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1、考點53 坐標(biāo)系與參數(shù)方程
一、填空題
1.(2012·湖北高考理科·T16)在直角坐標(biāo)系xOy中,以原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知射線與曲線(t為參數(shù))相較于A,B來兩點,則線段AB的中點的直角坐標(biāo)為_________.
【解題指南】本題考查極坐標(biāo)的意義與參數(shù)方程,可轉(zhuǎn)化為直線與拋物線的交點問題,再利用中點坐標(biāo)公式求解.
【解析】曲線可化為: ,射線可化為,聯(lián)立著兩個方程得:,點A,B的橫坐標(biāo)就是此方程的根, 線段AB的中點 .
【答案】.
2.(2012·廣東高考文科·T14)在平面直角坐標(biāo)系中,曲線和 的參數(shù)方程分別為(為參數(shù),和(t為參數(shù)),則曲線和的交
2、點坐標(biāo)為 .
【解題指南】解決本題顯然把C1的方程化成普通方程之后,再把C2中點的坐標(biāo)代入C1方程,可求出t,進而可確定交點坐標(biāo).
【解析】把的方程化成普通方程為,,兩曲線的交點坐標(biāo)為.
【答案】.
3.(2012·廣東高考理科·T14)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1和C2的參數(shù)方程分別為和,則曲線C1與C2的交點坐標(biāo)為_______.
【解題指南】解決本題顯然把C2的方程化成普通方程之后,再把C1中點的坐標(biāo)代入C2方程,可求出t,進而可確定交點坐標(biāo).
【解析】把C2的方程化成普通方程為,兩曲線的交點坐標(biāo)為.
【答案】(1,1).
4.(2012·湖南高考
3、文科·T10)在極坐標(biāo)系中,曲線:與曲線:的一個交點在極軸上,則a=_______.
【解題指南】本題考查直線的極坐標(biāo)方程、圓的極坐標(biāo)方程,直線與圓的位置關(guān)系,考查轉(zhuǎn)化的思想、方程的思想,考查運算能力;題型年年有,難度適中.把曲線與曲線的極坐標(biāo)方程都轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程,求出與軸交點,即得.極軸上的點對應(yīng)的角,所以可以取,進行求解.
【解析】曲線的直角坐標(biāo)方程是,曲線的普通方程是直角坐標(biāo)方程,因為曲線C1:與曲線C2:的一個交點在極軸上,所以與軸交點橫坐標(biāo)與值相等,由,知=.
【答案】.
5.(2012·北京高考理科·T9)直線(t為參數(shù))與曲線 (α為任意實數(shù))的交點個數(shù)為
4、
【解題指南】消參后,得到直線與圓的方程,利用圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系判斷直線與圓的位置關(guān)系.
【解析】消參后,直線為,曲線為圓。圓心(0,0)到直線的距離為,小于半徑3,所以直線與圓相交,因此,交點個數(shù)為2個.
【答案】2.
6.(2012·陜西高考理科·T15)直線與圓相交的弦
長為
【解題指南】解方程組求出交點的坐標(biāo),再求弦長;或先化極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程,再求弦長.
【解析】解法一:解方程組得或,所求弦長為2.解法二:直線可化為,即;圓兩邊同乘以得,化為直角坐標(biāo)方程是,解方程組得,∴,∴弦長是.
【答案】.
7.(2012·
5、湖南高考理科·T9)在直角坐標(biāo)系xOy 中,已知曲線C1: (t為參數(shù))與曲線C2 : (為參數(shù),a>0 ) 有一個公共點在X軸上,則a= .
【解題指南】x軸上的點的橫坐標(biāo)為0,以此為突破口,逐步解出a的值。
【解析】由y=0知1-2t=0,t=,
【答案】.
8.(2012·安徽高考理科·T13)在極坐標(biāo)系中,圓的圓心到直線的距離是 .
【解題指南】將極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為普通方程,根據(jù)點到線的距離公式求距離.
【解析】圓的圓心
直線;點到直線的距離是.
【答案】.
9.(2012·江西高考理科·T15)曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-
6、2x=0,以原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,則曲線C的極坐標(biāo)方程為___________.
