8 第8講 離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布

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1、第8講離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布 理教材▼ 教材回顧?基礎(chǔ)自測. .知枳硫理上 1．離散型隨機(jī)變量的均值與方差一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列為 X x1 x2 ??? x. i ??? x n P p1 p2 ??? pi ??? p n (1)均值 稱E(X=工￡++工畀2^x/.Hxnpn為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望.它反映了離 散型隨機(jī)變量取值的平均水平. (2)方差 n 稱D(X)=(X二EXW?為隨機(jī)變量X的方差，它刻畫了隨機(jī)變量X與其均值E(X)的 平均偏離程度，并稱其算術(shù)平方根叮D(X)為隨機(jī)變

2、量X的標(biāo)準(zhǔn)差. 2. 均值與方差的性質(zhì) (1) E(aX+b)=aE(X)+b. (2) D(aX+b)=a2D(X).(a,b為常數(shù)) 3．兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差 (1) 若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)=p,D(X)=p(1-p). (2) 若X?B(n,p),則E(X)=np,D(X)=np(l-p). 4．正態(tài)曲線的特點(diǎn) (1) 曲線位于x軸上方，與x軸不相交. (2) 曲線是單峰的，它關(guān)于直線x=“對(duì)稱. (3) 曲線在x=〃處達(dá)到峰值一—. 列2n (4) 曲線與x軸之間的面積為1. (5) 當(dāng)o一定時(shí)，曲線隨著“的變化而沿x軸平移. (6)

3、 當(dāng)“一定時(shí)，曲線的形狀由o確定.o越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；o越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越一分散. 嘉肪導(dǎo)師提醒 牢記均值與方差的七個(gè)常用性質(zhì) 若Y=aX+b，其中a,b是常數(shù)，X是隨機(jī)變量，則 (1) E(k)二k,D(k)=0，其中k為常數(shù). (2) E(aX+b)=aE(X)+b,D(aX+b)=a^D(X). (3) E(X1+X2)=E(X1)+E(X2). (4) D(X)二E(X2)-(E(X))2. ⑸若X1,X2相互獨(dú)立，則E(X(X2)=E(X)E(X2). ⑹若X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)=p,D(X)=p(1-p).

4、 (7)若X服從二項(xiàng)分布，即X~B(n,p),則E(X)=np,D(X)=np(1-p). ＜診斷自測 o判斷正誤(正確的打“廠，錯(cuò)誤的打“X”) (1) 隨機(jī)變量的均值是常數(shù)，樣本的平均數(shù)是隨機(jī)變量，它不確定．() (2) 隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值偏離均值的平均程度，方差或標(biāo)準(zhǔn) 差越小，則偏離變量的平均程度越?。?) (3) 正態(tài)分布中的參數(shù)“和o完全確定了正態(tài)分布，參數(shù)“是正態(tài)分布的均值，。是正 態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差．() (4) 一個(gè)隨機(jī)變量如果是眾多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用結(jié)果之和，它 就服從或近似服從正態(tài)分布．() (5) 均值是算術(shù)平

5、均數(shù)概念的推廣，與概率無關(guān)．() 答案：(1”(2)V(3)V(4)V(5)X ?已知X的分布列為 X -1 0 1 1 1 1 P P 2 3 6 設(shè)Y=2X+3,則E(Y)的值為() 7 A.3B.4 C．－1D．1 解析：選A.E(X)=-2+6=-3， 27 E(Y)=E(2X+3)=2E(X)+3=-3+3=3- ?已知d?b(4,3),并且n=2{+3,則方差D(n)=() A. 32 9 C. 43 9 D. 59 9 解析：選A.由題意知，D?=4x3x 1-| 832因?yàn)閚=2^+

6、3，所以D(n=4?d(^)=4x9^9. 0已知隨機(jī)變量E服從正態(tài)分布N(2,°2)，且p(d<4)=0.8,則P(0<^<4)=() A．0.6B．0.4 C．0.3D．0.2 解析：選A.由P(d<4)=0.8，得P(&4)=0.2. 又正態(tài)曲線關(guān)于x=2對(duì)稱，則P(dW0)=P({24)=0.2，所以P(0 <^<4)=1-P@W0)-P(d±4)=0.6. ?一個(gè)正四面體ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)上分別標(biāo)上1分，2分，3分和4分，往地面拋擲一 次，記不在地面上的頂點(diǎn)的分?jǐn)?shù)為X,則X的均值為. 解析：X的分布列為 X 1 2 3 4 1 1 1 1 p

7、 JL 4 4 4 4 所以E(X)=1X1+2X1+3X1+4x4=|. 答案：2 ?一個(gè)人將編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)小球隨機(jī)放入編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)盒子， 每個(gè)盒子放一個(gè)小球，球的編號(hào)與盒子的編號(hào)相同時(shí)就放對(duì)了，否則就放錯(cuò)了．設(shè)放對(duì)個(gè)數(shù) 記為<5則E的期望為. 解析：將四個(gè)不同小球放入四個(gè)不同盒子，每個(gè)盒子放一個(gè)小球，共有A4種不同放法， 93 放對(duì)的個(gè)數(shù)<可取的值有0,1,2,4,其中P(<=0)=A4=8 QX21C2111311 p(<=1)=^A^=3，p(<=2)=a4=4，p(<=4)=a4=24,e(<)=0X8+1X

