《（浙江專用）2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題二 立體幾何 第3講 空間角課件.ppt》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（浙江專用）2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題二 立體幾何 第3講 空間角課件.ppt（60頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第3講 空間角,專題二 立體幾何,板塊三 專題突破核心考點,,[考情考向分析],以空間幾何體為載體考查空間角是高考命題的重點，熱點為異面直線所成的角、直線與平面所成的角和二面角的求解，向量法作為傳統(tǒng)幾何法的補充，為考生答題提供新的工具．,,,熱點分類突破,真題押題精練,內(nèi)容索引,熱點分類突破,,熱點一 異面直線所成的角,(1)幾何法：按定義作出異面直線所成的角(即找平行線)，解三角形．,√,解析,答案,解析 方法一 如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1的一側(cè)補上一個相同的長方體A′B′BA－A1′B1′B1A1.連接B1B′， 由長方體性質(zhì)可知，B1B′∥AD1， 所以∠DB1B′為異面直
2、線AD1與DB1所成的角或其補角.連接DB′，,故選C.,方法二 如圖，以點D為坐標(biāo)原點，分別以DA，DC，DD1所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系D－xyz.,(2)(2018浙江省杭州二中月考)已知異面直線a，b所成的角為50，過空間一定點P最多可作n條直線與直線a，b均成θ角，則下列判斷不正確的是 A.當(dāng)θ＝65時，n＝3 B.當(dāng)n＝1時，θ只能為25 C.當(dāng)θ＝30時，n＝2 D.當(dāng)θ＝75時，n＝4,√,解析,答案,解析 將空間直線平移，異面直線的夾角不變，則可將異面直線a，b平移到同一平面α內(nèi)，使得點P為平移后的直線a′，b′的交點，則當(dāng)0≤θ<25時，n＝0； 當(dāng)θ＝2
3、5時，n＝1，此時該直線為直線a′，b′所成銳角的角平分線所在的直線； 當(dāng)25<θ<65時，n＝2，此時這兩條直線在平面α內(nèi)的投影為直線a′，b′所成銳角的角平分線所在的直線； 當(dāng)θ＝65時，n＝3，此時其中兩條直線在平面α內(nèi)的投影為直線a′，b′所成銳角的角平分線所在的直線，另一條直線為直線a′，b′所成鈍角的角平分線所在的直線；,當(dāng)65<θ<90時，n＝4，此時其中兩條直線在平面α內(nèi)的投影為直線a′，b′所成銳角的角平分線所在的直線，另外兩條直線在平面α內(nèi)的投影為直線a′，b′所成鈍角的角平分線所在的直線； 當(dāng)θ＝90時，n＝1，此時直線為過點P且與平面α垂直的直線.綜上所述，B選項的說法
4、錯誤，故選B.,(1)運用幾何法求異面直線所成的角一般是按找—證—求的步驟進行. (2) 兩條異面直線所成的角α不一定是直線的方向向量的夾角β，即cos α＝|cos β|.,,跟蹤演練1 (2018浙江省衢州二中模擬)如圖，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，O為BC的中點，動點P在線段OB上(不含端點)，記∠APC＝θ，現(xiàn)將△APC沿AP折起至△APC′，記異面直線BC′與AP所成的角為α，則下列結(jié)論一定成立的是,√,解析,答案,所以cos θ
5、江省名校協(xié)作體聯(lián)考)在如圖所示的幾何體中，平面DAE⊥平面ABCD，四邊形ABCD為等腰梯形，四邊形DCFE為菱形.已知AB∥CD，∠ABC＝60，CD＝ ＝1. (1)線段AC上是否存在一點N，使得AE∥平面FDN？證明你的結(jié)論；,解答,解 在線段AC上存在點N，使得AE∥平面FDN，且N是AC的中點. 如圖，取AC的中點N，連接NF，DN，連接EC交DF于點O，連接ON. ∵四邊形CDEF為菱形， ∴O為EC的中點. 在△ACE中，由中位線定理可得ON∥AE. ∵ON?平面FDN，AE?平面FDN， ∴AE∥平面FDN， ∴在線段AC上存在點N，使得AE∥平面FDN，且N是AC的中點.
