2013年中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)講座 第二十七講 相似圖形

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1、2013年中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)第二十七講 相似圖形 【基礎(chǔ)知識(shí)回顧】 成比例線段： 1、線段的比：如果選用同一長(zhǎng)度的兩條線段ＡＢ，ＣＤ的長(zhǎng)度分別為m、n則這兩條線段的比就是它們 的比，即：= 2、比例線段：四條線段a、b、c、d如果= 那么四條線段叫做同比例線段，簡(jiǎn)稱 3、比例的基本性質(zhì)：=<＝> 4、平行線分線段成比例定理：將平行線截兩條直線 【名師提醒：1、表示兩條線段的比時(shí)，必須示用相同的 ，在用了相同的前提下，兩條線段的比值與用的無關(guān) 即比值沒有 2、全分割：點(diǎn)C把線段AB分成兩條，線段AC和BC

2、（AC>BC）如果 那么稱線段AB被點(diǎn)C全分割A(yù)C與AB的比叫全比，即L= ≈ 】 二、相似三角形： 1、定義：如果兩個(gè)三角形的各角對(duì)應(yīng) 各邊對(duì)應(yīng) 那么這兩個(gè)三角形相似 2、性質(zhì)：⑴相似三角形的對(duì)應(yīng)角 對(duì)應(yīng)邊 ⑵相似三角形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比、對(duì)應(yīng) 的比都等于 ⑶相似三角形周長(zhǎng)的比等于 面積的比等于 判定：⑴基本定理：平行于三角形一邊的直線和其它兩邊或兩線相交，三角形與原三角形相似 ⑵兩邊對(duì)應(yīng) 且夾角 的兩三角形相似

3、 ⑶兩角 的兩三角形相似 ⑷三組對(duì)應(yīng)邊的比 的兩三角形相似 【名師提醒：1、全等是相似比為 的特殊相似 2、根據(jù)相似三角形的性質(zhì)的特質(zhì)和判定，要證四條線段的比相等相等一般要先證 判定方法中最常用的是 三組對(duì)應(yīng)邊成比例的兩三角形相似多用在點(diǎn)三角形中】 三、相似多邊形： 1、定義：各角對(duì)應(yīng) 各邊對(duì)應(yīng) 的兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形 2、性質(zhì)：⑴相似多邊形對(duì)應(yīng)角 對(duì)應(yīng)邊 ⑵相似多邊形周長(zhǎng)的比等于 面積的比等于 【名師提醒：相似多邊形沒有專門的判定方法

4、，判定兩多邊形相似多用在矩形中，一般用定義進(jìn)行判定】 位似： 1、定義：如果兩個(gè)圖形不僅是 而且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在直線都經(jīng)過 那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做 這時(shí)相似比又稱為 2、性質(zhì)：位似圖形上任意一點(diǎn)到位似中心的距離之比都等于 【名師提醒：1、位似圖形一定是 圖形，但反之不成立，利用位似變換可以將一個(gè)圖形放大或 2、在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似是以原點(diǎn)為位似中心，相似比位r，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于 或 】 【典型例題解析】 考點(diǎn)一：比例線段 例1 （2012

5、?福州）?如圖，已知△ABC，AB=AC=1，∠A=36°，∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D，則AD的長(zhǎng)是 ，cosA的值是 ．（結(jié)果保留根號(hào)） 考點(diǎn)：黃金分割；相似三角形的判定與性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義． 分析：可以證明△ABC∽△BDC，設(shè)AD=x，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，即可列出方程，求得x的值； 過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，則E為AB中點(diǎn)，由余弦定義可求出cosA的值． 解答：解：∵△ABC，AB=AC=1，∠A=36°， ∴∠ABC=∠ACB==72°． ∵BD是∠ABC的平分線， ∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=36°．

6、 ∴∠A=∠DBC=36°， 又∵∠C=∠C ∴△ABC∽△BDC， ∴=， 設(shè)AD=x，則BD=BC=x．則， 解得：x=（舍去）或． 故x=． 如右圖，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E， ∵AD=BD， ∴E為AB中點(diǎn)，即AE=AB=． 在Rt△AED中，cosA==． 故答案是：；． 點(diǎn)評(píng)：△ABC、△BCD均為黃金三角形，利用相似關(guān)系可以求出線段之間的數(shù)量關(guān)系；在求cosA時(shí)，注意構(gòu)造直角三角形，從而可以利用三角函數(shù)定義求解． 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 2．（2012?孝感）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，若AC=2，則AD的長(zhǎng)

7、是（　?。? A． B． C． D． 考點(diǎn)：黃金分割． 分析：根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等，判定兩個(gè)三角形相似．再用相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等進(jìn)行計(jì)算求出BD的長(zhǎng)． 解答：解：∵∠A=∠DBC=36°，∠C公共， ∴△ABC∽△BDC， 且AD=BD=BC． 設(shè)BD=x，則BC=x，CD=2-x． 由于， ∴． 整理得：x2+2x-4=0， 解方程得：x=-1±， ∵x為正數(shù)， ∴x=-1+． 故選C． 點(diǎn)評(píng)：本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，先用兩角對(duì)應(yīng)相等判定兩個(gè)三角形相似，再用相似三角形的性質(zhì)對(duì)應(yīng)邊的比相等進(jìn)行計(jì)算求出BD的長(zhǎng)． 考

8、點(diǎn)二：相似三角形的性質(zhì)及其應(yīng)用 例2 （2012?重慶）已知△ABC∽△DEF，△ABC的周長(zhǎng)為3，△DEF的周長(zhǎng)為1，則ABC與△DEF的面積之比為 9：1 ． 考點(diǎn)：相似三角形的性質(zhì)． 專題：探究型． 分析：先根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出其相似比，再根據(jù)面積的比等于相似比的平方進(jìn)行解答即可． 解答：解：∵△ABC∽△DEF，△ABC的周長(zhǎng)為3，△DEF的周長(zhǎng)為1， ∴三角形的相似比是3：1， ∴△ABC與△DEF的面積之比為9：1． 故答案為：9：1． 點(diǎn)評(píng)：本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，即相似三角形（多邊形）的周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形的面

