3.4 導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用

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1、 3.4 導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用 一、填空題 1．一點(diǎn)沿直線運(yùn)動，如果由始點(diǎn)起經(jīng)過t秒后的距離為s＝t4－t3＋2t2，那么速度為零的時(shí)刻是________． 2．某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，固定成本為20000元，每生產(chǎn)一單位的產(chǎn)品，成本增加100元，若總收入R與年產(chǎn)量x的關(guān)系是R(x)＝，則當(dāng)總利潤最大時(shí)，每年生產(chǎn)的產(chǎn)品單位數(shù)是________． 3．已知某矩形廣場面積為4萬平方米，則其周長至少為________米． 4．某商品一件的成本為30元，在某段時(shí)間內(nèi)，若以每件x元出售，可賣出(200－x)件，當(dāng)每件商品的定價(jià)為________元時(shí)，利潤最大． 5．某公司租地建倉庫，每月土地

2、占用費(fèi)y1與倉庫到車站的距離成反比，而每月庫存貨物的運(yùn)費(fèi)y2與到車站的距離成正比，如果在距離車站10千米處建倉庫，這兩項(xiàng)費(fèi)用y1和y2分別為2萬元和8萬元．那么，要使這兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小，倉庫應(yīng)建在離車站________千米處． 6．把長為12 cm的細(xì)鐵絲截成兩段，各自圍成一個(gè)正三角形，那么這兩個(gè)正三角形的面積之和的最小值是________． 7．某車間靠墻壁要蓋一間長方形小屋，現(xiàn)有存磚只夠砌20 m長的墻壁，則當(dāng)圍成長為________m，寬為________m的長方形小屋時(shí)(忽略門窗)，才能使小屋面積最大． 8．煙囪向其周圍地區(qū)散落煙塵造成環(huán)境污染．已知落在地面某處的煙塵濃度與該處到

3、煙囪的距離的平方成反比，而與該煙囪噴出的煙塵量成正比．現(xiàn)有A，B兩座煙囪相距20km，其中，B煙囪噴出的煙塵量是A煙囪的8倍，兩座煙囪連線上有一點(diǎn)C，則當(dāng)AC＝________km時(shí)可以使該點(diǎn)的煙塵濃度最低． 9．將一段長為100 cm的鐵絲截成兩段，一段彎成正方形，一段彎成圓，則當(dāng)彎成圓的一段鐵絲長為________cm時(shí)，可使正方形與圓的面積的和最?。? 二、解答題 10．已知某廠生產(chǎn)x件產(chǎn)品的成本為G＝25000＋200x＋x2(元)，請問： (1)要使平均成本最低，應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？ (2)若產(chǎn)品以每件500元售出，要使利潤最大，應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？

4、 11．統(tǒng)計(jì)表明，某種型號的汽車在勻速行駛時(shí)每小時(shí)的耗油量y(升)關(guān)于行駛速度x(千米/時(shí))的函數(shù)解析式可以表示為：y＝x3－x＋8(0

5、用為560＋48x(單位：元)．為了使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少，該樓房應(yīng)建為多少層？ (注：平均綜合費(fèi)用＝平均建筑費(fèi)用＋平均購地費(fèi)用，平均購地費(fèi)用＝) 答案 1 解析：∵s′＝t3－5t2＋4t，令s′＝0，得t1＝0，t2＝1，t3＝4. 答案：0秒、1秒、4秒 2 解析：∵總利潤P(x) ＝，由P′(x)＝0，得x＝300. 答案：300 3 解析：設(shè)廣場的長為x米，則寬為米，于是其周長為y＝2(x＋)，所以y′＝2(1－)，令y′＝0得x＝200(x＝－200舍去)，這時(shí)y＝8

6、00米，即其周長至少為800米． 答案：800 4 解析：利潤為S(x)＝(x－30)(200－x)＝－x2＋230x－6000，S′(x)＝－2x＋230，由S′(x)＝0得x＝115，這時(shí)利潤最大為7225元． 答案：7225 5解析：依題意可設(shè)每月土地占用費(fèi)y1＝，每月庫存貨物的運(yùn)費(fèi)y2＝k2x，其中x是倉庫到車站的距離．于是由2＝，得k1＝20；8＝10k2，得k2＝. 因此兩項(xiàng)費(fèi)用之和為y＝＋，y′＝－＋， 令y′＝0得x＝5(x＝－5舍去)，此點(diǎn)即為最小值點(diǎn)． 故當(dāng)倉庫建在離車站5千米處時(shí)，兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小． 答案：5 6 解析：設(shè)一個(gè)三角形的邊長為x cm

7、，則另一個(gè)三角形的邊長為(4－x) cm.兩個(gè)三角形的面積和為 S＝x2＋(4－x)2＝x2－2x＋4(0

8、題意得點(diǎn)C處的煙塵濃度為y＝＋(k為比例常數(shù))，所以y′＝－＋＝，令y′＝0，得(3x－20)·(3x2＋400)＝0，又0

9、)． ∴當(dāng)x＝1000時(shí)，取極小值．由于函數(shù)只有一個(gè)點(diǎn)使y′＝0，且函數(shù)在該點(diǎn)處有極小值，那么函數(shù)在該點(diǎn)處取得最小值．因此要使得平均成本最低，應(yīng)生產(chǎn)1000件產(chǎn)品． (2)利潤函數(shù)L＝500x－(25000＋200x＋x2)， ∴L′＝300－x，令L′＝0，得x＝6000. 當(dāng)在x＝6000附近左側(cè)時(shí)，L′>0； 當(dāng)在x＝6000附近右側(cè)時(shí)，L′<0. 故當(dāng)在x＝6000時(shí)，L取得極大值． 由于函數(shù)只有一個(gè)點(diǎn)使L′＝0，且函數(shù)在該點(diǎn)處有極大值，那么函數(shù)在該點(diǎn)處取得最大值．因此應(yīng)生產(chǎn)6000件產(chǎn)品能使利潤最大． 11 解：(1)當(dāng)x＝40時(shí)，汽車從甲地到乙地行駛了＝2.5小時(shí)．

10、 要耗油(×403－×40＋8)×2.5＝17.5升． 因此，當(dāng)汽車以40千米/時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地要耗油17.5升． (2)當(dāng)速度為x千米/時(shí)時(shí)，汽車從甲地到乙地行駛了小時(shí)，設(shè)耗油量為h(x)升，依題意得 h(x)＝(x3－x＋8)· ＝x2＋－(00，h(x)是增函數(shù)． ∴當(dāng)x＝80時(shí)，h(x)取到極小值h(80)＝11.25. ∵h(yuǎn)(x)在(0,120]上只有一個(gè)極值，∴它是最小值． 即當(dāng)汽車以80千米/時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油量最少，最少為11.25升． 12解：設(shè)樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用為f(x)元，則 f(x)＝(560＋48x)＋＝560＋48x＋(x≥10，x∈N＋)， f′(x)＝48－， 令f′(x)＝0得x＝15或x＝－15(舍去)， 當(dāng)x>15時(shí)，f′(x)>0；當(dāng)10≤x<15時(shí)，f′(x)<0，因此當(dāng)x＝15時(shí)，f(x)取最小值，f(15)＝2000. 故為了樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少，該樓房應(yīng)建為15層． 5