2013高考數(shù)學(xué) 解題方法攻略 不等式2 理

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1、不等式 發(fā)揮經(jīng)典價(jià)值　提高復(fù)習(xí)效率 何為數(shù)學(xué)經(jīng)典題目？數(shù)學(xué)經(jīng)典題目就是經(jīng)過(guò)歷史選擇出來(lái)的最有價(jià)值的經(jīng)久不衰的題目 。每個(gè)經(jīng)典題目，都經(jīng)得起人們的拷問(wèn)和時(shí)間的考驗(yàn)；每個(gè)經(jīng)典題目，總是蘊(yùn)含著某種重要的數(shù)學(xué)思想和方法；每個(gè)經(jīng)典題目，總有其獨(dú)特的教育價(jià)值和教學(xué)功能；每個(gè)經(jīng)典題目，都能穿越時(shí)間的深度和厚度而又最終超越時(shí)間經(jīng)久彌新、與時(shí)俱進(jìn)。數(shù)學(xué)教科書上的例習(xí)題有不少題目堪當(dāng)經(jīng)典，本文以其中一道經(jīng)典題目為例，說(shuō)明經(jīng)典題目在復(fù)習(xí)教學(xué)中的潛能挖掘與應(yīng)用，以期拋磚引玉。 ? 題目? 已知，且，求證。 ? 本題目是普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)選修不等式選講人教版第十頁(yè)習(xí)題第11題。這是一道經(jīng)典的

2、條件不等式證明題，解題入口寬、方法多樣，對(duì)本題進(jìn)行一題多解訓(xùn)練，可達(dá)到舉一反三觸類旁通，解讀一題溝通一片以點(diǎn)帶面的復(fù)習(xí)效果。 ? 證法1（配方法）因?yàn)?，所以? 所以 ， 所以，當(dāng)且僅當(dāng)且且，即時(shí)等號(hào)成立。 ? 點(diǎn)評(píng)? 本解法先消元，將表示成只含的二次式，并將此式當(dāng)作是以為主元的二次三項(xiàng)式進(jìn)行配方，再將配方后余下的部分再次配方，然后用實(shí)數(shù)平方的非負(fù)性，從而使問(wèn)題得到解決。 ? 證法2（構(gòu)造二次函數(shù)）因?yàn)?，所以? 于是， 故當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)， 所以， 所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。 ? 點(diǎn)評(píng)? 本解法通過(guò)構(gòu)造函數(shù)將不等式證明問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題。先消元，將表示成只含的

3、二次式，然后選為主元，將此式當(dāng)作是含有參數(shù)的以為自變量的二次函數(shù)，求出的最小值，的最小值就是的最小值，從而使問(wèn)題獲解。 ? 證法3（用重要不等式）因?yàn)? ， 所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。 ? 點(diǎn)評(píng)? 將已知等式兩邊平方是運(yùn)用重要不等式的關(guān)鍵。 ? 證法4（用等號(hào)成立的條件構(gòu)造平方和）由所證不等式等號(hào)成立的條件得，， 即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。 ? 證法5（用等號(hào)成立的條件構(gòu)造配偶不等式）由所證不等式等號(hào)成立的條件可構(gòu)造如下不等式：，，，三式相加得，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。 ? 點(diǎn)評(píng)? 證法4和證法5注意到等號(hào)成立的條件是問(wèn)題獲得簡(jiǎn)解的關(guān)鍵之所在。 ? 證法6（

4、用柯西不等式）由三元柯西不等式得，即。 ? 證法7（用向量數(shù)量積不等式）構(gòu)造向量，，由向量數(shù)量積不等式得，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。 ? 證法8（利用直線與圓有公共點(diǎn)解題）把當(dāng)作參數(shù)當(dāng)作變量，則即可看作是直角坐標(biāo)系下的一條直線的方程，設(shè)則，此方程可看作是圓心是坐標(biāo)原點(diǎn)半徑為的圓的方程。因?yàn)檫@兩個(gè)方程所組成的方程組有解，所以直線與圓有公共點(diǎn)，故圓心到直線的距離不大于半徑。故，即有解，所以，解得則，即。 ? 點(diǎn)評(píng)? 本解法需要有方程思想、數(shù)形結(jié)合思想和化歸意識(shí)，化靜為動(dòng)，動(dòng)中求靜。根據(jù)“方程組有解，則直線與圓有公共點(diǎn)，從而直線到圓心的距離不大于半徑”列不等式，進(jìn)而使問(wèn)題得以解決。 ?

5、 證法9（三角換元法）設(shè)則，設(shè)。由得，所以，由正弦函數(shù)的有界性得，兩邊平方解得，故。 ? 證法10（構(gòu)造概率模型）設(shè)隨機(jī)變量取值為時(shí)的概率均為，因?yàn)椋?，所以，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。 ? 證法11（用琴生不等式）構(gòu)造函數(shù)，因?yàn)槭巧系陌己瘮?shù)，由琴生不等式得，，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。 ? 證法12（用點(diǎn)面距離公式）可看作是空間直角坐標(biāo)系下的一個(gè)平面的方程，可看作是這個(gè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離的平方，由垂線段最短知，當(dāng)OP與平面垂直時(shí)，OP最短從而最小，由點(diǎn)面距離公式得點(diǎn)O到平面的的距離為：，所以，即。 ? 凹凸函數(shù)、琴生不等式是高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容，但與初等函數(shù)關(guān)系密切

6、，是初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的銜接處，點(diǎn)面距離公式是大學(xué)空間解析幾何的內(nèi)容，但可當(dāng)作是平面解析幾何點(diǎn)線距離公式在空間的一個(gè)類比拓廣，這些知識(shí)可開(kāi)闊學(xué)生的視野，類比推理有利于發(fā)現(xiàn)新知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法的遷移。 ? 以上從十二個(gè)不同的角度來(lái)思考解決一個(gè)經(jīng)典不等式的證明問(wèn)題，消元法、配方法、構(gòu)造法，函數(shù)和方程思想，化歸和轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合思想都是高中數(shù)學(xué)重要的數(shù)學(xué)思想方法，在以上十二種解法中體現(xiàn)得淋漓盡致。一題多解有利于培養(yǎng)發(fā)散思維、求異思維和綜合運(yùn)用多種知識(shí)解決問(wèn)題的能力，有利于拓寬解題思路，有利于創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)。發(fā)揮經(jīng)典以一當(dāng)十，解析一題復(fù)習(xí)一片。對(duì)二元一次不等式確定平面區(qū)域的探究 湖北省陽(yáng)新

