線性變換、二階矩陣及其乘法.ppt

上傳人:za****8 文檔編號(hào):14930822 上傳時(shí)間:2020-08-01 格式:PPT 頁數(shù):52 大?。?.45MB
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1、一、二階矩陣的定義 1由4個(gè)數(shù)a,b,c,d排成的正方形數(shù)表_______ 稱為 二階矩陣,2元素全為0的二階矩陣_______稱為零矩陣,簡(jiǎn)記為 _ 矩陣 稱為二階單位矩陣,記為 .,二、幾種特殊線性變換 1旋轉(zhuǎn)變換 直線坐標(biāo)系xOy內(nèi)的每個(gè)點(diǎn)繞原點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋 轉(zhuǎn)角的旋轉(zhuǎn)變換的坐標(biāo)變換公式是 對(duì)應(yīng)的二階矩陣為 ,2反射變換 平面上任意一點(diǎn)P對(duì)應(yīng)到它關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)P的線 性變換叫做關(guān)于直線l的反射 3伸縮變換 在直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)將每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼膋1 倍,縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼膋2倍,其中k1,k2為非零常數(shù), 這樣的幾何變換為伸縮變

2、換,4投影變換 設(shè)l是平面內(nèi)一條給定的直線,對(duì)平面內(nèi)的任意一點(diǎn)P 作直線l的垂線,垂足為點(diǎn)P,則稱點(diǎn)P為點(diǎn)P在直 線l上的投影,將平面上每一點(diǎn)P對(duì)應(yīng)到它在直線l上的 投影P,這個(gè)變換稱為關(guān)于直線l的投影變換,5切變變換 平行于x軸的切變變換對(duì)應(yīng)的二階矩陣為________, 平行于y軸的切變變換對(duì)應(yīng)的二階矩陣為_______ ,三、變換、矩陣的相等 1設(shè),是同一直角坐標(biāo)平面內(nèi)的兩個(gè)線性變換,如果 對(duì)平面內(nèi)的任意一點(diǎn)P,都有 ,則稱這 兩個(gè)線性變換相等,(P)=(P),2對(duì)于兩個(gè)二階矩陣A與B,如果它們的_________都分 別相等,則稱矩陣A

3、與矩陣B相等,記作AB.,對(duì)應(yīng)元素,四、矩陣與向量的乘法 設(shè)A 規(guī)定二階矩陣A與向量的乘 積為向量________,記為 或 ,即 這是矩陣 與向量 的乘法,Aa,五、線性變換的基本性質(zhì) 性質(zhì)1.設(shè)A是一個(gè)二階矩陣,,是平面上的任意兩個(gè) 向量,是一個(gè)任意實(shí)數(shù),則 (1)A() ; (2)A() . 性質(zhì)2.二階矩陣對(duì)應(yīng)的變換(線性變換)把平面上的直線 變成______________ 定理:設(shè)A是一個(gè)二階矩陣,,是平面上的任意兩個(gè) 向量,1,2是任意兩個(gè)實(shí)數(shù),則 A(12)1A

4、2A.,A,AA,直線(或一點(diǎn)),六、二階矩陣的乘法 1設(shè)A 則 AB,2對(duì)直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)的任意向量,有A(B) .,3二階矩陣的乘法滿足結(jié)合律,即(AB)C .,4AkAl___,(Ak)lAkl.,(AB)a,(AB)C,Ak+l,1已知矩陣M 向量 ,試判 斷 (MN)與M(N)的關(guān)系,MN與NM的關(guān)系,解:(MN) M(N) 所以(MN)M(N) 又因?yàn)镸N,NM ,所以MNNM.,2求圓C:x2y24在矩陣A 對(duì)應(yīng)變換作用下的 曲線方程,并判斷曲線的類型,解:設(shè)P(x,y)是圓C:x2y24上的任一點(diǎn),

5、P1(x,y)是P(x,y)在矩陣A 對(duì)應(yīng)變換作用下新曲線上的對(duì)應(yīng)點(diǎn),則 將 代入x2y24,得 y24,方程 1表示的曲線是焦點(diǎn)為(2 ,0),長軸長為8的橢圓,3設(shè)a,bR,若M 所定義的線性變換把直線l: 2xy70變換成另一直線l:xy70,求a,b 的值,解:取直線l:2xy70上任一點(diǎn)(x0,72x0),則它在對(duì)應(yīng)的變換作用下有 而點(diǎn)(ax0,x07b2bx0)在直線l: xy70上, 即ax0 x07b2bx07.由x0的任意性得,4.運(yùn)用旋轉(zhuǎn)矩陣,求直線2xy10繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 45后所得的直線方程,解:旋轉(zhuǎn)矩陣 直線2xy10上任意

