《（浙江專用）2019年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第四章 圖形的認識 4.3 等腰三角形與直角三角形（試卷部分）課件.ppt》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（浙江專用）2019年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第四章 圖形的認識 4.3 等腰三角形與直角三角形（試卷部分）課件.ppt（128頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第四章 圖形的認識 4.3等腰三角形與直角三角形,中考數(shù)學(xué) (浙江專用),1.(2017湖州,6,4分)如圖,已知在RtABC中,C=90,AC=BC,AB=6,點P是RtABC的重心,則點P到AB所在直線的距離等于() A.1B.C.D.2,考點一 等腰三角形,A組 2014-2018年浙江中考題組,五年中考,答案A,如圖,連接CP并延長交AB于D,連接BP并延長交AC于E,且延長到F,使EF=PE,連接AF, C=90,AC=BC,AB=6, AC=BC=3, P為ABC的重心, CE=AE,AD=DB, CD=AB=3,CDB=90. 在AEF和CEP中,, AEFCEP. FAE=EC
2、P=45,CP=AF=3-DP. FAD=90, CDFA, BPDBFA. =. =. PD=1. 故選A.,關(guān)鍵提示三角形的重心是三條中線的交點.,2.(2017杭州,10,3分)如圖,在ABC中,AB=AC,BC=12,E為AC邊的中點,線段BE的垂直平分線交邊BC于點D.設(shè)BD=x,tanACB=y,則() A.x-y2=3 B.2x-y2=9 C.3x-y2=15D.4x-y2=21,答案B如圖,過A作AMBC于M,過E作ENBC于N,連接ED. E為AC的中點,AMEN,,EN=,MN=, AB=AC,AMBC,,CM==6,MN=3, tanACB==y, AM=6y,EN=3y
3、, 直線DF是線段BE的垂直平分線, ED=BD=x,DE2=DN2+EN2, x2=(9-x)2+(3y)2,即2x-y2=9,此題選B.,3.(2016杭州,9,3分)已知直角三角形紙片的兩條直角邊長分別為m和n(m
4、.,關(guān)鍵提示本題考查直角三角形與等腰三角形,涉及等式變形,關(guān)鍵是畫出草圖,挖掘條件.,4.(2017麗水,10,3分)等腰三角形的一個內(nèi)角為100,則頂角的度數(shù)是.,答案100,解析10090, 100的角是頂角, 故答案為100.,5.(2016杭州,14,4分)在菱形ABCD中,A=30,在同一平面內(nèi),以對角線BD為底邊作頂角為120的等腰三角形BDE,則EBC的度數(shù)為.,答案45或105,解析根據(jù)題意,知點E所在位置有2種可能,如圖. 四邊形ABCD是菱形,且A=30, ABC=150,BD平分ABC, CBD=75, 又以DB為底邊的等腰三角形DBE的頂角DEB=120, EDB=EB
5、D=30,EBC=75-30=45或EBC=30+75=105.,解題關(guān)鍵 解題的關(guān)鍵是畫出草圖,并對點E所處位置進行分類討論.,評析本題考查菱形和等腰三角形的性質(zhì),以及分類討論思想.,6.(2015紹興,13,5分)由于木質(zhì)的衣架沒有柔性,在掛置衣服的時候不太方便操作.小敏設(shè)計了一種衣架,在使用時能輕易收攏,然后套進衣服后松開即可.如圖1,衣架桿OA=OB=18 cm.當(dāng)衣架收攏時,AOB=60,如圖2,則此時A,B兩點間的距離是 cm.,答案18,解析OA=OB=18 cm,收攏后,AOB=60,連接AB,則AOB是正三角形,故AB=18 cm.,7.(2015嘉興、舟山,14,4分)已知
6、一張三角形紙片ABC,AB=AC=5.如圖,折疊該紙片,使點A落在BC的中點上,折痕交AC、AB分別于點E、F,則AE的長為.,答案2.5,解析連接AA,設(shè)AA與EF交于點O.折疊問題就是軸對稱問題,所以EF所在直線是AA的中垂線,又由等腰三角形的性質(zhì)可知AABC,所以EFBC,又AO=AO,所以EF是ABC的中位線.所以AE=AC=2.5.,解題關(guān)鍵證出EF是ABC的中位線是解題的關(guān)鍵.,8.(2018杭州,21,10分)如圖,在ABC中,ACB=90,以點B為圓心,BC長為半徑畫弧,交線段AB于點D;以點A為圓心,AD長為半徑畫弧,交線段AC于點E,連接CD. (1)若A=28,求ACD的
7、度數(shù); (2)設(shè)BC=a,AC=b. 線段AD的長是方程x2+2ax-b2=0的一個根嗎?說明理由; 若AD=EC,求的值.,解析(1)ACB=90,A=28, B=62, 由題意知BD=BC, BCD=BDC=59, ACD=90-BCD=31. (2)線段AD的長是方程x2+2ax-b2=0的一個根.理由如下: 由勾股定理得AB==, AD=-a, 解方程x2+2ax-b2=0,得x==-a, 線段AD的長是方程x2+2ax-b2=0的一個根. AD=AE,AD=EC, AE=EC=, 由勾股定理得a2+b2=,整理得=.,思路分析(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出B,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求
8、出BCD,根據(jù) ACD為BCD的余角計算即可;(2)根據(jù)勾股定理求出AB,進而得到AD,利用求根公式解 方程,比較即可;根據(jù)勾股定理及等量關(guān)系列出等式,化簡、整理即可.,方法總結(jié)本題考查的是勾股定理、一元二次方程的解法,掌握一元二次方程的求根公式、熟練應(yīng)用勾股定理是解題的關(guān)鍵.,1.(2016寧波,12,4分)下圖是一個由5張紙片拼成的平行四邊形,相鄰紙片之間互不重疊也無縫隙,其中兩張等腰直角三角形紙片的面積都為S1,另兩張直角三角形紙片的面積都為S2,中間一張正方形紙片的面積為S3,則這個平行四邊形的面積一定可以表示為() A.4S1B.4S2C.4S2+S3D.3S1+4S3,考點二 直角
9、三角形,答案A設(shè)等腰直角三角形紙片的直角邊長為a,中間一張正方形紙片的邊長為m,則S1=a2, S3=m2,S2=(a-m)(a+m)=(a2-m2),S2=(2S1-S3),即S3=2S1-2S2,所求平行四邊形的面積為2S1+ 2S2+S3=2S1+2S2+(2S1-2S2)=4S1.故選A.,解題關(guān)鍵解決本題的關(guān)鍵是引入字母表示出紙片的邊長,從而找出S1、S2、S3之間的關(guān)系.,2.(2015溫州,9,4分)如圖,在RtAOB的平分線ON上依次取點C,F,M,過點C作DEOC,分別交OA,OB于點D,E,以FM為對角線作菱形FGMH.已知DFE=GFH=120,FG=FE.設(shè)OC=x,圖