7、縣高級(jí)中學(xué) 鄒生書 　　人教版高二數(shù)學(xué)第二冊(cè)（上）二元一次不等式確定平面區(qū)域?qū)儆谛略鰞?nèi)容，大綱要求是：了解二元一課次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式（組）。筆者對(duì)這部?jī)?nèi)容作了一些研究，本文將得出的重要結(jié)論及其在解題中的應(yīng)用與大家進(jìn)行交流，希望能對(duì)這節(jié)內(nèi)容的教學(xué)和學(xué)習(xí)有所幫助。 　　命題1：已知二元一次函數(shù) ①點(diǎn)P1（x1,y1）在直線Ax+By+C=0上 ②若B≠0，則有 點(diǎn)P1（x1,y1）在直線Ax+By+C=0上方 點(diǎn)P1（x1,y1）在直線Ax+By+C=0下方 ③若A≠0，則有 點(diǎn)P1（x1,y1）在直線Ax+By+C=0右方 點(diǎn)P1（x1,y1）在

8、直線Ax+By+C=0左方 分析：①易證，②、③證法類似，下面對(duì)②進(jìn)行證明。 證明：②當(dāng)B≠0，直線把坐標(biāo)平面分成上、下兩個(gè)半平面. 設(shè)P1（x1,y1）是坐標(biāo)平面內(nèi)不在l上的任意一點(diǎn),作直線x=x1交l于點(diǎn)P0，設(shè)P0的坐標(biāo)為(x1,y0). ∵ 點(diǎn)???? ∴ ∴ 即?? 由此可知 點(diǎn) 點(diǎn) 根據(jù)這個(gè)命題不難得出直線l同側(cè)上的兩個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的二元函數(shù)的值符號(hào)相同，異側(cè)上的兩個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的二元函數(shù)值符號(hào)相反，即有如下結(jié)論： 命題2：已知二元一次函數(shù) ①點(diǎn)在直線 ②點(diǎn)在直線 　　應(yīng)用舉例： 1、快速準(zhǔn)確地確定二元一次不等式所表示的平面區(qū)域. 例1：（人教版高二數(shù)學(xué)第

9、二冊(cè)第64頁(yè)例1）畫出不等式表示的平面區(qū)域. 解法1：異號(hào)，由命題1知不等式表示直線下方的平面區(qū)域，如圖所示 解法2：異號(hào)，由命題1知不等式表示直線左方的平面區(qū)域，如圖所示 小結(jié)：二元一次不等式確定平面區(qū)域的方法： ①點(diǎn)判別法：直線定邊界，一點(diǎn)定區(qū)域，合則在，不合則不在； ②B符號(hào)判別法：直線定邊界，符號(hào)定區(qū)域，同上異下； ③A符號(hào)判別法：直線定邊界，符號(hào)定區(qū)域，同右異左. 由例1可知，教材采用點(diǎn)判別法，需要取點(diǎn)，計(jì)算函數(shù)值，判斷點(diǎn)與直線的位置關(guān)系再確定平面區(qū)域，而符號(hào)判別法只需由A（或B）的符號(hào)與不等式的符號(hào)的異同直接確定平面區(qū)域，相比之下顯得快速準(zhǔn)確、實(shí)用. 2、巧妙簡(jiǎn)

10、捷地求方程含有參數(shù)的直線與已知線段相交時(shí)參數(shù)的取值范圍. 例2：直線為端點(diǎn)的線段相交，則k的取值范圍是_______. 分析：這是一道一題多解的好題，但有的解法運(yùn)算量大，有的解法容易出錯(cuò)，若用命題2的結(jié)論可輕而易舉地得出正確結(jié)果，解法如下： 解：設(shè) 直線 　　練習(xí)題： 1、表示圖中陰影部分的平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)（x,y）所滿足的約束件是_________. 2、直線在第一象限，則k的取值范圍是_______. 答案：1、???? 2、 錯(cuò)解剖析得真知（十四）不等式的應(yīng)用 一、基礎(chǔ)知識(shí)導(dǎo)學(xué) ? 1.利用均值不等式求最值：如果a1，a2∈R+，那么. 2.求函數(shù)定義

11、域、值域、方程的有解性、判斷函數(shù)單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間，確定參數(shù)的取值范圍等.這些問(wèn)題一般轉(zhuǎn)化為解不等式或不等式組，或證明不等式. 3.涉及不等式知識(shí)解決的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，這些問(wèn)題大體分為兩類：一是建立不等式解不等式；二是建立函數(shù)式求最大值或最小值. ? 二、疑難知識(shí)導(dǎo)析 ? 不等式既屬數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，又是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要工具，在解決函數(shù)定義域、值域、單調(diào)性、恒成立問(wèn)題、方程根的分布、參數(shù)范圍的確定、曲線位置關(guān)系的討論、解析幾何、立體幾何中的最值等問(wèn)題中有廣泛的應(yīng)用，特別是近幾年來(lái)，高考試題帶動(dòng)了一大批實(shí)際應(yīng)用題問(wèn)世，其特點(diǎn)是： 1．問(wèn)題的背景是人們關(guān)心的社會(huì)熱點(diǎn)問(wèn)題，如“物價(jià)、稅收、銷

12、售收入、市場(chǎng)信息”等，題目往往篇幅較長(zhǎng). 2．函數(shù)模型除了常見(jiàn)的“正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)”等標(biāo)準(zhǔn)形式外，又出現(xiàn)了以“函數(shù)” 為模型的新的形式. ? 三　經(jīng)典例題導(dǎo)講 ? [例1]求y=的最小值. 錯(cuò)解： y=＝2 y的最小值為2. 錯(cuò)因：等號(hào)取不到，利用均值定理求最值時(shí)“正、定、等”這三個(gè)條件缺一不可. 正解：令t=,則t,于是y= 由于當(dāng)t時(shí)，y=是遞增的，故當(dāng)t＝2即x=0時(shí)，y取最小值. [例2]m為何值時(shí)，方程x2+(2m+1)x+m2－3=0有兩個(gè)正根. 錯(cuò)解：由根與系數(shù)的關(guān)系得，因此當(dāng)時(shí)

13、，原方程有兩個(gè)正根. 錯(cuò)因：忽視了一元二次方程有實(shí)根的條件，即判別式大于等于0. 正解：由題意： 因此當(dāng)時(shí)，原方程有兩個(gè)正根. [例3]若正數(shù)x，y滿足，求xy的最大值． 解：由于x，y為正數(shù)，則6x，5y也是正數(shù)，所以 當(dāng)且僅當(dāng)6x=5y時(shí)，取“=”號(hào)． 因，則，即，所以的最大值為. [例4]?已知：長(zhǎng)方體的全面積為定值S，試問(wèn)這個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高各是多少時(shí)，它的體積最大，求出這個(gè)最大值． 分析：經(jīng)過(guò)審題可以看出，長(zhǎng)方體的全面積S是定值．因此最大值一定要用S來(lái)表示．首要問(wèn)題是列出函數(shù)關(guān)系式．設(shè)長(zhǎng)方體體積為y，其長(zhǎng)、寬、高分別為a，b，c，則y=abc．由于a+b+c