8、3+2X4+ 4X24=1. 答案：1 離散型隨機(jī)變量的均值與方差(多維探究) 口角度一離散型隨機(jī)變量的均值與方差的計(jì)算 例1某小組共10人，利用假期參加義工活動(dòng).已知參加義工活動(dòng)次數(shù)為1，2，3的人數(shù)分別為3，3，4.現(xiàn)從這10人中隨機(jī)選出2人作為該組代表參加座談會(huì)． (1) 設(shè)A為事件“選出的2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之和為4”，求事件A發(fā)生的概率； (2) 設(shè)X為選出的2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之差的絕對(duì)值，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望與方差． C1C1+C21 【解】(1)由已知，有戶(4)=七23=亍. 所以事件A發(fā)生的概率為3. (2)隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,

9、1,2. 4 15 P(X=1)= P(X=2) P(X=0)= 所以隨機(jī)變量X的分布列為 X 0 1 2 P ￡ _7_ _4 15 15 15 474 隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0X15+1X15+2X15=1. 方差D(X)=詈(0_1)2+*(1_1)2+令(2_1)2=令. 口角度二二項(xiàng)分布的均值與方差的計(jì)算 働2(2019.成都第一次診斷性檢測)某部門為了解一企業(yè)在生 產(chǎn)過程中的用水量情況，對(duì)其每天的用水量做了記錄，得到了大量該[''?oQo35o7o9 企業(yè)的日用水量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，從這些統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取12天的數(shù)95789

10、 據(jù)作為樣本，得到如圖所示的莖葉圖(單位：噸).若用水量不低于95噸，則稱這一天的用水量超標(biāo)． (1) 從這12天的數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取3個(gè)，求至多有1天的用水量超標(biāo)的概率； (2) 以這12天的樣本數(shù)據(jù)中用水量超標(biāo)的頻率作為概率，估計(jì)該企業(yè)未來3天中用水量超標(biāo)的天數(shù)，記隨機(jī)變量X為未來這3天中用水量超標(biāo)的天數(shù)，求X的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差． 解】(1)記“從這12天的數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取3個(gè)，至多有1天的用水量超標(biāo)”為事件 A， 則p(竺+里二168申 則P(A)c；2C3222055. (2) 以這12天的樣本數(shù)據(jù)中用水量超標(biāo)的頻率作為概率，易知用水量超標(biāo)的概率為1 X的所有可能取值為

11、0，1，2，3， 易知X~B(3,￡,p(X=k)=C3(j^3'\k=0,1,2,3, 8421 則p(x=0)=27，p(x=i)=9，p(x=2)=9，p(x=3)=27- 所以隨機(jī)變量x的分布列為 X 0 1 2 3 P _8_ 4 2 丄 27 9 9 27 數(shù)學(xué)期望E(X)=3x|=1 D(X)=3xjx 1-| 2 3. 規(guī)律方法 (1) 求離散型隨機(jī)變量d的均值與方差的步驟 ① 理解d的意義，寫出d可能的全部取值； ② 求d取每個(gè)值的概率； ③ 寫出d的分布列； ④ 由均值的定義求E(d)； ⑤ 由方差的定義求

12、D(d). (2) 二項(xiàng)分布的期望與方差 如果d~B(n,p)，則用公式E(d)=np；D(d)=np(1-p)求解，可大大減少計(jì)算量. ［提醒］均值E(X)由X的分布列唯一確定，即X作為隨機(jī)變量是可變的，而E(X)是不 變的，它描述X取值的平均水平. 變式訓(xùn)練; 1.(2019.洛陽市第一次統(tǒng)一考試)霧霾天氣對(duì)人體健康有傷害，應(yīng)對(duì)霧霾污染、改善空 氣質(zhì)量的首要任務(wù)是控制PM2.5，要從壓減燃煤、嚴(yán)格控車、調(diào)整產(chǎn)業(yè)、強(qiáng)化管理、聯(lián)防聯(lián)控、依法治理等方面采取重大舉措，聚焦重點(diǎn)領(lǐng)域，嚴(yán)格考核指標(biāo)．某省環(huán)保部門為加強(qiáng)環(huán)境執(zhí)法監(jiān)管，派遣四個(gè)不同的專家組對(duì)A、B、C三個(gè)城市進(jìn)行治霾落實(shí)情況抽

13、查. (1) 若每個(gè)專家組隨機(jī)選取一個(gè)城市，四個(gè)專家組選取的城市可以相同，也可以不同，求恰有一個(gè)城市沒有專家組選取的概率； (2) 每一個(gè)城市都要由四個(gè)專家組分別對(duì)抽查情況進(jìn)行評(píng)價(jià)，并對(duì)所選取的城市進(jìn)行評(píng)價(jià)，每個(gè)專家組給檢查到的城市評(píng)價(jià)為優(yōu)的概率為2若四個(gè)專家組均評(píng)價(jià)為優(yōu)則檢查通過不用復(fù)檢，否則需進(jìn)行復(fù)檢.設(shè)需進(jìn)行復(fù)檢的城市的個(gè)數(shù)為X,求X的分布列和期望. 解：(1)隨機(jī)選取，共有34=81種不同方法， 恰有一個(gè)城市沒有專家組選取的有C3(C4A2+C4)=42種不同方法， 故恰有一個(gè)城市沒有專家組選取的概率為 42 81 14 27' (2)設(shè)事件A:“一個(gè)城市需復(fù)檢”，