10、中陰影部分面積為y,則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是() A.y=x2B.y=x2C.y=2x2D.y=3x2,答案BON是RtAOB的平分線,DEOC, DCO、ECO、ODE是等腰直角三角形,且OC=DC=CE. OC=x,DE=2x. 易得DF=EF,從而EDF=DEF. DFE=120,EDF=30. CF=x.SDEF=2xx=x2. 在菱形FGMH中,GFH=120,又FG=FE, S菱形FGMH=2SDEF. y=3SDEF=x2.故選B.,解題關(guān)鍵分析出S菱形FGMH=2SDEF,并用含x的式子表示出DE和CF的長是解題的關(guān)鍵.,3.(2015臺州,8,4分)如果將長為6 cm,寬為
11、5 cm的長方形紙片折疊一次,那么這條折痕的長不可能是() A.8 cmB.5 cm C.5.5 cm D.1 cm,答案A因為矩形的最長折痕是對角線,對角線長== cm<8 cm,故選A.,4.(2017麗水,13,3分)我國三國時期數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理,創(chuàng)造了一幅“弦圖”,后人稱其為“趙爽弦圖”,如圖1所示.在圖2中,若正方形ABCD的邊長為14,正方形IJKL的邊長為2,且IJAB,則正方形EFGH的邊長為 .,答案10,解析題圖2中有8個全等的直角三角形,每個的面積為(1414-22)8=(196-4)8=1928=24, 則正方形EFGH的面積為244+22=96+4=100,
12、 正方形EFGH的邊長為=10. 故答案為10.,方法指導(dǎo)求得正方形EFGH的面積即可求出其邊長.,5.(2016溫州,15,5分)七巧板是我們祖先的一項卓越創(chuàng)造,被譽為“東方魔板”.小明利用七巧板(如圖1所示)中各塊板的邊長之間的關(guān)系將其拼成一個凸六邊形(如圖2所示),則該凸六邊形的周長是cm.,答案32+16,解析如圖,由題圖1可得,AB=BC=8 cm,CD=AH=8 cm,DE=EF=FG=GH=4 cm, 凸六邊形的周長=8+8+8+4+4+4+4+8=(32+16)cm.,方法指導(dǎo)分析圖形的構(gòu)成,找等量關(guān)系.,6.(2017臺州,24,14分)在平面直角坐標(biāo)系中,借助直角三角板可以
13、找到一元二次方程的實數(shù)根,比如對于方程x2-5x+2=0,操作步驟是: 第一步:根據(jù)方程系數(shù)特征,確定一對固定點A(0,1),B(5,2); 第二步:在坐標(biāo)平面中移動一個直角三角板,使一條直角邊恒過點A,另一條直角邊恒過點B; 第三步:在移動過程中,當(dāng)三角板的直角頂點落在x軸上點C處時,點C 的橫坐標(biāo)m即為該方程的一個實數(shù)根(如圖1); 第四步:調(diào)整三角板直角頂點的位置,當(dāng)它落在x軸上另一點D處時,點D 的橫坐標(biāo)n即為該方程的另一個實數(shù)根. (1)在圖2 中,按照“第四步”的操作方法作出點D(請保留作出點D時直角三角板兩條直角邊的痕跡); (2)結(jié)合圖1,請證明“第三步”操作得到的m就是方程x
14、2-5x+2=0的一個實數(shù)根; (3)上述操作的關(guān)鍵是確定兩個固定點的位置,若要以此方法找到一元二次方程ax2+bx+c=0(a0,b2-4ac0)的實數(shù)根,請你直接寫出一對固定點的坐標(biāo); (4)實際上,(3)中的固定點有無數(shù)對,一般地,當(dāng)m1,n1,m2,n2與a,b,c之間滿足怎樣的關(guān)系時,點P(m1,,n1),Q(m2,n2)就是符合要求的一對固定點? 圖1 圖2,解析,圖,(1)如圖所示. (2)如圖,過點B作BDx軸,交x軸于點D. 據(jù)題意可證AOCCDB, =, =.,圖,m(5-m)=2,m2-5m+2=0. m是方程x2-5x+2=0的實數(shù)根. (3)方程ax2+bx
15、+c=0(a0)可化為 x2+x+=0. 模仿可得A(0,1),B或A,B等.,說明:當(dāng)點A在y軸上時,寫出形如A(0,t),B(t0)的即可.,圖,(4)如圖,P(m1,n1),Q(m2,n2). 解法一:設(shè)方程的根為x,根據(jù)三角形相似可得=, 上式可化為x2-(m1+m2)x+m1m2+n1n2=0, 又ax2+bx+c=0,即x2+x+=0,,比較系數(shù)可得m1+m2=-, m1m2+n1n2=. 解法二:=-, m1+m2=-, 根據(jù)三角形相似可得=, 上式可化為m1m2+n1n2=.,7.(2015臺州,24,14分)定義:如圖1,點M,N把線段AB分割成AM,MN和BN,若以AM,M
16、N,BN為邊的三角形是一個直角三角形,則稱點M,N是線段AB的勾股分割點. (1)已知點M,N是線段AB的勾股分割點,若AM=2,MN=3求BN的長; (2)如圖2,在ABC中,FG是中位線,點D,E是線段BC的勾股分割點,且ECDEBD,連接AD,AE分別交FG于點M,N,求證:點M,N是線段FG的勾股分割點; (3)已知點C是線段AB上的一定點,其位置如圖3所示,請在BC上畫一點D,使C,D是線段AB的勾股分割點(要求尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,畫出一種情形即可); (4)如圖4,已知點M,N是線段AB的勾股分割點,MNAMBN,AMC,MND和NBE均是等邊三角形,AE分別交CM,DM,DN
17、于點F,G,H,若H是DN的中點,試探究SAMF,SBEN和S四邊形MNHG的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.,,解析(1)當(dāng)MN為最長線段時, 點M,N是線段AB的勾股分割點, BN===. 當(dāng)BN為最長線段時, 點M,N是線段AB的勾股分割點, BN===. 綜上,BN=或. (2)證明:FG是ABC的中位線,FGBC. ===1. 點M,N分別是AD,AE的中點. BD=2FM,DE=2MN,EC=2NG. 點D,E是線段BC的勾股分割點,且ECDEBD, EC2=BD2+DE2. (2NG)2=(2FM)2+(2MN)2.,NG2=FM2+MN2. 點M,N是線段FG的勾股分割點. (3)如圖.