14、不是定值，所以肯定要對(duì)函數(shù)式進(jìn)行變形．可以利用平均值定理先求出y2的最大值，這樣y的最大值也就可以求出來(lái)了． 解：設(shè)長(zhǎng)方體的體積為y，長(zhǎng)、寬、高分別是為a，b，c，則 y=abc，2ab+2bc+2ac=S． 而 y2=（abc）2=（ab）（bc）（ac） 當(dāng)且僅當(dāng)ab=bc=ac，即a=b=c時(shí)，上式取“=”號(hào)，y2有最小值 答：長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高都等于時(shí)體積的最大值為. 說(shuō)明：對(duì)應(yīng)用問(wèn)題的處理，要把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題，列好函數(shù)關(guān)系式是求解問(wèn)題的關(guān)健. ? 四、典型習(xí)題導(dǎo)練 ? 1.某工廠要建造一個(gè)長(zhǎng)方體無(wú)蓋貯水池，其容積為4800m3,深為3m，如果

15、池底每1m2的造價(jià)為150元，池壁每1m2的造價(jià)為120元，問(wèn)怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)最低，最低總造價(jià)是多少元？ 2.證明：通過(guò)水管放水，當(dāng)流速相同時(shí)，如果水管截面的周長(zhǎng)相等，那么截面是圓的水管比截面是正方形的水管流量大. 3.在四面體P-ABC中，∠APB=∠BPC=∠CPA=90°，各棱長(zhǎng)的和為m，求這個(gè)四面體體積的最大值． 4. 設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖象與兩直線y=x，y=-x，均不相 交，試證明對(duì)一切R都有. 5．青工小李需制作一批容積為V的圓錐形漏斗，欲使其用料最省，問(wèn)漏斗高與漏斗底面半徑應(yīng)具有怎樣的比例？ 6．輪船每小時(shí)使用燃料費(fèi)用(單位：元)和輪船速度

16、(單位：海里／時(shí))的立方成正比．已知某輪船的最大船速是18海里／時(shí)，當(dāng)速度是10海里／時(shí)時(shí)，它的燃料費(fèi)用是每小時(shí)30元，其余費(fèi)用(不論速度如何)都是每小時(shí)480元，如果甲、乙兩地相距1000海里，求輪船從甲地行駛到乙地，所需的總費(fèi)用與船速的函數(shù)關(guān)系，并問(wèn)船速為多少時(shí)，總費(fèi)用最低？ 尋求二元一次不等式（組）所表示的平面區(qū)域的方法 簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問(wèn)題是高考必考知識(shí)點(diǎn)，而其基礎(chǔ)在于研究二元一次不等式（組）所對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域．下面介紹一些方法來(lái)快速準(zhǔn)確地確定二元一次不等式（組）所表示的平面區(qū)域． ? 方法一：直線定界，特殊點(diǎn)定域 找出一個(gè)二元一次不等式（組）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)所表示的平面

17、區(qū)域的基本方法是： ①畫直線②取特殊點(diǎn)③代值定域④求公共部分 ①畫直線──作出各不等式對(duì)應(yīng)方程表示的直線（原不等式帶等號(hào)的作實(shí)線，否則作虛線）； ②取特殊點(diǎn)──平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線要么過(guò)原點(diǎn)，要么不過(guò)原點(diǎn)；當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)我們選取特殊點(diǎn)或（坐標(biāo)軸上的點(diǎn)），當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)我們選取原點(diǎn)做特殊點(diǎn)； ③代值定域──將選取的特殊點(diǎn)代入所給不等式：如果不等式成立，則不等式所表示的平面區(qū)域就是該特殊點(diǎn)所在的區(qū)域；如果不等式不成立，則不等式所表示的平面區(qū)域就是該特殊點(diǎn)所在區(qū)域的另一邊． ④求公共部分──不等式組所確定的平面區(qū)域，是各個(gè)二元一次不等式所表示平面區(qū)域的公共部分． 例1　畫出不等式組所

18、表示的平面區(qū)域． 解析：①畫直線：不等式對(duì)應(yīng)的直線方程是；不等式對(duì)應(yīng)的直線方程是；在平面直角坐標(biāo)系中作出直線與（如圖）． ? ? ?? ? ②取特殊點(diǎn)：直線過(guò)原點(diǎn)，可取特殊點(diǎn)；直線不過(guò)原點(diǎn)，可取特殊點(diǎn)． ? ③將代入，即，不等式不成立，直線另一側(cè)區(qū)域就是不等式所表示的平面區(qū)域；將代入，即，不等式成立，則原點(diǎn)所在區(qū)域就是不等式所表示的平面區(qū)域．（圖一） ? ④求公共部分：如圖二所示公共部分就是不等式組所表示的平面區(qū)域． ? 方法二：法向量判定法 由平面解析幾何知識(shí)知道直線（不同時(shí)為0）的一個(gè)法向量為．以坐標(biāo)原點(diǎn)作為法向量的始點(diǎn)，可以利用向量?jī)?nèi)積證明如下結(jié)論： （1）不等

19、式（），不等式表示的平面區(qū)域就是法向量指向的區(qū)域；（大于同向） （2）不等式（），不等式表示的平面區(qū)域就是法向量反向的區(qū)域；（小于反向） ? 例2　畫出不等式組所表示的平面區(qū)域．? 解析：①不等式對(duì)應(yīng)的直線方程是，法向量；不等式對(duì)應(yīng)的直線方程是，法向量；在平面直角坐標(biāo)系中作出直線與及其相應(yīng)的法向量（如圖）． ? ? ?? ? ②由于不等式（），平面區(qū)域是法向量指向的區(qū)域（圖一）；不等式（），平面區(qū)域是法向量反向的區(qū)域（圖二）． ? ③然后求的公共部分就是不等式組所表示的平面區(qū)域． 方法三：未知數(shù)系數(shù)化正法 直線（不同時(shí)為0）含有兩個(gè)未知數(shù)，于是我們可以將未知數(shù)的系數(shù)分為

