全國初中數(shù)學(xué)競賽試題及答案 (8)

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1、 全國初中數(shù)學(xué)競賽試題 一、選擇題 1．設(shè)?a＜b＜0，a2＋b2＝4ab，則  a?+?b a?-?b  的值為【????】 A、??5 A、?3 B、?6 C、2 D、3 2．已知?a＝1999x＋2000，b＝1999x＋2001，c＝1999x＋2002，則多項(xiàng)式?a2＋b2＋c2－ab －bc－ca?的值為【 】 A、0 B、1 C、2 D、3 3．如圖，點(diǎn)?E、F?分別是矩形?ABCD?的邊?AB、BC?的中點(diǎn)，連?AF、CE?交于點(diǎn)?G，則?S四邊形AGCD S

2、 矩形ABCD 等于【 】 4 3 2 B、 C、 D、 6 5 4 3 D C G F A E B 4．設(shè)?a、b、c?為實(shí)數(shù)，x＝a2－2b＋ p????????????p????????????p ，y＝b2－2c＋??，z＝c2－2a＋??，則?x、y、z?中 3????????????3????????????3 至少有一個(gè)值【 】 A、大于?0 B、等于?0 C、不大于?0 D、小于?0 5．設(shè)關(guān)于?x?的方程?ax2＋(a＋2)x＋9a＝0，有

3、兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根?x1、x2，且?x1＜1＜x2，那 么?a?的取值范圍是【 】 A、?- 2 2 5 5 2?????????????????????????????????????2???????????????2 ＜a＜?????????B、a＞??????????????C、a＜?-?????????????D、?-??＜a＜0 7?????????????????????????????????????7???????????????11 6．A1A2A3…A9?是一個(gè)正九邊形，A1A2＝a，A1A3＝b，則?A1A5?等于【 】

4、 A、?a?2?+?b?2 B、?a?2?+?ab?+?b?2 C、 1?(a?+?b)?????D、a＋b 2 二、填空題 7．設(shè)?x1、x2?是關(guān)于?x?的一元二次方程?x2＋ax＋a＝2?的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則(x1－2x2)(x2－2x1) 的最大值為 。 8．已知?a、b?為拋物線?y＝(x－c)(x－c－d)－2?與?x?軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，a＜b，則?a?-?c?+?c?-?b 的值為 。 9．如圖，在△ABC?中，∠ABC＝600，點(diǎn)?P?是△ABC?內(nèi)的一點(diǎn)，使得∠APB＝∠BPC＝∠CPA，

5、 且?PA＝8，PC＝6，則?PB＝ 。 A P C B 10．如圖，大圓?O?的直徑?AB＝acm，分別以?OA、OB?為直徑作⊙O1、⊙O2，并在⊙O?與⊙O1 和⊙O2?的空隙間作兩個(gè)等圓⊙O3?和⊙O4，這些圓互相內(nèi)切或外切，則四邊形O1O2O3O4?的面積 為 cm2。 O3 O1???????? O2???? B A O O4 11．滿足(n2－n－1)n＋2＝1?的整數(shù)?n?有 個(gè)。 12．某商品的標(biāo)價(jià)比成本高?

6、p%，當(dāng)該商品降價(jià)出售時(shí)，為了不虧本，售價(jià)的折扣（即降價(jià) 的百分?jǐn)?shù)）不得超過?d%，則?d?可以用?p?表示為 。 三、解答題 13．某項(xiàng)工程，如果由甲、乙兩隊(duì)承包，2?2 5  天完成，需付?180000?元；由乙、丙兩隊(duì)承包， 3 6 3 天完成，需付?150000?元；由甲、丙兩隊(duì)承包，?2 天完成，需付?160000?元?，F(xiàn)在工 4 7 程由一個(gè)隊(duì)單獨(dú)承包，在保證一周完成的前提下，哪個(gè)隊(duì)的承包費(fèi)用最少？ 14．如

7、圖，圓內(nèi)接六邊形?ABCDEF?滿足?AB＝CD＝EF，且對角線?AD、BE、CF?交于一點(diǎn)?Q，設(shè) QD AC CP AC?2 = AD?與?CE?的交點(diǎn)為?P。(1)求證： （2）求證： = PE ED EC CE?2 A B F Q P E D C 16．如果對一切?x?的整數(shù)值，x?的二次三項(xiàng)式?ax2＋bx＋c?的值都是平方數(shù)（即整數(shù)的平方）。 證明：（1）2a、2b、c?都是整數(shù)；（2）a、b、c?都是整數(shù)，并且?c?是平方數(shù)；反過來，如 果（2）成立，是否對一切的?x?的整數(shù)值，x?的二次三

