版一輪復習文科數(shù)學習題：第八篇　平面解析幾何必修2、選修11 第6節(jié)　拋物線 Word版含解析

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1、 第6節(jié)　拋物線 【選題明細表】 知識點、方法 題號 拋物線的定義與應用 2,3,4,10 拋物線的標準方程及幾何性質(zhì) 1,6 直線與拋物線的位置關系 5,7,8,11 拋物線的綜合應用 9,12,13 基礎鞏固(時間:30分鐘) 1.(2018·沈陽質(zhì)量監(jiān)測)拋物線y=4ax2(a≠0)的焦點坐標是(　C　) (A)(0,a) (B)(a,0) (C)(0,) (D)(,0) 解析:將y=4ax2(a≠0)化為標準方程得x2=y(a≠0), 所以焦點坐標為(0,),所以選C. 2.(2018·新余一中模擬)動點P到點A(0,2)的距離比它到直線l:

2、 y=-4的距離小2,則動點P的軌跡方程為(　D　) (A)y2=4x (B)y2=8x (C)x2=4y (D)x2=8y 解析:因為動點P到A(0,2)點的距離比它到直線l:y=-4的距離小2,所以動點P到點A(0,2)的距離與它到直線y=-2的距離相等,根據(jù)拋物線的定義可得點P的軌跡為以A(0,2)為焦點,以直線y=-2為準線的拋物線,其標準方程為x2=8y,故選D. 3.(2018·云南昆明一中月考)設拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,準線為l,點A為C上一點,以F為圓心,FA為半徑的圓交l于B,D兩點,若∠BFD=120°,△ABD的面積為2,則p等于(　A　) (

3、A)1 (B) (C) (D)2 解析:因為∠BFD=120°, 所以圓的半徑|FA|=|FB|=2p,|BD|=2p, 由拋物線定義,點A到準線l的距離d=|FA|=2p, 所以|BD|·d=2p·p=2, 所以p=1,選A. 4.(2018·四川南充二模)拋物線C:y2=8x的焦點為F,準線為l,P是l上一點,連接PF并延長交拋物線C于點Q,若|PF|=|PQ|,則|QF|等于(　C　) (A)3 (B)4 (C)5 (D)6 解析:如圖,直線l與x軸的交點為D, 過Q點作QQ′⊥l,Q′為垂足, 設|QF|=d,由拋物線的定義可知 |QQ′|=d,又|PF|=|

4、PQ|, 所以|PF|=4d,|PQ|=5d, 又△PDF∽△PQ′Q, 所以=,解得d=5, 即|QF|=5,故選C. 5.(2018·湖南兩市九月調(diào)研)如圖,過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F的直線交拋物線于A,B,交其準線l于點C,若點F是AC的中點,且|AF|=4,則線段AB的長為(　C　) (A)5 　　　　　(B)6 (C) 　　　　　(D) 解析:如圖, 過點A作AD⊥l交l于點D, 所以|AF|=|AD|=4, 由點F是AC的中點, 有|AF|=2|MF|=2p. 所以2p=4,解得p=2, 拋物線y2=4x 設A(x1,y1),B(x

5、2,y2), 則|AF|=x1+=x1+1=4. 所以x1=3,A(3,2),F(1,0). kAF==. AF:y=(x-1)與拋物線y2=4x, 聯(lián)立得3x2-10x+3=0,x1+x2=, |AB|=x1+x2+p=+2=. 故選C. 6.(2018·大慶中學模擬)已知點A(4,0),拋物線C:y2=2px(0

6、6x的焦點,過F的直線l與直線x+y-1=0垂直,且直線l與拋物線C交于A,B兩點,則|AB|=　　　　.? 解析:F是拋物線C:y2=16x的焦點, 所以F(4,0),又過F的直線l與直線x+y-1=0垂直. 所以直線l的方程為y=(x-4),代入拋物線C:y2=16x,易得3x2-40x+48=0. 設A=(x1,y1),B=(x2,y2),x1+x2=,|AB|=x1+x2+8=. 答案: 能力提升(時間:15分鐘) 8.(2018·吉林百校聯(lián)盟聯(lián)考)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點F到其準線l的距離為2,過焦點且傾斜角為60°的直線與拋物線交于M,N兩點,若MM