20、兩類：項(xiàng)系數(shù)與項(xiàng)系數(shù)來(lái)研究． （1）項(xiàng)系數(shù)化正法：顧名思義就是利用不等式性質(zhì)，不等號(hào)兩邊同時(shí)（移項(xiàng)）將項(xiàng)系數(shù)化為正值，然后根據(jù)變形后關(guān)于的不等式中的不等號(hào)來(lái)確定區(qū)域位置（規(guī)定：軸正方向所指的區(qū)域?yàn)橹本€的上方；反之為下方）有結(jié)論： 項(xiàng)系數(shù)正值化：上；下． 例3　畫出不等式組所表示的平面區(qū)域． ? 解析：①不等式對(duì)應(yīng)的直線方程是；不等式對(duì)應(yīng)的直線方程是；在平面直角坐標(biāo)系中作出直線與（如圖）． ? ?? ? ②將不等式組中每個(gè)不等式項(xiàng)系數(shù)正值化，得或（移項(xiàng)）． ③關(guān)于的不等式（）即（或者），直線上方的區(qū)域就是該不等式所表示的平面區(qū)域（圖一）；關(guān)于的不等式（）即，直線下方的區(qū)域就是

21、該不等式所表示的平面區(qū)域（圖二）． ? ④然后求的公共部分就是不等式組所表示的平面區(qū)域． （2）項(xiàng)系數(shù)化正法：同（1）一樣，不等號(hào)兩邊同時(shí)（或移項(xiàng)）將項(xiàng)系數(shù)化為正值，然后根據(jù)變形后關(guān)于的不等式中的不等號(hào)來(lái)確定區(qū)域位置（規(guī)定：軸正方向所指的區(qū)域?yàn)橹本€的右方；反之為左方）有結(jié)論： 項(xiàng)系數(shù)正值化：右；左． 可結(jié)合例3來(lái)對(duì)項(xiàng)系數(shù)化正法進(jìn)行理解． 上述方法中，方法一是尋找二元一次不等式所表示的平面區(qū)域的常規(guī)方法，思維回路較長(zhǎng)，適合對(duì)理論的學(xué)習(xí)，但要快速準(zhǔn)確地解決簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題就必須掌握方法二或方法三中之一． 目標(biāo)函數(shù)幾何意義在變化 線性規(guī)劃是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，它是本質(zhì)是“以形

22、助數(shù)”即主要利用形的直觀性來(lái)解決問(wèn)題．由于目標(biāo)函數(shù)在不斷地變動(dòng)，呈現(xiàn)出多樣性和隱蔽性，所以我們要認(rèn)真研究目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，使目標(biāo)函數(shù)具體化和明朗化．下面舉例說(shuō)明： ? 一、目標(biāo)距離化． ? 例1．已知實(shí)數(shù)x，y滿足,則的最大值是?????????? ? 分析，目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是表示可行域內(nèi)的點(diǎn)到點(diǎn)（1，1）的距離的平方，畫出可行域可求得 ? 解：如圖，作出可行域，則可知行域內(nèi)點(diǎn)（4，1）到可點(diǎn)（1，1）的距離最大，從圖形中可只是3，故． ? ? 例2．已知實(shí)數(shù)滿足，求的最大值． ? 分析：這個(gè)目標(biāo)函數(shù)就顯得有點(diǎn)“隱蔽”了，注意到目標(biāo)函數(shù)有個(gè)絕對(duì)值符號(hào)，聯(lián)想到

23、點(diǎn)到直線的距離公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，那么就可順利解決了．，也是說(shuō)表示為可行域內(nèi)的點(diǎn)到直線距離的倍． ? 解：作出可行域，（如上圖）可知可行域內(nèi)的點(diǎn)（7，9）到直線的距離最大，所以 ? 二、目標(biāo)角度化． ? 已知為直角坐標(biāo)系原點(diǎn)，的坐標(biāo)均滿足不等式組，則的最小值等于????????? ． ? ? ? ? 分析：作出相應(yīng)的可行域，可知越大，則越小，所以可知在（1，7）（4，3）此時(shí)與原點(diǎn)O的張角最大 ? 解：畫出可行域，不失一般性，不妨設(shè)P（1，7），Q（4，3）；則，，則，所以． ? 三、目標(biāo)斜率化． ? 例4．已知變量滿足約束條件，則的取值范圍是_____.

24、? 分析，觀察的結(jié)構(gòu)特征，令人想到平面內(nèi)的兩點(diǎn)間的斜率公式，可得表示可行域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)之間的斜率，結(jié)個(gè)可行域可得其取值范圍是，具體的過(guò)程留給聰明的讀者． ? 四、目標(biāo)投影化． ? 例5．已知點(diǎn)（O為原點(diǎn)）的最大值為????????????? ． ? ? 分析：這個(gè)目標(biāo)函數(shù)更為隱蔽了，表示的是是方向上的投影． ? 解：作出可行域，則可知P（5，2），則=（5，2），則在上的投影是PQ，可看作點(diǎn)P到直線是距離 ? 五、目標(biāo)面積化． ? 例6已知實(shí)數(shù)滿足，求的最大值． ? 分析：表示可行域內(nèi)的點(diǎn)（正好在第一象限）到兩坐標(biāo)軸距離的乘積的兩倍，即過(guò)該點(diǎn)作兩坐標(biāo)軸的垂

25、線，長(zhǎng)線段與兩坐標(biāo)軸所圍成的面積的2倍，可知當(dāng)時(shí)取得最大值，最大值是 ? 同學(xué)們應(yīng)該知道目標(biāo)函數(shù)是直線的截距的這種類型的基礎(chǔ)上，還要知道距離、投影、斜率、角度、面積等幾種常見(jiàn)的形式．這樣我們的在解決線性規(guī)劃問(wèn)題上才能心中有“形”．下面提供部分習(xí)題請(qǐng)同學(xué)們完成． ? （1）若函數(shù)是定義在上的函數(shù)，則函數(shù)的值域是（??? ） ? ??????????????????????????????? A．???????????? B．?????????? C．?? D． ? （2）約束條件，目標(biāo)函數(shù)的最小值是??????????? ? （3）已知（是坐標(biāo)原點(diǎn)）的最大值為???????