18、 (4)S四邊形MNHG=SAMF+SBEN. 理由:設(shè)AM=a,BN=b,MN=c, H是DN的中點,DH=HN=c. MND,BNE均為等邊三角形, D=DNE=60.,又DHG=NHE,DH=HN, DGHNEH. DG=EN=b.MG=c-b. GMEN,AGMAEN.=.=. c2=2ab-ac+bc. 點M,N是線段AB的勾股分割點,且MNAMBN, c2=a2+b2. a2+b2=2ab-ac+bc,整理得(a-b)(a-b+c)=0, 又a-b+c0,a=b. 在DGH和CAF中,D=C,DG=CA,DGH=CAF, DGHCAF. SDGH=SCAF. c2=a2+b2,c2
19、=a2+b2. SDMN=SACM+SENB.,SDMN=SDGH+S四邊形MNHG,SACM=SCAF+SAMF, S四邊形MNHG=SAMF+SBEN.,8.(2014溫州,22,8分)勾股定理神秘而美妙,它的證法多樣,其巧妙各有不同,其中的“面積法”給了小聰以靈感.他驚喜地發(fā)現(xiàn):當(dāng)兩個全等的直角三角形如圖1或圖2擺放時,都可以用“面積法”來證明.下面是小聰利用圖1證明勾股定理的過程. 將兩個全等的直角三角形按圖1所示擺放,其中DAB=90.求證:a2+b2=c2. 圖1 證明:連接DB,過點D作CBD的BC邊上的高DF,則DF=EC=b-a. S四邊形A
20、DCB=SACD+SABC=b2+ab, 又S四邊形ADCB=SADB+SDCB=c2+a(b-a),,b2+ab=c2+a(b-a). a2+b2=c2. 請參照上述證法,利用圖2完成下面的證明. 將兩個全等的直角三角形按圖2所示擺放,其中DAB=90. 求證:a2+b2=c2. 證明:連接. S五邊形ACBED=,,圖2,又S五邊形ACBED=, . a2+b2=c2.,證明,連接BD,過點B作BDE的DE邊上的高BF,則BF=b-a, S五邊形ACBED=SACB+SABE+SADE =ab+b2+ab,,又S五邊形ACBED=SACB+SABD+SBDE =ab+c2+a(b-a),
21、ab+b2+ab=ab+c2+a(b-a), a2+b2=c2.,評析本題主要考查了勾股定理的證明,表示出五邊形面積是解題關(guān)鍵.,1.(2017湖北武漢,10,3分)如圖,在RtABC中,C=90,以ABC的一邊為邊畫等腰三角形,使得它的第三個頂點在ABC的其他邊上,則可以畫出的不同的等腰三角形的個數(shù)最多為 ( ) A.4B.5C.6D.7,考點一 等腰三角形,B組 2014-2018年全國中考題組,答案D如圖1,以B為圓心,BC長為半徑畫弧,交AB于點D,則BCD就是等腰三角形; 如圖2,以A為圓心,AC長為半徑畫弧,交AB于點E,則ACE就是等腰三角形; 如圖3,以C為圓心,BC長為半徑畫
22、弧,交AB于點M,交AC于點F,則BCM、BCF就是等腰三角形; 如圖4,作AC的垂直平分線交AB于點H,則ACH就是等腰三角形;,如圖5,作AB的垂直平分線交AC于點G,則AGB就是等腰三角形; 如圖6,作BC的垂直平分線交AB于I,則BCI就是等腰三角形. 故選D.,2.(2018安徽,14,5分)矩形ABCD中,AB=6,BC=8.點P在矩形ABCD的內(nèi)部,點E在邊BC上,滿足PBEDBC.若APD是等腰三角形,則PE的長為.,答案3或,解析在矩形ABCD中,AD=BC=8,在ABD中,由勾股定理可得BD==10,AB
23、相似可得==PE=; 當(dāng)AP=PD時,P點為BD的中點,PE=CD=3,故答案為3或.,思路分析根據(jù)AB
24、,BC=3,BF=1,FC=2. 易證ABFFCE,AF=EF,AFB=FEC, FEC+EFC=90,AFB+EFC=90,AFE=90. AEF是等腰直角三角形,cosAEF=cos 45=.,4.(2016寧夏,21,6分)在等邊ABC中,點D,E分別在邊BC,AC上,若CD=2,過點D作DEAB,過點E作EFDE,交BC的延長線于點F.求EF的長.,解析ABC為等邊三角形, A=B=ACB=60, DEAB, EDF=B=60,DEC=A=60, CDE為等邊三角形, DE=CD=2.(4分) EFDE,DEF=90, 在RtDEF中,EF=DEtan 60=2.(6分),1.(201
25、7內(nèi)蒙古包頭,12,3分)如圖,在RtABC中,ACB=90,CDAB,垂足為D,AF平分CAB,交CD于點E,交CB于點F.若AC=3,AB=5,則CE的長為() A.B.C.D.,考點二 直角三角形,答案A過F作FGAB于點G, AF平分CAB,ACB=90,FC=FG. 易證ACFAGF,AC=AG. 5+6=90,B+6=90,5=B. 3=1+5,4=2+B,1=2, 3=4,CE=CF. AC=3,AB=5,BC=4. 在RtBFG中,設(shè)CF=x(x0), 則FG=x,BF=4-x.BG=AB-AG=5-3=2.,由BF2=FG2+BG2,得(4-x)2=x2+22,解得x=,CE
26、=CF=.選A.,2.(2014山西,4,3分)下圖是我國古代數(shù)學(xué)家趙爽在為周髀算經(jīng)作注解時給出的“弦圖”,它解決的數(shù)學(xué)問題是() A.黃金分割B.垂徑定理 C.勾股定理D.正弦定理,答案C中國是發(fā)現(xiàn)和研究勾股定理最古老的國家.周髀算經(jīng)記載了古代數(shù)學(xué)家趙爽證明勾股定理的“弦圖”.故選C.,3.(2014江蘇揚州,8,3分)如圖,在四邊形ABCD中,AB=AD=6,ABBC,ADCD,BAD=60,點M、N分別在AB、AD邊上,若AMMB=ANND=12,則tanMCN=() A.B.C.D.-2,答案A連接MN,AC,在RtABC與RtADC中,AB=AD,AC=AC,所以RtABCRtADC