14、則P(A)=1- 2j4=H,X的所有可能取值為0,1 2，3， P（x=0）=烏（封=J7）96'P（X=1）=（刖=4^096>P（X=2）=■&= 675 4096 =3375 =4096- 所以X的分布列為 X 0 1 2 3 P 1 45 675 3375 4096 4096 4096 4096 1亦，16),財(cái)=3煜=器. 2．已知6只小白鼠中有1只感染了病毒，需要對(duì)6只小白鼠進(jìn)行病毒DNA化驗(yàn)來確定哪一只受到了感染．下面是兩種化驗(yàn)方案：方案甲：逐個(gè)化驗(yàn)，直到能確定感染病毒的小白鼠為止．方案乙：將6只小白鼠分為兩組

15、，每組三只，將其中一組的三只小白鼠的待化驗(yàn)物質(zhì)混合在一起化驗(yàn)，若化驗(yàn)結(jié)果顯示含有病毒DNA，則表明感染病毒的小白鼠在這三只當(dāng)中，然后逐個(gè)化驗(yàn)，直到確定感染病毒的小白鼠為止；若化驗(yàn)結(jié)果顯示不含病毒DNA，則在另外一組中逐個(gè)進(jìn)行化驗(yàn)． (1) 求執(zhí)行方案乙化驗(yàn)次數(shù)恰好為2次的概率； (2) 若首次化驗(yàn)的化驗(yàn)費(fèi)為10元，第二次化驗(yàn)的化驗(yàn)費(fèi)為8元，第三次及以后每次化驗(yàn)的化驗(yàn)費(fèi)都是6元，求方案甲所需化驗(yàn)費(fèi)的分布列和期望． 解：(1)執(zhí)行方案乙化驗(yàn)次數(shù)恰好為2次的情況分兩種:第一種，先化驗(yàn)一組，結(jié)果顯 示不含病毒DNA，再從另一組中任取一只進(jìn)行化驗(yàn)，其恰好含有病毒DNA，此種情況的概 C311

16、 率為C3Xd?=6；第二種，先化驗(yàn)—組，結(jié)果顯示含病毒DNA，再從中逐個(gè)化驗(yàn)，恰好第一63 C211 只含有病毒，此種情況的概率為豈乂吉畔 63 所以執(zhí)行方案乙化驗(yàn)次數(shù)恰好為2次的概率為6+1=3. (2)設(shè)用方案甲化驗(yàn)需要的化驗(yàn)費(fèi)為"(單位：元)，則"的可能取值為10,18,24,30,36. P("=10)=6， 511 p(n=18)=6X5=6， 5411 P(n=24)=6X5X4=6， 54311 P(n=3°)=6X5X4X3=6， 54321 P(n=36)=6X5X4X3=3， 則化驗(yàn)費(fèi)n的分布列為 n 10 18 24 30 36

17、 1 1 1 1 1 P P 6 6 6 6 3 1111177所以E(n)=10X6+18X6+24X6+30X6+36X3=5(兀). 均值與方差的實(shí)際應(yīng)用(師生共研) 例3(2018.高考全國卷I)某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對(duì)產(chǎn)品作檢驗(yàn)，如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品．檢驗(yàn)時(shí)，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗(yàn)，再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對(duì)余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)．設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p(0Vp<1)，且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立. (1) 記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率

18、為f(p)，求f(p)的最大值點(diǎn)p0. (2) 現(xiàn)對(duì)一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以(1)中確定的p0作為p的值，已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對(duì)每件不合格品支付25元的賠償費(fèi)用． (1) 若不對(duì)該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為X求EX； (ii)以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)？ 【解】(1)20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p)=C20p2(1-pZ因此f(p)=C20[2p(1-p)】8-18p2(l-p)i7]=2C|0p(1-p)%l-10p).令f(p

19、)=0,得p=0.1.當(dāng)pW(0,0.1)時(shí)，f(p)>0；當(dāng)pW(0.1,1)時(shí)，fe)v0.所以fp)的最大值點(diǎn)為p0=0.1. (2) 由(1)知,p=0.1. (i) 令Y表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù)，依題意知Y~B(180,0.1), X=20X2+25Y，即X=40+25Y. 所以EX=E(40＋25Y)=40＋25EY=490. (ii) 如果對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗(yàn)費(fèi)為400元. 由于EX>400,故應(yīng)該對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn). 規(guī)律方法 均值與方差的實(shí)際應(yīng)用 (1) D(X)表示隨機(jī)變量X對(duì)E(X)的平均偏離程度，D(X)越大表明平

20、均偏離程度越大，說明X的取值越分散；反之，D(X)越小，X的取值越集中在E(X)附近，統(tǒng)計(jì)中常用\；D(X)來描述X的分散程度. (2) 隨機(jī)變量的均值反映了隨機(jī)變量取值的平均水平,方差反映了隨機(jī)變量取值偏離于均值的程度,它們從整體和全局上刻畫了隨機(jī)變量,是生產(chǎn)實(shí)際中用于方案取舍的重要的理論依據(jù),一般先比較均值,若均值相同,再用方差來決定. 變式訓(xùn)練; 1.(2019.廣東省七校聯(lián)考)某工廠的檢驗(yàn)員為了檢測生產(chǎn)線上生產(chǎn)零件的情況，現(xiàn)從產(chǎn) 品中隨機(jī)抽取了80個(gè)零件進(jìn)行測量，根據(jù)測量的數(shù)據(jù)作出如圖所示的頻率分布直方圖． 注：尺寸數(shù)據(jù)在［63.0，64.5)內(nèi)的零件為合格品，頻率作為概