26、??? ? 答案：（1）D??? （2）? 0?????? （3）5 錯(cuò)解剖析得真知（十三）簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃 ? 一、知識(shí)導(dǎo)學(xué) ? 1. 目標(biāo)函數(shù): Ｐ ＝２ｘ＋ｙ是一個(gè)含有兩個(gè)變 量 ｘ 和ｙ 的 函數(shù)，稱為目標(biāo)函數(shù)． 2.可行域:約束條件所表示的平面區(qū)域稱為可行域. 3. 整點(diǎn):坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn)． 4.線性規(guī)劃問(wèn)題:求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問(wèn)題，通常稱為線性規(guī)劃問(wèn)題．只含有兩個(gè)變量的簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問(wèn)題可用圖解法來(lái)解決． 5. 整數(shù)線性規(guī)劃:要求量取整數(shù)的線性規(guī)劃稱為整數(shù)線性規(guī)劃． ? 二、疑難知識(shí)導(dǎo)析 ? 線性規(guī)劃是一門研究如何

27、使用最少的人力、物力和財(cái)力去最優(yōu)地完成科學(xué)研究、工業(yè)設(shè)計(jì)、經(jīng)濟(jì)管理中實(shí)際問(wèn)題的專門學(xué)科.主要在以下兩類問(wèn)題中得到應(yīng)用：一是在人力、物力、財(cái)務(wù)等資源一定的條件下，如何使用它們來(lái)完成最多的任務(wù)；二是給一項(xiàng)任務(wù)，如何合理安排和規(guī)劃，能以最少的人力、物力、資金等資源來(lái)完成該項(xiàng)任務(wù). 1.對(duì)于不含邊界的區(qū)域，要將邊界畫成虛線． 2.確定二元一次不等式所表示的平面區(qū)域有多種方法，常用的一種方法是“選點(diǎn)法”：任選一個(gè)不在直線上的點(diǎn)，檢驗(yàn)它的坐標(biāo)是否滿足所給的不等式，若適合，則該點(diǎn)所在的一側(cè)即為不等式所表示的平面區(qū)域；否則，直線的另一側(cè)為所求的平面區(qū)域．若直 線 不 過(guò) 原點(diǎn)，通 常 選 擇 原 點(diǎn) 代入

28、檢驗(yàn)． 3. 平 移 直 線 ｙ＝－kｘ ＋Ｐ時(shí)，直線必須經(jīng)過(guò)可行域． 4.對(duì)于有實(shí)際背景的線性規(guī)劃問(wèn)題，可行域通常是位于第一象限內(nèi)的一個(gè)凸多邊形區(qū)域，此時(shí)變動(dòng)直線的最佳位置一般通過(guò)這個(gè)凸多邊形的頂點(diǎn)． 5.簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問(wèn)題就是求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最優(yōu)解，無(wú)論此類題目是以什么實(shí)際問(wèn)題提出，其求解的格式與步驟是不變的：（1）尋找線性約束條件，線性目標(biāo)函數(shù)；（2）由二元一次不等式表示的平面區(qū)域做出可行域；（3）在可行域內(nèi)求目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解. ? 三、經(jīng)典例題導(dǎo)講 ? [例1] ．畫出不等式組表示的平面區(qū)域. 錯(cuò)解：如圖（1）所示陰影部分即為不等式組表示的平面區(qū)域.

29、 錯(cuò)因一是實(shí)虛線不清，二是部分不等式所表示的平面區(qū)域弄錯(cuò)了. 正解：如圖（2）所示陰影部分即為不等式組表示的平面區(qū)域. ? ?[例2] 已知1x－y2,且2x+y4,求4x－2y的范圍. 錯(cuò)解：由于　1x－y2　?、? 2x+y4　　?、? ①+② 得32x6???? ③ ①×(－1)+② 得：02y3? ④. ③×2+④×(－1)得. 34x－2y12 錯(cuò)因：可行域范圍擴(kuò)大了. 正解：線性約束條件是： 令z＝4x－2y， 畫出可行域如圖所示， 由得A點(diǎn)坐標(biāo)（1.5，0.5）此時(shí)z＝4×1.5－2×0.5＝5. 由得B點(diǎn)坐標(biāo)（3，1）此時(shí)z＝4×3－2×1＝1

30、0. ? 54x－2y10 ? ?[例3] 已知,求x2+y2的最值. 錯(cuò)解：不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示ABC的內(nèi)部（包括邊界）， 令z= x2+y2 由得A點(diǎn)坐標(biāo)（4，1）， 此時(shí)z＝x2+y2＝42+12＝17， 由得B點(diǎn)坐標(biāo)（－1，－6）， 此時(shí)z＝x2+y2＝（－1）2+(－6)2＝37， 由得C點(diǎn)坐標(biāo)（－3，2）， 此時(shí)z＝x2+y2＝（－3）2+22＝13， ? 當(dāng)時(shí)x2+y2取得最大值37，當(dāng)時(shí)x2+y2取得最小值13. 錯(cuò)因：誤將求可行域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方的最值誤認(rèn)為是求三點(diǎn)A、B、C到原點(diǎn)的距離的平方的最值. 正解：不等式組表示的平面

31、區(qū)域如圖所示ABC的內(nèi)部（包括邊界）， 令z= x2+y2,則z即為點(diǎn)（x，y）到原點(diǎn)的距離的平方. 由得A點(diǎn)坐標(biāo)（4，1）， 此時(shí)z＝x2+y2＝42+12＝17， 由得B點(diǎn)坐標(biāo)（－1，－6）， 此時(shí)z＝x2+y2＝（－1）2+(－6)2＝37， 由得C點(diǎn)坐標(biāo)（－3，2）， 此時(shí)z＝x2+y2＝（－3）2+22＝13， 而在原點(diǎn)處，，此時(shí)z＝x2+y2＝02+02＝0， ? 當(dāng)時(shí)x2+y2取得最大值37，當(dāng)時(shí)x2+y2取得最小值0. ? [例4]某家具廠有方木料90m3，五合板600m2，準(zhǔn)備加工成書桌和書櫥出售.已知生產(chǎn)每張書桌需要方木料0.1m3，五合板2m2，生產(chǎn)

32、每個(gè)書櫥需要方木料0.2m3，五合板1m2，出售一張書桌可獲利潤(rùn)80元，出售一個(gè)書櫥可獲利潤(rùn)120元.如果只安排生產(chǎn)書桌，可獲利潤(rùn)多少？如果只安排生產(chǎn)書櫥，可獲利潤(rùn)多少？怎樣安排生產(chǎn)可使得利潤(rùn)最大？ 分析： 數(shù)據(jù)分析列表 ? 書桌 書櫥 資源限制 木料（m3） 0．1 0．2 90 五合板（m2） 2 1 600 利潤(rùn)（元/張） 80 120 ? 計(jì)劃生產(chǎn)（張） x y ? 設(shè)生產(chǎn)書桌x張，書櫥y張，利潤(rùn)z元，則約束條件為 目標(biāo)函數(shù)z=80x+120y 作出上可行域： 作出一組平行直線2x+3y=t, 此直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（100，400）時(shí)，即

33、合理安排生產(chǎn)，生產(chǎn)書桌100張，書櫥400張，有最大利潤(rùn)為 zmax=80×100+400×120=56000(元) 若只生產(chǎn)書桌，得0

