2013年高中數(shù)學(xué) 基礎(chǔ)能力訓(xùn)練（14）

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1、數(shù)學(xué)能力訓(xùn)練（14） 1．（本大題共12分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且、的等差中項(xiàng)為1. （Ⅰ）寫出； （Ⅱ）猜想的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明； （Ⅲ）設(shè)，求的值。 2長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中， E為AA1上的點(diǎn)。（如圖） (1) 若DBEC為二面角B－EB1－C的平面角， 則平面BCE^平面B1CE， 此命題是否正確？證明你的結(jié)論。 (2) 寫出(1)中命題的逆命題，它正確嗎？ 證明你的結(jié)論。 (3) 設(shè)AB＝AD＝1，當(dāng)AA1邊上有且僅 有一點(diǎn)E，使平面BCE^平面B1CE 時(shí)。(文)求點(diǎn)B到平面B1CE的距離； (理)求點(diǎn)A到

2、平面B1CE的距離。 3 設(shè)，求證： 4 某地要建一個(gè)水庫，設(shè)計(jì)的水庫最大容量為1.28×106m3，在山洪爆發(fā)時(shí)，預(yù)計(jì)注入水量Sn（單位為m3）與天數(shù)n（n為不大于10的正整數(shù)）的關(guān)系是Sn=50000，設(shè)水庫原有水量為8×105m3。泄水閘每天排水量為4×104m3，若山洪爆發(fā)時(shí)的第一天就打開泄水閘，那么在10天內(nèi)，堤壩是否會(huì)發(fā)生危險(xiǎn)，若會(huì)發(fā)生危險(xiǎn)，請(qǐng)計(jì)算第幾天會(huì)發(fā)生危險(xiǎn)，若不會(huì)發(fā)生危險(xiǎn)，請(qǐng)說明理由。（水庫水量超過最大容量時(shí)，堤壩會(huì)發(fā)生危險(xiǎn)）。 5 已知拋物線S的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，△ABC三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線上，且△ABC的重心為拋物線的焦點(diǎn).若BC所在直線

3、的方程為l:4x+y-20=0. (Ⅰ)求拋物線S的方程； (Ⅱ)若O是坐標(biāo)原點(diǎn)，問：是否存在定點(diǎn)M，使過點(diǎn)M的動(dòng)直線與拋物線S交于P、Q兩點(diǎn)，且∠POQ=90°? 6 定義在(－1,1)上的函數(shù)f(x)滿足①對(duì)于任意x,y(－1,1)，都有f(x)+f(y)=f(), ②當(dāng)時(shí)x(－1,0)時(shí)，f(x)>0,回答下列問題： ① 判斷f(x)在(0,1)上的單調(diào)性。 ② 計(jì)算f()－f(),f()－f()－f(),f()－f()－f()－f(),┄┄,猜想f()－f()－f(),┄┄,－f()的值,并用數(shù)學(xué)歸納法給予證明. ③ 能不用數(shù)學(xué)歸納法證明上面的結(jié)論嗎?若能，請(qǐng)

4、證明。 答案 1 ．解：（Ⅰ）依題意：，計(jì)算得； （Ⅱ）猜想以下用數(shù)學(xué)歸納法證明： （1）當(dāng)n=1時(shí)，,猜想成立； （2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，猜想成立，即，則 當(dāng)n=k+1時(shí)，， 兩式相減得，即 ∴當(dāng)n=k+1時(shí)，猜想也成立 綜上（1）（2），對(duì)時(shí)， （Ⅲ） 。 2．解：(1)∵DBEC為二面角B－EB1－C平面角，∴CE^B1E，BE^EB1， ∴BE1^面CBE，又BE1ì面B1CE ∴面BCE^面B1CE (2)逆命題:若面BCE^面B1CE，