9、積的比等于相似比的平方． 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 2．（2012?沈陽(yáng)）已知△ABC∽△A′B′C′，相似比為3：4，△ABC的周長(zhǎng)為6，則△A′B′C′的周長(zhǎng)為 8 ． 考點(diǎn)：相似三角形的性質(zhì)． 專題：應(yīng)用題． 分析：根據(jù)相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比計(jì)算即可得解． 解答：解：∵△ABC∽△A′B′C′， ∴△ABC的周長(zhǎng)：△A′B′C′的周長(zhǎng)=3：4， ∵△ABC的周長(zhǎng)為6， ∴△A′B′C′的周長(zhǎng)=6×=8． 故答案為：8． 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 考點(diǎn)三：相似三角形的判定方法及其應(yīng)用 例3

10、（2012?徐州）如圖，在正方形ABCD中，E是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在BC上，且FC= BC．圖中相似三角形共有（　?。? A．1對(duì) B．2對(duì) C．3對(duì) D．4對(duì) 考點(diǎn)：相似三角形的判定；正方形的性質(zhì)． 分析：首先由四邊形ABCD是正方形，得出∠D=∠C=90°，AD=DC=CB，又由DE=CE，F(xiàn)C= BC，證出△ADE∽△ECF，然后根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例與相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，證明出△AEF∽△ADE，則可得△AEF∽△ADE∽△ECF，進(jìn)而可得出結(jié)論． 解答：解：圖中相似三角形共有3對(duì)．理由如下： ∵四邊形ABCD是正方形， ∴∠D=∠C=90°，AD=DC=CB，

11、 ∵DE=CE，F(xiàn)C=BC， ∴DE：CF=AD：EC=2：1， ∴△ADE∽△ECF， ∴AE：EF=AD：EC，∠DAE=∠CEF， ∴AE：EF=AD：DE， 即AD：AE=DE：EF， ∵∠DAE+∠AED=90°， ∴∠CEF+∠AED=90°， ∴∠AEF=90°， ∴∠D=∠AEF， ∴△ADE∽△AEF， ∴△AEF∽△ADE∽△ECF， 即△ADE∽△ECF，△ADE∽△AEF，△AEF∽△ECF． 故選C． 點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，以及正方形的性質(zhì)．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是證明△ECF∽△ADE，在此基礎(chǔ)上可證△AEF∽△A

12、DE． 例4 16．（2012?資陽(yáng)）（1）如圖（1），正方形AEGH的頂點(diǎn)E、H在正方形ABCD的邊上，直接寫出HD：GC：EB的結(jié)果（不必寫計(jì)算過程）； （2）將圖（1）中的正方形AEGH繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一定角度，如圖（2），求HD：GC：EB； （3）把圖（2）中的正方形都換成矩形，如圖（3），且已知DA：AB=HA：AE=m：n，此時(shí)HD：GC：EB的值與（2）小題的結(jié)果相比有變化嗎？如果有變化，直接寫出變化后的結(jié)果（不必寫計(jì)算過程）． 考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；等腰直角三角形；正方形的性質(zhì)． 分析：（1）首先連接AG，由正方形AEGH的

13、頂點(diǎn)E、H在正方形ABCD的邊上，易證得∠GAE=∠CAB=45°，AE=AH，AB=AD，即A，G，C共線，繼而可得HD=BE，GC= BE，即可求得HD：GC：EB的值； （2）連接AG、AC，由△ADC和△AHG都是等腰直角三角形，易證得△DAH∽△CAG與△DAH≌△BAE，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例與正方形的性質(zhì)，即可求得HD：GC：EB的值； （3）由矩形AEGH的頂點(diǎn)E、H在矩形ABCD的邊上，由DA：AB=HA：AE=m：n，易證得△ADC∽△AHG，△DAH∽△CAG，△ADH∽△ABE，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例與勾股定理即可求得HD：GC：EB的值． 解答：解：

14、（1）連接AG， ∵正方形AEGH的頂點(diǎn)E、H在正方形ABCD的邊上， ∴∠GAE=∠CAB=45°，AE=AH，AB=AD， ∴A，G，C共線，AB-AE=AD-AH， ∴HD=BE， ∵AG==AE，AC==AB， ∴GC=AC-AG=AB-AE=（AB-AE）=BE， ∴HD：GC：EB=1：：1。 （2）連接AG、AC， ∵△ADC和△AHG都是等腰直角三角形， ∴AD：AC=AH：AG=1：，∠DAC=∠HAG=45°， ∴∠DAH=∠CAG， ∴△DAH∽△CAG， ∴HD：GC=AD：AC=1：， ∵∠DAB=∠HAE=90°， ∴∠DAH=

15、∠BAE， 在△DAH和△BAE中，， ∴△DAH≌△BAE（SAS）， ∴HD=EB， ∴HD：GC：EB=1：：1； （3）有變化， 連接AG、AC， ∵矩形AEGH的頂點(diǎn)E、H在矩形ABCD的邊上，DA：AB=HA：AE=m：n， ∴∠ADC=∠AHG=90°， ∴△ADC∽△AHG， ∴AD：AC=AH：AG=m：，∠DAC=∠HAG， ∴∠DAH=∠CAG， ∴△DAH∽△CAG， ∴HD：GC=AD：AC=m：， ∵∠DAB=∠HAE=90°， ∴∠DAH=∠BAE， ∵DA：AB=HA：AE=m：n， ∴△ADH∽△ABE， ∴DH：

16、BE=AD：AB=m：n， ∴HD：GC：EB=m：：n． 點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)．此題綜合性較強(qiáng)，難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 3. （2012?攀枝花）如圖，△ABC≌△ADE且∠ABC=∠ADE，∠ACB=∠AED，BC、DE交于點(diǎn)O．則下列四個(gè)結(jié)論中，①∠1=∠2；②BC=DE；③△ABD∽△ACE；④A、O、C、E四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，一定成立的有（　　） A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 考點(diǎn)：相似三角形的判定；全等三角形的性質(zhì)；圓

17、周角定理． 分析：由△ABC≌△ADE且∠ABC=∠ADE，∠ACB=∠AED，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可求得BC=DE，∠BAC=∠DAE，繼而可得∠1=∠2，則可判定①②正確；由△ABC≌△ADE，可得AB=AD，AC=AE，則可得AB：AC=AD：AE，根據(jù)有兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等三角形相似，即可判定③正確；易證得△AEF∽△DCF與△AOF∽△CEF，繼而可得∠OAC+∠OCE=180°，即可判定A、O、C、E四點(diǎn)在同一個(gè)圓上． 解答：解：∵△ABC≌△ADE且∠ABC=∠ADE，∠ACB=∠AED， ∴∠BAC=∠DAE，BC=DE，故②正確； ∴∠BAC-∠DAC=∠DA