34、每張鋼板的面積，第一種為1m2，第二種為2 m2，今需要A、B、C三種規(guī)格的成品各12、15、27塊，請(qǐng)你們?yōu)樵搹S計(jì)劃一下，應(yīng)該分別截這兩種鋼板多少?gòu)?，可以得到所需的三種規(guī)格成品，而且使所用鋼板的面積最?。恐挥玫谝环N鋼板行嗎？ ?? 解：設(shè)需要截第一種鋼板x張，第二種鋼板y張，所用鋼板面積為z m2，則 ??? 目標(biāo)函數(shù)z=x+2y 作出可行域如圖 作一組平行直線x+2y=t， 由 可得交點(diǎn)， 但點(diǎn)不是可行域內(nèi)的整點(diǎn)，其附近的整點(diǎn)（4，8）或（6，7）可都使z有最小值，且zmin=4+2×8=20 或zmin=6+2×7=20 若只截第一種鋼板，由上可知x≥27，所用鋼板面

35、積最少為z=27(m2);若只截第二種鋼板，則y≥15，最少需要鋼板面積z=2×15=30(m2).它們都比zmin大，因此都不行. 答：略 ?[例6]設(shè)，式中滿足條件，求的最大值和最小值. 解：由引例可知：直線與所在直線平行，則由引例的解題過(guò)程知， 當(dāng)與所在直線重合時(shí)最大，此時(shí)滿足條件的最優(yōu)解有無(wú)數(shù)多個(gè)， 當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，對(duì)應(yīng)最小，∴，． 說(shuō)明：1．線性目標(biāo)函數(shù)的最大值、最小值一般在可行域的頂點(diǎn)處取得； ????? 2．線性目標(biāo)函數(shù)的最值也可在可行域的邊界上取得，即滿足條件的最優(yōu)解有無(wú)數(shù)多個(gè). ? 四、典型習(xí)題導(dǎo)練 ? 1．畫出不等式－+2y－4＜0表示的平面區(qū)域. ?

36、 2．畫出不等式組表示的平面區(qū)域? 3.求z=3x+5y的最大值和最小值，使式中的x、y滿足約束條件 4.某工廠用兩種不同原料均可生產(chǎn)同一產(chǎn)品，若采用甲種原料，每噸成本1000元，運(yùn)費(fèi)500元，可得產(chǎn)品90千克；若采用乙種原料，每噸成本為1500元，運(yùn)費(fèi)400元，可得產(chǎn)品100千克，如果每月原料的總成本不超過(guò)6000元，運(yùn)費(fèi)不超過(guò)2000元，那么此工廠每月最多可生產(chǎn)多少千克產(chǎn)品？ 5.某工廠家具車間造A、B型兩類桌子，每張桌子需木工和漆工兩道工序完成.已知木工做一張A、B型桌子分別需要1小時(shí)和2小時(shí)，漆工油漆一張A、B型桌子分別需要3小時(shí)和1小時(shí)；又知木工、漆工每天工作分別不得超過(guò)8

37、小時(shí)和9小時(shí)，而工廠造一張A、B型桌子分別獲利潤(rùn)2千元和3千元，試問(wèn)工廠每天應(yīng)生產(chǎn)A、B型桌子各多少?gòu)垼拍塬@得利潤(rùn)最大？ 6．（06年高考廣東）在約束條件下，當(dāng)時(shí)，目標(biāo)函數(shù) ?? 的最大值的變化范圍是 ?? A.[6,15]?????????? ?????? B.[7,15] C.[6,8]??????????????????? D.[7,8] ?線性規(guī)劃解法賞析 “最優(yōu)化”問(wèn)題中的簡(jiǎn)單線性規(guī)劃是高考?？贾R(shí)點(diǎn)，屬于不等式模塊，重點(diǎn)考查學(xué)生的動(dòng)手操作能力。隨著新課程改革的全面施行，現(xiàn)有的人教版教材把不等式內(nèi)容進(jìn)行了很大程度的推廣和深化。高中數(shù)學(xué)的教學(xué)，不是把已有的簡(jiǎn)單問(wèn)題復(fù)雜

38、化，而是應(yīng)該在比學(xué)生理解掌握的知識(shí)水平更低的層次來(lái)思考解決問(wèn)題的方法，讓學(xué)生感覺(jué)數(shù)學(xué)不是高不可攀的。因此，有必要對(duì)線性規(guī)劃問(wèn)題的解法做一下梳理強(qiáng)化，結(jié)合例題多策略求解，以便學(xué)生參考選擇適合自己的方法。 ? （人教B版）例3 兩個(gè)居民小區(qū)的居委會(huì)組織本小區(qū)的中學(xué)生，利用雙休日去市郊的敬老院參加獻(xiàn)愛(ài)心活動(dòng)，兩個(gè)小區(qū)都有同學(xué)參加。已知小區(qū)的每位同學(xué)往返車費(fèi)是3元，每人可為5位老人服務(wù)；小區(qū)的每位同學(xué)往返車費(fèi)是5元，每人可為3位老人服務(wù)。如果要求區(qū)參與活動(dòng)的同學(xué)比區(qū)參與活動(dòng)的同學(xué)多，且去敬老院的往返總車費(fèi)不超過(guò)37元。怎樣安排兩區(qū)參與活動(dòng)同學(xué)的人數(shù)，才能使受到服務(wù)的老人最多？受到服務(wù)的老人最多是多

39、少？ ? 解：依題意可列表如下： 地區(qū) 往返車費(fèi)（元） 服務(wù)人數(shù)（人） 區(qū) 區(qū) 要求 不超過(guò) ? 設(shè)兩區(qū)參與活動(dòng)的人數(shù)分別為、，則受到服務(wù)的老人的人數(shù)為 ? ? 其中滿足下列條件 ? ? 于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，在滿足上述約束條件下，求式子的最大值。 ? 【解法一】線定界，點(diǎn)定域，距離確定最優(yōu)解 ? ①在同一坐標(biāo)系下作約束條件不等式對(duì)應(yīng)的直線：不等式、與對(duì)應(yīng)的直線方程分別為、與；在同一平面直角坐標(biāo)系中作出直線（實(shí)線）、（實(shí)線）與（實(shí)線）。 ? ②取特殊點(diǎn)確定約束條件表示的可行域：平面直角坐標(biāo)系中的直線分為過(guò)原點(diǎn)和不過(guò)原點(diǎn)兩類，不過(guò)原

40、點(diǎn)的直線定域取特殊點(diǎn)；過(guò)原點(diǎn)的直線定域取特殊點(diǎn)或。 ? ? ③可行域中的點(diǎn)到目標(biāo)函數(shù)直線的距離確定最優(yōu)解：作出直線：，結(jié)合圖中所示可行域，容易看出點(diǎn)到直線的距離最大，若是整點(diǎn)，則是最優(yōu)解。 ? 【解法二】線定界，號(hào)定域，距離確定最優(yōu)解 ? ①在同一坐標(biāo)系下作約束條件不等式對(duì)應(yīng)的直線。（同解法一） ? ②將約束條件中各不等式的項(xiàng)系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)：。由下列結(jié)論，通過(guò)不等號(hào)來(lái)確定約束條件表示的可行域： ? （或），且，則不等式所表示的平面區(qū)域?yàn)橹本€上方（大于上）； ? （或），且，則不等式所表示的平面區(qū)域?yàn)橹本€下方（小于下）。 ? ③可行域中的點(diǎn)到目標(biāo)函數(shù)直線的距離確定

