2012高考數學 沖刺必考專題解析 數學開放性問題問題

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1、 數學開放性問題怎么解 數學開放性問題是近年來高考命題的一個新方向,其解法靈活且具有一定的探索性,這類題型按解題目標的操作模式分為:規(guī)律探索型,問題探究型,數學建模型,操作設計型,情景研究型.如果未知的是解題假設,那么就稱為條件開放題;如果未知的是解題目標,那么就稱為結論開放題;如果未知的是解題推理,那么就稱為策略開放題.當然,作為數學高考題中的開放題其“開放度”是較弱的,如何解答這類問題,還是通過若干范例加以講解. 例 1 設等比數列的公比為 ，前 項和為 ，是否存在常數 ，使數列 也成等比數列？若存在，求出常數；若不存在，請 明 理 由. 講解 存

2、在型開放題的求解一般是從假設存在入手, 逐步深化解題進程的. 設存在常數， 使數列 成等比數列. (i) 當 時， 代入上式得 即=0 但, 于是不存在常數 ，使成等比數列. (ii) 當 時，， 代 入 上 式 得 . 綜 上 可 知 , 存 在 常 數 ，使成等比數列. 等比數列n項求和公式中公比的分類, 極易忘記公比的 情 形, 可 不 要 忽 視 啊 ! 例2 某機床廠今年年初用98萬元購進一臺數控機床，并立即投入生產使用，計劃第一年維修、保養(yǎng)費用12萬元，從第二年

3、開始，每年所需維修、保養(yǎng)費用比上一年增加4萬元，該機床使用后，每年的總收入為50萬元，設使用x年后數控機床的盈利額為y萬元. （1）寫出y與x之間的函數關系式； （2）從第幾年開始，該機床開始盈利（盈利額為正值）； (3 ) 使用若干年后，對機床的處理方案有兩種： (i )當年平均盈利額達到最大值時，以30萬元價格處理該機床； (ii )當盈利額達到最大值時，以12萬元價格處理該機床，問用哪種方案處理較為合算？請說明你的理由. 講解 本例兼顧應用性和開放性, 是實際工作中經常遇到的問題. （1） =.

4、 （2）解不等式 ＞0, 得 ＜x＜. ∵　x∈N， 　∴　3 ≤x≤ 17. 故從第3年工廠開始盈利. （3）(i) ∵　≤40 當且僅當時，即x=7時，等號成立. ∴　到2008年，年平均盈利額達到最大值，工廠共獲利12×7+30=114萬元. (ii)　　y=-2x2+40x-98= -2（x-10）2 +102， 當x=10時，ymax=102. 故到2011年，盈利額達到最大值，工廠共獲利102+12=114萬元. 解答函數型最優(yōu)化實際應用題，二、三元均值不等式是常用的工具. 例3 已知函數f(x

5、)= (x<-2) (1)求f(x)的反函數f-1(x); (2)設a1=1,=-f-1(an)(n∈N),求an; (3)設Sn=a12+a22+…+an2,bn=Sn+1-Sn是否存在最小正整數m,使得對任意n∈N,有bn<成立？若存在，求出m的值；若不存在說明理由. 講解 本例是函數與數列綜合的存在性問題, 具有一定的典型性和探索性. (1) y=, ∵x<-2，∴x= -, 即y=f-1(x)= - (x>0). (2) ∵ , ∴=4. ∴{}是公差為4的等差數列. ∵a1=1, ∴=+4(n-1)=4n-3. ∵

6、an>0 , ∴an=. (3) bn=Sn+1-Sn=an+12=, 由bn<,得 m>對于n∈N成立. ∵≤5 , ∴m>5,存在最小正數m=6,使得對任意n∈N有bn<成立. 為了求an ,我們先求,這是因為{}是等差數列, 試問: 你能夠想到嗎? 該題是構造等差數列的一個典范. 例4 已知數列在直線x-y+1=0上. （1） 求數列{an}的通項公式； （2）若函數 求函數f(n)的最小值； (3)設表示數列{bn}的前n項和.試問:是否存在關于n 的整式g(n), 使得對于一切不小于2的自然數n恒成立?若存在,寫出g(n)的解析式,并加

