四年級(jí) 方陣問(wèn)題老師用 (1)

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1、 第三講 方陣問(wèn)題 知識(shí)導(dǎo)航 學(xué)生排隊(duì)，士兵列隊(duì)，橫著排叫做行，豎著排叫做列。如果行數(shù)與列數(shù)都相等，則正好排成一個(gè)正方形，這種圖形就叫方隊(duì)，也叫做方陣（亦叫乘方問(wèn)題）。 核心公式： 1．方陣總?cè)藬?shù)=最外層每邊人數(shù)的平方（方陣問(wèn)題的核心） 2．方陣最外層每邊人數(shù)=（方陣最外層總?cè)藬?shù)÷4）＋1 3．方陣外一層總?cè)藬?shù)比內(nèi)一層總?cè)藬?shù)多2 4．去掉一行、一列的總?cè)藬?shù)＝去掉的每邊人數(shù)×2－1 例1:學(xué)校學(xué)生排成一個(gè)方陣，最外層的人數(shù)是60人，問(wèn)這個(gè)方陣共有學(xué)生多少人? 解析：方陣問(wèn)題的核心是求最外層每邊人數(shù)。根據(jù)四周人數(shù)和每邊人數(shù)的關(guān)系可以知： 每邊人數(shù)=四周人數(shù)÷4+1，可以

2、求出方陣最外層每邊人數(shù)，那么整個(gè)方陣隊(duì)列的總?cè)藬?shù)就可以求了。 方陣最外層每邊人數(shù)：60÷4+1=16（人）整個(gè)方陣共有學(xué)生人數(shù)：16×16=256（人）。 【鞏固1】某校五年級(jí)學(xué)生排成一個(gè)方陣，最外一層的人數(shù)為60人.問(wèn)方陣外層每邊有多少人？這個(gè)方陣共有五年級(jí)學(xué)生多少人？ 解析：根據(jù)四周人數(shù)和每邊人數(shù)的關(guān)系可以知：每邊人數(shù)=四周人數(shù)÷4+1，可以求出方陣最外層每邊人數(shù)，那么整個(gè)方陣隊(duì)列的總?cè)藬?shù)就可以求了。 解：方陣最外層每邊人數(shù)：60÷4＋1=16（人）整個(gè)方陣共有學(xué)生人數(shù)：16×16=256（人） 【鞏固2】晶晶用圍棋子擺成一個(gè)三層空心方陣，最外一層每邊有圍棋子14個(gè).晶晶這個(gè)

3、方陣共用圍棋子多少個(gè)？ 解析：方陣每向里面一層，每邊的個(gè)數(shù)就減少2個(gè).知道最外面一層每邊放14個(gè)，就可以求第二層及第三層每邊個(gè)數(shù).知道各層每邊的個(gè)數(shù)，就可以求出各層總數(shù)。 解法1：最外邊一層棋子個(gè)數(shù)：（14-1）×4=52（個(gè)）第二層棋子個(gè)數(shù)：（14-2-1）×4=44（個(gè)）第三層棋子個(gè)數(shù)：（14-2×2-1）×4=36（個(gè)）.擺這個(gè)方陣共用棋子：52+44＋36＝132（個(gè)） 解法2：還可以這樣想：中空方陣總個(gè)數(shù)=（每邊個(gè)數(shù)一層數(shù)）×層數(shù)×4進(jìn)行計(jì)算。（14-3）×3×4=132（個(gè)） 【鞏固3】一個(gè)正方形的隊(duì)列橫豎各減少一排共27人，求這個(gè)正方形隊(duì)列原來(lái)有多少人？ 解析：依據(jù)：去

