2011年高考數(shù)學第二輪復習 集合教學案

上傳人:xins****2008 文檔編號:144424448 上傳時間:2022-08-27 格式:DOC 頁數(shù):8 大?。?07.50KB
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1、 2011年高考第二輪專題復習(教學案):集合 考綱指要: 考查重點是集合與集合之間的關(guān)系,特別是對集合的計算化簡的考查,并向無限集發(fā)展,考查抽象思維能力,在解決這些問題時,要注意利用幾何的直觀性,注意運用Venn圖解題方法的訓練,注意利用特殊值法解題,加強集合表示方法的轉(zhuǎn)換和化簡的訓練。 考點掃描: 1.集合的定義及表示法。 2.集合的包含關(guān)系。 3.集合的運算:(1)全集與補集;(2)交集與并集。 考題先知: 例1.設集合,,求實數(shù)m的取值范圍. 分析:關(guān)鍵是準確理解 的具體意義,即方程至少有一個負根。 解法一: 的取值

2、范圍是UM={m|m<-2}. 解法三:設這是開口向上的拋物線,,則二次函數(shù)性質(zhì)知命題又等價于 點評:一元二次方程至少有一個負根,有幾種情形:(1)有兩個負根;(2)有一個負根和一個正根; (3)有一個負根和一個零根;考慮這三種情形未免顯得繁瑣,解法一從反面考慮,即“沒有負根”,再求其補集,不失為妙法。在解法三中,f(x)的對稱軸的位置起了關(guān)鍵作用,否則解答沒有這么簡單。 例2.已知集合若中的元素恰好是一個正八邊形的八個頂點,則正數(shù)的值為_______ 解析: 經(jīng)分類討論得,集合A表示以為頂點的正方形,集合B表示與這兩支雙曲線. x y B

3、 欲使中的元素恰好是一個正八邊形的八個頂點,則由對稱性知,只要滿足與 在第一象限內(nèi)有兩個不同的交點,且即可。設在第一象限內(nèi),由消去得,則, 所以 (其中)。 又,所以, 則由,解得。 復習智略: 例3.對于集合,及它的每一個非空子集,定義一個“交替和”如下:按照遞減的次序重新排列該子集元素,然后從最大數(shù)開始交替地減、加后繼的數(shù),例如:集合的“交替和”是9-6+4-2+1=6,集合的“交替和”是5,當集合N中的n=2時,的所有非空子集為,, ,則它的“交替和”的總和,請你嘗試對于n=3,4的情況,計算它們的S3,S4,根據(jù)結(jié)果猜測

4、的每一個非空子集的“交替和”的總和的表達式,并證之。 分析:認真閱讀題目,理解“交替和”的定義,正確猜想后,常用方法是數(shù)學歸納法,但也可聯(lián)想組合數(shù)的有關(guān)思想證之。 解析:當n=3時,所有非空子集為,,,,,, ,同理可得S4=32。 猜測: 證法一:設,考察N的所有非空子集的“交替和”的總和中含有的個數(shù)及其符號:集合N中比大的數(shù)共有個,N所有含的子集的個數(shù)即為集合 所有子集的個數(shù),共有個,這個子集中不比大的元素的子集共有個(即所有子集的個數(shù)),此時在“交替和”的總和中符號為正;只含一個比大的集合共有個,此時在“交替和”的總和中符號為負;只含兩個比大的集合共有個,此時在“交替和”的

5、總和中符號為正;------,所以在總和中的取“一”的項數(shù)共有:++ =,因為含的N的所有非空子集共有,所以N的所有非空子集的“交替和”的總和中符號為正的項數(shù)也有個,所以,總和中的項的和為0,因為n最大 ,總和中含n的項的符號都為正,所以。 證法二(數(shù)學歸納法):當n=1時,結(jié)論成立; 假設當n=k時,結(jié)論成立。即當?shù)拿恳粋€非空子集的“交替和”的總和; 則當n=k+1時,此時N的子集可分為兩類:一類不含k+1,這類集合的“交替和”的總和就是;另一類含k+1,這類子集共有個,包括,這個子集可以有如下方法構(gòu)成:在的每一個子集(包括)中添加元素k+1,設的一個子集為其中,下面考察的“交替

6、和”T(A)與 的“交替和”T(B)之間的關(guān)系,不妨設,則T(A)=, T(B)== k+1- T(A),所以,即 ,所以含有k+1的N的所有的個這樣子集的“交替和”的總和為 (k+1)-,故當n=k+1時,=(k+1), 綜上所述:。 推廣:當時,其中,記,則其“交替和”的總和為 。 檢測評估: 1.設集合,若,則下列關(guān)系正確的是( ) A. B. C. D. 2.如圖,I為全集,M、P、S是I的三個子集,則陰影部分所表示的集合是 ( ) A. B. C. D. 3.設

7、集合,其中,且,把滿足上述條件的一對整數(shù)對作為一個點的坐標,可以得到的不同點的個數(shù)是( ) A.7 B。8 C。9 D。10 4.設集合P={m|-1<m≤0,Q={m∈R|mx2+4mx-4<0對任意實數(shù)x恒成立,則下列關(guān)系中成立的是( ) A.PQ B.QP C.P=Q D.P∩Q=Q 5. 設函數(shù),區(qū)間M=[a,b](a

