（江蘇專用）2013年高考數(shù)學總復習 第二章第9課時 導數(shù)的概念及運算課時闖關（含解析）

（江蘇專用）2013年高考數(shù)學總復習 第二章第9課時 導數(shù)的概念及運算 課時闖關（含解析）A級雙基鞏固一、填空題1一質(zhì)點沿直線運動，如果由始點起經(jīng)過t秒后的位移為st3t22t，那么速率為零的時刻是_解析：st23t2，令s0，則t1或t2.答案：1秒末和2秒末2函數(shù)y(x1)2(x1)在x1處的導數(shù)等于_解析：y(x1)2(x1)(x1)(x21)x3x2x1.y3x22x1，y|x13214.答案：43曲線yxex2x1在點(0,1)處的切線方程為_解析：yexx·ex2，y|x03，切線方程為y13(x0)，y3x1，即3xy10.答案：3xy104曲線yx3x在點(1，)處的切線和坐標軸圍成的三角形面積為_解析：f(x)x21，故k切f(1)2，切線方程為y2(x1)，即y2x，切線和x軸、y軸交點為(，0)，(0，)故所求面積為S××.答案：5若曲線f(x)x4x在點P處的切線平行于直線3xy0，則點P的坐標為_解析：f(x)4x31，由題意4x313，x1，故切點P(1,0)答案：(1,0)6已知函數(shù)f(x)的圖象在M(1，f(1)處的切線方程為yx2，則f(1)f(1)_.解析：f(1)，f(1)，f(1)f(1)3.答案：37已知曲線f(x)xlnx的一條切線的斜率為2，則切點的橫坐標為_解析：f(x)lnx1，lnx12.xe.答案：e8若曲線f(x)ax2lnx存在垂直于y軸的切線，則實數(shù)a的取值范圍為_解析：f(x)2ax，f(x)存在垂直于y軸的切線，f(x)0有解，即2ax0有解，a，a(，0)答案：(，0)二、解答題9求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)yx(x2)；(2)y(1)(1)；(3)yxtan x；(4)yxsincos；(5)y3lnxax(a>0，且a1)解：(1)yx(x2)x31，y3x2.(2)y·1xx，y(xx)xx(1)(3)y(xtan x)().(4)y(xsincos)(xsin x)1cos x.(5)y(3ln xax)axln a.10已知函數(shù)f(x)ax22lnx(aR)，設曲線yf(x)在點(1，f(1)處的切線為l，若l與圓C：x2y2相切，求a的值及切線l的方程解：依題意有f(1)a，f(x)2ax，f(1)2a2.直線l的方程為ya(2a2)(x1)，即(2a2)xya20.*l與圓C相切，解得a.把a代入*并整理得切線l的方程為6x8y50.B級能力提升一、填空題1(2012·蘇北四市質(zhì)檢)已知函數(shù)yf(x)及其導函數(shù)yf(x)的圖象如圖所示，則曲線yf(x)在點P處的切線方程是_解析：由圖可知，f(2)1，所以切線方程為yx2，即xy20.答案：xy202已知f(x)f()cosxsinx，則f()的值為_解析：因為f(x)f()sinxcosx，所以f()f()·sin()cosf()1，故f()f()cossinf()1.答案：13(2010·高考遼寧卷改編)已知點P在曲線y上，為曲線在點P處的切線的傾斜角，則的取值范圍是_解析：y.設tex(0，)，則y，t2，y1,0)，)答案：，)4(2010·高考江蘇卷)函數(shù)yx2(x>0)的圖象在點(ak，a)處的切線與x軸的交點的橫坐標為ak1，其中kN*.若a116，則a1a3a5的值是_解析：y2x，在點(ak，a)處的切線方程為ya2ak(xak)，又該切線與x軸的交點為(ak1,0)，所以ak1ak，即數(shù)列ak是等比數(shù)列，首項a116，其公比q，a34，a51，a1a3a521.答案：21二、解答題5已知函數(shù)f(x)x3x.(1)求曲線yf(x)在點M(t，f(t)處的切線方程；(2)設a>0，如果過點(a，b)可作曲線yf(x)的三條切線，證明：a<b<f(a)解：(1)求函數(shù)f(x)的導數(shù)f(x)3x21，曲線yf(x)在點M(t，f(t)處的切線方程為yf(t)f(t)(xt)即y(3t21)x2t3.(2)證明：如果有一條切線過點(a，b)，則存在t，使b(3t21)a2t3.于是，若過點(a，b)可作曲線yf(x)的三條切線，則方程2t33at2ab0有三個相異的實數(shù)根，記g(t)2t33at2ab，則g(t)6t26at6t(ta)當t變化時，g(t)，g(t)變化情況如下表：t(，0)0(0，a)a(a，)g(t)00g(t)極大值ab極小值bf(a)由g(t)的單調(diào)性，當極大值ab<0或極小值bf(a)>0時，方程g(t)0最多有一個實數(shù)根；當ab0時，解方程g(t)0得t0，t，即方程g(t)0只有兩個相異的實數(shù)根；當bf(a)0時，解方程g(t)0，得t，ta，即方程g(t)0只有兩個相異的實數(shù)根綜上，如果過(a，b)可作曲線yf(x)的三條切線，即g(t)0有三個相異的實數(shù)根，則即a<b<f(a)6已知拋物線C1：yx22x和C2：yx2a.如果直線l同時是C1和C2的切線，稱l是C1和C2的公切線，公切線上兩個切點之間的線段，稱為公切線段(1)a取什么值時，C1和C2有且僅有一條公切線？寫出此公切線的方程；(2)若C1和C2有兩條公切線，證明相應的兩條公切線段互相平分解：(1)函數(shù)yx22x的導函數(shù)為y2x2，曲線C1在點P(x1，x2x1)的切線方程為y(x2x1)(2x12)(xx1)，即y(2x12)xx.函數(shù)yx2a的導函數(shù)為y2x，曲線C2在點Q(x2，xa)的切線方程是y(xa)2x2(xx2)，即y2x2xxa.如果直線l是過P和Q的公切線，則式和式都是l的方程，所以消去x2得方程2x2x11a0，若判別式44×2(1a)0，即a時，解得x1x2，此時P、Q重合，即a時，C1和C2有且僅有一條公切線由得公切線方程為：yx.(2)證明：由(1)可知，當>0，即a<時，C1和C2有兩條公切線設一條公切線上切點為P(x1，y1)，Q(x2，y2)，其中P在C1上，Q在C2上，則有x1x21，y1y2x2x1(xa)x2x1(x11)2aa1.線段PQ的中點為(，)，同理，另一條公切線段PQ的中點也是(，)所以公切線段PQ和PQ互相平分