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1、狀態(tài)矢量的線性變換,2011年 4月18日,2,狀態(tài)向量的線性變換（坐標(biāo)變換）,5.1 系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的非唯一性 對(duì)于一個(gè)給定的定常系統(tǒng)，可以選取許多種狀態(tài)變量，相應(yīng)地有許多種狀態(tài)空間表達(dá)式描述同一系統(tǒng)，也就是說(shuō)系統(tǒng)可以有多種結(jié)構(gòu)形式。所選取的狀態(tài)矢量之間，實(shí)際上是一種矢量的線性變換。,設(shè)給定系統(tǒng)為：,我們可以找到任意一個(gè)非奇異矩陣T，將原狀態(tài)向量x作線性變換，得到另一狀態(tài)矢量z，設(shè)變換關(guān)系為,則新的狀態(tài)空間表達(dá)式為,例1-1 設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為,新的狀態(tài)變量為,在如此選定的狀態(tài)變量的情況下，新的狀態(tài)空間表達(dá)式為,如另外選取變換矩陣,以新的狀態(tài)向量所描述的狀態(tài)空間表達(dá)式為,這樣，便得
2、到了一個(gè)對(duì)角形的系統(tǒng)矩陣，使?fàn)顟B(tài)變量之間的耦合解除，為研究系統(tǒng)的狀態(tài)解耦問(wèn)題提供了一條途徑。,線性定常系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣的特征值是表征系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性的一個(gè)重要參數(shù)。系統(tǒng)的狀態(tài)方程將可通過(guò)適當(dāng)?shù)木€性非奇異變換轉(zhuǎn)換為由特征值表征的標(biāo)準(zhǔn)形。并且，當(dāng)特征值為兩兩相異時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)形具有對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)型的形式。而特征值為非互異時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)形一般為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形。這種以特征值表征的標(biāo)準(zhǔn)形狀態(tài)方程，對(duì)于分析系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特性是非常直觀的。,5.2 系統(tǒng)特征值的不變性及系統(tǒng)的不變量,系統(tǒng)特征值：系統(tǒng) 的特征值就是系統(tǒng)矩陣A的特征值，也就是特征方程 的根。方陣A有n個(gè)特征值,系統(tǒng)的不變量和特征值的不變性：同一系
3、統(tǒng)，經(jīng)非奇異變換后，得 其特征方程為,可以證明系統(tǒng)經(jīng)過(guò)非奇異變換后，其特征值是不變的，證明如下:,而特征值經(jīng)非奇異變換是不變的，那么系數(shù) 也是不變量。所以稱特征多項(xiàng)式的系數(shù)是系統(tǒng)的不變量。,特征方程可以寫成多項(xiàng)式的形式,由于特征值全由特征多項(xiàng)式的系數(shù) 唯一地確定,特征矢量：一個(gè)n維矢量pi經(jīng)過(guò)以A為變換陣的變換，得到一個(gè)新矢量 ，即 。如果矢量pi經(jīng)過(guò)變換后，方向不變，僅長(zhǎng)度變化 倍，即,則稱 為A的對(duì)應(yīng)于 的特征矢量，此時(shí)有,5.3 狀態(tài)空間表達(dá)式變換為Jordan標(biāo)準(zhǔn)型,將狀態(tài)空間表達(dá)式,變換為,根據(jù)系統(tǒng)矩陣A, 求其特征值，可
4、以直接寫出系統(tǒng)的約旦標(biāo)準(zhǔn)型矩陣J,有重根（q個(gè)重根）,無(wú)重根時(shí),而欲得到控制矩陣 和輸出矩陣 ，則必須求出變換矩陣T。T與A陣的形式和有無(wú)重根有關(guān)系。,5.3.1 A陣為任意形式 （1）特征值無(wú)重根時(shí)，則變換矩陣T由A的特征矢量構(gòu)成，,由于特征值 互異，故特征向量 線性無(wú)關(guān)，從而由它們構(gòu)成的矩陣 必為非奇異，既矩陣T的逆存在，從而有,如果變換矩陣 兩邊乘A，有,由特征矢量的定義：,兩邊左乘 ，得到,例 將下列狀態(tài)方程變換為對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)形,A的特征方程為：,既,解得,1）對(duì)應(yīng)于 的特征矢量 ，按定義：,同理，解得對(duì)應(yīng)于 和 的特
5、征矢量為,在構(gòu)成變換矩陣T為,則變換后各有關(guān)矩陣分別為：,（2）A陣的特征值有重根時(shí) 設(shè)A的特征根有q個(gè) 的重根，其余（n-q）個(gè)根為互異根，則轉(zhuǎn)換矩陣T的計(jì)算公式為 ，其中， 是對(duì)應(yīng)于（n-q）個(gè)單根的特征矢量，對(duì)應(yīng)于q個(gè)重根的各向量求法如下,例 將下列狀態(tài)方程變換為Jordan標(biāo)準(zhǔn)形,先求A的特征值：,對(duì)應(yīng)于 的特征矢量 由下式求得。,再求對(duì)應(yīng)于 的另一個(gè)廣義特征矢量,最后確定 的特征矢量,可以得到,于是變換矩陣：,變換后各矩陣分別為：,5.3.2 A陣為友矩陣型,1）A的特征值無(wú)重根時(shí)，其變換矩陣是一個(gè)Vandermonde矩陣,例 已知某系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為,試將系統(tǒng)化為對(duì)角形。,系統(tǒng)特征方程為,1= 1,2= 2,3= 3,解1) 有三個(gè)不等的特征根。特征向量滿足下列條件：,當(dāng)1 = 1時(shí)，則,取 ，得到 對(duì)應(yīng)的特征向量 為,同理可得,解2) 用友矩陣特性。,矩陣A的特征值為： 三個(gè)特征值相異,2）A的特征值有重根時(shí)，以有 的m重根為例,3）A的特征值有共軛復(fù)根時(shí)，以4階系統(tǒng)其中有一對(duì)共軛復(fù)根為例，見(jiàn)p41,
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