4、掉一行、一列的總?cè)藬?shù)＝去掉的每邊人數(shù)×2－1可知每邊的人數(shù)是：（人） 原人數(shù)是：（人） 【鞏固4】小紅用棋子擺成一個(gè)正方形實(shí)心方陣用棋子100枚，最外邊的一層共多少枚棋子？ 解析：這要用到方陣的公式逆運(yùn)算，100必然是一個(gè)數(shù)的平方數(shù) 因?yàn)椋ㄈ耍⑶沂菍?shí)心的方陣，所以最外層有10人。 例2：參加中學(xué)生運(yùn)動(dòng)會(huì)團(tuán)體操比賽的運(yùn)動(dòng)員排成了一個(gè)正方形隊(duì)列。如果要使這個(gè)正方形隊(duì)列減少一行和一列，則要減少33人。問(wèn)參加團(tuán)體操表演的運(yùn)動(dòng)員有多少人？ 解析：如下圖表示的是一個(gè)五行五列的正方形隊(duì)列。從圖中可以看出正方形的每行、每列人數(shù)相等；最外層每邊人數(shù)是5，去一行、一列則一共要去9人，因而我們可以得

5、到如下公式：去掉一行、一列的總?cè)藬?shù)＝去掉的每邊人數(shù)×2－1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 解 ：方陣問(wèn)題的核心是求最外層每邊人數(shù)。 原題中去掉一行、一列的人數(shù)是33， 則去掉的一行（或一列） 人數(shù)＝ 人 方陣的總?cè)藬?shù)為最外層每邊人數(shù)的平方， 所以總?cè)藬?shù)為（人） 【鞏固】 參加軍訓(xùn)的學(xué)生進(jìn)行隊(duì)列表演，他們排成了一個(gè)七行七列的正方形隊(duì)列， 如果去掉一行一列，請(qǐng)問(wèn)：要去掉多少名學(xué)生？還剩下多少名學(xué)生？ 解析：如上圖表示的是一個(gè)4行4列的實(shí)

6、心正方形隊(duì)列，從圖中可以看出正方形隊(duì) 列的特點(diǎn)： （1）正方形隊(duì)列每行、每列的人數(shù)相等，因此總?cè)藬?shù)＝每行人數(shù)×每列人數(shù)。 （2）去掉橫豎各一排時(shí)，有且只有1人是同時(shí)屬于被減去的一行和一列的，如圖中點(diǎn)A所示。因此去掉的總?cè)藬?shù)＝原每行人數(shù)×2－1，或去掉的總?cè)藬?shù)＝減少后每行人數(shù)×2＋1。 本題中所求，即去掉的人數(shù)＝7×2－1＝13（人） 或去掉的人數(shù)＝（7－1）×2＋1＝13（人） 還剩的人數(shù)＝（7－1）×（7－1）＝36（人） 或還剩的人數(shù)＝7×7－13＝49－13＝36（人） 答：如果去掉一行一列，要去掉13名學(xué)生，還剩下36名學(xué)生。 例3：解放軍戰(zhàn)士排成一個(gè)每邊12人的中空

7、方陣，共四層，求總?cè)藬?shù)？ 解法1：這樣想：把中空方陣的總?cè)藬?shù)，看作中實(shí)方陣總?cè)藬?shù)減去空心方陣人數(shù)。 （1）中實(shí)方陣總?cè)藬?shù)：12×12=144（人）（2）第四層每邊人數(shù)：12-2×（4-1）=6（人） （3）空心方陣人數(shù)：（6-2）×（6-2）=16（人）（4）中空方陣人數(shù)：144-16=128（人） 小結(jié)：中空方陣總?cè)藬?shù)=外邊人數(shù)×外邊人數(shù)-（內(nèi)邊人數(shù)-2）×（內(nèi)邊人數(shù)-2） 解法2：這樣想：把中空方陣分成四個(gè)相等的長(zhǎng)方形。 （1）每個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)=外邊人數(shù)-層數(shù)12-4=8（人）（2）每個(gè)長(zhǎng)方形的寬是層數(shù)：4人 （3）總?cè)藬?shù)：8×4×4=128（人） 小結(jié)：中空方陣總?cè)藬?shù)=（每