7、′⊥l,NN′⊥l,垂足分別為M′,N′,則△M′N′F的面積為(　B　) (A) (B) (C) (D) 解析:因為p=2,所以拋物線方程為y2=4x, 直線MN:x=y+1, 由得y2-y-4=0, 則y1+y2=,y1y2=-4, 所以|y1-y2|==. 所以S△M′N′F=××2=.選B. 9.如圖,過拋物線y2=4x焦點的直線依次交拋物線和圓(x-1)2+y2=1于A,B,C,D四點,則|AB|·|CD|等于(　C　) (A)4 (B)2 (C)1 (D) 解析:法一　(特值法)由題意可推得|AB|·|CD|為定值, 所以分析直線與x軸垂直

8、的情況,即可得到答案. 因為圓(x-1)2+y2=1的圓心為拋物線y2=4x的焦點,半徑為1, 所以此時|AB|=|CD|=1. 所以|AB|·|CD|=1,故選C. 法二　(直接法)設A(x1,y1),D(x2,y2),拋物線的焦點為F,AD的方程為y=k(x-1). 則由 消去y,可得x1x2=1, 而|AB|=|FA|-1=x1+1-1=x1, |CD|=|FD|-1=x2+1-1=x2, 所以|AB|·|CD|=x1·x2=1. 故選C. 10.(2018·臨川二中模擬)如圖所示,點F是拋物線y2=8x的焦點,點A,B分別在拋物線y2=8x及圓(x-2)2+y2=

9、16的實線部分上運動,且AB總是平行于x軸,則△FAB的周長的取值范圍為　　　　.? 解析:拋物線的準線l:x=-2,焦點F(2,0),由拋物線定義可得|AF|=xA+2,圓(x-2)2+y2=16的圓心為(2,0),半徑為4,所以△FAB的周長為|AF|+|AB|+|BF|=xA+2+(xB-xA)+4=6+xB,由拋物線y2=8x及圓(x-2)2+y2=16可得交點的橫坐標為2,所以xB∈(2,6],所以6+xB∈(8,12]. 答案:(8,12] 11.(2018·東北三校二模)設拋物線y2=2x的焦點為F,過點M(,0)的直線與拋物線相交于A,B兩點,與拋物線的準線相交于點C

10、,|BF|=2,則△BCF與△ACF的面積之比=　　　　.? 解析:設AB:y=k(x-),代入y2=2x得k2x2-(2k2+2)x+3k2=0, 設A(x1,y1),B(x2,y2), 則x1+x2=,x1x2=3, 而|BF|=2,所以x2+=2. 所以x2=,x1=2. ====. 答案: 12.(2018·全國Ⅱ卷)設拋物線C:y2=4x的焦點為F,過F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A,B兩點,|AB|=8. (1)求l的方程; (2)求過點A,B且與C的準線相切的圓的方程. 解:(1)拋物線C:y2=4x的焦點為F(1,0), 當直線的斜率不存在時

11、,|AB|=4,不滿足; 設直線AB的方程為y=k(x-1), 設A(x1,y1),B(x2,y2), 則整理得k2x2-2(k2+2)x+k2=0, 則Δ=16k2+16>0, 故x1+x2=,x1x2=1, 由|AB|=x1+x2+p=+2=8, 解得k2=1,則k=1, 所以直線l的方程y=x-1. (2)由(1)可得AB的中點坐標為D(3,2), 則直線AB的垂直平分線方程為 y-2=-(x-3), 即y=-x+5, 設所求圓的圓心坐標為(x0,y0), 則 解得或 因此,所求圓的方程為(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=14

12、4. 13.(2018·東城區(qū)二模)已知拋物線C:y2=2px經(jīng)過點P(2,2),A,B是拋物線C上異于點O的不同的兩點,其中O為原點. (1)求拋物線C的方程,并求其焦點坐標和準線方程; (2)若OA⊥OB,求△AOB面積的最小值. 解:(1)由拋物線C:y2=2px經(jīng)過點P(2,2)知4p=4,解得p=1, 則拋物線C的方程為y2=2x, 拋物線C的焦點坐標為(,0),準線方程為x=-. (2)由題知,直線AB不與y軸垂直,設直線AB:x=ty+a. 由消去x,得y2-2ty-2a=0, 設A(x1,y1),B(x2,y2), 則y1+y2=2t,y1y2=-2a, 因為OA⊥OB,所以x1x2+y1y2=0, 即+y1y2=0, 解得y1y2=0(舍)或y1y2=-4, 所以-2a=-4,解得a=2, 所以直線AB:x=ty+2, 所以直線AB過定點(2,0), S△AOB=×2×|y1-y2| = =≥ =4. 當且僅當y1=2,y2=-2或y1=-2,y2=2時,等號成立, 所以△AOB面積的最小值為4.