18、E-∠DAC， 即∠1=∠2，故①正確； ∵△ABC≌△ADE， ∴AB=AD，AC=AE， ∴， ∵∠1=∠2， ∴△ABD∽△ACE，故③正確； ∵∠ACB=∠AEF，∠AFE=∠OFC， ∴△AFE∽△OFC， ∴，∠2=∠FOC， 即， ∵∠AFO=∠EFC， ∴△AFO∽△EFC， ∴∠FAO=∠FEC， ∴∠EAO+∠ECO=∠2+∠FAO+∠ECO=∠FOC+∠FEC+∠ECO=180°， ∴A、O、C、E四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，故④正確． 故選D． 點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)以及四點(diǎn)共圓的知識(shí)．此題難度較大，注意數(shù)形

19、結(jié)合思想的應(yīng)用，注意找到相似三角形是解此題的關(guān)鍵． 4. （2012?義烏市）在銳角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，將△ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到△A1BC1． （1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)C1在線段CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，求∠CC1A1的度數(shù)； （2）如圖2，連接AA1，CC1．若△ABA1的面積為4，求△CBC1的面積； （3）如圖3，點(diǎn)E為線段AB中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，在△ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)P1，求線段EP1長(zhǎng)度的最大值與最小值． 考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)． 專題：幾何綜合題．

20、 分析：（1）由由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：∠A1C1B=∠ACB=45°，BC=BC1，又由等腰三角形的性質(zhì)，即可求得∠CC1A1的度數(shù)； （2）由△ABC≌△A1BC1，易證得△ABA1∽△CBC1，然后利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求得△CBC1的面積； （3）由①當(dāng)P在AC上運(yùn)動(dòng)至垂足點(diǎn)D，△ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P1在線段AB上時(shí)，EP1最小，②當(dāng)P在AC上運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C，△ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P1在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，EP1最大，即可求得線段EP1長(zhǎng)度的最大值與最小值． 解答：解：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：∠A1C1B=∠ACB=45°，BC=BC1，

21、 ∴∠CC1B=∠C1CB=45°，..…（2分） ∴∠CC1A1=∠CC1B+∠A1C1B=45°+45°=90°． （2）∵△ABC≌△A1BC1， ∴BA=BA1，BC=BC1，∠ABC=∠A1BC1， ∴，∠ABC+∠ABC1=∠A1BC1+∠ABC1， ∴∠ABA1=∠CBC1， ∴△ABA1∽△CBC1． ∴， ∵S△ABA1=4， ∴S△CBC1=； （3）①如圖1，過點(diǎn)B作BD⊥AC，D為垂足， ∵△ABC為銳角三角形， ∴點(diǎn)D在線段AC上， 在Rt△BCD中，BD=BC×sin45°=， 當(dāng)P在AC上運(yùn)動(dòng)與AB垂直的時(shí)候，△ABC

22、繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P1在線段AB上時(shí)，EP1最小，最小值為：EP1=BP1-BE=BD-BE=-2； ②當(dāng)P在AC上運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C，△ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P1在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，EP1最大，最大值為：EP1=BC+BE=2+5=7． 點(diǎn)評(píng)：此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角函數(shù)的應(yīng)用．此題難度較大，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意旋轉(zhuǎn)前后的對(duì)應(yīng)關(guān)系． 考點(diǎn)四：位似 例5 （2012?玉林）如圖，正方形ABCD的兩邊BC，AB分別在平面直角坐標(biāo)系的x軸、y軸的正半軸上，正方形A′B′C′D′與正方形ABCD是以AC

23、的中點(diǎn)O′為中心的位似圖形，已知AC=3，若點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（1，2），則正方形A′B′C′D′與正方形ABCD的相似比是（　　） A． B． C． D． 考點(diǎn)：位似變換；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)． 分析：延長(zhǎng)A′B′交BC于點(diǎn)E，根據(jù)大正方形的對(duì)角線長(zhǎng)求得其邊長(zhǎng)，然后求得小正方形的邊長(zhǎng)后即可求兩個(gè)正方形的相似比． 解答：解：∵在正方形ABCD中，AC=3 ∴BC=AB=3， 延長(zhǎng)A′B′交BC于點(diǎn)E， ∵點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（1，2）， ∴OE=1，EC=A′E=3-1=2， ∴正方形A′B′C′D′的邊長(zhǎng)為1， ∴正方形A′B′C′D′與正方形ABCD

24、的相似比是． 故選B． 點(diǎn)評(píng)：本題考查了位似變換和坐標(biāo)與圖形的變化的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件求得兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)． 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 5．（2012?咸寧）如圖，正方形OABC與正方形ODEF是位似圖形，O為位似中心，相似比為1：，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），則E點(diǎn)的坐標(biāo)為（　　） A．（，0） B．（ C． D． 考點(diǎn)：位似變換；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)． 分析：由題意可得OA：OD=1：，又由點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），即可求得OD的長(zhǎng)，又由正方形的性質(zhì)，即可求得E點(diǎn)的坐標(biāo)． 解答：解：∵正方形OABC與正方形ODEF是位似圖形，O為位似中心，相似比為1

25、：， ∴OA：OD=1：， ∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0）， 即OA=1， ∴OD=， ∵四邊形ODEF是正方形， ∴DE=OD=． ∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為：（，）． 故選C． 點(diǎn)評(píng)：此題考查了位似變換的性質(zhì)與正方形的性質(zhì)．此題比較簡(jiǎn)單，注意理解位似變換與相似比的定義是解此題的關(guān)鍵． 【聚焦山東中考】 1．（2012?濰坊）已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一點(diǎn)E，沿AE將△ABE向上折疊，使B點(diǎn)落在AD上的F點(diǎn)，若四邊形EFDC與矩形ABCD相似，則AD=（　?。? A． B． C． D．2 考點(diǎn)：相似多邊形的性質(zhì)；翻折變換（折疊問題）． 分析：可設(shè)AD

