1.2 基本不等式1

上傳人:無*** 文檔編號:146831594 上傳時(shí)間:2022-09-01 格式:DOC 頁數(shù):7 大?。?7KB
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1、1.2 基本不等式 1.定理1 設(shè)a,b∈R,則a2+b2≥2ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號成立. 2.定理2(基本不等式或平均值不等式) 如果a,b為正數(shù),則≥,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號成立.即:兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均不小于(即大于或等于)它們的幾何平均. 3.定理3(三個(gè)正數(shù)的算術(shù)—幾何平均值不等式) 如果a,b,c為正數(shù),則≥,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí),等號成立. 4.定理4(一般形式的算術(shù)—幾何平均值不等式) 如果a1,a2,…,an為n個(gè)正數(shù),則 ≥ 并且當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=an時(shí),等號成立. [小問題·大思維] 1.在基本不等式≥中,為什么要求a,b∈(

2、0,+∞)? 提示:對于不等式≥,如果a,b中有兩個(gè)或一個(gè)為0,雖然不等式仍成立,但是研究的意義不大,而且a,b至少有一個(gè)為0時(shí),不能稱為幾何平均(或等比中項(xiàng)),因此規(guī)定a,b∈(0,+∞). 2.滿足不等式≥成立的a,b,c的范圍是什么? 提示:a,b,c的范圍為a≥0,b≥0,c≥0. [例1] 已知a,b,c為正實(shí)數(shù),且abc=1 求證:(a+b)(b+c)(c+a)≥8. [思路點(diǎn)撥] 本題考查基本不等式在證明不等式中的應(yīng)用,解答本題需要分析不等式的特點(diǎn),先對a+b,b+c,c+a分別使用基本不等式,再把它們相乘. [精解詳析] ∵a,b,c為正實(shí)數(shù), ∴a+b≥2>0

3、, b+c≥2>0, c+a≥2>0, 由上面三式相乘可得 (a+b)(b+c)(c+a) ≥8··=8abc. 即(a+b)(b+c)(c+a)≥8. 規(guī)律總結(jié) (1)用基本不等式證明不等式時(shí),應(yīng)首先依據(jù)不等式兩邊式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)進(jìn)行恒等變形,使之具備基本不等式的結(jié)構(gòu)和條件,然后合理地選擇基本不等式或其變形形式進(jìn)行證明. (2)本題證明過程中多次用到基本不等式,然后利用同向不等式的可加性得出所證的不等式. 變式 1.已知a,b∈(0,+∞),求證:(a+b)≥4. 證明:∵a>0,b>0,∴a+b≥2>0,① 當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號. +≥2>0,② 當(dāng)且僅當(dāng)=,

4、即a=b時(shí)取等號. ①×②,得(a+b)≥2·2=4, 當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號. ∴(a+b)≥4. [例2] (1)已知a,b,c∈R+, 求證:a2+b2+c2+2≥6. (2)設(shè)a1,a2,a3均為正數(shù),且a1+a2+a3=m,求證:++≥. [思路點(diǎn)撥] 本題考查平均不等式的應(yīng)用.解答(1)題時(shí)可重復(fù)使用均值不等式,(2)題需要先觀察求證式子的結(jié)構(gòu),然后通過變形轉(zhuǎn)化為用平均不等式證明. [精解詳析] (1)a2+b2+c2+2 ≥3+9 ≥2=6, 當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=時(shí)等號成立. (2)∵·m =(a1+a2+a3)· ≥3·3 =9·=9. 當(dāng)且僅

5、當(dāng)a1=a2=a3=時(shí)等號成立. 又∵m>0,∴++≥. 規(guī)律總結(jié) 三個(gè)正數(shù)的算術(shù)—幾何平均不等式定理,是根據(jù)不等式的意義、性質(zhì)和比較法證出的,因此,凡是可以利用該定理證明的不等式,一般都可以直接應(yīng)用比較法證明,只是在具備條件時(shí),直接應(yīng)用該定理會(huì)更簡便.若不直接具備“一正二定三相等”的條件,要注意經(jīng)過適當(dāng)?shù)暮愕茸冃魏笤偈褂枚ɡ碜C明. 連續(xù)多次使用平均值不等式定理時(shí)要注意前后等號成立的條件是否保持一致. 變式 2.已知a,b,c∈R+,證明(a+b+c)2≥27. 證明:∵a,b,c∈R+, ∴a+b+c≥3>0. ∴(a+b+c)2≥9 又++≥3>0, ∴(a+b+c)