6、一點(diǎn)(x0,y0)旋轉(zhuǎn)變換后為(x0,y0),,直線2xy10繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45后所得的直線 方程是 即,1二階方陣的運(yùn)算關(guān)鍵是記熟運(yùn)算法則 2注意運(yùn)算時(shí)運(yùn)算律的應(yīng)用,它滿足結(jié)合律即(MN)P M(NP)(MP)N.,已知M ,求二階矩陣X,使MXN.,求二階矩陣可先設(shè)出二階矩陣X,根據(jù)矩陣乘法法則,應(yīng)用待定系數(shù)法求解.,解:設(shè)X ,按題意有 根據(jù)矩陣乘法法則有,解之得,1若 ,試求x的值,解:,伸縮、反射、切變變換這三種幾何變換稱為初等變換,對(duì)應(yīng)的變換矩陣為初等變換矩陣,由矩陣的乘法可以看出,矩陣的乘法對(duì)應(yīng)于變換的復(fù)合,一一對(duì)應(yīng)的平面變

7、換都可以看作這三種初等變換的一次或多次的復(fù)合,在直角坐標(biāo)系中,已知ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(0,0)、B(1,1)、C(0,2),求ABC在矩陣MN作用下變換所得到的圖形的面積這里M,因?yàn)榫仃嘙表示反射變換,矩陣N表示旋轉(zhuǎn)變換,所以變換后所得圖形與原圖形全等.,解:在矩陣N 的作用下,一個(gè)圖形變換為其繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到的圖形,在矩陣M 的作用下,一個(gè)圖形變換為與之關(guān)于直線yx對(duì)稱的圖形因此ABC在矩陣MN作用下變換所得到的圖形與ABC全等,從而其面積等于ABC的面積,即為1.,2直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)(2,2)在矩陣M 對(duì)應(yīng) 變換作用下得到點(diǎn)(2,4),曲線C:

8、x2y21在矩陣M 對(duì)應(yīng)變換作用下得到曲線C,求曲線C的方程,解:根據(jù)題意 ,即2a4,解得a2,設(shè)曲線C變換前后對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x,y),(x,y),則 代入曲線C的方程x2y21, 整理得 y2x21, 即曲線C的方程為x2 y21.,在解決通過矩陣進(jìn)行平面曲線的變換時(shí),變換矩陣可以通過待定系數(shù)法解決,在變換時(shí)一定要把變換前后的變量區(qū)別清楚,防止混淆,已知曲線C:xy1. (1)將曲線C繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45后,求得到的曲線C的方程; (2)求曲線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線方程,首先要確定能夠?qū)嵤┳儞Q的矩陣,求出變換后的曲線C的方程,再研究曲線C的幾

9、何性.,解:(1)由題設(shè)條件,,變換:,即有 解得,代入曲線C的方程為y2x22, 所以將曲線C繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45后,得到的曲線C的方程是y2x22. (2)由(1)知,只需求曲線y2x22的焦點(diǎn)及漸近線,由于a2b22,故c2,又焦點(diǎn)在y軸上,從而其焦點(diǎn)為(0,2),(0,2),漸近線方程為yx.,3已知在一個(gè)二階矩陣M的變換作用下,點(diǎn)A(1,2)變成了 點(diǎn)A(4,5),點(diǎn)B(3,1)變成了點(diǎn)B(5,1) (1)求矩陣M; (2)若在矩陣M的變換作用下,點(diǎn)C(x,0)變成了點(diǎn)C(4, y),求x,y.,解:(1)設(shè)該二階矩陣為 由題意得 所以解得 故M,(2)因?yàn)?解得x2,

10、y2.,矩陣變換與二階矩陣的乘法運(yùn)算是高考新增內(nèi)容,多考查求平面圖形在矩陣的對(duì)應(yīng)變換作用下得到的新圖形,從而研究新圖形的性質(zhì),難度不大,屬中檔題,如2008江蘇高考21題.,(2008江蘇高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)橢圓4x2y21在矩陣A 對(duì)應(yīng)的變換下得到曲線F,求F的方程,解設(shè)P(x0,y0)是橢圓上任意一點(diǎn),點(diǎn)P(x0,y0)在矩陣 A對(duì)應(yīng)的變換下變?yōu)辄c(diǎn)P(x0,y0),則有 即,又因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上,故 從而(x0)2(y0)21. 所以,曲線F的方程為x2y21.,利用矩陣變換這一工具,建立變換前后任一點(diǎn)坐標(biāo)間的關(guān)系,從而代入變換前的平面圖形對(duì)應(yīng)的方程,求出變換后的圖形對(duì)應(yīng)的方程,其實(shí)質(zhì)是解析幾何中相關(guān)動(dòng)點(diǎn)(即代入法)求曲線方程的思想,本題若改為“將橢圓4x2y21繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30后得到曲線F,試求F的方程”,

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