27、,因為BAD=60,所以BAC=DAC=30,在RtABC中,AB=6,BAC=30,所以BC=2,因為 AMBM=12,所以AM=2,BM=4,在RtBCM中,BM=4,BC=2,所以MC=2. 同理可得NC=2,又AMN為等邊三角形, 所以MN=2,過M點作MHCN,垂足為H,所以CM2-CH2=MN2-HN2. 設(shè)CH=x,則(2)2-x2=22-(2-x)2, 解得x=, 在RtHCM中,CM=2,CH=, 所以MH=,所以tanMCN===.故選A.,解題關(guān)鍵解決本題的關(guān)鍵是構(gòu)造包含MCN的直角三角形.,4.(2017安徽,14,5分)在三角形紙片ABC中,A=90,C=30,AC=
28、30 cm.將該紙片沿過點B的直線折疊,使點A落在斜邊BC上的一點E處,折痕記為BD(如圖1),剪去CDE后得到雙層BDE(如圖2),再沿著過BDE某頂點的直線將雙層三角形剪開,使得展開后的平面圖形中有一個是平行四邊形.則所得平行四邊形的周長為cm.,答案40或(只寫出一個正確答案得3分),解析由已知可知ADBEDB,又A=90,C=30,所以ABD=EBD=C=30,則CD=BD,設(shè)AD=DE=x cm,則CD=(30-x)cm,在直角三角形ABD中,sin 30===,解得x=10,所 以BD=20 cm,AB=10 cm.經(jīng)分析可知滿足題意的剪法有以下兩種:取BD的中點F,連接EF, A
29、F,沿EF剪開所得四邊形ADEF是平行四邊形,也是菱形,其邊長DE為10 cm,故其周長為40 cm;作EDB的平分線DM,沿DM剪開所得四邊形是平行四邊形,也是菱形,其邊長DM== = cm,故其周長為4= cm.綜上,所求周長為40 cm或 cm.,思路分析由軸對稱的性質(zhì)得ADBEDB,由已知可求AD,AB,BD,考慮到在三角形BDE中,BED=90,EBD=30,BDE=60,故沿BD上的中線或EDB的平分線剪開可得平行四邊形,且都為菱形,求出邊長即可求得周長.,5.(2017湖北武漢,15,3分)如圖,在ABC中,AB=AC=2,BAC=120,點D,E都在邊BC上, DAE=60.若
30、BD=2CE,則DE的長為.,答案3-3,解析如圖,將ABD沿AD翻折得AFD,連接EF, AB=AF=AC,BD=DF,AFD=B=30, BAC=120,DAE=60,BAD+CAE=60, 又BAD=FAD,FAD+CAE=60,CAE=FAE, ACEAFE(SAS),CE=EF,AFE=C=30, DFE=60. 過點E作EHDF,交DF于點H,過點A作AMBC,交BC于點M. 設(shè)CE=2x, 則BD=2CE=4x,EF=2x,DF=4x,FH=x,EH=x,DH=3x, 又BC=2BM=2ABcos 30=6,DE=6-6x, 在RtDEH中,DE2=DH2+EH2,即(6-6x)
31、2=(3x)2+(x)2, 解得x1=,x2=(舍去). DE=6-6x=3-3.,一題多解將ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)120得ACF,連接EF,CF=BD.可證ADEAFE,DE=EF. ACD=B=30,FCE=60. 過點E作EHCF,交CF于點H,設(shè)CE=2x, 則BD=4x,CH=x,CF=4x,FH=3x,EH=x. 過點A作AMBC,交BC于點M, 則BC=2CM=2ACcos 30=22=6, FE=DE=6-6x, 在RtEFH中,FE2=FH2+EH2,即(6-6x)2=(3x)2+(x)2, 解得x1=,x2=(舍去). DE=6-6x=3-3.,6.(2018安徽,23,1
32、4分)如圖1,RtABC中,ACB=90.點D為邊AC上一點,DEAB于點E.點M為BD的中點,CM的延長線交AB于點F. (1)求證:CM=EM; (2)若BAC=50,求EMF的大小; (3)如圖2,若DAECEM,點N為CM的中點.求證:ANEM.,圖1 圖2,解析(1)證明:由已知,在RtBCD中,BCD=90,M為斜邊BD的中點, CM=BD. 又DEAB,同理,EM=BD, CM=EM.(4分) (2)由已知得,CBA=90-50=40. 又由(1)知CM=BM=EM, CME=CMD+DME=2(CBM+EBM)=2CBA=240=80, EMF=180-CME=
33、100.(9分) (3)證明:DAECEM, CME=DEA=90,DE=CM,AE=EM. 又CM=DM=EM,DM=DE=EM,DEM是等邊三角形, MEF=DEF-DEM=30. 證法一:在RtEMF中,EMF=90,MEF=30,=,,又NM=CM=EM=AE, FN=FM+NM=EF+AE=(AE+EF)=AF. ==. 又AFN=EFM,AFNEFM,NAF=MEF, ANEM.(14分) 證法二:連接AM,則EAM=EMA=MEF=15,,AMC=EMC-EMA=75, 又CMD=EMC-EMD=30,且MC=MD, ACM=(180-30)=75. 由可知AC=AM,又N為CM
34、的中點, ANCM,又EMCF,ANEM.(14分),思路分析(1)利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可證;(2)由直角三角形中兩銳角互余求出CBA,由等腰三角形的性質(zhì)可得MEB=MBE,MCB=MBC,從而可得CME=DME+CMD=2(CBM+EBM),最后由補角性質(zhì)求出EMF;(3)由DAECEM可推出DEM為等邊三角形,從而可得MEF=30,下面證ANEM有兩個思路:一是根據(jù)直角三角形30角所對直角邊等于斜邊的一半可得=,又點N是CM的中點,可推出=,從而可證 AFNEFM,進一步即可證明ANEM;二是連接AM,計算可得AMC=ACM,而N是CM的中點,從而ANCM,進一步即可證