6、2≥3·9 =27. 當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí),等號成立. ∴(a+b+c)2≥27. 一、選擇題 1.設(shè)x、y為正實(shí)數(shù),且xy-(x+y)=1,則(  ) A.x+y≥2(+1)     B.x+y≤2(+1) C.x+y≤(+1)2 D.x+y≥(+1)2 解析:x>0,y>0,xy-(x+y)=1?xy=1+(x+y)?1+(x+y)≤2?x+y≥2(+1). 答案:A 2.已知圓柱的軸截面周長為6,體積為V,則下列關(guān)系式總成立的是(  ) A.V≥π B.V≤π C.V≥π D.V≤π 解析:設(shè)圓柱的底面半徑為r

7、,高為h, 則由題意得:4r+2h=6,即2r+h=3, 于是有V=πr2h≤π·3=π3=π, 當(dāng)且僅當(dāng)r=h時(shí)取等號. 答案:B 3.設(shè)x,y,z∈R+且x+y+z=6,則lg x+lg y+lg z的取值范圍是(  ) A.(-∞,lg 6] B.(-∞,3lg 2] C.[lg 6,+∞) D.[3lg 2,+∞) 解析:∵lg x+lg y+lg z=lg(xyz), 而xyz≤3,∴l(xiāng)g(xyz)≤lg 8=3lg 2 (當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)=z=2時(shí),等號成立). 答案:B 4.設(shè)a,b,c∈(0,+∞)且a+b+c=1,令x=,則x的取值范圍為(  )

8、A. B. C.[1,8) D.[8,+∞) 解析:∵x= =··= ≥=8, 當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號,∴x≥8. 答案:D 二、填空題 5.已知x,y∈R+,且滿足+=1,則xy的最大值為________. 解析:因?yàn)閤>0,y>0, 所以+≥2= ,即 ≤1,解得xy≤3,所以其最大值為3. 答案:3 6.設(shè)a>1,t>0,則logat與loga的大小關(guān)系為logat________loga(填“<”“≥”或“≤”). 解析:因?yàn)閘ogat=loga,又t>0 又≥ . 而a>1,∴l(xiāng)oga≥loga,故填“≤”. 答案:≤

9、 7.函數(shù)y=(x≠0)有最大值________,此時(shí)x=________. 解析:∵x≠0,∴x2>0. ∴y==≤=, 當(dāng)且僅當(dāng)x2=,即x4=9,x=±時(shí)取等號, 即當(dāng)x=±時(shí),ymax=. 答案: ± 8.已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,則abc的最大值是________. 解析:∵a,b,c∈(0,+∞),∴1=a+b+c≥3. 0<abc≤3=, 當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=時(shí)取等號. 答案: 三、解答題 9.求函數(shù)y=2x2+(x>0)的最小值. 解:由x>0知2x2>0,>0,則 y=2x2+=2x2++ ≥3=3. 當(dāng)且僅當(dāng)2x2=,即

10、x=時(shí), ymin=3=. 10.已知a,b為正實(shí)數(shù),a+b=1. 求證:2+2≥. 證明:∵a>0,b>0,a+b=1. ∴1=a+b≥2,≤.∴≥4. ∵≤ ,∴≥2. ∴2+2≥22=≥≥. ∴2+2≥. 當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí)等號成立. 11.設(shè)a,b,c為正實(shí)數(shù), 求證:+++abc≥2. 證明:因?yàn)閍,b,c為正實(shí)數(shù),由算術(shù)—幾何平均不等式可得 ++≥3, 即++≥(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí),等號成立). 所以+++abc≥+abc. 而+abc≥2=2(當(dāng)且僅當(dāng)a2b2c2=3時(shí),等號成立), 所以+++abc≥2(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=時(shí),等號成立).

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