高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 綜合檢測(cè) 新人教A版選修2-2

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第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用綜合檢測(cè) 時(shí)間120分鐘，滿分150分。 一、選擇題(本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1．(2010·全國Ⅱ文，7)若曲線y＝x2＋ax＋b在點(diǎn)(0，b)處的切線方程是x－y＋1＝0，則(　　) A．a(chǎn)＝1，b＝1　　　　　　 B．a(chǎn)＝－1，b＝1 C．a(chǎn)＝1，b＝－1 D．a(chǎn)＝－1，b＝－1 [答案]　A [解析]　y′＝2x＋a，∴y′|x＝0＝(2x＋a)|x＝0＝a＝1， 將(0，b)代入切線方程得b＝1. 2．一物體的運(yùn)動(dòng)方程為s＝2tsint＋t，則它的速度方程為(　　) A．v＝2sint＋2tcost＋1 B．v＝2sint＋2tcost C．v＝2sint D．v＝2sint＋2cost＋1 [答案]　A [解析]　因?yàn)樽兯龠\(yùn)動(dòng)在t0的瞬時(shí)速度就是路程函數(shù)y＝s(t)在t0的導(dǎo)數(shù)，S′＝2sint＋2tcost＋1，故選A. 3．曲線y＝x2＋3x在點(diǎn)A(2,10)處的切線的斜率是(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 [答案]　D [解析]　由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，曲線y＝x2＋3x在點(diǎn)A(2,10)處的切線的斜率就是函數(shù)y＝x2＋3x在x＝2時(shí)的導(dǎo)數(shù)，y′|x＝2＝7，故選D. 4．函數(shù)y＝x|x(x－3)|＋1(　　) A．極大值為f(2)＝5，極小值為f(0)＝1 B．極大值為f(2)＝5，極小值為f(3)＝1 C．極大值為f(2)＝5，極小值為f(0)＝f(3)＝1 D．極大值為f(2)＝5，極小值為f(3)＝1，f(－1)＝－3 [答案]　B [解析]　y＝x|x(x－3)|＋1 ＝ ∴y′＝ x變化時(shí)，f′(x)，f(x)變化情況如下表： x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2,3) 3 (3，＋∞) f′(x) ＋ 0 ＋ 0 － 0 ＋ f(x)  無極值  極大值5  極小值1  ∴f(x)極大＝f(2)＝5，f(x)極小＝f(3)＝1 故應(yīng)選B. 5．(2009·安徽理，9)已知函數(shù)f(x)在R上滿足f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，則曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程是(　　) A．y＝2x－1 B．y＝x C．y＝3x－2 D．y＝－2x＋3 [答案]　A [解析]　本題考查函數(shù)解析式的求法、導(dǎo)數(shù)的幾何意義及直線方程的點(diǎn)斜式． ∵f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8， ∴f(2－x)＝2f(x)－x2－4x＋4， ∴f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x， ∴曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線斜率為2，切線方程為y－1＝2(x－1)，∴y＝2x－1. 6．函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3時(shí)取得極值，則a等于(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 [答案]　D [解析]　f′(x)＝3x2＋2ax＋3， ∵f(x)在x＝－3時(shí)取得極值， ∴x＝－3是方程3x2＋2ax＋3＝0的根， ∴a＝5，故選D. 7．設(shè)f(x)，g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)．當(dāng)x<0時(shí)，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(－3)＝0，則不等式f(x)g(x)<0的解集是(　　) A．(－3,0)∪(3，＋∞) B．(－3,0)∪(0,3) C．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(0,3) [答案]　D [解析]　令F(x)＝f(x)·g(x)，易知F(x)為奇函數(shù)，又當(dāng)x<0時(shí)，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，即F′(x)>0，知F(x)在(－∞，0)內(nèi)單調(diào)遞增，又F(x)為奇函數(shù)，所以F(x)在(0，＋∞)內(nèi)也單調(diào)遞增，且由奇函數(shù)知f(0)＝0，∴F(0)＝0. 