8、邊人數(shù)-層數(shù)）×層數(shù)×4 【鞏固】學(xué)校開(kāi)展聯(lián)歡會(huì)，要在正方形操場(chǎng)四周插彩旗。四個(gè)角上都插一面，每邊插7面。一共要準(zhǔn)備多少面旗子？ 解析：依據(jù)求外層個(gè)數(shù)的公式：（邊數(shù)-1）×4 （面） 例4：一個(gè)街心花園如右圖所示.它由四個(gè)大小相等的等邊三角形組成.已知從每個(gè)小三角形的頂點(diǎn)開(kāi)始，到下一個(gè)頂點(diǎn)均勻栽有9棵花.問(wèn)大三角形邊上栽有多少棵花？整個(gè)花園中共栽多少棵花？ 解析：①?gòu)囊阎獥l件中可以知道大三角形的邊長(zhǎng)是小三角形邊長(zhǎng)的2倍. 又知道每個(gè)小三角形的邊上均勻栽9株，則大三角形邊上栽的棵 數(shù)為：（棵）。 ②又知道這個(gè)大三角形三個(gè)頂點(diǎn)上栽的一棵花是相鄰的兩條邊公有的，所以大三角

9、形三條邊上共栽花：（棵）。 ③.再看圖中畫(huà)斜線(xiàn)的小三角形三個(gè)頂點(diǎn)正好在大三角形的邊上.再計(jì)算三角形栽花棵數(shù)時(shí)已經(jīng)計(jì)算過(guò)一次，所以小三角形每條邊上栽花棵數(shù)為：（棵） 解：大三角形三條邊上共栽花：（棵）中間畫(huà)斜線(xiàn)小三角形三條邊上栽花：（棵）整個(gè)花壇共栽花：（棵） 【鞏固】同學(xué)們做早操，排成一個(gè)正方形的方陣，從前、后、左、右數(shù)，小明都是第5個(gè)，這個(gè)方陣共有多少人？ 解析：如圖，實(shí)心圓表示小明的位置，可以知道，這個(gè)隊(duì)列每行都是9人。 解：每行每列數(shù)：（人） 共有：（人） 例5：小明用圍棋子擺了一個(gè)五層中空方陣，一共用了200枚棋子， 請(qǐng)問(wèn)：最外邊一層每邊有多少枚棋子？ 解析1

10、：利用“相鄰兩層之間，每層的總數(shù)相差8”的特點(diǎn)，可知最外層共有棋子數(shù)： （200+8+8×2+8×3+8×4）÷5＝56（個(gè)） 最外層每邊的棋子數(shù)：56÷4+1＝15（個(gè)） 解析2：如練習(xí)中的圖，把棋子分成相等的四部分。每一部分的棋子數(shù)：200÷4＝50（個(gè)） 每一部分每排的棋子數(shù)：50÷5＝10（個(gè)）最外層每邊的棋子數(shù)：10＋5＝15（個(gè)） 綜合列式為：200÷4÷5＋5＝15（個(gè)） 【鞏固】游行隊(duì)伍中，手持鮮花的少先隊(duì)員在一輛彩車(chē)的四周?chē)擅窟吶龑拥姆疥?，最外邊一層每?2人，請(qǐng)問(wèn)：彩車(chē)周?chē)纳傧汝?duì)員共有多少人？ 解析1：請(qǐng)同學(xué)們自己畫(huà)一個(gè)圖，下圖是一個(gè)三層中空方陣的示意圖，