7、以證明;若不存在,說明理由. 講解 從 規(guī) 律 中 發(fā) 現 ,從 發(fā) 現 中 探 索. （1） （2） , , . （3）, . 故存在關于n的整式使等式對于一切不小2的自然數n恒成立. 事實上, 數列{an}是等差數列, 你知道嗎？ 例5 深夜，一輛出租車被牽涉進一起交通事故，該市有兩家出租車公司——紅色出租車公司和藍色出租車公司，其中藍色出租車公司和紅色出租車公司分別占整個城市出租車的85%和15%。據現場目擊證人說，事故現場的出租車是紅色，并對證人的辨別能力作

8、了測試，測得他辨認的正確率為80%，于是警察就認定紅色出租車具有較大的肇事嫌疑. 請問警察的認定對紅色出租車公平嗎？試說明理由. 講解 設該城市有出租車1000輛，那么依題意可得如下信息： 證人所說的顏色（正確率80%） 真 實 顏 色 藍色 紅色 合計 藍色（85%） 680 170 850 紅色（15%） 30 120 150 合計 710 290 1000 從表中可以看出，當證人說出租車是紅色時，且它確實是紅色的概率為，而它是藍色的概率為. 在這種情況下，以證人的證詞作為推斷的依據對紅色出租車顯然是不公平的. 本題的情景清新,

9、 涉及到新教材中概率的知識, 上述解法中的列表技術顯示了一定的獨特性, 在數學的應試復課中似乎是很少見的. 例6 向明中學的甲、乙兩同學利用暑假到某縣進行社會實踐，對該縣的養(yǎng)雞場連續(xù)六年來的規(guī)模進行調查研究，得到如下兩個不同的信息圖： （A）圖表明：從第1年平均每個養(yǎng)雞場出產1萬只雞上升到第6年平均每個養(yǎng)雞場出產2萬只雞; （B）圖表明：由第1年養(yǎng)雞場個數30個減少到第6年的10個. 請你根據提供的信息解答下列問題： （1）第二年的養(yǎng)雞場的個數及全縣出產雞的總只數各是多少？ （2）哪一年的規(guī)模最大？為什

10、么？ 講解 （1）設第n年的養(yǎng)雞場的個數為，平均每個養(yǎng)雞場出產雞萬只， 由圖（B）可知, =30，且點在一直線上， 從而 由圖（A）可知, 且點在一直線上， 于是 =（萬只），（萬只） 第二年的養(yǎng)雞場的個數是26個，全縣出產雞的總只數是31.2萬只； （2）由（萬只）， 第二年的養(yǎng)雞規(guī)模最大，共養(yǎng)雞31.2萬只. 有時候我們需要畫出圖形, 有時候我們卻需要從圖形中采集必要的信息, 這正反映了一個事物的兩個方面. 看來, 讀圖與識圖的能力是需要不斷提升的. 例7 已知動圓過定點P（1，0），且與定直線相切，點C在l上. （1）求動圓圓心的

11、軌跡M的方程； （2）設過點P，且斜率為－的直線與曲線M相交于A，B兩點. （i）問：△ABC能否為正三角形？若能，求點C的坐標；若不能，說明理由； （ii）當△ABC為鈍角三角形時，求這種點C的縱坐標的取值范圍. 講解 本例主要考查直線、圓與拋物線的基本概念及位置關系，是解析幾何中的存在性問題. （1）由曲線M是以點P為焦點，直線l為準線的拋物線，知曲線M的方程為. （2）（i）由題意得，直線AB的方程為 消y得 于是, A點和B點的坐標分別為A，B（3，）， (3，) 假設存在點C（－1，y），使△ABC為正三角形，則|BC|=|

