1.2 基本不等式1

12 基本不等式1定理1設(shè)a，bR，則a2b22ab，當(dāng)且僅當(dāng)ab時，等號成立2定理2(基本不等式或平均值不等式)如果a，b為正數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)ab時，等號成立即：兩個正數(shù)的算術(shù)平均不小于(即大于或等于)它們的幾何平均3定理3(三個正數(shù)的算術(shù)幾何平均值不等式)如果a，b，c為正數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)abc時，等號成立4定理4(一般形式的算術(shù)幾何平均值不等式)如果a1，a2，an為n個正數(shù)，則 并且當(dāng)且僅當(dāng)a1a2an時，等號成立小問題·大思維1在基本不等式中，為什么要求a，b(0，)?提示：對于不等式，如果a，b中有兩個或一個為0，雖然不等式仍成立，但是研究的意義不大，而且a，b至少有一個為0時，不能稱為幾何平均(或等比中項)，因此規(guī)定a，b(0，)2滿足不等式成立的a，b，c的范圍是什么？提示：a，b，c的范圍為a0，b0，c0.例1已知a，b，c為正實數(shù)，且abc1求證：(ab)(bc)(ca)8.思路點撥本題考查基本不等式在證明不等式中的應(yīng)用，解答本題需要分析不等式的特點，先對ab，bc，ca分別使用基本不等式，再把它們相乘精解詳析a，b，c為正實數(shù)，ab20，bc20，ca20，由上面三式相乘可得(ab)(bc)(ca)8··8abc.即(ab)(bc)(ca)8.規(guī)律總結(jié)(1)用基本不等式證明不等式時，應(yīng)首先依據(jù)不等式兩邊式子的結(jié)構(gòu)特點進(jìn)行恒等變形，使之具備基本不等式的結(jié)構(gòu)和條件，然后合理地選擇基本不等式或其變形形式進(jìn)行證明(2)本題證明過程中多次用到基本不等式，然后利用同向不等式的可加性得出所證的不等式變式1已知a，b(0，)，求證：(ab)4.證明：a>0，b>0，ab2>0，當(dāng)且僅當(dāng)ab時取等號2>0，當(dāng)且僅當(dāng)，即ab時取等號×，得(ab)2·24，當(dāng)且僅當(dāng)ab時取等號(ab)4.例2(1)已知a，b，cR，求證：a2b2c226.(2)設(shè)a1，a2，a3均為正數(shù)，且a1a2a3m，求證：.思路點撥本題考查平均不等式的應(yīng)用解答(1)題時可重復(fù)使用均值不等式，(2)題需要先觀察求證式子的結(jié)構(gòu)，然后通過變形轉(zhuǎn)化為用平均不等式證明精解詳析(1)a2b2c223926，當(dāng)且僅當(dāng)abc時等號成立(2)·m(a1a2a3)·3·3 9·9.當(dāng)且僅當(dāng)a1a2a3時等號成立又m>0，.規(guī)律總結(jié)三個正數(shù)的算術(shù)幾何平均不等式定理，是根據(jù)不等式的意義、性質(zhì)和比較法證出的，因此，凡是可以利用該定理證明的不等式，一般都可以直接應(yīng)用比較法證明，只是在具備條件時，直接應(yīng)用該定理會更簡便若不直接具備“一正二定三相等”的條件，要注意經(jīng)過適當(dāng)?shù)暮愕茸冃魏笤偈褂枚ɡ碜C明連續(xù)多次使用平均值不等式定理時要注意前后等號成立的條件是否保持一致變式2已知a，b，cR，證明(abc)227.證明：a，b，cR，abc3>0.(abc)29又3>0，(abc)23·927.當(dāng)且僅當(dāng)abc時，等號成立(abc)227.一、選擇題1設(shè)x、y為正實數(shù)，且xy(xy)1，則()Axy2(1)Bxy2(1)Cxy(1)2 Dxy(1)2解析：x0，y0，xy(xy)1xy1(xy)1(xy)2xy2(1)答案：A2已知圓柱的軸截面周長為6，體積為V，則下列關(guān)系式總成立的是()AV BVCV DV解析：設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h，則由題意得：4r2h6，即2rh3，于是有Vr2h·33，當(dāng)且僅當(dāng)rh時取等號答案：B3設(shè)x，y，zR且xyz6，則lg xlg ylg z的取值范圍是()A(，lg 6 B(，3lg 2Clg 6，) D3lg 2，)解析：lg xlg ylg zlg(xyz)，而xyz3，lg(xyz)lg 83lg 2(當(dāng)且僅當(dāng)xyz2時，等號成立)答案：B4設(shè)a，b，c(0，)且abc1，令x，則x的取值范圍為()A. B.C1,8) D8，)解析：x··8，當(dāng)且僅當(dāng)abc時取等號，x8.答案：D二、填空題5已知x，yR，且滿足1，則xy的最大值為_解析：因為x0，y0，所以2 ，即 1，解得xy3，所以其最大值為3.答案：36設(shè)a>1，t>0，則logat與loga的大小關(guān)系為logat_loga(填“<”“”或“”)解析：因為logatloga，又t>0又 .而a>1，logaloga，故填“”答案：7函數(shù)y(x0)有最大值_，此時x_.解析：x0，x2>0.y，當(dāng)且僅當(dāng)x2，即x49，x±時取等號，即當(dāng)x±時，ymax.答案：±8已知a0，b0，c0，且abc1，則abc的最大值是_解析：a，b，c(0，)，1abc3.0abc3，當(dāng)且僅當(dāng)abc時取等號答案：三、解答題9求函數(shù)y2x2(x>0)的最小值解：由x>0知2x2>0，>0，則y2x22x233.當(dāng)且僅當(dāng)2x2，即x時，ymin3.10已知a，b為正實數(shù)，ab1.求證：22.證明：a>0，b>0，ab1.1ab2，.4. ，2.2222.22.當(dāng)且僅當(dāng)ab時等號成立11設(shè)a，b，c為正實數(shù)，求證：abc2.證明：因為a，b，c為正實數(shù)，由算術(shù)幾何平均不等式可得3，即(當(dāng)且僅當(dāng)abc時，等號成立)所以abcabc.而abc22(當(dāng)且僅當(dāng)a2b2c23時，等號成立)，所以abc2(當(dāng)且僅當(dāng)abc時，等號成立)