35、明ANEM.,1.(2015陜西,6,3分)如圖,在ABC中,A=36,AB=AC,BD是ABC的角平分線.若在邊AB上截取BE=BC,連接DE,則圖中等腰三角形共有() A.2個B.3個C.4個D.5個,考點一 等腰三角形,C組 教師專用題組,答案D依題意,可知題圖中的ABC,AED,BDC,BDE,ADB為等腰三角形,則共有5個等腰三角形.故選D.,2.(2015廣西南寧,7,3分)如圖,在ABC中,AB=AD=DC,B=70,則C的度數(shù)為() A.35B.40C.45D.50,答案AAB=AD,ADB=B=70,AD=DC,C=DAC.ADB是ADC的外角,C=ADB=35.故選A.,3
36、.(2015江蘇蘇州,7,3分)如圖,在ABC中,AB=AC,D為BC中點,BAD=35,則C的度數(shù)為() A.35B.45C.55D.60,答案CAB=AC,D為BC中點,CAD=BAD=35,ADDC,在ADC中,C=90-DAC=55,故選C.,4.(2015吉林長春,6,3分)如圖,在ABC中,AB=AC,過點A作ADBC.若1=70,則BAC的大小為() A.30B.40 C.50D.70,答案BAB=AC,B=C.ADBC,1=C=70.B=70.BAC=40.故選B.,5.(2014江蘇蘇州,6,3分)如圖,在ABC中,點D在BC上,AB=AD=DC,B=80,則C的度數(shù)為 (
37、) A.30B.40C.45D.60,答案B因為AB=AD,所以B=ADB=80,因為DC=AD,所以C=CAD,又因為ADB是ACD的外角,所以ADB=C+CAD=2C,所以C=40,故選B.,6.(2018貴州貴陽,24,12分)如圖,在矩形ABCD中,AB=2,AD=,P是BC邊上的一點,且BP=2CP. (1)用尺規(guī)在圖中作出CD邊上的中點E,連接AE,BE(保留作圖痕跡,不寫作法); (2)如圖,在(1)的條件下,判斷EB是否平分AEC,并說明理由; (3)如圖,在(2)的條件下,連接EP并延長交AB的延長線于點F,連接AP.不添加輔助線,PFB能否由都經(jīng)過P點的兩次變換與PAE組成
38、一個等腰三角形?如果能,說明理由,并寫出兩種方法(指出對稱軸、旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角或平移方向和平移距離);如果不能,也請說明理由.,解析(1)如圖所示,點E為所作的點,EA,EB為所連的線段. (2)EB平分AEC,理由如下: 如題圖,由(1)及已知可知DE=1. 四邊形ABCD是矩形,AD=, 在RtADE中,tanDEA==,AE=2, DEA=60, EAB=60,AEC=180-60=120. 由作圖可知EA=EB,EAB是等邊三角形, AEB=60, CEB=120-60=60, AEB=CEB,,EB平分AEC. (3)PFB能由都經(jīng)過P點的兩次變換與PAE組成一個等腰三角形
39、,理由如下: 如題圖,BP=2CP,AD=BC=,BP=. 由題意可知,C=PBF=90,EPC=FPB, ECPFBP, ==,FB=2EC=DC=2, B是AF的中點, PB是線段AF的垂直平分線, PBFPBA. 在RtPFB中,tan F==, F=30, AEP=180-F-EAF=90. AE=AB,AP=AP,AEP=ABP=90,,RtPEARtPBA, PBFPBAPEA, 可將PFB作如下變換后與PAE組成一個等腰三角形. PFB關(guān)于PF對稱,再以點P為旋轉(zhuǎn)中心,逆時針旋轉(zhuǎn)120; PFB以點P為旋轉(zhuǎn)中心,順時針旋轉(zhuǎn)120,再關(guān)于PE對稱.,7.(2018遼寧沈陽,24,1
40、2分)已知:ABC是等腰三角形,CA=CB,0
41、BC=AC,MCB=ACN,CM=CN, BCMACN. BCMACN, MBC=NAC, EA=ED, EAD=EDA, AGBC, GAC=ACB=90,ADB=DBC, ADB=NAC, ADB+EDA=NAC+EAD=180-90=90, BDE=90.,(2)或180-. (3)4或. 詳解:(2)由E在直線AN上,可知,分兩種情況討論:如圖1,E與N在點A異側(cè),可得BDE=180-;如圖2,E與N在點A同側(cè),可得BDE=. 圖1 圖2,(3)由點N是BC邊上的三等分點可知,分兩種情況討論:如圖3,當(dāng)CN=MC=BC=2時,由AD B
42、C可得ADMCBM,=,===,AD= .由EA=ED得AN=DF, 又由BCMACN可得AN=BM.過點A作AHBC于H,由勾股定理可得,AN=.由(2)知 BDE=120BDF=60,從而可得BCMBDF,=,=,BF= , CF=BF-BC=.,圖3 圖4 如圖4,當(dāng)CN=BC=時,與同法可求得CF=4.,思路分析(1)由“邊角邊”可證三角形全等.BDE=EDA+ADM,由等邊對等角可得EAD=EDA.由BCMACN,可得CBM=CAN,由兩直線平行,內(nèi)錯角相等,可得 ADM=CBM,DAM=C=90.而CAN+EAD+DAM=180,CAN+EAD=90, BDE
43、=90. (2)分E與N在點A同側(cè)和異側(cè)兩種情況討論求解. (3)N為BC的三等分點,分類討論BN=BC和BN=BC兩種情況.,易錯警示本題的易錯點在于審題,第(2)問E在直線AN上,第(3)問點N是BC邊上的三等分點,都需要分類討論.,8.(2014溫州,20,10分)如圖,在等邊三角形ABC中,點D,E分別在邊BC,AC上,且DEAB,過點E作EFDE,交BC的延長線于點F. (1)求F的度數(shù); (2)若CD=2,求DF的長.,解析(1)ABC是等邊三角形, B=60. DEAB, EDC=B=60. EFDE, DEF=90. F=90-EDC=30. (2)ACB=60,EDC=60,
