答案】C 11．由曲線，直線所圍成的平面圖形的面積為( ) A． B． C． D． 【答案】C 12．函數(shù)導數(shù)是( ) A．． B． C． D． 【答案】C 第Ⅱ卷(非選擇題　共90分) 二、填空題 (本大題共4個小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在題中橫線上) 13．已知，則＝ 【答案】 14．若函數(shù)有三個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是 . 【答案】 15．= ； 【答案】 16．如圖是一個質點做直線運動的圖象，則質點在前內

5、的位移為 m 【答案】9 三、解答題 (本大題共6個小題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟) 17．已知函數(shù) (Ⅰ）求曲線y=f(x)在（1,11）處的切線方程； (Ⅱ）求函數(shù)的單調區(qū)間。 【答案】 (Ⅰ)因為，所以切線的斜率為 所以切線方程y-1=12(x-1)即 12x-y-11=0 (Ⅱ)令得所以函數(shù)f(x)的單調增區(qū)間為（-1,3） 令得x<-1或x>3所以函數(shù)f(x)的單調減區(qū)間為。 18．已知函數(shù)f(x)=x4-4x3+ax2-1在區(qū)間[0,1]上單調遞增,在區(qū)間[1,2]上單調遞減; ⑴求a的值; ⑵是否存在實數(shù)b,使得函數(shù)

6、g(x)=bx2-1的圖象與函數(shù)f(x)的圖象恰有2個交點,若存在,求出實數(shù)b的值;若不存在,試說明理由 【答案】⑴∵f(x)在區(qū)間[0,1]上單調遞增,在區(qū)間[1,2]上單調遞減, ∴f’(1)=0,f’(1)=4x3-12x2+2ax|x=1=2a-8=0,∴a=4; ⑵由⑴知f(x)=x4-4x3+4x2-1,由f(x)=g (x)可得x4-4x3+4x2-1=bx2-1 即x2(x2-4x+4-b)=0. ∵f(x)的圖象與g(x)的圖象只有兩個交點, ∴方程x2-4x+4-b=0有兩個非零等根或有一根為0,另一個不為0, ∴Δ=16-4(4-b)=0,或4 – b

7、 = 0,∴b = 0或b =4． 19．已知函數(shù) (Ⅰ）求的值； (Ⅱ）若曲線過原點的切線與函數(shù)的圖像有兩個交點，試求b的取值范圍. 【答案】 (Ⅰ) ，又函數(shù)有極大值 ，得 在上遞增，在上遞減 ，得 (Ⅱ）設切點，則切線斜率 所以切線方程為 將原點坐標代入得，所以 切線方程為 由得 設 則令，得 所以在上遞增，在上遞減 所以 若有兩個解，則 得 20．已知函數(shù)f(x)＝plnx＋(p－1)x2＋1． (I）討論函數(shù)f(x)的單調性； (II）當p＝1時，f(x)≤kx恒成立，求實數(shù)k的取值范圍； (III）證明：ln(n＋1)<1＋＋＋…＋(

8、n∈N*)． 【答案】(1)f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝＋2(p－1)x＝．當p>1時，f′(x)＞0，故f(x)在(0，＋∞)上單調遞增；當p≤0時，f′(x)＜0，故f(x)在(0，＋∞)上單調遞減； 當－1＜p＜0時，令f′(x)＝0，解得x＝，則當x∈時，f′(x)＞0；x∈時，f′(x)＜0．故f(x)在上單調遞增，在上單調遞減． (2)因為x>0，所以當p＝1時，f(x)≤kx恒成立?1＋lnx≤kx?k≥，令h(x)＝，則k≥h(x)max，因為h′(x)＝，由h′(x)＝0得x＝1，且當x∈(0,1)時，h′(x)>0；當x∈(1，＋∞)時，h′(x)<0

9、．所以h(x)在(0,1)上遞增，在(1，＋∞)上遞減．所以h(x)max＝h(1)＝1，故k≥1． (3)由(2)知當k＝1時，有f(x)≤x，當k>1時，f(x)

10、在處取得唯一極小值， 因為，所以對任意實數(shù)均有 ． 即，所以． (Ⅱ）當時，． 用數(shù)學歸納法證明如下： ①當時，由（1）知； ②假設當（）時，對任意均有， 令，， 因為對任意的正實數(shù)，， 由歸納假設知，， 即在上為增函數(shù)，亦即， 因為，所以． 從而對任意，有,即對任意，有， 這就是說，當時，對任意，也有． 由①,②知，當時，都有． (Ⅲ）證明1：先證對任意正整數(shù)，． 由（Ⅱ）知，當時，對任意正整數(shù)，都有． 令，得．所以． 再證對任意正整數(shù)， ． 要證明上式，只需證明對任意正整數(shù)，不等式成立． 即要證明對任意正整數(shù)，不等式（*）成立． 方法1（數(shù)學歸

11、納法）： ①當時，成立，所以不等式（*）成立． ②假設當（）時，不等式（*）成立，即． 則． ,這說明當時，不等式（*）也成立． 由①，②知，對任意正整數(shù)，不等式（*）都成立． 綜上可知，對，不等式成立． 方法2（基本不等式法）： 因為，，……，， 將以上個不等式相乘，得．所以對任意正整數(shù)，不等式（*）都成立． 綜上可知，對，不等式成立． 22．已知 (1) 求函數(shù)上的最小值； (2) 若對一切恒成立,求實數(shù)的取值范圍； (3) 證明:對一切,都有成立. 【答案】（1）， 當單調遞減，當單調遞增 ①，即時， ； ②，即時，上單調遞增，；所以 (2），則，[ http://wx.jtyjy/] 設，則， 當單調遞減，當單調遞增， 所以 所以； (3）問題等價于證明， 由（1）可知的最小值是，當且僅當時取到， 設，則，易知 ，當且僅當時取到， 從而對一切，都有成立