高中數(shù)學(xué)蘇教版選修21課件：第2章 圓錐曲線與方程 6.2

精 品 數(shù) 學(xué) 課 件蘇 教 版第2章2.6.2求曲線的方程學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握求軌跡方程建立坐標(biāo)系的一般方法，熟悉求曲線方程的五個步驟.2.掌握求軌跡方程的幾種常用方法.1 預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué) 挑戰(zhàn)自我，點(diǎn)點(diǎn)落實(shí)2 課堂講義 重點(diǎn)難點(diǎn)，個個擊破3 當(dāng)堂檢測 當(dāng)堂訓(xùn)練，體驗(yàn)成功知識鏈接求曲線方程要“建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系”，這句話怎樣理解.答：坐標(biāo)系選取的適當(dāng)，可使運(yùn)算過程簡化，所得方程也較簡單，否則，如果坐標(biāo)系選取不當(dāng)，則會增加運(yùn)算的煩雜程度.預(yù)習(xí)導(dǎo)引1.平面解析幾何研究的主要問題(1)根據(jù)已知條件，求出表示平面曲線的方程.(2)通過方程，研究平面曲線的性質(zhì).2.求曲線(圖形)的方程一般有下面幾個步驟(1)建立 ，用有序?qū)崝?shù)對(x，y)表示曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo).(2)寫出適合條件P的點(diǎn)M的集合PM|P(M).適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系(3)用 表示條件P(M)，列出方程f(x，y)0.(4)化方程f(x，y)0為 .(5)證明以化簡后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上.3.求曲線方程(軌跡方程)的常用方法有 、定義法、參數(shù)法、待定系數(shù)法.坐標(biāo)最簡形式直接法代入法要點(diǎn)一直接法求曲線方程例1已知一條直線l和它上方的一個點(diǎn)F，點(diǎn)F到l的距離是2.一條曲線也在l的上方，它上面的每一點(diǎn)到F的距離減去到l的距離的差都是2，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求這條曲線的方程.解如圖所示，取直線l為x軸，過點(diǎn)F且垂直于直線l的直線為y軸，建立坐標(biāo)系xOy.設(shè)點(diǎn)M(x，y)是曲線上任意一點(diǎn)，作MBx軸，垂足為B，那么點(diǎn)M屬于集合PM|MFMB2.將式移項(xiàng)后兩邊平方，得x2(y2)2(y2)2，因?yàn)榍€在x軸的上方，所以y0.雖然原點(diǎn)O的坐標(biāo)(0,0)是這個方程的解，但不屬于已知曲線，規(guī)律方法直接法是求軌跡方程的最基本的方法，根據(jù)所滿足的幾何條件，將幾何條件M|p(M)直接翻譯成x，y的形式F(x，y)0，然后進(jìn)行等價(jià)變換，化簡為f(x，y)0.要注意軌跡上的點(diǎn)不能含有雜點(diǎn)，也不能少點(diǎn)，也就是說曲線上的點(diǎn)一個也不能多，一個也不能少.跟蹤演練1已知在直角三角形ABC中，角C為直角，點(diǎn)A(1,0)，點(diǎn)B(1,0)，求滿足條件的點(diǎn)C的軌跡方程.解如圖，設(shè)C(x，y)，(x1)(x1)y20.化簡得x2y21.A、B、C三點(diǎn)要構(gòu)成三角形，A、B、C不共線，y0，點(diǎn)C的軌跡方程為x2y21(y0).要點(diǎn)二定義法求曲線方程例2已知圓C：(x1)2y21，過原點(diǎn)O作圓的任意弦，求所作弦的中點(diǎn)的軌跡方程.解如圖，設(shè)OQ為過O點(diǎn)的一條弦，P(x，y)為其中點(diǎn)，則CPOQ，設(shè)M為OC的中點(diǎn)，OPC90，規(guī)律方法如果動點(diǎn)的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可依據(jù)定義結(jié)合條件寫出動點(diǎn)的軌跡方程.利用定義法求軌跡要善于抓住曲線的定義特征.跟蹤演練2已知定長為6的線段，其端點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸上移動，線段AB的中點(diǎn)為M，求M點(diǎn)的軌跡方程.解作出圖象如圖所示，所以M點(diǎn)的軌跡為以原點(diǎn)O為圓心，以3為半徑的圓，故M點(diǎn)的軌跡方程為x2y29.要點(diǎn)三代入法求曲線方程例3已知動點(diǎn)M在曲線x2y21上移動，M和定點(diǎn)B(3，0)連線的中點(diǎn)為P，求P點(diǎn)的軌跡方程.解設(shè)P(x，y)，M(x0，y0)，P為MB的中點(diǎn).又M在曲線x2y21上，規(guī)律方法代入法求軌跡方程就是利用所求動點(diǎn)P(x，y)與相關(guān)動點(diǎn)Q(x0，y0)坐標(biāo)間的關(guān)系式，且Q(x0，y0)又在某已知曲線上，則可用所求動點(diǎn)P的坐標(biāo)(x，y)表示相關(guān)動點(diǎn)Q的坐標(biāo)(x0，y0)，即利用x，y表示x0，y0，然后把x0，y0代入已知曲線方程即可求得所求動點(diǎn)P的軌跡方程.跟蹤演練3已知圓C：x2(y3)29.過原點(diǎn)作圓C的弦OP，求OP的中點(diǎn)Q的軌跡方程.解方法一(直接法)如圖，因?yàn)镼是OP的中點(diǎn)，所以O(shè)QC90.設(shè)Q(x，y)，由題意，得OQ2QC2OC2，即x2y2x2(y3)29，方法二(定義法)如圖所示，因?yàn)镼是OP的中點(diǎn)，所以O(shè)QC90，則Q在以O(shè)C為直徑的圓上，故Q點(diǎn)的軌跡方程為方法三(代入法)解析注意當(dāng)點(diǎn)C與A、B共線時(shí)，不符合題意，應(yīng)去掉.一條直線(C不與A、B共線)2.在第四象限內(nèi)，到原點(diǎn)的距離等于2的點(diǎn)M的軌跡方程是_.解析設(shè)M(x，y)，由MO2得，x2y24，又點(diǎn)M在第四象限，3.到直線4x3y50的距離為1的點(diǎn)的軌跡方程為_.解析可設(shè)動點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，即|4x3y5|5.所求軌跡為4x3y100和4x3y0.4x3y100和4x3y04.設(shè)A為圓(x1)2y21上的動點(diǎn)，PA是圓的切線，且PA1，則動點(diǎn)P的軌跡方程是_.解析圓(x1)2y21的圓心為B(1,0)，半徑r1，則PB2PA2r2.PB22.P的軌跡方程為(x1)2y22.(x1)2y22課堂小結(jié)1.坐標(biāo)系建立的不同，同一曲線的方程也不相同.2.一般地，求哪個點(diǎn)的軌跡方程，就設(shè)哪個點(diǎn)的坐標(biāo)是(x，y)，而不要設(shè)成(x1，y1)或(x，y)等.3.方程化簡到什么程度，課本上沒有給出明確的規(guī)定，一般指將方程f(x，y)0化成x，y的整式.如果化簡過程破壞了同解性，就需要剔除不屬于軌跡上的點(diǎn)，找回屬于軌跡而遺漏的點(diǎn).求軌跡時(shí)需要說明所表示的是什么曲線，求軌跡方程則不必說明.4.“軌跡”與“軌跡方程”是兩個不同的概念：求軌跡方程只要求出方程即可；而求軌跡則應(yīng)先求出軌跡方程，再說明軌跡的形狀.