11、不難發(fā)現(xiàn)，有如下特點(diǎn)： （1）外層每邊點(diǎn)的個(gè)數(shù)都比相鄰內(nèi)層的每邊點(diǎn)的個(gè)數(shù)多2； （2）每相鄰兩層之間，點(diǎn)的總數(shù)相差8個(gè)。 最外層隊(duì)員的總數(shù)：（人） 三層共有隊(duì)員的總數(shù)：==（人） 解析2：如下圖可分成相等的四部分，每一部分的人數(shù)： （12－3）×3＝9×3＝27（人）三層共有隊(duì)員數(shù)：27×4＝108（人） 課后作業(yè) 1、若干名同學(xué)排成中實(shí)方陣則多12人，若要將這個(gè)方陣改擺成縱橫兩個(gè)方向各增加1人的方陣則還差9人排滿(mǎn)，請(qǐng)問(wèn)：原有學(xué)生多少人？ 解析：由于縱橫兩個(gè)方向各增加1人，因此不但將剩余12人擺上，而且還差9人，說(shuō)明一橫行與一豎行的人數(shù)總和是12＋9＝21人。 又由于

12、縱橫兩個(gè)方向各增加1人，因此只有1人同屬于橫行與縱行，在數(shù)每邊上的人數(shù)時(shí)，總被多數(shù)一次，因此可以用21人先加上被重復(fù)數(shù)過(guò)的1人，再除以2，也就得到每邊人數(shù)。列式為（21＋1）÷2＝11人。求出每邊人數(shù)，就可求出假設(shè)排滿(mǎn)后的人數(shù)，列式為11×11＝121人，用121人減去差的9人就是原來(lái)人數(shù)，列式為121－9＝112人。也可以根據(jù)原來(lái)的方陣再加上12，請(qǐng)你試一試。 2、 有一隊(duì)士兵排成一個(gè)中實(shí)方陣，最外一層有100人，請(qǐng)問(wèn)：方陣中一共有士兵多少人？ 解析：要想求出方陣中一共有多少士兵，就應(yīng)先求出方陣的最外層每邊有多少人。已知方陣最外一層有100人，用100÷4＝25人，每邊是不是25人呢？不

13、是的，因?yàn)槠骄殖?份后，還需要再加上1，才正好是每邊上的人數(shù)，列式應(yīng)該為100÷4＋1＝26人。因此方陣中一共有26×26＝676人。 答：一共有676人。 說(shuō)明：這道題關(guān)鍵是求出每邊人數(shù)。在求每邊人數(shù)時(shí)，不要認(rèn)為和“知道了正方形周長(zhǎng)，求邊長(zhǎng)”一樣，還必須要加上1 3、 小剛用若干枚棋子擺成一個(gè)中實(shí)方陣，最外層每邊擺6枚，請(qǐng)問(wèn)：要擺成這樣 一個(gè)中實(shí)方陣至少需要多少枚棋子？最外一層的棋子總數(shù)是多少？ 解析：如圖，最外一層每邊擺6枚，根據(jù)方陣每行每列個(gè)數(shù)相等特點(diǎn)，因此一共有6×6＝36枚棋子。 最外一層每邊有6枚，如果用6×4＝24枚，就認(rèn)為是最外一層棋子數(shù)的答案的話(huà)，那就錯(cuò)了。

14、因?yàn)檎叫蚊總€(gè)頂點(diǎn)上的棋子分屬于一行一列，這樣棋子在計(jì)算總數(shù)時(shí)就被多數(shù)了一次，這樣的頂點(diǎn)一共有4個(gè)，需要把多數(shù)的減去，才能得到正確的結(jié)果。列式是6×4－4＝20枚。 說(shuō)明：這道題還可以這樣想：數(shù)每邊棋子時(shí)，可以按上圖先劃分成4個(gè)相等的塊，這樣每邊就有5枚了，因此用5×4＝20枚，也可以得到正確答案。按照劃分塊的方法不同，至少還有兩種方法，請(qǐng)同學(xué)們?cè)囈辉嚒? 4、一隊(duì)學(xué)生站成20行20列方陣，如果去掉4行4列，那么要減少多少人？ 解析1：把去掉4行4列轉(zhuǎn)化為一行一列的去掉，就可用例6的結(jié)論： 去掉一行一列的總?cè)藬?shù)＝原每行人數(shù)×2－1反復(fù)利用4次這個(gè)公式，只要注意“原每行人數(shù)”的變化，即可列

