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1、2.4 非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu),非齊次線性方程組,,其中,,令,,,,則方程組（*）可表為,結(jié)論：,方程組（*）有解,可由 線性表出, ,秩 = 秩 ,,,,,,,,,,秩(A) = 秩( )，這里 = A , b,,,,,定理 非齊次線性方程組 有解的充分必 要條件是,,秩 = 秩( ),,,推論 當(dāng)非齊次線性方程組 有解時(shí)，解 無(wú)窮多的充分必要條件是,秩(A) < A的列數(shù) = 未知數(shù)個(gè)數(shù),非齊次方程組（*）：AX = b,齊次方程組（**）：AX = 0,稱（**）為（*）的導(dǎo)出方程組。,性質(zhì),(1) 設(shè)
2、是非齊次線性方程組 AX = b的任 意兩個(gè)解向量，則 是其導(dǎo)出方程AX=0的解 向量；,(2) 設(shè) 是非齊次線性方程組 AX = b的任一個(gè) 解向量， 是其導(dǎo)出方程組 AX = 0的任一個(gè)解向 量，則 是 AX = b的解向量。,定理 設(shè)非齊次線性方程組 AX = b有無(wú)窮多個(gè)解， 則其一般解為,其中 是 AX = b的一個(gè)特解， 是導(dǎo)出方 程組 AX = 0的一個(gè)基礎(chǔ)解系， 是 t個(gè)任意常 數(shù)。,,,,,,,,,例 求下列方程組的一般解,,解,,,,,,,考慮方程組,,, 一般解為,,,例 已知非齊次方程組,,的兩個(gè)解 ，求其一般解。,,解
3、因?yàn)榉匠探M有兩個(gè)解，解不唯一，故其系數(shù)矩 陣 A的秩小于等于2。,,,,又A的前兩行線性無(wú)關(guān)，說(shuō)明 A 的秩大于等于2。由此得 秩(A) = 2。,于是，原方程組 的導(dǎo)出方程組 AX = 0的基礎(chǔ)解系含 3-2=1個(gè)解。,可取,作為導(dǎo)出方程組的基礎(chǔ)解系，取 作為原 方程組的特解，則原方程組的一般解為,思考題 設(shè) AX=0是非齊次線性方程組 AX=b的導(dǎo)出 方程組，問,,（1）AX = 0有非零解 AX = b有無(wú)窮多解？,（2）AX = b有唯一解 AX = 0只有零解？,,,小結(jié)：,1. 求線性表出,2. 判別線性相關(guān)性,3. 求向量組的秩與極大無(wú)關(guān)組,4. 求矩陣的秩,5
4、. 求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系,6. 非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu),,,,,,例 證明：若向量組 線性相關(guān)，則向 量組,也線性相關(guān)。,證明 因?yàn)? 可由 線性表 出，所以,秩 秩 ,已知 線性相關(guān)，故有,秩 < n,,,于是，,秩 < n,,,由此可得 線性相關(guān)。,例 證明：若向量組 線性無(wú)關(guān)，則 向量組,,當(dāng) n為奇數(shù)時(shí)線性無(wú)關(guān)，當(dāng) n為偶數(shù)時(shí)線性相關(guān)。,,,,,,證明 令 ，則,因 線性無(wú)關(guān)，故,（1）,討論此齊次方程組有無(wú)非零解：,取其系數(shù)矩陣,,對(duì) A順序
5、做初等行變換,,,,當(dāng) n為奇數(shù)時(shí)，A可化為,此時(shí)，齊次方程組（1）只有零解，故有,于是， 線性無(wú)關(guān)。,,,當(dāng) n為偶數(shù)時(shí)，A可化為,,此時(shí)，齊次方程組（1）有非零解，故 線性相關(guān)。,,,,,,,證明： 線性無(wú)關(guān)。,例 設(shè) 是非齊次線性方程組 的一個(gè)特 解， 是導(dǎo)出方程組 的一組基礎(chǔ) 解系。令,證明 令,則,（1）,,,由此得,,因?yàn)? ，故,,,（2）,,,,于是由 式(1) 得,已知 是基礎(chǔ)解系，它們線性無(wú) 關(guān)，故,再由 式(2)得 。所以, 線 性無(wú)關(guān)。,,,,例 設(shè),,（1）證明：若 AY = b有解，則 的任一 組
6、解也是 的解；,,,（2）證明：AY = b有解 無(wú)解， 其中O是 零矩陣。,,,,,,,,,,,,,,,證明 （1）設(shè) AY = b有解，則存在一個(gè) ，使 。于是， 。,任取 的一個(gè)解 ，則 。,因,故 是 的解。,（2） 設(shè) 有解，則有,因,,,,,故,由此得,設(shè) ，則,,,,又,,故,,,由此得,所以，方程組 AY = b有解。,,例 已知四元齊次線性方程組,（I）,,與四元齊次線性方程組（II）的一般解,,問方程組（I）與（II）有無(wú)非零公共解？求它們的全 部公共解。,解 （法一