6、,(2)若線段FC在平面ABCD上的投影長度為 求直線AC與平面ADF所成角的正弦值.,解答,解 方法一 ∵DE∥CF， ∴DE在平面ABCD上的投影長度為 過點E作EO⊥AD于點O， ∵平面DAE⊥平面ABCD，且平面DAE∩平面ABCD＝AD，EO?平面DAE， ∴EO⊥平面ABCD，則OD＝ ∵在等腰梯形ABCD中，由已知易得AD＝BC＝1， ∴點O為線段AD的中點. 設(shè)點C到平面FDA的距離為h， ∵VC－FDA＝VF－ADC， ∴hS△FDA＝EOS△ADC，,取AB的中點M，連接CM，取CM的中點P，連接AP，DP，F(xiàn)P，OP. ∵O，P分別為AD，MC的中點，AM∥DC∥EF，且
7、AM＝DC＝EF， ∴OP∥EF且OP＝EF， ∴四邊形OPFE為平行四邊形，∴OE∥FP，OE＝FP， ∴FP⊥平面ABCD.,∴DF2＋AD2＝AF2，∴△ADF為直角三角形，,設(shè)直線AC與平面FDA所成的角為θ，,方法二 ∵DE∥CF， ∴DE在平面ABCD上的投影長度為 過點E作EO⊥AD于點O， ∵平面DAE⊥平面ABCD，且平面DAE∩平面ABCD＝AD，EO?平面DAE. ∴EO⊥平面ABCD，則OD＝ ∵在等腰梯形ABCD中，由已知易得AD＝BC＝1. ∴點O為線段AD的中點.,以O(shè)為原點，OE所在直線為z軸，過O且平行于DC的直線為y軸，過O且垂直于yOz平面的直線為x軸建立
8、空間直角坐標(biāo)系，易得x軸在平面ABCD內(nèi).,設(shè)平面ADF的法向量為n＝(x，y，z)，,令x＝1，得平面ADF的一個法向量為,若直線AC與平面ADF所成的角為θ，,(1)運用幾何法求直線與平面所成的角一般是按找——證——求的步驟進行. (2)直線和平面所成角的正弦值等于平面法向量與直線方向向量夾角的余弦值的絕對值，注意所求角和兩向量夾角間的關(guān)系.,,跟蹤演練2 (2018杭州質(zhì)檢)如圖，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝120，M為線段BC的中點，D為線段BC上一點，且BD＝BA，沿直線AD將△ADC翻折至△ADC′，使AC′⊥BD.,證明,(1)證明：平面AMC′⊥平面ABD；,證明
9、因為△ABC為等腰三角形，M為BC的中點， 所以AM⊥BD， 又因為AC′⊥BD，AM∩AC′＝A，AM，AC′?平面AMC′， 所以BD⊥平面AMC′， 因為BD?平面ABD，所以平面AMC′⊥平面ABD.,(2)求直線C′D與平面ABD所成的角的正弦值.,解答,解 在平面AC′M中，過C′作C′F⊥AM交直線AM于點F，連接FD. 由(1)知，平面AMC′⊥平面ABD， 又平面AMC′∩平面ABD＝AM，C′F?平面AMC， 所以C′F⊥平面ABD. 所以∠C′DF為直線C′D與平面ABD所成的角.,設(shè)AF＝x，在Rt△C′FA和Rt△C′FM中，AC′2－AF2＝MC′2－MF2，,,熱
10、點三 二面角,二面角有兩種求法：①幾何法：利用定義作出二面角的平面角，然后計算. ②向量法：利用兩平面的法向量.設(shè)平面α，β的法向量分別為μ＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)，設(shè)二面角α—a—β的平面角為θ(0≤θ≤π)，,例3 如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，點E在線段AD上且AE＝3，現(xiàn)分別沿BE，CE所在的直線將△ABE，△DCE翻折，使得點D落在線段AE上，則此時二面角D－EC－B的余弦值為,√,解析,答案,解析 如圖1所示，連接BD，設(shè)其與CE的交點為H， 由題意易知BD⊥CE.翻折后如圖2所示，連接BD， 則在圖2中，∠BHD即為二面角D－EC－B的平面角