26、=x，根據(jù)四邊形EFDC與矩形ABCD相似，可得比例式，求解即可． 解答：解：∵AB=1， 設(shè)AD=x，則FD=x-1，F(xiàn)E=1， ∵四邊形EFDC與矩形ABCD相似， ∴， ， 解得x1=，x2=（負(fù)值舍去）， 經(jīng)檢驗(yàn)x1=是原方程的解． 故選B． 點(diǎn)評(píng)：考查了翻折變換（折疊問題），相似多邊形的性質(zhì)，本題的關(guān)鍵是根據(jù)四邊形EFDC與矩形ABCD相似得到比例式． 2．（2012?東營(yíng)）如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，邊OA在x軸上，OC在y軸上，如果矩形OA′B′C′與矩形OABC關(guān)于點(diǎn)O位似，且矩形OA′B′C′的面積等于矩形OABC面積的 ，那

27、么點(diǎn)B′的坐標(biāo)是（　　） A．（-2，3） B．（2，-3） C．（3，-2）或（-2，3） D．（-2，3）或（2，-3） 考點(diǎn)：相似多邊形的性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)． 分析：由矩形OA′B′C′與矩形OABC關(guān)于點(diǎn)O位似，且矩形OA′B′C′的面積等于矩形OABC面積的，利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求得矩形OA′B′C′與矩形OABC的位似比為1：2，又由點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-4，6），即可求得答案． 解答：解：∵矩形OA′B′C′與矩形OABC關(guān)于點(diǎn)O位似， ∴矩形OA′B′C′∽矩形OABC， ∵矩形OA′B′C′的面積等于矩形OABC面積的， ∴位似比為：

28、1：2， ∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-4，6）， ∴點(diǎn)B′的坐標(biāo)是：（-2，3）或（2，-3）． 故選D． 點(diǎn)評(píng)：此題考查了位似圖形的性質(zhì)．此題難度不大，注意位似圖形是特殊的相似圖形，注意掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方定理的應(yīng)用，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 3. （2012?日照）在菱形ABCD中，E是BC邊上的點(diǎn)，連接AE交BD于點(diǎn)F，若EC=2BE，則 的值是（　?。? A． B． C． D． 考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；菱形的性質(zhì)． 分析：根據(jù)菱形的對(duì)邊平行且相等的性質(zhì)，判斷△BEF∽△DAF，得出= ，再根據(jù)BE與BC的數(shù)量關(guān)系求比值． 解答：解：

29、如圖， ∵在菱形ABCD中，AD∥BC，且AD=BC， ∴△BEF∽△DAF， ∴= ， 又∵EC=2BE， ∴BC=3BE，即AD=3BE， ∴= =， 故選B． 點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)．關(guān)鍵是由平行線得出相似三角形，由菱形的性質(zhì)得出線段的長(zhǎng)度關(guān)系． 4.（2012?德州）為了測(cè)量被池塘隔開的A，B兩點(diǎn)之間的距離，根據(jù)實(shí)際情況，作出如圖圖形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于D，C在BD上．有四位同學(xué)分別測(cè)量出以下四組數(shù)據(jù)：①BC，∠ACB；?②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC．能根據(jù)所測(cè)數(shù)據(jù)，求出A，B間距

30、離的有（　?。? A．1組 B．2組 C．3組 D．4組F 考點(diǎn)：相似三角形的應(yīng)用；解直角三角形的應(yīng)用． 分析：根據(jù)三角形相似可知，要求出AB，只需求出EF即可．所以借助于相似三角形的性質(zhì)，根據(jù) 即可解答． 解答：解：此題比較綜合，要多方面考慮， ①因?yàn)橹馈螦CB和BC的長(zhǎng)，所以可利用∠ACB的正切來求AB的長(zhǎng)； ②可利用∠ACB和∠ADB的正切求出AB； ③，因?yàn)椤鰽BD∽△EFD可利用，求出AB； ④無法求出A，B間距離． 故共有3組可以求出A，B間距離． 故選C． 點(diǎn)評(píng)：本題考查相似三角形的應(yīng)用和解直角三角形的應(yīng)用，解答道題的關(guān)鍵是將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，本題

31、只要把實(shí)際問題抽象到相似三角形，解直角三角形即可求出． 5．（2012?威海）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為（4，0），（8，2），（6，4）．已知△A1B1C1的兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，3），（2，5），若△ABC與△A1B1C1位似，則△A1B1C1的第三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為 （3，4）或（0，4） ． 考點(diǎn)：位似變換；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)． 分析：首先由題意可求得直線AC、AB、BC的解析式與過點(diǎn)（1，3），（2，5）的直線的解析式，即可知過這兩點(diǎn)的直線與直線AC平行，則可分別從①若A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A1（1，3），C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C1（2，5）與②

32、若C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A1（1，3），A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C1（2，5）去分析求解，即可求得答案． 解答：解：設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+b， ∵△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為（4，0），（8，2），（6，4）， ∴， 解得：， ∴直線AC的解析式為：y=2x-8， 同理可得：直線AB的解析式為：y=x-2，直線BC的解析式為：y=-x+10， ∵△A1B1C1的兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，3），（2，5）， ∴過這兩點(diǎn)的直線為：y=2x+1， ∴過這兩點(diǎn)的直線與直線AC平行， ①若A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A1（1，3），C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C1（2，5）， 則B1C1∥BC，B1A1∥BA， 設(shè)直線B1C1的解

33、析式為y=-x+a，直線B1A1的解析式為y=x+b， ∴-2+a=5，+b=3， 解得：a=7，b=， ∴直線B1C1的解析式為y=-x+7，直線B1A1的解析式為y=x+， 則直線B1C1與直線B1A1的交點(diǎn)為：（3，4）； ②若C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A1（1，3），A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C1（2，5）， 則B1A1∥BC，B1C1∥BA， 設(shè)直線B1C1的解析式為y=x+c，直線B1A1的解析式為y=-x+d， ∴×2+c=5，-1+d=3， 解得：c=4，d=4， ∴直線B1C1的解析式為y=x+4，直線B1A1的解析式為y=-x+4， 則直線B1C1與直線B1A1的交點(diǎn)為：（0，4

34、）． ∴△A1B1C1的第三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，4）或（0，4）． 故答案為：（3，4）或（0，4）． 點(diǎn)評(píng)：此題考查了位似圖形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握位似圖形的對(duì)應(yīng)線段互相平行，注意掌握待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式的知識(shí)，注意分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 6．（2012?菏澤）如圖，在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC和△DEF的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF邊上的5個(gè)格點(diǎn)，請(qǐng)按要求完成下列各題： （1）試證明三角形△ABC為直角三角形； （2）判斷△ABC和△DEF是否相似，并說明理由； （3）畫一個(gè)三角形，使它的三個(gè)頂點(diǎn)為P1，P