12、AB|且|AC|=|AB|， 即有 ① ② 由①－②得 因為不符合①，所以由①，②組成的方程組無解. 故知直線l上不存在點C，使得△ABC是正三角形. （ii）設C（－1，y）使△ABC成鈍角三角形， 由 即當點C的坐標是（－1，）時，三點A，B，C共線，故. ， ， . (i) 當，即， 即為鈍角. (ii) 當，即， 即為鈍角. (iii)當，即， 即. 該不等式無解，所以∠ACB不可能為鈍角. 故當△ABC為鈍角三角形時，點C的縱坐標y的取值范圍是. 需要提及的是, 當△ABC為鈍角三角形時

13、, 鈍角的位置可能有三個,需要我們進行一一探討. 例8 已知是定義在R上的不恒為零的函數，且對于任意的a，b∈R都滿足關系式 . （1）求f（0），f（1）的值； （2）判斷的奇偶性，并證明你的結論； （3）若，求數列{un}的前n項的和Sn. 講解 本題主要考查函數和數列的基本知識，考查從一般到特殊的取特值求解技巧. （1）在中,令得 . 在中,令得 ，有 . （2）是奇函數,這需要我們進一步探索. 事實上

14、 故為奇函數. （2） 從規(guī)律中進行探究,進而提出猜想. 由 , ……………………………… 猜測 . 于是我們很易想到用數學歸納法證明. 1° 當n=1時，，公式成立； 2°假設當n=k時，成立，那么當n=k+1時， ，公式仍然成立. 綜上可知，對任意成立. 從而 . ，. 故 例9 若、， (1)求證：； (2)令，寫出、、、的值，觀察并歸納出這個數列的通項公式； (3)證明：存在不等于零的常數p，使是等

15、比數列，并求出公比q的值. 講解 (1)采用反證法. 若，即, 解得 從而與題設,相矛盾， 故成立. (2) 、、、、, . （3）因為 又, 所以, 因為上式是關于變量的恒等式，故可解得、. 我們證明相等的問題太多了,似乎很少見到證明不相等的問題,是這樣嗎? 例10 如圖，已知圓A、圓B的方程分別是動圓P與圓A、圓B均外切，直線l的方程為：． （1）求圓P的軌跡方程，并證明：當時，點P到點B的距離與到定直線l距離的比為定值； （2） 延長PB與點P的軌跡交于另一點Q，求的最小值； （3）如果存在某一位置，使得PQ的中點R在l上的射影C，滿足

16、求a的取值范圍． 講解（1）設動圓P的半徑為r，則｜PA｜＝ｒ＋，｜PB| = r + ， ∴ |PA| －｜PB| = 2． ∴ 點P的軌跡是以A、B為焦點，焦距為4，實軸長為2的雙曲線的右準線的右支，其方程為 （x ≥1）．若 , 則l的方程為雙曲線的右準線, ∴點P到點B的距離與到l的距離之比為雙曲線的離心率e = 2. (2)若直線PQ的斜率存在，設斜率為k，則直線PQ的方程為y = k ( x－2 )代入雙曲線方程, 得 由　 ，　解得＞３．　 ∴ ｜PQ｜＝．　 當直線的斜率存在時，，得，｜PQ|＝６． ∴?。黀Q|的最小值為６．　 （3）當PQ⊥QC時，P、C、Q構成Rt△. ∴ R到直線l的距離｜RC|＝ ① 又　∵ 　點P、Q都在雙曲線上， ∴　?。? ∴　　，即　?。? ∴　　　②　 將②代入①得　，｜PQ｜＝２－４a≥6． 故有ａ≤－１． “如果存在”并不意味著一定存在, 如何修改本題使其成為不存在的范例呢? 問題的提出既能延伸我們的思緒, 更能完善我們的知識技能, 無形中使解題能力得到逐漸的提升. 10 用心 愛心 專心