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1、1.2.3 空間中的垂直關系,一、空間兩條直線垂直,如果兩條直線相交于一點或經(jīng)過平移后相交于一點，并且交角為直角，則稱這兩條直線互相垂直。,,,AA AB,CC AB,,二、直線與平面垂直,,如果一條直線AB和一個平面相交于一點O，并且和這個平面內(nèi)過交點O的任何直線都垂直，我們就說這條直線和這個平面垂直。,這條直線叫做平面的垂線，這個平面叫做直線的垂面。,交點叫做垂足,垂線上一點到垂足間的線段,叫做這個點到這個平面的垂線段,垂線段的長度叫做這個點到平面的距離。,如果一條直線AB和一個平面相交于一點O，并且和這個平面內(nèi)過交點O的任何直線都垂直，我們就說這條直線和這個平面垂直。,如果一條直線垂直于
2、一個平面，那么它就和平面內(nèi)的任意一條直線垂直。,直線與平面垂直的判定定理,如果一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則這條直線與這個平面垂直。,推論,如果在兩條平行直線中,有一條垂直于平面,那么另一條直線和這個平面的位置關系如何？,問題：如果兩條直線垂直于同一個平面，那么這兩條直線是什么位置關系？,平行,也垂直于這個平面。,如果兩條直線垂直于同一個平面,那么這兩條直線平行。,直線與平面垂直的性質(zhì)定理,已知：直線l平面，直線m平面,垂足分別為A、B。,求證：l//m,證明：假設直線m不與直線l平行，,過直線m與平面的交點B，作直線m//l ,,由直線與平面垂直的判定定理的推論可知,m ,,設m和m
3、確定的平面為，與的交線為a,,因為直線m和m都垂直于平面.,所以直線m和m都垂直于交線a.,因為在同一平面內(nèi)，通過直線上一點與已知直線垂直的直線不可能有兩條。,所以直線m和m必重合，即l//m,,a,定義 如果一條直線AB和一個平面相交于一點O，并且和這個平面內(nèi)過交點O的任何直線都垂直，我們就說這條直線和這個平面垂直。,判定定理 如果一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則這條直線與這個平面垂直。,推論 如果在兩條平行直線中,有一條垂直于平面,那么另一條直線也和這個平面垂直。,判定,性質(zhì),如果一條直線垂直于一個平面，那么它就和平面內(nèi)的任意一條直線垂直。,性質(zhì)定理 如果兩條直線垂直于同
4、一個平面,那么這兩條直線平行.,例1過一點和已知平面垂直的直線只有一條。,已知：平面和一點P。,求證：過點P與平面垂直的直線只有一條。,例2 有一根旗桿AB高8m，它的頂端A掛著兩條長10m的繩子，拉緊繩子，并把它的下端放在地面上的兩點C,D（和旗桿腳不在同一條直線上），如果這兩點都和旗桿腳B的距離是6m，那么旗桿就和地面垂直，為什么？,,,例3 已知：直線l平面,垂足為A,直線AP l. 求證：AP在內(nèi)。,M,證明：設AP與l確定的平面為,假設AP不在平面內(nèi),則設平面與平面交于直線AM,所以lAM,因為l，AM ,又因為AP l，,所以在平面內(nèi)存在兩條直線垂直于l,,這是不可能的，所以AP 在平面內(nèi)。,,,
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