35、2，P3，P4，P5中的3個(gè)格點(diǎn)并且與△ABC相似（要求：用尺規(guī)作圖，保留痕跡，不寫作法與證明）． 考點(diǎn)：作圖—相似變換；勾股定理的逆定理；相似三角形的判定． 分析：（1）利用網(wǎng)格借助勾股定理得出AB=2，AC=，BC=5，再利用勾股定理逆定理得出答案即可； （2）利用AB=2，AC=，BC=5以及DE=4，DF=2，EF=2，利用三角形三邊比值關(guān)系得出即可； （3）根據(jù)△P2P4 P5三邊與△ABC三邊長(zhǎng)度得出答案即可． 解答：解：（1）根據(jù)勾股定理，得AB=2，AC=，BC=5； 顯然有AB2+AC2=BC2， 根據(jù)勾股定理的逆定理得△ABC?為直角三角形； （2）

36、△ABC和△DEF相似． 根據(jù)勾股定理，得AB=2，AC=，BC=5， DE=4，DF=2，EF=2． ， ∴△ABC∽△DEF． （3）如圖：連接P2P5，P2P4，P4P5， ∵P2P5=，P2P4=，P4P5=2， AB=2，AC=，BC=5， ∴， ∴，△ABC∽△P2P4?P5． 點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似三角形的判定以及勾股定理與逆定理應(yīng)用，根據(jù)已知得出三角形各邊長(zhǎng)度是解題關(guān)鍵． 【備考真題過關(guān)】 一、選擇題 1．（2012?涼山州）已知 ，則 的值是（　?。? A． B． C． D． 考點(diǎn)：比例的性質(zhì)． 分析：先設(shè)出b=

37、5k，得出a=13k，再把a(bǔ)，b的值代入即可求出答案． 解答：解：令a，b分別等于13和5， ∵， ∴a=13， ∴=； 故選D． 點(diǎn)評(píng)：此題考查了比例的性質(zhì)．此題比較簡(jiǎn)單，解題的關(guān)鍵是注意掌握比例的性質(zhì)與比例變形． 2．（2012?天門）如圖，△ABC為等邊三角形，點(diǎn)E在BA的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)D在BC邊上，且ED=EC．若△ABC的邊長(zhǎng)為4，AE=2，則BD的長(zhǎng)為（　　） A．2 B．3 C． D． 考點(diǎn)：平行線分線段成比例；等腰三角形的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)． 分析：延長(zhǎng)BC至F點(diǎn)，使得CF=BD，證得△EBD≌△EFC后即可證得∠B=∠F，然后證得

38、AC∥EF，利用平行線分線段成比例定理證得CF=EA后即可求得BD的長(zhǎng)． 解答：解：延長(zhǎng)BC至F點(diǎn)，使得CF=BD， ∵ED=EC ∴∠EDB=∠ECF ∴△EBD≌△EFC ∴∠B=∠F ∵△ABC是等邊三角形， ∴∠B=∠ACB ∴∠ACB=∠F ∴AC∥EF ∴AE=CF=2 ∴BD=AE=CF=2 故選A． 點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形及等邊三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確的作出輔助線． 3．（2012?寧德）如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，點(diǎn)E、F、G、H分別在矩形ABCD的各邊上，EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，則四邊形EFGH的周長(zhǎng)

39、是（　?。? A． B． C． D． 考點(diǎn)：平行線分線段成比例；勾股定理；矩形的性質(zhì)． 分析：根據(jù)矩形的對(duì)角線相等，利用勾股定理求出對(duì)角線的長(zhǎng)度，然后根據(jù)平行線分線段成比例定理列式表示出EF、EH的長(zhǎng)度之和，再根據(jù)四邊形EFGH是平行四邊形，即可得解． 解答：解：在矩形ABCD中，AB=2，BC=3， 根據(jù)勾股定理，AC=BD=， ∵EF∥AC∥HG， ∴， ∵EH∥BD∥FG， ∴， ∴=1， ∴EF+EH=AC=， ∵EF∥HG，EH∥FG， ∴四邊形EFGH是平行四邊形， ∴四邊形EFGH的周長(zhǎng)=2（EF+EH）=2． 故選D．

40、點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行線分線段成比例定理，矩形的對(duì)角線相等，勾股定理，根據(jù)平行線分線段成比例定理求出1是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)． 4．（2012?柳州）小張用手機(jī)拍攝得到甲圖，經(jīng)放大后得到乙圖，甲圖中的線段AB在乙圖中的對(duì)應(yīng)線段是（　?。? A．FG B．FH C．EH D．EF 考點(diǎn)：相似圖形． 分析：觀察圖形，先找出對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，再根據(jù)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線即為對(duì)應(yīng)線段解答． 解答：解：由圖可知，點(diǎn)A、E是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)， 點(diǎn)B、F是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)， 點(diǎn)D、H是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)， 所以，甲圖中的線段AB在乙圖中的對(duì)應(yīng)線段是EF． 故選D． 點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似圖形，根據(jù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)確定對(duì)應(yīng)線段，所以確定

41、出對(duì)應(yīng)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵． 5.（2012?銅仁地區(qū)）如圖，六邊形ABCDEF∽六邊形GHIJKL，相似比為2：1，則下列結(jié)論正確的是（　?。? A．∠E=2∠K B．BC=2HI C．六邊形ABCDEF的周長(zhǎng)=六邊形GHIJKL的周長(zhǎng) D．S六邊形ABCDEF=2S六邊形GHIJKL 考點(diǎn)：相似多邊形的性質(zhì)． 專題：探究型． 分析：根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可． 解答：解：A、∵六邊形ABCDEF∽六邊形GHIJKL，∴∠E=∠K，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； B、∵六邊形ABCDEF∽六邊形GHIJKL，相似比為2：1，∴BC=2HI，故本選項(xiàng)正確； C、∵六