21、率． (1) 從產(chǎn)品中隨機(jī)抽取4個(gè)，記合格品的個(gè)數(shù)為乙求d的分布列與期望. (2) 從產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n個(gè)，全是合格品的概率不小于0.3，求n的最大值. (3) 為了提高產(chǎn)品合格率，現(xiàn)提出A,B兩種不同的改進(jìn)方案進(jìn)行試驗(yàn).若按A方案進(jìn)行試驗(yàn)后，隨機(jī)抽取15個(gè)產(chǎn)品，不合格品個(gè)數(shù)X的期望是2；若按B方案進(jìn)行試驗(yàn)后，隨機(jī)抽取25個(gè)產(chǎn)品，不合格品個(gè)數(shù)Y的期望是4?你會(huì)選擇哪種改進(jìn)方案？ 解：(1)由頻率分布直方圖可知，抽取的產(chǎn)品為合格品的頻率為(0.75+0.65+0.2)X0.5 4 =0.8，即抽取1個(gè)產(chǎn)品為合格品的概率為5,從產(chǎn)品中隨機(jī)抽取4個(gè)，合格品的個(gè)數(shù)d的所有可能取值為0，1，2

22、，3，4，則 P(d=0)=(|)"=625， p(d=1)=C.x5x(g3=拱’ p(d=2)=C2xg)2xg)2=625, P(d=3)=c3xg)3xi=62|, P(d=4)=3=6S 所以d的分布列為 0 1 2 3 4 P 1 16 96 256 256 625 625 625 625 625 416 g的數(shù)學(xué)期望E(d)=4X4=1：z-. (2)從產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n個(gè)產(chǎn)品，全是合格品的概率為③"，依題意得③"三0.3，故n的 最大值為5. (3) 設(shè)按A方案進(jìn)行試驗(yàn)后，隨機(jī)抽取1個(gè)產(chǎn)品是不合格品的概率是a，則隨機(jī)抽取1

23、5 個(gè)產(chǎn)品，不合格品個(gè)數(shù)X~B(15,a)；設(shè)按B方案進(jìn)行試驗(yàn)后，隨機(jī)抽取1個(gè)產(chǎn)品是不合格 品的概率是b，則隨機(jī)抽取25個(gè)產(chǎn)品，不合格品個(gè)數(shù)Y~B(25,b). 24依題意得E(X)=15a=2,E(Y)=25b=4，所以a=15,b二云. 24 因?yàn)椋詰?yīng)選擇方案a. 2.(2019?遼寧五校聯(lián)合體模擬)某商場決定從2種服裝、3種家電、4種日用品中，選出 3種商品進(jìn)行促銷活動(dòng)． (1) 試求選出的3種商品中至少有一種是家電的概率； (2) 該商場對(duì)選出的某商品采用抽獎(jiǎng)方式進(jìn)行促銷，即在該商品現(xiàn)價(jià)的基礎(chǔ)上將價(jià)格提高60元，規(guī)定購買該商品的顧客有3次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，若中獎(jiǎng)一次，則獲

24、得數(shù)額為n元的獎(jiǎng)金;若中獎(jiǎng)兩次，則獲得數(shù)額為3n元的獎(jiǎng)金；若中獎(jiǎng)三次，則獲得數(shù)額為6n元的獎(jiǎng)金.假設(shè)顧客每次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率都是4請(qǐng)問：該商場將獎(jiǎng)金數(shù)額n最高定為多少元，才能使促銷方案對(duì)該商場有利？ 解：(1)設(shè)選出的3種商品中至少有一種是家電為事件A, 從2種服裝、3種家電、4種日用品中，選出3種商品，共有騎種不同的選法，選出的3種商品中，沒有家電的選法有C6種， 6 所以選出的3種商品中至少有一種是家電的概率為 P(A)二1 C6=1-2t=2?. 0 (2)設(shè)顧客三次抽獎(jiǎng)所獲得的資金總額(單位：元)為隨機(jī)變量E, 則其所有可能的取值為0，n，3n，6n.

25、 當(dāng)汴0時(shí)，表示顧客在三次抽獎(jiǎng)中都沒有中獎(jiǎng). P(d=n)=C 所以P(^=0)=C 2 3_27 =64 _27 =64 P(g=3n)=C 1 2 64， P憶=6n)=C 丄 64. 所以顧客在三次抽獎(jiǎng)中所獲得的獎(jiǎng)金總額的期望值是 27279115n e(滬0^64+必64+3必64+6必64二肓， 由幫W6°，解得nW64, 所以該商場將獎(jiǎng)金數(shù)額n最高定為64元，才能使促銷方案對(duì)該商場有利. 正態(tài)分布(師生共研) (1)(2019?惠州市第二次調(diào)研)設(shè)隨機(jī)變量E服從正態(tài)分布N(4,3),若P@a+1)

26、，則實(shí)數(shù)a等于() A．7 B．6 C．5D．4 (2)已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(1,O勺，若P(X>2)=0.15,則P(0WXW1)=() A．0.85B．0.70 C．0.35 D．0.15 【解析】(1)由隨機(jī)變量d服從正態(tài)分布N(4，3)可得正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱軸為直 線x=4，又P(da+1)，所以x=a-5與x=a+1關(guān)于直線x=4對(duì)稱，所以(a -5)+(a+1)=8,即a=6.選B. (2)P(0WXW1)=P(1WXW2)=0.5-P(X>2)=0.35. 【答案】(1)B(2)C 規(guī)律方法 正態(tài)分布下的概率