11、，,圖1,圖2,(1)構(gòu)造二面角的平面角的方法(幾何法)： 根據(jù)定義；利用二面角的棱的垂面；利用兩同底等腰三角形底邊上的兩條中線等. (2)向量法：根據(jù)兩平面的法向量.,,跟蹤演練3 (2018紹興質(zhì)檢)已知四面體SABC中，二面角B－SA－C， A－SB－C，A－SC－B的平面角的大小分別為α，β，γ，則,√,解析,答案,解析 設(shè)三棱錐的頂點S距離底面ABC無窮遠，則三棱錐S－ABC近似為以△ABC為底面的三棱柱，此時二面角的平面角α，β，γ等于三角形ABC的三個內(nèi)角；若頂點S與底面ABC的距離趨向于0，則三棱錐S－ABC近似壓縮為四頂點共面，則當(dāng)S為△ABC內(nèi)一點時，二面角的平面角α，β，
12、γ的大小都為π，因此α＋β＋γ∈(π，3π)，故選C.,真題押題精練,真題體驗,1.(2017全國Ⅲ)a，b為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線與a，b都垂直，斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論： ①當(dāng)直線AB與a成60角時，AB與b成30角； ②當(dāng)直線AB與a成60角時，AB與b成60角； ③直線AB與a所成角的最小值為45； ④直線AB與a所成角的最大值為60. 其中正確的是______.(填寫所有正確結(jié)論的編號),解析,答案,②③,解析 依題意建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 設(shè)等腰直角三角形ABC的直角邊長為1. 由題意知，點B在平面xOy中形成的
13、軌跡是以C為圓心，1為半徑的圓. 設(shè)直線a的方向向量為a＝(0，1，0)，直線b的方向向量為b＝(1，0，0)，,則B(cos θ，sin θ，0)，,設(shè)直線AB與a所成的角為α，,∴45≤α≤90，∴③正確，④錯誤； 設(shè)直線AB與b所成的角為β，,當(dāng)直線AB與a的夾角為60，即α＝60時，,∵45≤β≤90，∴β＝60， 即直線AB與b的夾角為60. ∴②正確，①錯誤.,2.(2017浙江改編)如圖，已知正四面體D—ABC(所有棱長均相等的三棱錐)，P，Q，R分別為AB，BC，CA上的點，AP＝PB， 分別記二面角D—PR—Q，D—PQ—R，D—QR—P的平面角為α，β，γ，則α，
14、β，γ的大小關(guān)系為________.,解析,答案,α<γ<β,解析 如圖①，作出點D在底面ABC上的射影O，過點O分別作PR，PQ，QR的垂線OE，OF，OG，連接DE，DF，DG， 則α＝∠DEO，β＝∠DFO，γ＝∠DGO. 由圖可知，它們的對邊都是DO， ∴只需比較EO，F(xiàn)O，GO的大小即可. 如圖②，在AB邊上取點P′，使AP′＝2P′B，連接OQ，OR， 則O為△QRP′的中心. 設(shè)點O到△QRP′三邊的距離為a，則OG＝a，,OF＝OQsin∠OQFORsin∠ORP′＝a， ∴OF
15、，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC＝120，A1A＝4，C1C＝1，AB＝BC＝B1B＝2.,(1)證明：AB1⊥平面A1B1C1；,證明 方法一 由AB＝2，AA1＝4，BB1＝2，AA1⊥AB，BB1⊥AB，,故AB1⊥A1B1. 由BC＝2，BB1＝2，CC1＝1，BB1⊥BC，CC1⊥BC，,故AB1⊥B1C1. 又因為A1B1∩B1C1＝B1，A1B1，B1C1?平面A1B1C1， 因此AB1⊥平面A1B1C1.,方法二 如圖，以AC的中點O為原點，分別以射線OB，OC為x，y軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz.,又A1B1∩A1C1＝A1，A1B1，A1C1?平面A