44、 EDC是等邊三角形. ED=DC=2. DEF=90,F=30, DF=2DE=4.,9.(2015北京,20,5分)如圖,在ABC中,AB=AC,AD是BC邊上的中線,BEAC于點E. 求證:CBE=BAD.,證明AB=AC,AD是BC邊上的中線, ADBC,BAD=CAD. BEAC, BEC=ADC=90. CBE=90-C,CAD=90-C. CBE=CAD. CBE=BAD.,10.(2015福建龍巖,24,13分)如圖,在RtABC中,ACB=90,AC=6,BC=8,點D以每秒1個單位長度的速度由點A向點B勻速運動,到達B點即停止運動.M,N分別是AD,CD的中點,連接MN.設(shè)
45、點D運動的時間為t. (1)判斷MN與AC的位置關(guān)系; (2)求點D由點A向點B勻速運動的過程中,線段MN所掃過區(qū)域的面積; (3)若DMN是等腰三角形,求t的值.,解析(1)在ADC中,M是AD的中點,N是DC的中點, MNAC.(3分) (2)如圖,分別取ABC三邊中點E,F,G,并連接EG,FG. 根據(jù)題意可知線段MN掃過區(qū)域的面積就是AFGE的面積. AC=6,BC=8,AE=3,GC=4, ACB=90,SAFGE=AEGC=12, 線段MN掃過區(qū)域的面積為12.(7分) (3)解法一:依題意可知,MD=AD,DN=DC,MN=AC=3. i)當(dāng)MD=MN=3時,DMN為等腰三角形,
46、此時AD=AC=6,t=6.(9分) ii)當(dāng)MD=DN時,AD=DC,,過D作DHAC交AC于H, 則AH=AC=3, cos A==, AD=t=5.(11分) iii)當(dāng)DN=MN=3時,AC=DC.連接MC,則CMAD.,cos A==,即=, AM=,AD=t=2AM=. 綜上所述,當(dāng)t=5或6或時,DMN為等腰三角形.(13分) 解法二:依題意可知,MD=AD,DN=DC,MN=AC=3. i)當(dāng)MD=MN=3時,DMN為等腰三角形,此時AD=AC=6, t=6.(9分) ii)當(dāng)MD=DN時,AD=DC,DAC=ACD, ACB=90,BCD+ACD=90,B+BAC=90, B
47、=BCD,BD=CD=AD, 在RtABC中,AB==10, t=AD=AB=5.(11分) iii)當(dāng)DN=MN=3時,AC=DC,連接MC,則CMAB.,SACB=BCAC=ABMC,CM=. 在RtAMC中,AM==.t=AD=2AM=. 綜上所述,當(dāng)t=5或6或時,DMN為等腰三角形.(13分),11.(2014黑龍江哈爾濱,28,10分)如圖,在四邊形ABCD中,對角線AC、BD相交于點E,且ACBD,ADB=CAD+ABD,BAD=3CBD. (1)求證:ABC為等腰三角形; (2)M是線段BD上一點,BMAB=34,點F在BA的延長線上,連接FM,BFM的平分線FN交BD于點N,
48、交AD于點G,點H為BF中點,連接MH,當(dāng)GN=GD時,探究線段CD、FM、MH之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.,解析(1)證明:如圖1,作BAP=DAE,AP交BD于P, 圖1 設(shè)CBD=,CAD=, ADB=CAD+ABD,APE=BAP+ABD, APE=ADB,AP=AD,(1分) ACBD,PAE=DAE=,(2分) PAD=2,BAD=3, BAD=3CBD, 3=3,=,(3分),ACBD,ACB=90-=90-, ABC=180-BAC-ACB=90-, ACB=ABC,(4分) AB=AC, ABC為等腰三角形.(5分) (2)2MH=FM+CD.(6分) 證明:如
49、圖2,由(1)知,AP=AD,AB=AC,BAP=CAD=, ABPACD,ABE=ACD,(7分) ACBD,GDN=90-, GN=GD, GND=GDN=90-,AGF=NGD=2, AFG=BAD-AGF=3-2=, FN平分BFM,NFM=,FMN=90,(8分) H為BF中點,BF=2MH,,在FB上截取FR=FM,連接RM, 圖2 FRM=FMR=90-, ABC=90-, FRM=ABC,RMBC, CBD=RMB, CAD=CBD=, RMB=CAD.(9分) 又RBM=ACD,RMBDAC,,===,FB-FM=BR=CD. 2MH=FM+CD.(10分),評析本題
50、是一道綜合題,主要考查了等腰三角形的判定,三角形全等的判定及三角形相似的判定等知識,所探究的線段之間的數(shù)量關(guān)系較復(fù)雜,綜合性較強,屬難題.,1.(2018福建,15,4分)把兩個同樣大小的含45角的三角尺按如圖所示的方式放置,其中一個三角尺的銳角頂點與另一個的直角頂點重合于點A,且另三個銳角頂點B,C,D在同一直線上.若AB=,則CD=.,考點二 直角三角形,答案-1,解析由題意知ABC,ADE均為等腰直角三角形,且AB=AC=AE=ED=,由勾股定理得BC =AD=2.過A作AFBC于F,則FC=AF=1,在RtAFD中,由勾股定理得FD=,故CD=FD-FC= -1.,2.(2017河南,
51、15,3分)如圖,在RtABC中,A=90,AB=AC,BC=+1,點M,N分別是邊BC,AB上 的動點,沿MN所在的直線折疊B,使點B的對應(yīng)點B落在邊AC上.若MBC為直角三角 形,則BM的長為.,答案或1,解析在RtABC中,A=90,AB=AC, B=C=45. (1)當(dāng)MBC=90時,BMC=C=45. 設(shè)BM=x,則BM=BC=x, 在RtMBC中,由勾股定理得MC=x, x+x=+1,解得x=1, BM=1. (2)如圖,當(dāng)BMC=90時,點B與點A重合, 此時BM=BM=BC=.,綜上所述,BM的長為1或.,3.(2015上海,18,4分)已知在ABC中,AB=AC=8,BAC=