42、邊形ABCDEF∽六邊形GHIJKL，相似比為2：1，∴六邊形ABCDEF的周長(zhǎng)=六邊形GHIJKL的周長(zhǎng)×2，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； D、∵六邊形ABCDEF∽六邊形GHIJKL，相似比為2：1，∴S六邊形ABCDEF=4S六邊形GHIJKL，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤． 故選B． 點(diǎn)評(píng)：本題考查的是相似多邊形的性質(zhì)，即兩個(gè)相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，周長(zhǎng)的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方． 6. （2012?荊州）下列4×4的正方形網(wǎng)格中，小正方形的邊長(zhǎng)均為1，三角形的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則與△ABC相似的三角形所在的網(wǎng)格圖形是（　　） A． B． C． D． 考點(diǎn)：相似三角形的判定．

43、專題：網(wǎng)格型． 分析：根據(jù)勾股定理求出△ABC的三邊，并求出三邊之比，然后根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)利用勾股定理求出三角形的三邊之比，再根據(jù)三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似選擇答案． 解答：解：根據(jù)勾股定理，AB==2， BC==， AC=， 所以△ABC的三邊之比為：2：=1：2：， A、三角形的三邊分別為2，，=3， 三邊之比為2：：3=：：3，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； B、三角形的三邊分別為2，4，=2， 三邊之比為2：4：2=1：2：，故本選項(xiàng)正確； C、三角形的三邊分別為2，3，=，三邊之比為2：3：，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； D、三角形的三邊分別為=，=，4， 三邊之比為：：4，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．

44、 故選B． 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相似三角形的判定與網(wǎng)格結(jié)構(gòu)的知識(shí)，根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)分別求出各三角形的三條邊的長(zhǎng)，并求出三邊之比是解題的關(guān)鍵． 7. （2012?海南）如圖，點(diǎn)D在△ABC的邊AC上，要判定△ADB與△ABC相似，添加一個(gè)條件，不正確的是（　?。? A．∠ABD=∠C B．∠ADB=∠ABC C． D． 考點(diǎn)：相似三角形的判定． 分析：由∠A是公共角，利用有兩角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似，即可得A與B正確；又由兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，即可得D正確，繼而求得答案，注意排除法在解選擇題中的應(yīng)用． 解答：解：∵∠A是公共角

45、， ∴當(dāng)∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC時(shí)，△ADB∽△ABC（有兩角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似）； 故A與B正確； 當(dāng)時(shí)，△ADB∽△ABC（兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似）； 故D正確； 當(dāng)時(shí)，∠A不是夾角，故不能判定△ADB與△ABC相似， 故C錯(cuò)誤． 故選C． 點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定．此題難度不大，注意掌握有兩角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似與兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似定理的應(yīng)用 8．（2012?遵義）如圖，在△ABC中，EF∥BC， ，S四邊形BCFE=8，則S△ABC=（　?。? A．9 B．10 C．12 D．13

46、 考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)． 專題：計(jì)算題． 分析：求出的值，推出△AEF∽△ABC，得出 ，把S四邊形BCFE=8代入求出即可． 解答：解：∵， ∴=， ∵EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ∴， ∴9S△AEF=S△ABC， ∵S四邊形BCFE=8， ∴9（S△ABC-8）=S△ABC， 解得：S△ABC=9． 故選A． 點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，注意：相似三角形的面積比等于相似比的平方，題型較好，但是一道比較容易出錯(cuò)的題目． 9. （2012?宜賓）如圖，在四邊形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD，CD=

47、 AB，點(diǎn)E、F分別為AB、AD的中點(diǎn)，則△AEF與多邊形BCDFE的面積之比為（　?。? A． B． C． D． 考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；三角形的面積；三角形中位線定理． 分析：根據(jù)三角形的中位線求出EF= BD，EF∥BD，推出△AEF∽△ABD，得出，求出 ，即可求出△AEF與多邊形BCDFE的面積之比． 解答：解：連接BD， ∵F、E分別為AD、AB中點(diǎn)， ∴EF=BD，EF∥BD， ∴△AEF∽△ABD， ∴， ∴△AEF的面積：四邊形EFDB的面積=1：3， ∵CD=AB，CB⊥DC，AB∥CD， ∴， ∴△AEF與多邊

48、形BCDFE的面積之比為1：（1+4）=1：5， 故選C． 點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的面積，三角形的中位線等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算的能力，題目比較典型，難度適中． 10．（2012?欽州）圖中兩個(gè)四邊形是位似圖形，它們的位似中心是（　?。? A．點(diǎn)M B．點(diǎn)N C．點(diǎn)O D．點(diǎn)P 考點(diǎn)：位似變換． 專題：網(wǎng)格型． 分析：根據(jù)位似變換的定義：對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)，交點(diǎn)就是位似中心．即位似中心一定在對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線上． 解答：解：點(diǎn)P在對(duì)應(yīng)點(diǎn)M和點(diǎn)N所在直線上， 故選：D． 點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了位似圖形的概念，根據(jù)位似圖形的位似中心位于對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線所在的

49、直線上得出是解題關(guān)鍵． 11．（2012?畢節(jié)地區(qū)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為位中心，將△ABO擴(kuò)大到原來的2倍，得到△A′B′O．若點(diǎn)A的坐標(biāo)是（1，2），則點(diǎn)A′的坐標(biāo)是（　?。? A．（2，4） B．（-1，-2） C．（-2，-4） D．（-2，-1） 考點(diǎn)：位似變換；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)． 分析：根據(jù)以原點(diǎn)O為位中心，將△ABO擴(kuò)大到原來的2倍，即可得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)應(yīng)乘以-2，即可得出點(diǎn)A′的坐標(biāo)． 解答：解：根據(jù)以原點(diǎn)O為位中心，圖形的坐標(biāo)特點(diǎn)得出，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)應(yīng)乘以-2， 故點(diǎn)A的坐標(biāo)是（1，2），則點(diǎn)A′的坐標(biāo)是（-2，-4）， 故選：C． 點(diǎn)評(píng)：此題

50、主要考查了關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的位似圖形的性質(zhì)，得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)乘以k或-k是解題關(guān)鍵． 二、填空題 12．（2012?宿遷）如圖，已知P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且PA＞PB，若S1表示PA為一邊的正方形的面積，S2表示長(zhǎng)是AB，寬是PB的矩形的面積，則S1 = S2．（填“＞”“=”或“＜”） 考點(diǎn)：黃金分割． 分析：根據(jù)黃金分割的定義得到PA2=PB?AB，再利用正方形和矩形的面積公式有S1=PA2，S2=PB?AB，即可得到S1=S2． 解答：解：∵P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且PA＞PB， ∴PA2=PB?AB， 又∵S1表示PA為一