41、最優(yōu)解：作出直線：，結(jié)合圖中所示可行域，容易看出點(diǎn)到直線的距離最大，若是整點(diǎn)，則是最優(yōu)解。 ? 【解法三】線定界，方向定域，距離確定最優(yōu)解 ? ①在同一坐標(biāo)系下作約束條件不等式對(duì)應(yīng)的直線。（同解法一） ? ②約束條件化為：，直線（不同時(shí)為0）的一個(gè)法向量為（設(shè)其以坐標(biāo)原點(diǎn)為始點(diǎn)），由下列結(jié)論確定約束條件表示的可行域： ? （或），則不等式所表示的平面區(qū)域?yàn)橥颍ù笥谕颍? ? （或），則不等式所表示的平面區(qū)域?yàn)榉聪颍ㄐ∮诜聪颍? ? ③可行域中的點(diǎn)到目標(biāo)函數(shù)直線的距離確定最優(yōu)解：作出直線：，結(jié)合圖中所示可行域，容易看出點(diǎn)到直線的距離最大，若是整點(diǎn)，則是最優(yōu)解。 §5

42、.3 基本不等式的證明 ? 一、知識(shí)導(dǎo)學(xué) ? 1.比較法：比較法是證明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是兩個(gè)實(shí)數(shù)大小順序和運(yùn)算性質(zhì)的直接應(yīng)用，比較法可分為差值比較法(簡(jiǎn)稱為求差法)和商值比較法(簡(jiǎn)稱為求商法). (1)差值比較法的理論依據(jù)是不等式的基本性質(zhì)：“ａ-ｂ≥0ａ≥ｂ；ａ-ｂ≤0ａ≤ｂ”.其一般步驟為：①作差：考察不等式左右兩邊構(gòu)成的差式，將其看作一個(gè)整體；②變形：把不等式兩邊的差進(jìn)行變形，或變形為一個(gè)常數(shù)，或變形為若干個(gè)因式的積，或變形為一個(gè)或幾個(gè)平方的和等等，其中變形是求差法的關(guān)鍵，配方和因式分解是經(jīng)常使用的變形手段；③判斷：根據(jù)已知條件與上述變形結(jié)果，判斷不等式兩邊

43、差的正負(fù)號(hào)，最后肯定所求證不等式成立的結(jié)論.應(yīng)用范圍：當(dāng)被證的不等式兩端是多項(xiàng)式、分式或?qū)?shù)式時(shí)一般使用差值比較法. (2)商值比較法的理論依據(jù)是：“若ａ，ｂ∈R+，ａ/ｂ≥1ａ≥ｂ；ａ/ｂ≤1ａ≤ｂ”.其一般步驟為：①作商：將左右兩端作商；②變形：化簡(jiǎn)商式到最簡(jiǎn)形式；③判斷商與1的大小關(guān)系，就是判定商大于1或小于1.應(yīng)用范圍：當(dāng)被證的不等式兩端含有冪、指數(shù)式時(shí)，一般使用商值比較法. 2.綜合法：利用已知事實(shí)(已知條件、重要不等式或已證明的不等式)作為基礎(chǔ)，借助不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理，經(jīng)過(guò)逐步的邏輯推理，最后推出所要證明的不等式，其特點(diǎn)和思路是“由因?qū)Ч保瑥摹耙阎笨础靶柚?，逐步推出?/p>

44、結(jié)論”.即從已知Ａ逐步推演不等式成立的必要條件從而得出結(jié)論Ｂ. 3.分析法：是指從需證的不等式出發(fā)，分析這個(gè)不等式成立的充分條件，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為判定那個(gè)條件是否具備，其特點(diǎn)和思路是“執(zhí)果索因”，即從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”.用分析法證明書寫的模式是：為了證明命題Ｂ成立，只需證明命題Ｂ1為真，從而有…，這只需證明Ｂ2為真，從而又有…，……這只需證明Ａ為真，而已知Ａ為真，故Ｂ必為真.這種證題模式告訴我們，分析法證題是步步尋求上一步成立的充分條件. 4.反證法：有些不等式的證明，從正面證不好說(shuō)清楚，可以從正難則反的角度考慮，即要證明不等式Ａ>Ｂ，先假設(shè)Ａ≤Ｂ，由題設(shè)及其它性質(zhì)，推出矛盾，

45、從而肯定Ａ>Ｂ.凡涉及到的證明不等式為否定命題、惟一性命題或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等詞語(yǔ)時(shí)，可以考慮用反證法. 5.換元法：換元法是對(duì)一些結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，變量較多，變量之間的關(guān)系不甚明了的不等式可引入一個(gè)或多個(gè)變量進(jìn)行代換，以便簡(jiǎn)化原有的結(jié)構(gòu)或?qū)崿F(xiàn)某種轉(zhuǎn)化與變通，給證明帶來(lái)新的啟迪和方法.主要有兩種換元形式.(1)三角代換法：多用于條件不等式的證明，當(dāng)所給條件較復(fù)雜，一個(gè)變量不易用另一個(gè)變量表示，這時(shí)可考慮三角代換，將兩個(gè)變量都有同一個(gè)參數(shù)表示.此法如果運(yùn)用恰當(dāng)，可溝通三角與代數(shù)的聯(lián)系，將復(fù)雜的代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角問(wèn)題； (2)增量換元法：在對(duì)稱式(任意交換兩個(gè)字母，代數(shù)

46、式不變)和給定字母順序(如ａ>ｂ>ｃ等)的不等式，考慮用增量法進(jìn)行換元，其目的是通過(guò)換元達(dá)到減元，使問(wèn)題化難為易，化繁為簡(jiǎn).如ａ+ｂ=1，可以用ａ=1-ｔ，ｂ=ｔ或ａ=1/2+ｔ，ｂ=1/2-ｔ進(jìn)行換元. ? 二、疑難知識(shí)導(dǎo)析 ? 1.在用商值比較法證明不等式時(shí)，要注意分母的正、負(fù)號(hào)，以確定不等號(hào)的方向. 2.分析法與綜合法是對(duì)立統(tǒng)一的兩個(gè)方面，前者執(zhí)果索因，利于思考，因?yàn)樗较蛎鞔_，思路自然，易于掌握；后者是由因?qū)Ч?，宜于表述，因?yàn)樗鼦l理清晰，形式簡(jiǎn)潔，適合人們的思維習(xí)慣.但是，用分析法探求證明不等式，只是一種重要的探求方式，而不是一種好的書寫形式，因?yàn)樗鼣⑹鲚^繁，如果把“只需證明