27、計(jì)算常見的兩類問題 (1) 利用正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性研究相關(guān)概率問題，涉及的知識(shí)主要是正態(tài)曲線關(guān)于直線x二〃對(duì)稱，及曲線與x軸之間的面積為1. (2) 利用3。原則求概率問題時(shí)，要注意把給出的區(qū)間或范圍與正態(tài)變量的口，。進(jìn)行對(duì)比聯(lián)系，確定它們屬于(p-O,P+O),(P-2。，#+2。)，3-3。，p+3o)中的哪一個(gè). 變式訓(xùn)練; 1.(2019?太原模擬)已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(3,1),且P(X24)=0.1587,則 P(2

28、)，且P(x24)=0.1587,所以P(XW2)二0.1587，所以P(20,試卷滿分150分)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示數(shù)學(xué)考試成績?cè)?0分到110分之間的人數(shù)約為總 3 人數(shù)的3,則此次月考中數(shù)學(xué)考試成績不低于110分的學(xué)生約有人. 解析：因?yàn)槌煽兎恼龖B(tài)分布X~N(90,a2), 所以其正態(tài)分布曲線關(guān)于直線x=90對(duì)稱， 3 又因?yàn)槌煽冊(cè)?0分到110分之間的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的專, 所以此次數(shù)學(xué)考試成 由對(duì)稱性知成績?cè)?

29、10分以上的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的jx(1-|)=|績不低于110分的學(xué)生約有5x900=180(人). 答案：180 素養(yǎng)提升?助學(xué)培優(yōu). 利用期望與方差進(jìn)行決策 某公司計(jì)劃購買2臺(tái)機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰.機(jī)器有一易損零件，在購進(jìn)機(jī)器時(shí)，可以額外購買這種零件作為備件，每個(gè)200元.在機(jī)器使用期間，如果備件 不足再購買.則每個(gè)500元，現(xiàn)需決策在購買機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購買幾個(gè)易損零件，為此搜集并 整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖： 以這100臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率， 記X表示2臺(tái)機(jī)器三年

30、內(nèi)共需更換的易損零件數(shù),n表示購買2臺(tái)機(jī)器的同時(shí)購買的易損零件數(shù). (1) 求X的分布列： (2) 若要求P(XWn)三0.5，確定n的最小值; (3)以購買易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，在n=19與n=20之中選其一.選用哪個(gè)？ 【解】(1)由柱狀圖并以頻率代替概率可得，一臺(tái)機(jī)器在三年內(nèi)需更換的易損零件 數(shù)為8，9，10，11的概率分別為0.2，0.4，0.2，0.2. 可知X的所有可能取值為16,17,18,19,20,21,22, P(X=16)=0.2X0.2=0.04; P(X=17)=2X0.2X0.4=0.16； P(X=18)=2X0.2X0.2＋0.4

31、X0.4=0.24； P(X=19)=2X0.2X0.2＋2X0.4X0.2=0.24； P(X=20)=2X0.2X0.4＋0.2X0.2=0.2； P(X=21)=2X0.2X0.2=0.08； P(X=22)=0.2X0.2=0.04. 所以X的分布列為 X 16 17 18 19 20 21 22 P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04 (2) 由⑴知P(XW18)=0.44,P(XW19)=0.68，故n的最小值為19. (3) 記Y表示2臺(tái)機(jī)器在購買易損零件上所需的費(fèi)用(單位：元). 當(dāng)n=19時(shí)，

32、 E(Y)=19X200X0.68＋(19X200＋500)X0.2＋(19X200＋2X500)X0.08＋(19X200 3X500)X0.04=4040. 當(dāng)n=20時(shí)， E(Y)=20X200X0.88＋(20X200＋500)X0.08＋(20X200＋2X500)X0.04=4080. 可知當(dāng)n=19時(shí)所需費(fèi)用的期望值小于n=20時(shí)所需費(fèi)用的期望值，故應(yīng)選n=19. 利用期望與方差進(jìn)行決策的方法 (1)若我們希望實(shí)際的平均水平較理想時(shí)，則先求隨機(jī)變量￡的期望，當(dāng)E(G=E(?) 時(shí)，不應(yīng)誤認(rèn)為它們一樣好，需要用D(￡),D(?)來比較這兩個(gè)隨機(jī)變量的偏離程度

33、，偏離 程度小的更好． (2) 若我們希望比較穩(wěn)定時(shí)，應(yīng)先考慮方差，再考慮均值是否相等或者接近． (3) 若對(duì)平均水平或者穩(wěn)定性沒有明確要求時(shí)，一般先計(jì)算期望，若相等，則由方差來確定哪一個(gè)更好?若E(￡)與E(?)比較接近，且期望較大者的方差較小，顯然該變量更好；若E(￡)與E(?)比較接近且方差相差不大時(shí)，應(yīng)根據(jù)不同選擇給出不同的結(jié)論，即是選擇較 理想的平均水平還是選擇較穩(wěn)定． (2019?洛陽第一次統(tǒng)考)甲、乙兩家外賣公司，其送餐員的日工資方案如下：甲公司，底薪80元，每單送餐員抽成4元；乙公司，無底薪，40單以內(nèi)(含40單)的部分送餐員每單抽成6元，超出40單的部分送餐員每