51、邊的正方形的面積，S2表示長(zhǎng)是AB，寬是PB的矩形的面積， ∴S1=PA2，S2=PB?AB， ∴S1=S2． 故答案為=． 點(diǎn)評(píng)：本題考查了黃金分割的定義：一個(gè)點(diǎn)把一條線段分成較長(zhǎng)線段和較短線段，并且較長(zhǎng)線段是較短線段和整個(gè)線段的比例中項(xiàng)，那么就說這個(gè)點(diǎn)把這條線段黃金分割，這個(gè)點(diǎn)叫這條線段的黃金分割點(diǎn)． 14.（2012?自貢）正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1cm，M、N分別是BC、CD上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且始終保持AM⊥MN，當(dāng)BM= cm時(shí)，四邊形ABCN的面積最大，最大面積為 cm2． 考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；二次函數(shù)的最值

52、；正方形的性質(zhì)． 分析：設(shè)BM=xcm，則MC=1-xcm，當(dāng)AM⊥MN時(shí)，利用互余關(guān)系可證△ABM∽△MCN，利用相似比求CN，根據(jù)梯形的面積公式表示四邊形ABCN的面積，用二次函數(shù)的性質(zhì)求面積的最大值． 解答：解：設(shè)BM=xcm，則MC=1-xcm， ∵∠AMN=90°，∠AMB+∠NMC=90°，∠NMC+∠MNC=90°， ∴∠AMB=90°-∠NMC=∠MNC， ∴△ABM∽△MCN，則，即， 解得CN=， ∴S四邊形ABCN=×1×[1+x（1-x）]=- x2+x+， ∵-＜0， ∴當(dāng)x=-cm時(shí)，S四邊形ABCN最大，最大值是-×（）2+×+=cm2． 故答

53、案是：，． 點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)的運(yùn)用．關(guān)鍵是根據(jù)已知條件判斷相似三角形，利用相似比求函數(shù)關(guān)系式． 15. （2012?資陽(yáng)）如圖，O為矩形ABCD的中心，M為BC邊上一點(diǎn)，N為DC邊上一點(diǎn)，ON⊥OM，若AB=6，AD=4，設(shè)OM=x，ON=y，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為 。 考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)． 分析：求兩條線段的關(guān)系，把兩條線段放到兩個(gè)三角形中，利用兩個(gè)三角形的關(guān)系求解． 解答：解：如圖，作OF⊥BC于F，OE⊥CD于E， ∵ABCD為矩形 ∴∠C=90° ∵OF⊥BC，OE⊥CD ∴∠EOF=90°

54、∴∠EON+∠FON=90° ∵ON⊥OM ∴∠EON=∠FOM ∴△OEN∽△OFM ∵O為中心 ∴, ∴, 即y=x， 故答案為：y=x， 點(diǎn)評(píng)：此題主要考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是合理的在圖中作出輔助線，熟練掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)． 16.（2012?鎮(zhèn)江）如圖，E是?ABCD的邊CD上一點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，且AD=4， ，則CF的長(zhǎng)為 2 ． 考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)． 分析：由四邊形ABCD是平行四邊形，即可得BC=AD=4，AB∥CD，繼而可證得△F

55、EC∽△FAB，由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得答案． 解答：解：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴BC=AD=4，AB∥CD， ∴△FEC∽△FAB， ∴， ∴， ∴CF=BC=×4=2． 故答案為：2． 點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 17.（2012?泰州）如圖，在邊長(zhǎng)相同的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C、D都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，AB、CD相交于點(diǎn)P，則tan∠APD的值是 2 ． 考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；銳角三角函數(shù)的定義． 分析：首先

56、連接BE，由題意易得BF=CF，△ACP∽△BDP，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，易得DP：CP=1：3，即可得PF：CF=PF：BF=1：2，在Rt△PBF中，即可求得tan∠BPF的值，繼而求得答案． 解答：解：如圖，連接BE， ∵四邊形BCED是正方形， ∴DF=CF=CD，BF=BE，CD=BE，BE⊥CD， ∴BF=CF， 根據(jù)題意得：AC∥BD， ∴△ACP∽△BDP， ∴DP：CP=BD：AC=1：3， ∴DP=PF=CF=BF， 在Rt△PBF中，tan∠BPF==2， ∵∠APD=∠BPF， ∴tan∠APD=2． 故答案為：2． 點(diǎn)評(píng)：此題考查了

57、相似三角形的判定與性質(zhì)與三角函數(shù)的定義．此題難度適中，解題的關(guān)鍵準(zhǔn)確作出輔助線，注意轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 18．（2012?青海）如圖，利用標(biāo)桿BE測(cè)量建筑物的高度，標(biāo)桿BE高1.5m，測(cè)得AB=2m，BC=14cm，則樓高CD為 12 m． 考點(diǎn)：相似三角形的應(yīng)用． 專題：應(yīng)用題． 分析：先根據(jù)題意得出△ABE∽△ACD，再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可求出CD的值． 解答：解：∵EB⊥AC，DC⊥AC， ∴EB∥DC， ∴△ABE∽△ACD， ∴， ∵BE=1.5，AB=2，BC=14， ∴AC=16， ∴， ∴CD=12．

58、 故答案為：12． 點(diǎn)評(píng)：本題考查的是相似三角形的應(yīng)用，熟知相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵． 19. （2012?婁底）如圖，在一場(chǎng)羽毛球比賽中，站在場(chǎng)內(nèi)M處的運(yùn)動(dòng)員林丹把球從N點(diǎn)擊到了對(duì)方內(nèi)的B點(diǎn)，已知網(wǎng)高OA=1.52米，OB=4米，OM=5米，則林丹起跳后擊球點(diǎn)N離地面的距離NM= 3.42 米． 考點(diǎn)：相似三角形的應(yīng)用． 分析：首先根據(jù)題意易得△ABO∽△NAM，然后根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得答案． 解答：解：根據(jù)題意得：AO⊥BM，NM⊥BM， ∴AO∥NM， ∴△ABO∽△NBM， ∴， ∵OA=1.52米，O