47、”等字眼不寫，就成了錯(cuò)誤.而用綜合法書寫的形式，它掩蓋了分析、探索的過(guò)程.因而證明不等式時(shí)，分析法、綜合法常常是不能分離的.如果使用綜合法證明不等式，難以入手時(shí)常用分析法探索證題的途徑，之后用綜合法形式寫出它的證明過(guò)程，以適應(yīng)人們習(xí)慣的思維規(guī)律.還有的不等式證明難度較大，需一邊分析，一邊綜合，實(shí)現(xiàn)兩頭往中間靠以達(dá)到證題的目的.這充分表明分析與綜合之間互為前提、互相滲透、互相轉(zhuǎn)化的辯證統(tǒng)一關(guān)系.分析的終點(diǎn)是綜合的起點(diǎn)，綜合的終點(diǎn)又成為進(jìn)一步分析的起點(diǎn). 3.分析法證明過(guò)程中的每一步不一定“步步可逆”，也沒(méi)有必要要求“步步可逆”，因?yàn)檫@時(shí)僅需尋找充分條件，而不是充要條件.如果非要“步步可逆”，則

48、限制了分析法解決問(wèn)題的范圍，使得分析法只能使用于證明等價(jià)命題了.用分析法證明問(wèn)題時(shí)，一定要恰當(dāng)?shù)赜煤谩耙C”、“只需證”、“即證”、“也即證”等詞語(yǔ). 4.反證法證明不等式時(shí)，必須要將命題結(jié)論的反面的各種情形一一加以導(dǎo)出矛盾. 5.在三角換元中，由于已知條件的限制作用，可能對(duì)引入的角有一定的限制，應(yīng)引起高度重視，否則可能會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤的結(jié)果.這是換元法的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，且要注意整體思想的應(yīng)用.　　 ? 三、經(jīng)典例題導(dǎo)講 ? [例1] 已知a>b(ab),比較與的大小. 錯(cuò)解： a>b(ab)，<. 錯(cuò)因：簡(jiǎn)單的認(rèn)為大數(shù)的倒數(shù)必定小，小數(shù)的倒數(shù)必定大.正確的結(jié)論是：當(dāng)兩數(shù)同號(hào)時(shí)，大數(shù)

49、的倒數(shù)必定小，小數(shù)的倒數(shù)必定大. 正解：，又 a>b(ab)， (1)當(dāng)a、b同號(hào)時(shí)，即a>b>0或b0,b－a<0, ,<. (2)當(dāng)a、b異號(hào)時(shí)，則a>0,b<0, >0,<0>. [例2] 當(dāng)a、b為兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)時(shí)，下列各式中最小的是（　?。? A.　　　B.　　　C.　　　D. 錯(cuò)解：所以選B. 錯(cuò)因是由于在、、中很容易確定最小，所以易誤選B.而事實(shí)上三者中最小者，并不一定是四者中最小者，要得到正確的結(jié)論，就需要全面比較，不可遺漏與前三者的大小比較. 正解：由均值不等式及a2+b22ab,可知選項(xiàng)A、B、C中，最小，而＝，由當(dāng)ab時(shí)，a+b>2,

50、兩端同乘以，可得（a+b）·＞2ab, ＜，因此選D. [例3] 已知：a>0 , b>0 , a+b=1,求(a+ )2+(b+ )2的最小值. 錯(cuò)解: (a+)2+(b+)2=a2+b2+++4≥2ab++4≥4+4=8, ∴(a+)2+(b+)2的最小值是8. 錯(cuò)因：上面的解答中，兩次用到了基本不等式a2+b2≥2ab，第一次等號(hào)成立的條件是a=b=,第二次等號(hào)成立的條件是ab=，顯然，這兩個(gè)條件是不能同時(shí)成立的.因此，8不是最小值. 正解：原式= a2+b2+++4=( a2+b2)+(+)+4=[(a+b)2－2ab]+[(+)2－]+4 ???????????? = (

51、1－2ab)(1+)+4， 由ab≤()2= 得：1－2ab≥1－=, 且≥16，1+≥17， ∴原式≥×17+4= (當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí)，等號(hào)成立)， ∴(a + )2 + (b + )2的最小值是. [例4] 已知0 < x < 1, 0 < a < 1，試比較的大小. 解法一： ????? ????? ∵0 < 1 - x2 < 1,? ???∴ ????? ∴ 解法二： ????? ????? ∵0 < 1 - x2 < 1, ?1 + x > 1,? ∴ ????? ∴?? ∴ 解法三：∵0 < x < 1,? ∴0 < 1 - x < 1,? 1

52、 < 1 + x < 2, ????? ∴ ????? ∴左 - 右 = ????? ∵0 < 1 - x2 < 1, 且0 < a < 1? ∴ ????? ∴ ?? [例5]已知x2 = a2 + b2，y2 = c2 + d2，且所有字母均為正，求證：xy≥ac + bd 證：證法一（分析法）∵a, b, c, d, x, y都是正數(shù) ?????????????? ∴要證：xy≥ac + bd ??????????????? ?只需證：(xy)2≥(ac + bd)2 ???????????????? 即：(a2 + b2)(c2 + d2)≥a2c2 + b2d2

53、 + 2abcd ???????????????? 展開(kāi)得：a2c2 + b2d2 + a2d2 + b2c2≥a2c2 + b2d2 + 2abcd ???????????????? 即：a2d2 + b2c2≥2abcd???? 由基本不等式，顯然成立 ?????????????? ∴xy≥ac + bd 證法二（綜合法）xy = ???????????????? ≥ 證法三（三角代換法） ????? ∵x2 = a2 + b2，∴不妨設(shè)a = xsina,? b = xcosa y2 = c2 + d2??????????????? c = ysinb,? d = yco

54、sb ??????????? ∴ac + bd = xysinasinb + xycosacosb = xycos(a - b)≤xy [例6] 已知x > 0，求證： 證：構(gòu)造函數(shù) 則， 設(shè)2≤a 0,? ab - 1 > 0,? ab > 0? ∴上式 > 0 ∴f (x)在上單調(diào)遞增，∴左邊 ? 四、典型習(xí)題導(dǎo)練 ? 1.比較（a+3）(a－5)與（a+2）（a-4）的大小. 2.已知a,b,c,d都是正數(shù)，求證： 3.已知x > 0 , y > 0，2x + y = 1，求證： 4.若，求證： 5.若x > 1，y > 1，求證： 6．證明：若a > 0，則