52、30.將ABC繞點A旋轉(zhuǎn),使點B落在原ABC的點C處,此時點C落在點D處.延長線段AD,交原ABC的邊BC的延長線于點E,那么線段DE的長等于.,答案4-4,解析如圖,作BFAE交AE于點F,在RtABF中,BAF=60,AB=8,可得AF=4,BF=4,所以 DF=AD-AF=8-4=4. 易證BFE是等腰直角三角形,所以EF=BF=4,所以DE=EF-DF=4-4.,評析本題考查解含特殊角的直角三角形,畫出圖形,通過作出適當(dāng)?shù)妮o助線,把一般的三角形化為直角三角形是關(guān)鍵,屬于中等難度題.,5.(2014貴州貴陽,15,4分)如圖,在RtABC中,BAC=90,AB=AC=16 cm,AD為B
53、C邊上的高,動點P從點A出發(fā),沿AD方向以 cm/s的速度向點D運動.設(shè)ABP的面積為S1,矩形PDFE的面 積為S2,運動時間為t秒(0
54、mAC,將 ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到ABC(點A,B的對應(yīng)點分別為A,B),射線CA,CB分別交直線m于點P,Q. (1)如圖1,當(dāng)P與A重合時,求ACA的度數(shù); (2)如圖2,設(shè)AB與BC的交點為M,當(dāng)M為AB的中點時,求線段PQ的長; (3)在旋轉(zhuǎn)過程中,當(dāng)點P,Q分別在CA,CB的延長線上時,試探究四邊形PABQ的面積是否存在最小值.若存在,求出四邊形PABQ的最小面積;若不存在,請說明理由.,,解析(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AC=AC=2, ACB=90,AB=,AC=2,BC==, ACB=90,mAC,ABC=90, cosACB==, ACB=30, ACA=60. (2)M為AB的
55、中點,ACB=90,MA=MB=MC, ACM=MAC, 由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得MAC=A,A=ACM, tanPCB=tanA=,PB=BC=, tanBQC=tanPCB=,BQ=BC==2, PQ=PB+BQ=. (3)S四邊形PABQ=SPCQ-SACB=SPCQ-,,S四邊形PABQ最小即SPCQ最小, SPCQ=PQBC=PQ. 取PQ的中點G,連接CG. PCQ=90, CG=PQ. 當(dāng)CG最小時,PQ最小,CGPQ,即CG與CB重合時,CG最小, CGmin=,PQmin=2,(SPCQ)min=3,(S四邊形PABQ)min=3-.,思路分析(1)在RtABC中,由勾股定理得BC=,
56、根據(jù)旋轉(zhuǎn)知AC=AC=2,解直角ABC,得 ACB=30,所以ACA=60;(2)根據(jù)M為AB的中點,可得ACM=MAC=A,且A=BQC,解RtPBC,RtBQC,求出PB=,BQ=2,進而得出PQ=PB+BQ=;(3)依據(jù)S四邊形PABQ=SPCQ-SAC B= SPCQ-,得當(dāng)SPCQ最小時,S四邊形PABQ最小,又SPCQ=PQBC=PQ,求出PQ最小值即可得到 SPCQ的最小值為3,則四邊形PABQ的最小面積是3-.,解后反思本題是以直角三角形旋轉(zhuǎn)為背景的幾何綜合題,主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),平行線的性質(zhì),解直角三角形,直角三角形的性質(zhì)等,根據(jù)直線mAC以及旋轉(zhuǎn)變換中相等的線段和相等的角
57、,求PQC中角的大小和邊長是解題的關(guān)鍵.,7.(2015麗水,19,6分)如圖,已知ABC中,C為直角,AC
58、角形“等邊對等角”的性質(zhì),求出 BAD,從而作差求得CAD的度數(shù).,8.(2016北京,23,5分)如圖,在四邊形ABCD中,ABC=90,AC=AD,M,N分別為AC,CD的中點,連接BM,MN,BN. (1)求證:BM=MN; (2)若BAD=60,AC平分BAD,AC=2,求BN的長.,解析(1)證明:在ABC中,ABC=90,M為AC的中點, BM=AC. N為CD的中點, MN=AD. AC=AD,BM=MN. (2)BAD=60,AC平分BAD, BAC=CAD=30. 由BM=AM,可得BMC=2BAC=60. 由MNAD,可得CMN=CAD=30. BMN=BMC+CMN=90
59、. AC=AD=2, BM=MN=1. 在RtBMN中,BN==.,9.(2015重慶,25,12分)如圖1,在ABC中,ACB=90,BAC=60.點E是BAC角平分線上一點.過點E作AE的垂線,過點A作AB的垂線,兩垂線交于點D,連接DB,點F是BD的中點.DHAC,垂足為H,連接EF,HF. (1)如圖1,若點H是AC的中點,AC=2,求AB,BD的長; (2)如圖1,求證:HF=EF; (3)如圖2,連接CF,CE.猜想:CEF是不是等邊三角形?若是,請證明;若不是,請說明理由. 圖1 圖2,解析(1)點H是AC的中點,AC=2
60、, AH=AC=.(1分) ACB=90,BAC=60,ABC=30,AB=2AC=4.(2分) DAAB,DHAC,DAB=DHA=90. DAH=30,AD=2.(3分) 在RtADB中,DAB=90,BD2=AD2+AB2. BD==2.(4分) (2)證明:連接AF,如圖.,F是BD的中點,DAB=90,AF=DF,FDA=FAD.(5分) DEAE,DEA=90. DHA=90,DAH=30, DH=AD. AE平分BAC,CAE=BAC=30. DAE=60,ADE=30. AE=AD,AE=DH.(6分) FDA=FAD,HDA=EAD=60, FDA-HDA=FAD-EAD.