59、B=4米，OM=5米， ∴BM=OB+OM=4+5=9（米）， ∴， 解得：NM=3.42（米）， ∴林丹起跳后擊球點(diǎn)N離地面的距離NM為3.42米． 故答案為：3.42． 點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的應(yīng)用．此題比較簡(jiǎn)單，注意掌握相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例定理的應(yīng)用，注意把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題求解． 20.（2012?北京）如圖，小明同學(xué)用自制的直角三角形紙板DEF測(cè)量樹的高度AB，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點(diǎn)B在同一直線上．已知紙板的兩條直角邊DE=40cm，EF=20cm，測(cè)得邊DF離地面的高度AC=1.5m，CD=8m，則樹高AB=

60、 5.5 m． 考點(diǎn)：相似三角形的應(yīng)用． 分析：利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的長(zhǎng)后加上小明同學(xué)的身高即可求得樹高AB． 解答：解：∵∠DEF=∠BCD=90°∠D=∠D ∴△DEF∽△DCB ∴, ∵DE=40cm=0.4m，EF=20cm=0.2m，AC=1.5m，CD=8m， ∴, ∴BC=4， ∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5米， 故答案為5.5 點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從實(shí)際問題中整理出相似三角形的模型． 21.（2012?阜新）?如圖，△ABC與△A1B1C1為位似圖形，點(diǎn)O是它們的

61、位似中心，位似比是1：2，已知△ABC的面積為3，那么△A1B1C1的面積是 12 ． 考點(diǎn)：位似變換． 分析：由△ABC與△A1B1C1為位似圖形，位似比是1：2，即可得△ABC與△A1B1C1為相似三角形，且相似比為1：2，又由相似三角形面積的比等于相似比的平方，即可求得答案． 解答：解：∵△ABC與△A1B1C1為位似圖形， ∴△ABC∽△A1B1C1， ∵位似比是1：2， ∴相似比是1：2， ∴△ABC與△A1B1C1的面積比為：1：4， ∵△ABC的面積為3， ∴△A1B1C1的面積是：3×4=12． 故答案為：12． 點(diǎn)評(píng)：此題考查

62、了位似圖形的性質(zhì)．注意位似圖形是相似圖形的特殊情況，注意相似三角形面積的比等于相似比的平方定理的應(yīng)用． 三、解答題 22．（2012?上海）己知：如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD，∠BAF=∠DAE，AE與BD交于點(diǎn)G． （1）求證：BE=DF； （2）當(dāng) 時(shí)，求證：四邊形BEFG是平行四邊形． 考點(diǎn)：平行線分線段成比例；全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的判定；菱形的性質(zhì)． 專題：證明題． 分析：（1）證得△ABF與△AFD全等后即可證得結(jié)論； （2））利用得到 ，從而根據(jù)平行線分線段成比例定理證得FG∥BC，進(jìn)而得到∠DGF=∠DBC=

63、∠BDC，最后證得BE=GF，利用一組對(duì)邊平行且相等即可判定平行四邊形． 解答：證明：（1）∵四邊形ABCD是菱形， ∴AB=AD，∠ABC=∠ADF， ∵∠BAF=∠DAE， ∴∠BAF-∠EAF=∠DAE-∠EAF， 即：∠BAE=∠DAF， ∴△BAE≌△DAF ∴BE=DF； （2）∵， ∴ ∴FG∥BC ∴∠DGF=∠DBC=∠BDC ∴DF=GF ∴BE=GF ∴四邊形BEFG是平行四邊形． 點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行線分線段成比例定理及平行四邊形的判定與性質(zhì)，特別是第二問如何利用已知比例式進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決此題的關(guān)鍵． 23． （2012?云南）

64、如圖，在△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D是AB邊上的一點(diǎn)，DM⊥AB，且DM=AC，過點(diǎn)M作ME∥BC交AB于點(diǎn)E． 求證：△ABC∽△MED． 考點(diǎn)：相似三角形的判定． 專題：證明題． 分析：根據(jù)平行線的性質(zhì)可得出∠B=∠MED，結(jié)合全等三角形的判定定理可判斷△ABC≌△MED，也可得出△ABC∽△MED． 解答：證明：∵M(jìn)D⊥AB， ∴∠MDE=∠C=90°， ∵M(jìn)E∥BC， ∴∠B=∠MED， 在△ABC與△MED中，， ∴△ABC≌△MED（AAS）． ∴△ABC∽△MED． 點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定，注意兩三角形全等一定相似，但兩三角形相似不一定全等

65、，要求掌握三角形全等及相似的判定定理，難度一般． 24．（2012?株洲）如圖，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，沿直線MN對(duì)折，使A、C重合，直線MN交AC于O． （1）求證：△COM∽△CBA；????? （2）求線段OM的長(zhǎng)度． 考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；矩形的性質(zhì)． 分析：（1）根據(jù)A與C關(guān)于直線MN對(duì)稱得到AC⊥MN，進(jìn)一步得到∠COM=90°，從而得到在矩形ABCD中∠COM=∠B，最后證得△COM∽△CBA； （2）利用上題證得的相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例得到比例式后即可求得OM的長(zhǎng)． 解答：（1）證明：∵A與C關(guān)于直線MN對(duì)稱， ∴AC⊥

66、MN， ∴∠COM=90°． 在矩形ABCD中，∠B=90°， ∴∠COM=∠B， 又∵∠ACB=∠ACB， ∴△COM∽△CBA； （2）解：∵在Rt△CBA中，AB=6，BC=8， ∴AC=10， ∴OC=5， ∵△COM∽△CBA， ∴， ∴OM=． 點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理及矩形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)分析并找到相等的角來證得相似三角形． 25. （2012?株洲）如圖，在△ABC中，∠C=90°，BC=5米，AC=12米．M點(diǎn)在線段CA上，從C向A運(yùn)動(dòng)，速度為1米/秒；同時(shí)N點(diǎn)在線段AB上，從A向B運(yùn)動(dòng)，速度為2米/秒．運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒． （1）當(dāng)t為何值時(shí)，∠AMN=∠ANM？ （2）當(dāng)t為何值時(shí)，△AMN的面積最大？并求出這個(gè)最大值． 考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；二次函數(shù)的最值． 分析：（1）用t表示出AM和AN的值，根據(jù)AM=AN，得到關(guān)于t的方程求得t值即可； （2）作NH⊥AC于H，證得△ANH∽△ABC，從而得到比例式，然后用t表示出NH，從而計(jì)算其面積得到有關(guān)t的二次函數(shù)求最值即可． 解答