34、單抽成7元．假設(shè)同一公司的送餐員一天的送餐單數(shù)相同，現(xiàn)從這兩家公司各隨機(jī)選取一名送餐員，并分別記錄其50天的送餐單數(shù)，得到如下頻數(shù)表： 甲公司送餐員送餐單數(shù)頻數(shù)表 送餐單數(shù) 38 39 40 41 42 天數(shù) 10 15 10 10 5 乙公司送餐員送餐單數(shù)頻數(shù)表 送餐單數(shù) 38 39 40 41 42 天數(shù) 5 10 10 20 5 (1) 現(xiàn)從記錄甲公司的50天送餐單數(shù)中隨機(jī)抽取3天的送餐單數(shù)，求這3天送餐單數(shù)都不小于40的概率． (2) 若將頻率視為概率，回答下列兩個(gè)問題： ① 記乙公司送餐員日工資為X(單位：元)，求X的分布

35、列和數(shù)學(xué)期望E(X)； ② 小王打算到甲、乙兩家公司中的一家應(yīng)聘送餐員，如果僅從日工資的角度考慮，請(qǐng)利用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)為小王作出選擇，并說明理由． 解：(1)記抽取的3天送餐單數(shù)都不小于40為事件M, 則p(m)=C|5=i236. (2)①設(shè)乙公司送餐員的送餐單數(shù)為a, 當(dāng)a=38時(shí)，X=38X6=228, 當(dāng)a=39時(shí)，X=39X6=234, C．2D.8 當(dāng)a=40時(shí)，X=40X6=240, 當(dāng)a=41時(shí)，X=40X6+1X7=247, 當(dāng)a=42時(shí)，X=40X6＋2X7=254. 所以X的所有可能取值為228,234,240,247,254. 故X的分布列

36、為 X 228 234 240 247 254 P 丄 1 1 2 丄 10 1 1 1 10 所以E(X)=228X:^+234x|+240x|+247x|+254Xi10=241.8. ②依題意，甲公司送餐員的日平均送餐單數(shù)為38X0.2+39X0.3+40X0.2+41X0.2+ 42X0.1=39.7， 所以甲公司送餐員的日平均工資為80+4X39.7=238.8元. 由①得乙公司送餐員的日平均工資為241.8元. 因?yàn)?38.8<241.8，所以推薦小王去乙公司應(yīng)聘． ［基礎(chǔ)題組練］ C．2D.| 1?設(shè)隨機(jī)變量

37、X服從正態(tài)分布N(0,1),若P(X>1)=p,則P(-10)=P(X<0)=2,P(X>1)=P(X<-1)=p，所以P(-1

38、以取出的球的最大編號(hào)X的可能取值為2,3,所以P(X=2)=^2=|,P(X=3) ~2 晉二彳，所以E(X)=2x|+3x|=|. 3.(2018?安徽合肥一模)已知某公司生產(chǎn)的一種產(chǎn)品的質(zhì)量X(單位：克)服從正態(tài)分布 N(100,4),現(xiàn)從該產(chǎn)品的生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取10000件產(chǎn)品，其中質(zhì)量在［98,104］內(nèi)的產(chǎn)品估計(jì)有() (附：若X服從N@,°2)，貝yP3—o

39、4］ 內(nèi)的產(chǎn)品的概率為P(^-2a

40、8-E(X)=8-10X0.6=2, D(n)=(-1)2D(X)=10x0.6x0.4=2.4. 5?某籃球隊(duì)對(duì)隊(duì)員進(jìn)行考核，規(guī)則是①每人進(jìn)行3個(gè)輪次的投籃；②每個(gè)輪次每人投 2籃2次，若至少投中1次，則本輪通過，否則不通過.已知隊(duì)員甲投籃1次投中的概率為彳 如果甲各次投籃投中與否互不影響，那么甲3個(gè)輪次通過的次數(shù)X的期望是() A.3B.8 81 解析：選B.在一輪投籃中，甲通過的概率為P=8，未通過的概率為9?由題意可知，甲3 個(gè)輪次通過的次數(shù)X的可能取值為0,1,2,3, 則p(x=o)=M\1 729 p(x=i)7x(8)x(9)=72-

41、 p(X=2)=C2X(8)2xg)= 192 729 P(X=3)=⑨ _512=729. 所以隨機(jī)變量X的分布列為 X 0 1 2 3 P 1 24 192 512 729 729 729 729 數(shù)學(xué)期望E(X)=0X7|9+1x7|9+2X12|+3x729=8. 6.(2019?遼寧五校聯(lián)合體模擬)已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(72,4),則P(X<70或X>76)等于. (附：(P?—o

42、。=2，所以P(7076)=0.02275，所以P(X<70或X>76)=0.15865+0.02275=0.1814. 答案：0.1814 7.若隨機(jī)變量E的分布列如下表所示，E(勺=1.6,則a—b=. § 0 1 2 3 P 0.1 a b 0.1 解析：易知a,be[0,1]，由0.1+a+b+0.1=1，得a+b=0.8，又由E(￡=0X0.1+1Xa ＋2xb＋3x0.1=1.6，得a＋2b=1.3，解得a=0.3，b=0.5，則a－b=－0.2.