15、式為：去掉4行4列的總?cè)藬?shù) ＝20×2－1+（20－1）×2－1＋（20－2）×2－1+（20－3）×2－1＝40－1=38－1+36－1+34－＝144（人） 解析2：我們還可以這樣想：原來(lái)是一個(gè)7行7列的方陣，若去掉4行4列后，仍剩下一個(gè)小正方形方陣，因此去掉4行4列的總?cè)藬?shù)＝原正方形方陣每邊人數(shù)－4，即去掉的總?cè)藬?shù)＝20×20－（20－4）×（20－4） ＝400－256＝144（人） 5、正方形舞廳四周均勻的裝彩燈，如果四個(gè)角都裝一盞且每邊裝12盞，那么這個(gè)舞廳四周共裝彩燈多少盞？ 解析（1）：自己畫(huà)圖可以看出，角上的四盞燈各屬于兩行，所以彩燈總數(shù)

16、應(yīng)為：12×4－4＝44（盞） （2）：還可以把彩燈分成相等的四部分，因此彩燈總數(shù)為：（12－1）×4＝44（盞） 6、“六一”兒童節(jié)前夕，在校園雕塑的周?chē)?，?04盆鮮花圍成了一個(gè)每邊三層的方陣，請(qǐng)你求出最外面一層每邊有鮮花多少盆? 解析：分析思路參見(jiàn)例6，最外層每邊人數(shù)=總數(shù)÷4÷層數(shù)+層數(shù) 204÷4÷3+3=20(盆) 7、四年級(jí)一班參加運(yùn)動(dòng)會(huì)入場(chǎng)式，排成一個(gè)方陣，最外層一周的人數(shù)為20人，請(qǐng)問(wèn)：方陣最外層每邊的人數(shù)是多少?這個(gè)方陣共有多少人? 解析：根據(jù)四周人數(shù)與每邊人數(shù)的關(guān)系可知： 每邊人數(shù)=四周人數(shù)÷4+1，可以求出這個(gè)方陣最外層每邊的人數(shù)，那么這個(gè)方

17、陣隊(duì)列的總?cè)藬?shù)就可以求出來(lái)了。 解：（1）方陣最外層每邊的人數(shù)：20÷4+1=5+1=6（人） （2）整個(gè)方陣共有學(xué)生人數(shù)：6×6=36（人） 8、明明用圍棋子擺成一個(gè)三層中空方陣，如果最外層每邊有圍棋子15個(gè)，明明擺這個(gè)方陣最里層一周共有多少枚棋子?擺這個(gè)三層空心方陣共用了多少枚棋子？ 解析：（1）方陣每向里面一層，每邊的個(gè)數(shù)就減少2個(gè)，知道最外面一層，每邊放15個(gè)，可以求出最里層每邊的個(gè)數(shù)，就可以求出最里層一周放棋子的總數(shù)。 （2）根據(jù)最外層每邊放棋子的個(gè)數(shù)減去這個(gè)中空方陣的層數(shù)，再乘以層數(shù)，再乘以4，計(jì)算出這個(gè)中空方陣共用棋子多少個(gè)。 解：（1）最里層一周棋子的個(gè)數(shù)是

18、：（15-2-2-1）×4=40（個(gè)） （2）這個(gè)空心方陣共用的棋子數(shù)是：（15-3）×3×4=144（個(gè)） 答：這個(gè)方陣最里層一周有40個(gè)棋子;擺這個(gè)中空方陣共用144個(gè)棋子。 9、若干戰(zhàn)士排成一個(gè)四層中空方陣，只知道最外一層每邊有12人，請(qǐng)你求出總?cè)藬?shù)。 解析：我們可以采用先求出每層人數(shù)再求總?cè)藬?shù)的方法進(jìn)行。 解：由于最外層每邊有12人，因此最外層一共有（12－1）×4＝44人，又根據(jù)方陣相鄰兩層，外層比內(nèi)層人數(shù)多8的特點(diǎn)，因此第二層有44－8＝36人，第三層有36－8＝28人，第四層有28－8＝20人。因此一共有44+36+28+20＝128人。 還可以這樣想，把