又由g(－3)＝0，知g(3)＝0 ∴F(－3)＝0，進(jìn)而F(3)＝0 于是F(x)＝f(x)g(x)的大致圖象如圖所示 ∴F(x)＝f(x)·g(x)<0的解集為(－∞，－3)∪(0,3)，故應(yīng)選D. 8．下面四圖都是同一坐標(biāo)系中某三次函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的圖象，其中一定不正確的序號(hào)是(　　) A．①② B．③④ C．①③ D．①④ [答案]　B [解析]　③不正確；導(dǎo)函數(shù)過原點(diǎn)，但三次函數(shù)在x＝0不存在極值；④不正確；三次函數(shù)先增后減再增，而導(dǎo)函數(shù)先負(fù)后正再負(fù)．故應(yīng)選B. 9．(2010·湖南理，5)dx等于(　　) A．－2ln2 B．2ln2 C．－ln2 D．ln2 [答案]　D [解析]　因?yàn)?lnx)′＝， 所以 dx＝lnx|＝ln4－ln2＝ln2. 10．已知三次函數(shù)f(x)＝x3－(4m－1)x2＋(15m2－2m－7)x＋2在x∈(－∞，＋∞)是增函數(shù)，則m的取值范圍是(　　) A．m<2或m>4 B．－4f(b)g(b) B．f(x)g(a)>f(a)g(x) C．f(x)g(b)>f(b)g(x) D．f(x)g(x)>f(a)g(x) [答案]　C [解析]　令F(x)＝ 則F′(x)＝<0 f(x)、g(x)是定義域?yàn)镽恒大于零的實(shí)數(shù) ∴F(x)在R上為遞減函數(shù)， 當(dāng)x∈(a，b)時(shí)，> ∴f(x)g(b)>f(b)g(x)．故應(yīng)選C. 二、填空題(本大題共4個(gè)小題，每小題4分，共16分．將正確答案填在題中橫線上) 13.＝________. [答案]　 [解析]　取F(x)＝－， 從而F′(x)＝ 則＝F(－1)－F(－2) ＝－＋＝－＝. 14．若函數(shù)f(x)＝的單調(diào)增區(qū)間為(0，＋∞)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． [答案]　a≥0 [解析]　f′(x)＝′＝a＋， 由題意得，a＋≥0，對(duì)x∈(0，＋∞)恒成立， ∴a≥－，x∈(0，＋∞)恒成立，∴a≥0. 15．(2009·陜西理，16)設(shè)曲線y＝xn＋1(n∈N*)在點(diǎn)(1,1)處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xn，令an＝lgxn，則a1＋a2＋…＋a99的值為________． [答案]?。? [解析]　本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和對(duì)數(shù)函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)． k＝y(tǒng)′|x＝1＝n＋1， ∴切線l：y－1＝(n＋1)(x－1)， 令y＝0，x＝，∴an＝lg， ∴原式＝lg＋lg＋…＋lg ＝lg××…×＝lg＝－2. 16．如圖陰影部分是由曲線y＝，y2＝x與直線x＝2，y＝0圍成，則其面積為________． [答案]?。玪n2 [解析]　由，得交點(diǎn)A(1,1) 由得交點(diǎn)B. 故所求面積S＝dx＋dx ＝x＋lnx＝＋ln2. 三、解答題(本大題共6個(gè)小題，共74分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 17．(本題滿分12分)(2010·江西理，19)設(shè)函數(shù)f(x)＝lnx＋ln(2－x)＋ax(a>0)． (1)當(dāng)a＝1時(shí)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)若f(x)在(0,1]上 的最大值為，求a的值． [解析]　函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,2)， f ′(x)＝－＋a， (1)當(dāng)a＝1時(shí)，f ′(x)＝，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，)，單調(diào)遞減區(qū)間為(，2)； (2)當(dāng)x∈(0,1]時(shí)，f ′(x)＝＋a>0， 即f(x)在(0,1]上單調(diào)遞增，故f(x)在(0,1]上的最大值為f(1)＝a，因此a＝. 18．(本題滿分12分)求曲線y＝2x－x2，y＝2x2－4x所圍成圖形的面積． [解析]　由得x1＝0，x2＝2. 由圖可知，所求圖形的面積為S＝(2x－x2)dx＋|(2x2－4x)dx|＝(2x－x2)dx－(2x2－4x)dx. 因?yàn)椤洌?x－x2， ′＝2x2－4x， 所以S＝－＝4. 19．