5、則DBEC為二面角B-EB1-C的平面角 過B作BH^CE于H， ∵平面BCE^平面B1CE且平面BCE∩平面B1CE=CE ∴BH^平面B1CE，又B1Eì平面B1CE ∴BH^B1E ∵CB^B1E BC∩BH＝B ∴B1E^平面BCE ∴B1E^BE，B1E^CE 即證得DCEB為二面角B-EB1-C平面角 (3)由(2)知當(dāng)平面BCE^平面B1CE時(shí)，DBEC為二 面角B-EB1-C的平面角 ∴DBEB1＝90°，又滿足條件的E有且只有一個(gè)。 ∴E必為AA1中點(diǎn)。即以BB1為直徑的圓必與AA1相切于E (文)∵AB=1, ∴BB1=2,BE=,

6、∵平面BCE^平面B1CE。 ∴過B作BH^CE于H，則BH就是B到平面B1CE的距離。 在RtDBCE中，dB-CEB=BH=. (理)∵B1E=,CE=，S 且V，∴ =，解得。 3．證明：令， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴。 4．解：設(shè)第n天會(huì)發(fā)生危險(xiǎn)（n為不大于10的正整數(shù)） 8×105+Sn－4×104×n ＞1.28×106 即Sn ＞1.28×106－8×105+4×104×n 將Sn=50000代入 得：50000＞1.28×106－8×105+4×104×n 整理得： 5＞4n+48 兩邊平方得：25(n2+24n

7、) ＞16(n+12)2 整理得： n2+24n－256＞0 解得： n＞8或n＜－12（舍去） 第9天會(huì)發(fā)生危險(xiǎn)。 5．解：(Ⅰ)設(shè)拋物線S的方程為y=2px.把直線l:4x+y-20=0代入， 得2y2+py-20p=0.  由Δ＞0，有p＞0或p＜-160. 設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2)，則y1+y2=-. 同理，x1+x2=  △ABC的重心F( ，0)，設(shè)A(x3，y3)， 則  ∵點(diǎn)A在拋物

8、線S上，∴ ∴p=8. ∴拋物線S的方程為y2=16x. (Ⅱ)設(shè)過定點(diǎn)M的動(dòng)直線方程為y=kx+b，交拋物線于P、Q兩點(diǎn)， 顯然k≠0，b≠0. ∵∠POQ=90°，∴kPO·kQO=-1.   把①代入拋物線方程，得ky2-16y+16b=0. ∴yP·yQ=,從而xP·x

9、Q=  ∵k≠0,b≠0,∴b=-16k. ∴動(dòng)直線方程為y=kx-16k, 從而y=k(x-16). ∴動(dòng)直線必過定點(diǎn)(16，0). 若PQ的斜率不存在，直線x=16與拋物線交于P(16，-16)、Q(16，16)兩點(diǎn)， 仍有∠POQ=90°.  ∴存在

10、定點(diǎn)M(16，0)滿足條件. 6．解：①令 y=0, f(x)+f(0)=f(x) f(0)=0 再令y=－x, f(x)+f(－x)=f(0) =0 f(x) 在(－1,1)上為奇函數(shù) 又設(shè)任意x1,x2(0,1),且x10 <0 f()>0 f(x1) >f(x2) f(x) 在(0,1)上為減函數(shù)。 ② f()－f()=f()+f(－) =f()=f(

11、)=f() f()－f()=f() f()－f()－f()=f()－f()=f()=f() f()－f()－f()－f()=f()－f()=f()=f() 猜想：f()－f()－f(),┄┄,－f()=f() 以下用數(shù)學(xué)歸納法證明： 1) 當(dāng)n=1,2,3時(shí)，由上可知，等式成立。 2) 設(shè)n=k (kN)時(shí)，等式成立。 即 f()+f(),┄┄,+f()=f()－f() n=k+1, f()+f(),┄┄,+f()+f() = f()－f()+f() = f()－[f()－f()] = f()－f() =f()－f()=f()－f() n=k+1時(shí)，等式成立。 3) 能，f()=f[]=f() =f()－f() f()=f()－f() f()=f()－f() f()=f()－f() 相加得：f()+f(),┄┄,+f()=f()－f() 得證。