19、四層中空方陣劃分如例5的形狀，我們發(fā)現(xiàn)每個(gè)長(zhǎng)方形可以看成四排戰(zhàn)士，每排有8人組成。因此一個(gè)長(zhǎng)方形有8×4＝32人，一共有4個(gè)長(zhǎng)方形，32×4＝128人。 當(dāng)然還可以先把中空方陣看成中實(shí)方陣，然后再減去補(bǔ)上的小中實(shí)方陣人數(shù)，也可以求出一共有多少人，看成中實(shí)方陣后，最外一層每邊12人，因此一共有12×12＝144人。又因?yàn)樵诜疥囍邢噜弮蓚€(gè)正方形每邊人數(shù)相差2，因此第二層每邊有12－2＝10人，第三層每邊有10－2＝8人，第四層每邊有8－2＝6人，第五層每邊有6－2＝4人。因此小的中實(shí)方陣有4×4＝16人。144－16＝128人就表示一共有戰(zhàn)士的人數(shù)。 答：一共有128人。 10、有若干盆

20、鮮花擺成一個(gè)中空方陣，最外層共擺48盆，最內(nèi)層共擺24盆，請(qǐng)問(wèn)：共擺了多少盆鮮花？ 解析：由于方陣中相鄰兩個(gè)正方形每邊相差8，因此第二層應(yīng)擺鮮花48－8＝40盆，第三層有花40－8＝32盆，第四層有花32－8＝24盆。這樣通過(guò)枚舉方法求出一共有四層花，及中間兩層花的總數(shù)。因此一共擺了48＋40＋32＋24＝144盆。 答：一共擺了144盆。 11、有楊樹(shù)和柳樹(shù)以隔株相間的種法，種成7行7列的方陣，問(wèn)這個(gè)方陣最外一層有楊樹(shù)和柳樹(shù)各多少棵?方陣中共有楊樹(shù)，柳樹(shù)各多少棵? 解析：根據(jù)已知條件柳樹(shù)和楊樹(shù)的種法有如下兩種，假設(shè)黑點(diǎn)表示楊樹(shù)，白點(diǎn)表示柳樹(shù)觀察圖（1）（2）不管是柳樹(shù)種在方陣最外

21、層的角上還是楊樹(shù)種在方陣最外層的角上，方陣中除最里邊一層外其它層楊樹(shù)和柳樹(shù)都是相同的。因而楊樹(shù)和柳樹(shù)的棵數(shù)相等。即最外層楊，柳樹(shù)分別為（7-1）×4÷2=12（棵）。 當(dāng)柳樹(shù)種在方陣最外層的角上時(shí)，最內(nèi)層的一棵是柳樹(shù);當(dāng)楊樹(shù)種在方陣最外層的角上時(shí)，最內(nèi)層的一棵是楊樹(shù)，即在方陣中，楊樹(shù)和柳樹(shù)總數(shù)相差1棵。 解：（1）最外層楊柳樹(shù)的棵數(shù)分別為：（7-1）×4÷2=12（棵） （2）當(dāng)楊樹(shù)種在最外層角上時(shí)，楊樹(shù)比柳樹(shù)多1棵： 楊樹(shù)：（7×7+1）÷2=25（棵） 柳樹(shù)：7×7-25=24（棵） （3）當(dāng)柳樹(shù)種在最外層角上時(shí)，柳樹(shù)比楊樹(shù)多1樹(shù) 柳樹(shù)（7×7+1）÷2=25（棵） 楊樹(shù)7×7-25=24（棵） 答：在兩種方法中，方陣最外層都有楊樹(shù)12棵，柳樹(shù)12棵，方陣中總共有楊樹(shù)25棵，柳樹(shù)24棵，或者有楊樹(shù)24棵，柳樹(shù)25棵。