7、）易得方程組（I）的一般解為,,,,,,,,,,,,設(shè) 是方程組（I）與（II）的公共解，則存在數(shù) 使,即,因向量組 線性相關(guān)，故存在不全為零的 ，使上 式成立。由此可知，方程組(I) 與 (II)有非零公解 。,由上式可得,,解得其一般解為,,于是，方程組（I）與（II）的全部公共解為,,,,,（法二） 因方程組（II）的一般解為,代入方程組（I）有,由此得,所以，方程組（I）與（II）的全部公共解為,,,例 考慮方程組,(I),,(II),,在只能處理3位有效數(shù)字的計(jì)算機(jī)上討論它的解。,討論 首先,方程組(I)的理論解為,,方程組
8、(II)的理論解為,,,,,,1. 把 舍入為 1.01，得,的解為 的解為,,,,,2. 把 1.015舍入為 1.02，得,,,,,的解為,的解為,,,上述討論可得，方程組()的系數(shù)的一個(gè)極小變化對(duì)解產(chǎn)生很大影響，稱這樣的方程組為病態(tài)的。而方程組()則無(wú)此現(xiàn)象，相應(yīng)稱之為良態(tài)的。,例（投入產(chǎn)出問題）假設(shè)有三戶人家，其中一戶有一人是木工，令一戶有一人是電工，第三戶有一人是水管工。三家約定合作修理他們的住房。他們共同制訂了一個(gè)修理計(jì)劃：,每戶出一人，工作十天，并且每人工作一天應(yīng)由三家共同支付工資（包括維修自己的住房）。具體日程表如下,出于可以理解的原因，這三戶要求滿足如下的平衡條件：,“每戶在
9、十天內(nèi)的總支出=其總收入”,,,若規(guī)定每個(gè)工人的日工資在68元間浮動(dòng)，則我 們的問題是，如何確定每個(gè)工人的日工資數(shù)額，以使 上述修理計(jì)劃得以實(shí)現(xiàn)。,解 設(shè) 分別表示木工、電工、水管工 的日工資，則平衡條件可以表示為,整理并寫成矩陣形式，得,,所以， 是齊次線性方程組,,,,的解。不難求出上述方程組的一般解為,這里，k是任意常數(shù)。,根據(jù)事先規(guī)定的工資浮動(dòng)范圍，可取 k=0.2。 由此得木工、電工、水管工的日工資分別為 6.2元， 6.4元，7.2元。,,這個(gè)例子有一個(gè)顯著特征：我們把這三個(gè)工人看 成一個(gè)經(jīng)濟(jì)體系中的三個(gè)主體（稱為企業(yè)），他們?cè)?獲得投入（工資）的前提下，都具有產(chǎn)
10、出（工作）的 能力。而且，每個(gè)人的產(chǎn)出量（天數(shù)）是確定的，但 產(chǎn)出的價(jià)格（日工資）不確定。我們需要確定每個(gè)人 的產(chǎn)出價(jià)格，以使在固定時(shí)間周期（天）內(nèi)，每個(gè)人 的總產(chǎn)出等于其所獲得的總收入。顯然，這三個(gè)工人 在這天就構(gòu)成了一個(gè)自給自足式的經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)。,,,下面考慮一般情況。假設(shè)有一個(gè)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)由k個(gè)企 業(yè)構(gòu)成，順序給這些企業(yè)標(biāo)號(hào)為第1，第2，，第k個(gè) 企業(yè)。在一個(gè)固定時(shí)間周期內(nèi)，每個(gè)企業(yè)都能產(chǎn)出或 提供可被整個(gè)系統(tǒng)完全利用的某種商品或服務(wù)（產(chǎn)出 量是確定的）。一個(gè)重要問題是如何確定這 k個(gè)企業(yè) 產(chǎn)出的價(jià)格，以使每個(gè)企業(yè)的總產(chǎn)出等于其總收入。 這樣的價(jià)格結(jié)構(gòu)反映出該經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)處于一個(gè)自我平衡 的狀態(tài)。,
11、,在固定時(shí)間周期內(nèi)，令,第 i 個(gè)企業(yè)關(guān)于其總產(chǎn)出的報(bào)價(jià),第 j 個(gè)企業(yè)被第i個(gè)企業(yè)購(gòu)買的那部分 產(chǎn)出在其總產(chǎn)出中的比值，,,根據(jù)上述定義，得,,稱 P為價(jià)格向量，A為交易矩陣。則該經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的 平衡狀態(tài)可公式化為,,或,,上式為一個(gè)關(guān)于向量P的齊次線性方程組。 它有非零解,,,,,,,,令,因?yàn)榻灰拙仃嘇的每列元素的和均為1，故可知,所以，方程組 總有非零解。但是，我 們還必須要求價(jià)格向量的每個(gè)分量均非負(fù)（當(dāng)一個(gè)向 量 P或矩陣A的元素均非負(fù)時(shí)，記 或 ）， 對(duì)此，我們有,定理 若A是一個(gè)交易矩陣，那么齊次線性方程組,必有一個(gè)分量均非負(fù)的非零解P。,例 設(shè),,則平衡條件,,,,,,即為,它有一般解,這里k是任意常數(shù)。顯然，只要取 ，則可得非 負(fù)解 。,,
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