61、FDH=FAE.(7分) FDHFAE(SAS).FH=FE.(8分) (3)CEF是等邊三角形.(9分) 理由如下:取AB的中點G,連接FG,CG.如圖.,F是BD的中點,FGDA,FG=DA. FGA=180-DAG=90, 又AE=AD,AE=FG. 在RtABC中,ACB=90, 點G為AB的中點,CG=AG. 又CAB=60,GAC為等邊三角形.(10分) AC=CG,ACG=AGC=60.,FGC=30,FGC=EAC. FGCEAC(SAS).(11分) CF=CE,ACE=GCF. ECF=ECG+GCF=ECG+ACE=ACG=60. CEF是等邊三角形.(12分),10.(
62、2014上海,22,10分)如圖,已知在RtABC中,ACB=90,CD是斜邊AB上的中線,過點A作AECD,AE分別與CD、CB相交于點H、E,AH=2CH. (1)求sin B的值; (2)如果CD=,求BE的長.,解析(1)在RtABC中,ACB=90,CD是斜邊AB上的中線,AB=2CD=2BD,DCB=B. AHCD,AHC=CAH+ACH=90. 又DCB+ACH=90,CAH=DCB=B. ABCCAH.=.又AH=2CH,BC=2AC.可設(shè)AC=k,BC=2k, 在RtABC中,AB==k. sin B==. (2)AB=2CD,CD=,AB=2. 在RtABC中,AC=ABs
63、in B=2=2. BC=2AC=4. 在RtACE和RtAHC中,tanCAE===. CE=AC=1. BE=BC-CE=3.,11.(2014湖南郴州,25,10分)如圖,在RtABC中,BAC=90,B=60,BC=16 cm,AD是斜邊BC上的高,垂足為D,BE=1 cm,點M從點B出發(fā)沿BC方向以1 cm/s的速度運動,點N從點E出發(fā),與點M同時同方向以相同的速度運動.以MN為邊在BC的上方作正方形MNGH.點M到達點D時停止運動,點N到達點C時停止運動.設(shè)運動時間為t(s). (1)當(dāng)t為何值時,點G剛好落在線段AD上? (2)設(shè)正方形MNGH與RtABC重疊部分的圖形的面積為S
64、.當(dāng)重疊部分的圖形是正方形時,求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式并寫出自變量t的取值范圍; (3)設(shè)正方形MNGH的邊NG所在直線與線段AC交于點P,連接DP,當(dāng)t為何值時,CPD是等腰三角形?,解析(1)在RtABC中,BAC=90,ABC=60,BC=16 cm, 所以AB=BCcos 60=16=8(cm),(1分) 在RtABD中,ADB=90,ABC=60,AB=8 cm, 所以BD=ABcos 60=8=4(cm),(2分) 所以DE=BD-BE=4-1=3(cm),t=3. 所以當(dāng)t=3時,點G剛好落在線段AD上.(3分) (2)當(dāng)t4時,S=1 cm2.(4分) 如圖,當(dāng)點G落在線段AC
65、上時,,因為GNAD, 所以=, 即=, 解得DN=(6-6)cm, 即t-3=6-6, 所以t=6-3. 所以當(dāng)4
66、是以正方形在直角三角形中運動為背景的動點問題,考查了直角三角形、正方形的性質(zhì),圖形的相似,等腰三角形的判定等知識,關(guān)鍵是確定點M、N的運動范圍.分類討論思想也在本題中得到了充分應(yīng)用.,1.(2018臺州一模)下列命題正確的有() 若等腰三角形的兩邊長分別為5和3,則這個等腰三角形的周長為6+5; 人體中紅細胞的直徑約為0.000 007 7 m,該數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示為7.710-7m; 若點P的坐標(biāo)為(1-2m,m-1)(m為任意實數(shù)),則P點一定不在第一象限; 若函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱,則該函數(shù)為偶函數(shù).下列三個函數(shù):y=1,y=2x-1,y=x2中,偶函數(shù)的個數(shù)為2. A.1個B.2個C.3個D.4個,三年模擬,A組 20162018年模擬基礎(chǔ)題組,考點一 等腰三角形,答案B等腰三角形的兩邊長分別為5和3,該三角形有兩種情況:(i)當(dāng)3為等腰三 角形的腰長時,3+3=65,三角形周長為6+5;(ii)當(dāng)?shù)妊切蔚难L為5 時,5+5=103,三角形周長為10+3.將一個大于0且小于1的數(shù)用科學(xué) 記數(shù)法表示,其形式為a10-n,其中1a0時,m<,此時m-1 <-<0,故點P不可
（浙江專用）2019年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第四章 圖形的認識 4.3 等腰三角形與直角三角形（試卷部分）課件.ppt