8、項(xiàng)式?ax2＋bx＋c?的值都是平方數(shù)？ 2002?年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題 一、?選擇題（每小題?5?分，共?30?分） 1. 設(shè)?a＜b＜0，a2＋b2＝4ab，則 a?+?b a?-?b  的值為（?????）。 A、?3 B、?6 C、2 D、3 >0，且???a?+?b?÷ 答案：A.由題意: ? ??2= è?a?-?b??  =??????=3。 2. 已知?a＝1999x＋2000，b＝1999x＋2001，c＝1999x＋2002，則多項(xiàng)式?a2＋b

9、2＋c2－ab －bc－ca?的值為( )。 A、0 B、1 C、2 D、3 答案：原式= [(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]= [1+1+4]=3。 3. 如圖，點(diǎn)?E、F?分別是矩形?ABCD?的邊?AB、BC?的中點(diǎn)，連?AF、CE?交于點(diǎn)?G，則?S四邊形AGCD S 矩形ABCD 等于( )。 A、 5??????4???????3???????2 B、???????C、???????D、 6??????5???????4???????3 D  G C A E

10、 答案：設(shè)?S?矩形?ABCD=1。因?yàn)?E、F?是矩形?ABCD?中邊?AB、BC?的中點(diǎn)， 所以?SΔGCF=SΔGBF，設(shè)為?x；SΔGAE=SΔGBE，設(shè)為?y。則 ,得?2x+2y= . 所以?S?四邊形?AGCD= .從而?S?四邊形?AGCD∶S?矩形?ABCD=2∶3. B 4. 設(shè)?a、b、c?為實(shí)數(shù)，x＝a2－2b＋ p????????????p????????????p ，y＝b2－2c＋??，z＝c2－2a＋??，則?x、y、z 3????????????3????????????3 中至少有一個(gè)值( )

11、。 A、大于?0 B、等于?0 C、不大于?0 D、小于?0 答案：由題意:x+y+z=a2+b2+c2-2a-2b-2c+p?=(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2+?p?-3>0,所以?x、 y、z?中至少有一?個(gè)大于?0. 5. 設(shè)關(guān)于?x?的方程?ax2＋(a＋2)x＋9a＝0，有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根?x1、x2，且?x1＜1＜x2， 那么?a?的取值范圍是( )。 A、?- 2 2 2???????????????????????????2???????2 ＜a＜?????B、a＞??????C、a＜?-??

12、???D、?-??＜a＜0 5 5 7???????????????????????????7???????11 答案：由題知:(x1-1)(x2-1)<0,?即?x1x2-(x1+x2)+1<0,代入韋達(dá)定理并整理得 <0,可知選(A). 6. A1A2A3…A9?是一個(gè)正九邊形，A1A2＝a，A1A3＝b，則?A1A5?等于( )。 A、?a?2?+?b?2 B、?a?2?+?ab?+?b?2 C、 1?(a?+?b)??D、a＋b 2

13、 答案：.延長?A1A2?和?A5A4?相交于?P,連結(jié)?A2A4.易證:ΔPA1A5?和ΔPA2A4?均為正 Δ,且?PA2=A2A4=A1A3=b。所以?A1A5=PA1=a+b. 二、?填空題（每小題?5?分，共?30?分） 7. 設(shè)?x1、x2?是關(guān)于?x?的一元二次方程?x2＋ax＋a＝2?的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則(x1－2x2)(x2－2x1) 的最大值為 。 答?案?：?由?Δ?=(a-2)2+4>0 知 a 為?一?切?實(shí)?數(shù)?.?由?韋?達(dá)?定?理?,?得?原?式

14、 =9x1x2-2(x1+x2)2=-2a2+9a-18≤- . 8. 已知?a、b?為拋物線?y＝(x－c)(x－c－d)－2?與?x?軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，?a＜b，則 a?-?c?+?c?-?b?的值為???????????。 答?案：?由題?知?:(a-c)(a-c-d)-2=0,?(b-c)(b-c-d)-2=0.?所?以?a-c?和?b-c?是?方程 A t(t-d)-2=0(即?t2-dt-2=0)的兩實(shí)根.所以(a-c)(b-c)=?-2<0.而?a

15、c>0.所以原式=b-a.  P C 9. 如圖，在△ABC?中，∠ABC＝600，點(diǎn)?P?是△ABC?內(nèi)的一點(diǎn)，使得∠APB＝∠BPC＝∠CPA， B 且?PA＝8，PC＝6，則?PB＝ 。 答案：易證:ΔPAB∽ΔBCP,所以 = ,得?PB=4 10.?如圖，大圓?O?的直徑?AB＝acm，分別以?OA、OB?為直徑作⊙O1、⊙O2，并在⊙O?與⊙O1 和⊙O2?的空隙間作兩個(gè)等圓⊙O3?和⊙O4，這些圓互相內(nèi)切或外切，則四邊形O1O2O3O4?的 面積為 cm2。