43、答案：—0.2 8．某學(xué)校為了給運(yùn)動(dòng)會(huì)選拔志愿者,組委會(huì)舉辦了一個(gè)趣味答題活動(dòng)．參選的志愿者 回答三個(gè)問題，其中兩個(gè)是判斷題，另一個(gè)是有三個(gè)選項(xiàng)的單項(xiàng)選擇題，設(shè)§為回答正確的題數(shù)，則隨機(jī)變量§的數(shù)學(xué)期望E(勺=. 解析：由已知得疋的可能取值為0,1,2,3. P(^=0)=2x|xj= 2 12 p(^=i)=1x2x2 112111 +2x2x3+2x2x3二 5 12 P(^=2)=|x2x| 111111 +lxlx5+lxlx5= 4 12 1 12. 25414 所以e(^)=0^12+1^12+2^12+3^12=3. 答案：3

44、 9.（2019?西安模擬）一個(gè)盒子中裝有大量形狀、大小一樣但重量不盡相同的小球，從中隨機(jī)抽取50個(gè)作為樣本，稱出它們的重量（單位：克），重量分組區(qū)間為［5，15］，（15，25］，（25，35］，（35，45］，由此得到樣本的重量頻率分布直方圖（如圖）. （1）求a的值，并根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，試估計(jì)盒子中小球重量的眾數(shù)與平均值； （2）從盒子中隨機(jī)抽取3個(gè)小球，其中重量在［5,15］內(nèi)的小球個(gè)數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.（以直方圖中的頻率作為概率）. 解：(1)由題意，得(0.02+0.032+a+0.018)x10=1, 解得a=0.03.由頻率分布直方圖可估計(jì)盒子中小球重量的

45、眾數(shù)為20克， 而50個(gè)樣本中小球重量的平均數(shù)為x=0.2x10＋0.32x20＋0.3x30＋0.18x40= 24.6（克）． 故由樣本估計(jì)總體,可估計(jì)盒子中小球重量的平均數(shù)為24.6克． （2）該盒子中小球重量在［5，15］內(nèi)的概率為1,則X~B（3,￡,X的可能取值為0,1,2,3. P(X_0) 丄艸4)3__64 5丿乜丿_125 p(x_1)_c3(5)1X (4\2_A8 V5丿_125 P(X_2)_C2(S2X(4)_ 12 125 P(X_3)_C3⑨③七 所以X的分布列為 X 0 1 2 3 P 64 48 12 1

46、 125 125 125 125 6448121 所以E(X)_0X^+1X^+2X^+3X^_ 13 (或者E(X)_3X5_5?) 10.(2019?長沙模擬)某中藥種植基地有兩處種植區(qū)的藥材需在下周一、下周二兩天內(nèi)采摘完畢，基地員工一天可以完成一處種植區(qū)的采摘，下雨會(huì)影響藥材品質(zhì)，基地收益如下表所示： 周一 無雨 無雨 有雨 有雨 周二 無雨 有雨 無雨 有雨 收益/萬元 20 15 10 7.5 若基地額外聘請(qǐng)工人，可在下周一當(dāng)天完成全部采摘任務(wù)．無雨時(shí)收益為20萬元；有雨時(shí)，收益為10萬元.額外聘請(qǐng)工人的成本為a萬元. 已知下周

47、一和下周二有雨的概率相同，兩天是否下雨互不影響，基地收益為20萬元的概率為0.36. (1) 若不額外聘請(qǐng)工人，寫出基地收益X的分布列及基地的預(yù)期收益； (2) 該基地是否應(yīng)該額外聘請(qǐng)工人，請(qǐng)說明理由. 解：(1)設(shè)下周一無雨的概率為p，由題意得，p2_0.36，解得p_0.6, 基地收益X的可能取值為20,15,10,7.5，則P(X_20)_0.36,P(X_15)_0.24,P(X _10)_0.24，P(X_7.5)_0.16. 所以基地收益X的分布列為 X 20 15 10 7.5 P 0.36 0.24 0.24 0.16 E(X)=20X0.36

48、+15X0.24+10X0.24+7.5X0.16=14.4(萬元), 所以基地的預(yù)期收益為14.4萬元． (2)設(shè)基地額外聘請(qǐng)工人時(shí)的收益為Y萬元， 則其預(yù)期收益E(Y)=20X0.6+10X0.4-a=16-a(萬元),E(Y)-E(X)=1.6-a(萬元). 綜上，當(dāng)額外聘請(qǐng)工人的成本高于1.6萬元時(shí)，不額外聘請(qǐng)工人；成本低于1.6萬元時(shí)，額外聘請(qǐng)工人；成本恰為1.6萬元時(shí)，額外聘請(qǐng)或不聘請(qǐng)工人均可以． ［綜合題組練］ 1．某鮮奶店每天以每瓶3元的價(jià)格從牧場購進(jìn)若干瓶鮮牛奶，然后以每瓶7元的價(jià)格 出售．如果當(dāng)天賣不完，剩下的鮮牛奶作垃圾處理． (1) 若鮮奶店一天購進(jìn)30

49、瓶鮮牛奶，求當(dāng)天的利潤y(單位：元)關(guān)于當(dāng)天需求量n(單位： 瓶，n^N)的函數(shù)解析式； (2) 鮮奶店記錄了100天鮮牛奶的日需求量(單位：瓶)，繪制出如下的柱形圖(例如：日 需求量為25瓶時(shí)，頻數(shù)為5)： 以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率． ① 若該鮮奶店一天購進(jìn)30瓶鮮奶，X表示當(dāng)天的利潤(單位：元)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望； ② 若該鮮奶店計(jì)劃一天購進(jìn)29瓶或30瓶鮮牛奶,你認(rèn)為應(yīng)購進(jìn)29瓶還是30瓶？請(qǐng)說明理由． 解：(1)當(dāng)n±30時(shí)，y=30X(7-3)=120; 7n-90,0WnW29 當(dāng)nW29時(shí),y=(7-3)n-3(30-n)=

