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1、第10 章多自由度體系無阻尼自由振動分析,結構動力特性分析特征值問題的性質,,結構無阻尼自由振動方程,將簡諧運動,代入上式可得,（10-1）,（10-2）,（10-3）,,方程（103）為特征值問題。對特征方程分析可得一個動力系統(tǒng)的固有頻率以及振型。,1、固有頻率,從方程（103）可知：要獲得a非零解，必須要求矩陣系數(shù)行列式為零：,（10-4）,式（104）稱為系統(tǒng)的頻率方程，對其進行行列式展開可以獲得一個關于2的n次（自由度數(shù)）的代數(shù)方程，它的n個根 表示系統(tǒng)可能的n個振型的頻率。,結構動力特性分析特征值問題的性質,2、振型,(10-5),由頻率方程式（104）求得系統(tǒng)n個固有頻率
2、 后，可以將任一個固有頻率 回代入特征方程（103），以獲得對應的振幅向量a：,式中：,上式中，由于系數(shù)矩陣 的行列式為零，因此是不定方程。對振幅向量除以a1，并記 以及 ，式(105)可以拆分為兩個獨立的系列：,多自由度體系動力特性分析（舉例）,如圖所示結構，E=2.6x107kN/m2，各柱尺寸0.6x0.6m. 求自振頻率和振型。,解：用剛度法得,k22,k12,則質量陣和剛度陣為,由頻率方程解得：,頻率方程為：,振型1（令 ）：,振型2（令 ）：,,Betti定理：若一結構分別受兩種荷載體系作用并引起了相應的位移，則荷
3、載體系1在荷載體系2對應位移上所作的功等于荷載體系2在荷載體系1對應位移上所作的功。,情況1（先加載荷載a，然后加載荷載b）：,加荷載b：,加荷載a：,情況2（先加載荷載b，然后加載荷載a）：,加荷載a：,加荷載b：,由于結構變形與加載次序無關，因此在兩種情況下荷載作功應相等：,振型正交性（1）Betti定理,振型正交性（2）利用Betti定理證明振型正交性,如將自由振動看作由慣性力引起的變形，將兩個振型對應的慣性力作為施加荷載，振型即為慣性力荷載作用引起的位移（如右圖所示）。對此體系應用Betti定理：,由于慣性力向量可表達為：,將此代入式(I)，并注意m對稱性，得：,( I ),或寫為,歸
4、一化振型,顯然，歸一化振型可以由標準振型獲得：,在結構動力分析中，常用到正交歸一化振型。一個振型如滿足以下條件則稱為歸一化振型，用記號 表示：,對于剛度陣，有：,（1）如果m和k都對稱，且至少有一個矩陣正定，則特征值一 定是實數(shù)，而特征向量也可以是實向量。如果m正定，并且k為正定或半正定，則所有特征值都是正的實數(shù)。,從數(shù)學角度理解特征系統(tǒng)的基本特性,（2） 特征向量（或模態(tài)向量）關于質量矩陣m和剛度矩陣m正交，即：,一個特征系統(tǒng)具有以下特性：,特征系統(tǒng)的基本特性（續(xù)）,(3) Rayleigh商和特征值的極大極小性質,定義：,可以證明，對于任意x有:,得到第i 階特征值:,由振型正交性可得，當x為系統(tǒng)的某階特征向量時，則有:,特征系統(tǒng)的基本特性（續(xù)）,(4) 特征值的移軸性質,或寫為：,式中：,式（10-7）和標準特征值方程有相同的特征向量，但特征值相差，即：,將特征值方程 兩邊分別減去 ，則有另一等價形式：,(10-7),(5) 特征值的分隔性質,則對角矩陣D 中有i 個負元素。,如果有,(6) 位移展開定理,對于n 維空間中的任意向量x都可以按模態(tài)矩陣展開：,系數(shù)q可按右式確定：,以上討論的是廣義特征值問題的一些基本特性，深入理解這些性質，對于求解特征值問題很有幫助。,特征系統(tǒng)的基本特性（續(xù)）,
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