【解題指南】通過極坐標(biāo)的定義建立曲線C的參數(shù)方程將其代入直角坐標(biāo)方程,化簡整理可得極坐標(biāo)方程.
【解析】設(shè)曲線C的參數(shù)方程為,代入直角坐標(biāo)方程可得,化簡整理得.
【答案】.
10.(2012·天津高考理科·T12)已知拋物線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),其中p>0,焦點為F,準(zhǔn)線為L,過拋物線上一點M作的垂線,垂足為E,若|EF|=|MF|,點M的橫坐標(biāo)為3,則=________.
【解題指南】化拋物線為普通方程,求出焦點坐標(biāo),根據(jù)拋物線定義結(jié)合解三角形即可求得值.
【解析】,焦點,過
7、點M做Y軸的垂線,垂足為N,由題意可知,是正三角形,所以,在中,,.
【答案】2.
二、解答題
11.(2012·新課標(biāo)全國高考文科·T23)與(2012·新課標(biāo)全國高考理科·T23)相同
已知曲線的參數(shù)方程是,以坐標(biāo)原點為極點,軸的正半軸為極軸建立坐標(biāo)系,曲線的坐標(biāo)方程是,正方形的頂點都在上,且依逆時針次序排列,點的極坐標(biāo)為.
(1)求點的直角坐標(biāo);
(2)設(shè)為上任意一點,求的取值范圍
【解題指南】(1)利用極坐標(biāo)的定義求得A、B、C、D的坐標(biāo);
(2)由方程的參數(shù)式表示出|PA|2+ |PB|2 + |PC|2+ |PD|2關(guān)于的函數(shù)式,利用三角函數(shù)的知識求取值范圍.
【
8、解析】(1)由已知可得
,
,
即 .
(2)設(shè)令,則
.
因為所以的取值范圍是.
12.(2012·遼寧高考文科·T23)與(2012·遼寧高考理科·T23)相同
在直角坐標(biāo)中,圓,圓.
(Ⅰ)在以O(shè)為極點,x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,分別寫出圓的極坐標(biāo)方程,并求出圓的交點坐標(biāo)(用極坐標(biāo)表示);
(Ⅱ)求出的公共弦的參數(shù)方程.
【解題指南】將直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程,聯(lián)立,求得交點極坐標(biāo);
【解析】(1)圓的極坐標(biāo)方程為;圓的極坐標(biāo)方程為;
聯(lián)立方程組,解得。故圓,的交點極坐標(biāo)為.
(2)由,及得,
圓,的交點直角坐標(biāo)為
故圓,的公共弦的參數(shù)方程為
9、.
13.(2012·福建高考理科·T21)在平面直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點O為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知直線上兩點M,N的極坐標(biāo)分別為,,圓C的參數(shù)方程(為參數(shù)).
(Ⅰ) 設(shè)P為線段MN的中點,求直線OP的平面直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ) 判斷直線與圓C的位置關(guān)系.
【解題指南】本題主要考查極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系的互化、圓的參數(shù)方程,利用轉(zhuǎn)化與化歸思想求解.
【解析】(Ⅰ)由題意知,M,N的平面直角坐標(biāo)分別為,,
又P為線段MN的中點,從而P的平面直角坐標(biāo)為
故直線的平面直角坐標(biāo)方程為.
(Ⅱ)因為直線上兩點M,N的平面直角坐標(biāo)分別為,,
所以直線的平面直角坐標(biāo)方程為
又圓C的圓心坐標(biāo)為,半徑
∴圓心到直線的距離為
∴直線和圓相交.
14.(2012·江蘇高考·T21)在極坐標(biāo)系中,已知圓C經(jīng)過點,圓心為直線與極軸的交點,求圓C的極坐標(biāo)方程.
【解題指南】根據(jù)圓圓心為直線與極軸的交點求出圓心坐標(biāo);根據(jù)圓經(jīng)過點求出圓的半徑.從而得到圓的極坐標(biāo)方程.
【解析】∵圓圓心為直線與極軸的交點,
∴在中令,得.
∴圓的圓心坐標(biāo)為(1,0).
∵圓經(jīng)過點,∴圓的半徑為.
∴圓經(jīng)過極點。∴圓的極坐標(biāo)方程為.