(本題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x)＝x3－3ax＋b(a≠0)． (1)若曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處與直線y＝8相切，求a，b的值； (2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值點(diǎn)． [分析]　考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值點(diǎn)的性質(zhì)，以及分類討論思想． [解析]　(1)f′(x)＝3x2－3a. 因?yàn)榍€y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處與直線y＝8相切， 所以即 解得a＝4，b＝24. (2)f′(x)＝3(x2－a)(a≠0)． 當(dāng)a<0時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)f(x)沒有極值點(diǎn)． 當(dāng)a>0時(shí)，由f′(x)＝0得x＝±. 當(dāng)x∈(－∞，－)時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增； 當(dāng)x∈(－，)時(shí)，f′(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減； 當(dāng)x∈(，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增． 此時(shí)x＝－是f(x)的極大值點(diǎn)，x＝是f(x)的極小值點(diǎn)． 20．(本題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝x2＋lnx. (1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)求證：當(dāng)x>1時(shí)，x2＋lnx0}， ∵f′(x)＝x＋，故f′(x)>0， ∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0，＋∞)． (2)設(shè)g(x)＝x3－x2－lnx， ∴g′(x)＝2x2－x－， ∵當(dāng)x>1時(shí)，g′(x)＝>0， ∴g(x)在(1，＋∞)上為增函數(shù)， ∴g(x)>g(1)＝>0， ∴當(dāng)x>1時(shí)，x2＋lnx0；當(dāng)12時(shí)f′(x)>0. 所以當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)取極大值f(1)＝－a， 當(dāng)x＝2時(shí)，f(x)取極小值f(2)＝2－a. 故當(dāng)f(2)>0或f(1)<0時(shí)，方程f(x)＝0僅有一個(gè)實(shí)根，解得a<2或a>. 22．(本題滿分14分)已知函數(shù)f(x)＝－x3＋ax2＋1(a∈R)． (1)若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減，求a的值； (2)當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，設(shè)函數(shù)y＝f(x)圖象上任意一點(diǎn)處的切線的傾斜角為θ，若給定常數(shù)a∈，求θ的取值范圍； (3)在(1)的條件下，是否存在實(shí)數(shù)m，使得函數(shù)g(x)＝x4－5x3＋(2－m)x2＋1(m∈R)的圖象與函數(shù)y＝f(x)的圖象恰有三個(gè)交點(diǎn)．若存在，請(qǐng)求出實(shí)數(shù)m的值；若不存在，試說明理由． [解析]　(1)依題意f′＝0， 由f′(x)＝－3x2＋2ax，得－32＋2a·＝0，即a＝1. (2)當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，tanθ＝f′(x)＝－3x2＋2ax＝－32＋. 由a∈，得∈. ①當(dāng)∈，即a∈時(shí)，f′(x)max＝， f(x)min＝f′(0)＝0. 此時(shí)0≤tanθ≤. ②當(dāng)∈(1，＋∞)，即a∈(3，＋∞)時(shí)，f′(x)max＝f′(1)＝2a－3，f′(x)min＝f′(0)＝0， 此時(shí)，0≤tanθ≤2a－3. 又∵θ∈[0，π)，∴當(dāng)3時(shí)，θ∈[0，arctan(2a－3)]． (3)函數(shù)y＝f(x)與g(x)＝x4－5x3＋(2－m)x2＋1(m∈R)的圖象恰有3個(gè)交點(diǎn)，等價(jià)于方程－x3＋x2＋1＝x4－5x3＋(2－m)x2＋1恰有3個(gè)不等實(shí)根， ∴x4－4x3＋(1－m)x2＝0， 顯然x＝0是其中一個(gè)根(二重根)， 方程x2－4x＋(1－m)＝0有兩個(gè)非零不等實(shí)根，則 ∴m>－3且m≠1 故當(dāng)m>－3且m≠1時(shí)，函數(shù)y＝f(x)與y＝g(x)的圖象恰有3個(gè)交點(diǎn)． - 11 -