8、,有如下結(jié)果 贊成A的人數(shù)是全體的五分之三,其余的不贊成,贊成B的比贊成A的多3人,其余的不贊成;另外,對A、B都不贊成的學生數(shù)比對A、B都贊成的學生數(shù)的三分之一多1人。則對A、B都贊成的學生有 人,都不贊成的學生有 人。 7. M是實數(shù)集R的任一子集,函數(shù)在R上定義如下:,則對任何以實數(shù)元素的集合A、B, 與的大小關(guān)系是 8.設數(shù)集,,且、都是集合的子集,如果把叫做集合的“長度”,那么集合的長度的最小值是 . 9.對于兩個集合、我們把一切有序?qū)λM成的集合(其中),叫做和的笛卡爾積,記作.如果,,則的真子集的個數(shù)為

9、 個. 10.集合A=,B=,若AB中有且僅有一個 元素,則r= 。 11.對于函數(shù),若,則稱x為的“不動點”,若,則稱x為的“穩(wěn)定點”,函數(shù)的“不動點”與“穩(wěn)定點”的集合分別記為A和B,即,。 (1) 證:; (2) 若,且,求實數(shù)a的取值范圍; (3) 若是R上的單調(diào)遞增函數(shù),是函數(shù)的“穩(wěn)定點”,問是函數(shù)的“不動點” 嗎?若是,請證明你的結(jié)論;若不是,請說明理由。 12.已知{an}是等差數(shù)列,d為公差且不為0,a1和d均為實數(shù),它的前n項和記作Sn,設集合A={(an,)|n∈N*},B={(x,y)| x2-y2=1,x,y∈R}。 試

10、問下列結(jié)論是否正確,如果正確,請給予證明;如果不正確,請舉例說明: (1)若以集合A中的元素作為點的坐標,則這些點都在同一條直線上; (2)A∩B至多有一個元素; (3)當a1≠0時,一定有A∩B≠。 點撥與全解: 1.解:由于中只能取到所有的奇數(shù),而中18為偶數(shù)。則。選項為D; 2.解:從圖可知,陰影部分的元素且但,故選C。 3.解:顯然,若則;若則,故選B。 4.解:Q={m∈R|mx2+4mx-4<0對任意實數(shù)x恒成立=,對m分類:①m=0時,-4<0恒成立; ②m<0時,需Δ=(4m)2-4×m×(-4)<0,解得m<0。綜上所述:答案為A。 5.解:易

11、證是奇函數(shù),當,此時單調(diào)遞減,從而可證在上單調(diào)遞減,所以要使M=N,則,得,從而,解之得:a=b=0,矛盾,故選A。 6.解:贊成A的人數(shù)為50×=30,贊成B的人數(shù)為30+3=33,如上圖,記50名學生組成的集合為U,贊成事件A的學生全體為集合A;贊成事件B的學生全體為集合B。 設對事件A、B都贊成的學生人數(shù)為x,則對A、B都不贊成的學生人數(shù)為+1,贊成A而不贊成B的人數(shù)為30-x,贊成B而不贊成A的人數(shù)為33-x。依題意(30-x)+(33-x)+x+(+1)=50,解得x=21。所以對A、B都贊成的同學有21人,都不贊成的有8人。 7.答:=。分類討論即知。 8.根據(jù)定義得: “

12、長度”=,顯然,所以取時長度有最小值。 9.根據(jù)題意知:中共有6個元素,所以真子集有個。 10.解:集合A表示以原點為圓心,2長為半徑的圓組成的點集,集合B表示以(3,4)為圓心,r長為半徑的圓組成的點集,考慮兩圓內(nèi)切得r=5+2=7,兩圓外切得r=5-2=3,綜上所述,r=7或2。 11.(1)證:設,則必有,從而,所以; (2)由得,由(1)知必有因式,所以當時,方程可化為, 即,即, 因,所以方程有解,且方程無解;或方程的解也是方程之解,從而① ,且; ②當 ,即時,方程的解為,符合題意; ③當時,由得矛盾;綜上所述,且。 (3)利用反證法:假設不是函數(shù)的“不動點

13、”,則,因是R上的單調(diào)遞增函數(shù),若,則;若,則,即,說明也不是函數(shù)的“穩(wěn)定點”,與題設矛盾,從而假設不成立,得必是函數(shù)的“不動點”。 12.解:(1)正確;在等差數(shù)列{an}中,Sn=,則(a1+an),這表明點(an,)的坐標適合方程y(x+a1),于是點(an, )均在直線y=x+a1上。 (2)正確;設(x,y)∈A∩B,則(x,y)中的坐標x,y應是方程組的解,由方程組消去y得:2a1x+a12=-4(*), 當a1=0時,方程(*)無解,此時A∩B=; 當a1≠0時,方程(*)只有一個解x=,此時,方程組也只有一解,故上述方程組至多有一解?!郃∩B至多有一個元素。 (3)不正確;取a1=1,d=1,對一切的x∈N*,有an=a1+(n-1)d=n>0, >0,這時集合A中的元素作為點的坐標,其橫、縱坐標均為正,另外,由于a1=1≠0 如果A∩B≠,那么據(jù)(2)的結(jié)論,A∩B中至多有一個元素(x0,y0),而x0=<0,y0=<0,這樣的(x0,y0)A,產(chǎn)生矛盾,故a1=1,d=1時A∩B=,所以a1≠0時,一定有A∩B≠是不正確的。 8 用心 愛心 專心

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