16、1B1C1， 所以AB1⊥平面A1B1C1.,解答,(2)求直線AC1與平面ABB1所成的角的正弦值.,解 方法一 如圖，過點C1作C1D⊥A1B1，交直線A1B1于點D，連接AD. 由AB1⊥平面A1B1C1， 得平面A1B1C1⊥平面ABB1. 由C1D⊥A1B1，平面A1B1C1∩平面ABB1＝A1B1，C1D?平面A1B1C1， 得C1D⊥平面ABB1. 所以∠C1AD即是直線AC1與平面ABB1所成的角.,方法二 設(shè)直線AC1與平面ABB1所成的角為θ.,設(shè)平面ABB1的一個法向量為n＝(x，y，z).,押題預(yù)測,如圖所示，在四棱錐S－ABCD中，底面ABCD是矩形，SA⊥底面ABC
17、D，E，F(xiàn)分別為線段AB，SD的中點.,押題依據(jù) 定義法求直線與平面所成的角的關(guān)鍵是利用直線與平面所成角的定義去構(gòu)造一個直角三角形，通過解三角形的知識求角.方法一求解第(2)問的關(guān)鍵是構(gòu)造三角形，證明∠AFE為直線EF與平面SCD所成角的余角.,證明,押題依據(jù),(1)證明：EF∥平面SBC；,證明 方法一 如圖，過點E作EG∥SB，交SA于點G，連接GF. 因為E為AB的中點，所以G為SA的中點， 又F為SD的中點， 所以GF∥AD， 所以GF∥BC，又BC?平面SBC，GF?平面SBC， 所以GF∥平面SBC. 因為GE∥SB，SB?平面SBC，GE?平面SBC， 所以GE∥平面SBC， 又
18、GE∩GF＝G，GE，GF?平面GEF， 所以平面GEF∥平面SBC， 又EF?平面GEF，所以EF∥平面SBC.,方法二 取SC的中點H，連接FH，BH，因為F是SD的中點，,又CD∥AB，CD＝AB，點E是AB的中點， 所以FH∥BE，F(xiàn)H＝BE， 所以四邊形EFHB是平行四邊形，,所以EF∥BH， 又BH?平面SBC，EF?平面SBC， 所以EF∥平面SBC.,解答,(2)設(shè)SA＝AD＝2AB，試求直線EF與平面SCD所成角的正弦值.,解 方法一 如圖，連接AF. 因為SA＝AD，SA⊥AD， 所以AF⊥SD. 因為SA⊥平面ABCD， 所以SA⊥CD. 因為AD⊥CD，SA∩AD＝A，
19、SA，AD?平面SAD， 所以CD⊥平面SAD， 因為AF?平面SAD，所以CD⊥AF，,又SD∩CD＝D，SD，CD?平面SCD， 所以AF⊥平面SCD. 所以∠AFE即為直線EF與平面SCD所成角的余角. 令SA＝AD＝2AB＝4，,設(shè)直線EF與平面SCD所成的角為θ，,方法二 因為四邊形ABCD是矩形，SA⊥底面ABCD， 所以直線AB，AD，AS兩兩垂直. 以A為坐標(biāo)原點，AB，AD，AS所在的直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz. 設(shè)SA＝AD＝2AB＝4， 則S(0，0，4)，C(2，4，0)，D(0，4，0)， E(1，0，0)，F(xiàn)(0，2，2).,設(shè)平面SCD的法向量為a＝(x，y，z)，,取y＝1，所以a＝(0，1，1)是平面SCD的一個法向量. 設(shè)直線EF與平面SCD所成的角為θ，,
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