50、7n-90.故y=［,neN. 、120,n±30 (2)①X的可能取值為85,92,99,106,113,120, P(X=85)=0.05， P(X=92)=0.1, P(X=99)=0.1, P(X=106)=0.05, P(X=113)=0.1, P(X=120)=0.6. X的分布列為 X 85 92 99 106 113 120 P 0.05 0.1 0.1 0.05 0.1 0.6 E(X)=(85+106)X0.05+(92+99+113)X0.1+120X0.6=111.95. ②購進(jìn)29瓶時(shí)，當(dāng)天利潤的數(shù)學(xué)期望為t=(25X

51、4-4X3)X005+(26X4-3X3)X0.1+(27X4－2X3)X0.1+(28X4－1X3)X0.05+29X4X0.7=110.75， 因?yàn)?11.95>110.75，所以應(yīng)購進(jìn)30瓶. 2.(2019?洛陽尖子生第二次聯(lián)考)現(xiàn)有兩種投資方案，一年后投資盈虧的情況如下表： 投資股市 投資結(jié)果 獲利40% 不賠不賺 虧損20% 概率 1 2 1 8 3 8 購買基金 投資結(jié)果 獲利20% 不賠不賺 虧損10% 概率 P 1 3 q (1) 當(dāng)p=4時(shí)，求q的值. (2) 已知甲、乙兩人分別選擇了“投資股市”和“購買基金”

52、進(jìn)行投資，如果一年后他 4 們中至少有一人獲利的概率大于5，求p的取值范圍. (3) 丙要將家中閑置的10萬元錢進(jìn)行投資，決定在“投資股市”和“購買基金”這兩種方案中選擇一種，已知p=1，q=6,那么丙選擇哪種投資方案，才能使得一年后投資收益的數(shù)學(xué)期望較大？請(qǐng)說明理由. 解：(1)因?yàn)椤百徺I基金”后，投資結(jié)果只有“獲利”“不賠不賺”“虧損”三種，且三種投資結(jié)果相互獨(dú)立， 所以p+*+q二1?又p=4，所以q^ii' (2)記事件A為“甲投資股市且獲利”事件B為“乙購買基金且獲利”事件C為“一 年后甲、乙兩人中至少有一人投資獲利”， 貝I」C=ABUABUAB，且A,B習(xí)蟲立.

53、 由題意可知，P(A)=2,p(B)二p, 所以P(C)=P(AB)+P(AB)+P(AB) 1111 -P)+2P+2P=2+2P' 1143 因?yàn)閜(C)=2+2P>5，所以p>5' (32乜，3_ 1_2又p+3+q二1，q$°，所以pW§. 所以P的取值范圍為 (3) 假設(shè)丙選擇“投資股市”的方案進(jìn)行投資，記X為丙投資股市的獲利金額(單位：萬 元)， 所以隨機(jī)變量X的分布列為 X 4 0 -2 1 1 3 P 2 8 8 1135 貝I」E(X)=4X2+0X§+(-2)X8=4. 假設(shè)丙選擇“購買基金”的方案進(jìn)行投

54、資，記Y為丙購買基金的獲利金額(單位：萬元), 所以隨機(jī)變量Y的分布列為 所以丙選擇“投資股市”，才能使得一年后的投資收益的數(shù)學(xué)期望較大． 3. (2019?高考全國卷I)為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動(dòng)物實(shí)驗(yàn)．試驗(yàn)方案如下：每一輪選取兩只白鼠對(duì)藥效進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)．對(duì)于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥.一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗(yàn).當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時(shí)，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效.為了方便描述問題，約定：對(duì)于每輪試驗(yàn)，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得－1

55、分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得－1分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分.甲、乙兩種藥的治愈率分別記為a和〃，一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為X. (1) 求X的分布列； (2) 若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開始時(shí)都賦予4分,#2=0,1,…，8)表示“甲藥的累計(jì)得分為i時(shí)，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則p0=0，p8=1，P^ap.^+bp.+cp.+衛(wèi)=1，2,…,7)，其中a=P(X=—1)，b=P(X=0)，c=P(X=1).假設(shè)a=0.5,0=0.8. (i)證明:譏+1—#.}(.=0,1,2,…,7)為等比數(shù)列; (ii)求p4,并根據(jù)p4的值解釋

56、這種試驗(yàn)方案的合理性. 解：(1)X的所有可能取值為-1,0,1. P(X=-1)=(1?, P(X=0)=a^+(1-a)(1-P), P(X=1)=a(1-P). 所以X的分布列為 X-1o1 P(l-a)/3?/?+(!-?)(?-/3)a(l-0) (2)(i)證明：由(1)得a=0.4,b=0.5,c=0.1. 因此p.=0.4p.-1＋0.5p.＋0.1p.＋1, 故0.1(p.＋1-p.)=0.4(p.-p.-1), 即p.＋1-p.=4(p.-p.-1). 又因?yàn)閜1-p0=p1*0，所以{pi+1-p.}(i=0,1,2,-,7)為公比為4，首項(xiàng)為p1的等 比數(shù)列. (ii)由(i)可得 p8=p8-p7+p7-p6+-+p1-p0+p0 =(P8-P7)+(P7-P6)+…+(P1-P0) 48－1 二~3~1. 3 由于p=i，故PL—，所以 8148－1 p4=(p4-p3)+(p3-p2)+(p2-p1)+(P]-p0) 44-1 二丁1 _1 =257 p4表示最終認(rèn)為甲藥更有效的概率?由計(jì)算結(jié)果可以看出，在甲藥治愈率為0.5，乙藥 治愈率為0.8時(shí)，認(rèn)為甲藥更有效的概率為p4_217=0.0039,此時(shí)得出錯(cuò)誤結(jié)論的概率非常 小，說明這種試驗(yàn)方案合理．