16、答案：設(shè)⊙O3?的半徑為?x,則?O1O3= +x，O1O= ,O3O= -?x.?所以( +x)2=( )2+ O3 O1??????? O2???? B A O O4 （ -?x）2,解得?x= ,易得菱形?O1O3O2O4?的面積為 a2. 11. 滿足(n2－n－1)n＋2＝1?的整數(shù)?n?有 個(gè)。 答案：由題設(shè)得?n2-n-1=±1,有?5?個(gè)根:0,1,-1,2.和-2 12. 某商品的標(biāo)價(jià)比成本高?p%，當(dāng)該商品降價(jià)出售時(shí)，為了不虧本，售價(jià)的折扣（即降

17、 價(jià)的百分?jǐn)?shù)）不得超過?d%，則?d?可以用?p?表示為 。 答案：設(shè)成本為?a,則?a(1+p%)(1-d%)=a,得?d= . 三、?解答題（每小題?20?分，共?60?分） 2 13. 某項(xiàng)工程，如果由甲、乙兩隊(duì)承包，?2 天完成，需付?180000?元；由乙、丙兩隊(duì)承 5 3 6 包，?3 天完成，需付?150000?元；由甲、丙兩隊(duì)承包，2 天完成，需付?160000?元。 4 7 現(xiàn)在工程由一個(gè)隊(duì)單獨(dú)承包，在保證一周完成的前提下，哪個(gè)隊(duì)的承包費(fèi)用最少？ 答案：設(shè)單獨(dú)完成,甲、乙、

18、丙各需?a、b、c?天.則 解得?a=4,?b=6,?c=10（c>7,舍去). 又設(shè)每天付給甲、乙、丙的費(fèi)用分別為?x、y、z(元),則 ??5?(?x?+?y)?=?180000 í?? (?y?+?z)?=?150000 ì12 ? ?15 ??3 ??20 ? ??7?(?z?+?x)?=?160000 解得?x=45500,?y=29500,?所以甲?4?天完成的總費(fèi)用為?182000?元,?乙?6?天完成的總費(fèi)用為 177000?元,?所以由乙承包.

19、 14. 如圖，圓內(nèi)接六邊形?ABCDEF?滿足?AB＝CD＝EF，且對角線?AD、BE、CF?交于一點(diǎn)?Q， A 設(shè)?AD?與?CE?的交點(diǎn)為?P。 B QD AC CP AC?2 = (1)求證： （2）求證： = PE ED EC CE?2 F???????????Q  P C E D 答案：(1)易證∠3=∠4,所以∠AEC=∠DEQ,而∠ACE=∠2, 所以ΔACE∽ΔQDE.可得結(jié)論成立. (2

20、)分析:易證∠6=∠4,所以?FC∥ED,所以 = 所以只需證 = , 由(1)有 = 。 所以只需證 = ,即?QD2=CQ×EQ. 這只需證ΔCQD∽ΔEQD. 而由題設(shè)有∠7=∠3+∠5=∠4+∠5, 由(1)有∠9=∠EAC,而∠EAC=∠8==∠QCD, 所以可證得ΔCQD∽ΔEQD. 15. 如果對一切?x?的整數(shù)值，x?的二次三項(xiàng)式?ax2＋bx＋c?的值都是平方數(shù)（即整數(shù)的平 方）。證明：（1）2a、2b、c?都是整數(shù)；（2）a、b、c?都是整數(shù)，并且?c?是平方數(shù)；反

21、 過來，如果（2）成立，是否對一切的?x?的整數(shù)值，x?的二次三項(xiàng)式?ax2＋bx＋c?的值 都是平方數(shù)？ 答案：(1)由題設(shè)知,可分別令?x=0、-1、1，得 則有?c=m2,2a=n2+k2,2b=n2-k2?均為整數(shù).?(其中?m、n、k?為整數(shù)) (2)假設(shè)?2b?為奇數(shù)?2t+1(t?為整數(shù)). 取?x=4?得?16a+4b+m2=h2(h?為整數(shù)). 因?2a?為整數(shù),從而?16a?可被?4?整除. 所以?16a+4b=16a+4t+2?除以?4?余?2. 所以?16a+4b?為偶數(shù). ①

22、 又因?yàn)?16a+4b=(h+m)(h-m). 若?h、m?的奇偶性不同,則?16a+4b=(h+m)(h-m)為奇數(shù),這與①矛盾. 若?h、m?的奇偶性相同,則?16a+4b=(h+m)(h-m)能被?4?整除,從而?2b?為偶數(shù),這與假設(shè)矛盾. 所以假設(shè)不成立,即?2b?應(yīng)為偶數(shù),從而?b?為整數(shù). 所以?a=k2+b-c?為整數(shù). 反之,若?a、b、c?都是整數(shù),且?c?是平方數(shù),則對一切?x?的整數(shù)值,x?的二次三項(xiàng)式 ax2+bx+c?的值不一定是平方數(shù).例如:取?a=b=x=c=1,則?ax2+bx+c=3,不是平方數(shù).