4、，|PA-PB|=AB，故此時(shí)｜PA-PB｜最大。,解答題專項(xiàng),常見模型二、垂線段最短 【問題情境】 1.如圖⑤，P為線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，AP最短？ 【通解通法】 知識(shí)必備：垂線段最短。 【問題解決】 垂線段最短 (1)找點(diǎn)。如圖⑥，過點(diǎn)A作AP⊥BC交BC于點(diǎn)P,點(diǎn)P即為所求。 (2)說理。垂線段最短。,解答題專項(xiàng),(二)雙動(dòng)點(diǎn)問題 常見模型三、軸對(duì)稱的性質(zhì)、垂線段最短 【問題情境】 1.如圖⑦，在直線l1和l2上分別找兩點(diǎn)B，C,使△ABC的周長(zhǎng)最?。? 2.如圖⑧，在△ABC中，AB=2,∠BAC=45，AD平分∠BAC,M，N分別為AD,AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，怎樣確定點(diǎn)
5、M,N能使BM+MN的值最?。?【通解通法】 知識(shí)必備：(1)軸對(duì)稱的性質(zhì)；(2)垂線段最短。,解答題專項(xiàng),【問題解決】 軸對(duì)稱的性質(zhì) (1)找點(diǎn)。如圖⑨，分別找出點(diǎn)A關(guān)于直線l1和l2的對(duì)稱點(diǎn)A1和A2,連接A1A2分別交直線l1和l2于點(diǎn)B,C,此時(shí)△ABC的周長(zhǎng)最小。 (2)說理。由對(duì)稱性可知，AB=A1B,AC=A2C,故△ABC的周長(zhǎng)為AB+AC+BC=A1B+A2C+BC=A1A2。根據(jù)“兩點(diǎn)之間， 線段最短”可知，此時(shí)△ABC的周長(zhǎng)最小。 垂線段最短 (1)找點(diǎn)。如圖⑩，找出點(diǎn)B關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)B′,過點(diǎn) B′作B′N⊥AB分別交AD于點(diǎn)M,交AB于點(diǎn)N。M，N即為 所求。 (2
6、)說理?！逜D平分∠BAC,∴點(diǎn)B關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)B′在線段AC上，∴B′M=BM。又∵B′N⊥AB于點(diǎn)N,∴BM+MN=B′M+MN=B′N。由垂線段最短可知，此時(shí)BM+MN的值最小。,解答題專項(xiàng),常見模型四、平移+將軍飲馬 【問題情境】 1.如圖11，在直線l上找出兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，Q(P，Q兩動(dòng)點(diǎn)之間的距離為定值)，使AP+PQ+BQ的值最小。 【通解通法】 知識(shí)必備：(1)平移的性質(zhì)；(2)軸對(duì)稱的性質(zhì)。 【問題解決】 (1)找點(diǎn)。如圖12,將點(diǎn)A沿過點(diǎn)A且與直線l平行的直線平移PQ長(zhǎng)度得到定點(diǎn)A′,作定點(diǎn)A′關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A″,連接A″B,交直線l于點(diǎn)Q，將點(diǎn)Q沿直線l向左平移PQ長(zhǎng)
7、度，得到點(diǎn)P，連接AP，則AP+PQ+BQ的值最小。 (2)說理。請(qǐng)自己完成證明過程。,解答題專項(xiàng),常見模型五、動(dòng)點(diǎn)定值模型 “平行定位”法 【問題情境】 1.如圖13，在△ABC中，BC=a，M是BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AM,取AM的中點(diǎn)P，隨著點(diǎn)M從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C,求動(dòng)點(diǎn)P的路徑長(zhǎng)。 【通解通法】 知識(shí)必備：(1)三角形中位線；(2)平行線間的距離處處相等。 【問題解決】 (1)如圖14，過點(diǎn)P作直線EF∥BC分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)。點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的軌跡在線段EF上。,解答題專項(xiàng),(2)說理。由動(dòng)點(diǎn)M找動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡，過點(diǎn)P，點(diǎn)A分別作BC的垂線交BC于點(diǎn)G，H(如圖)，則PG∥AH?！逷為A
8、M的中點(diǎn)，∴PG= AH。又∵AH為BC邊上的高線，∴點(diǎn)P到BC的距離為定值。在△ABC中，EF= BC= a，故動(dòng)點(diǎn)P的路徑長(zhǎng)為 a。 “夾角定位”法(又稱“旋轉(zhuǎn)+直線型”) 理論依據(jù)：平面內(nèi)，過定點(diǎn)并且與定直線的夾角為定值的點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)。如圖15，已知直線l與定點(diǎn)A，若直線BA與直線l的夾角α確定，則動(dòng)點(diǎn)B始終在直線AB上。 如圖16，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90，點(diǎn)P為BC上一動(dòng)點(diǎn)，AP=AD,∠PAD=90，線段BC長(zhǎng)為定值，在點(diǎn)P從點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的過程中，動(dòng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的路線是什么，長(zhǎng)度等于多少？,解答題專項(xiàng),【問題解決】 易證△ABP≌△ACD，故動(dòng)點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡是一條
9、線段，該線段所在直線垂直于BC，且點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的路線的長(zhǎng)度為BC長(zhǎng)。 此類問題分三步進(jìn)行思考：(1)找準(zhǔn)主動(dòng)點(diǎn)、從動(dòng)點(diǎn)以及繞哪一定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；(2)由旋轉(zhuǎn)不變性可知，主動(dòng)點(diǎn)的軌跡和從動(dòng)點(diǎn)的軌跡相同，位置不同。分析從動(dòng)點(diǎn)、主動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)之間的數(shù)量關(guān)系(比值)，從而由一個(gè)動(dòng)點(diǎn)確定另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度；(3)整體捆綁，畫出圖形，解決問題。,解答題專項(xiàng),例1 (2018陜西中考)【問題提出】 (1)如圖①，在△ABC中，∠A=120，AB=AC=5，則△ABC的外接圓的半徑R的值為 。 【問題探究】 (2)如圖②，⊙O的半徑為13，弦AB=24，M是AB 的中點(diǎn)，P是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，求PM的最大值。 【問題
10、解決】 (3)如圖③，AB，AC， 是某新區(qū)的三條規(guī)劃路， 其中AB=6 km，AC=3 km，∠BAC=60， 所 對(duì)的圓心角為60。新區(qū)管委會(huì)想在 路邊建物資總站點(diǎn)P，在AB，AC路邊分別建物資分站點(diǎn)E，F(xiàn)，也就是，分別在 ，線段AB和AC上選取點(diǎn)P，E，F(xiàn)。由于總站工作人員每天都要將物資在各物資站點(diǎn)間按P→E→F→P的路徑進(jìn)行運(yùn)輸，因此要在各物資站點(diǎn)之間規(guī)劃道路PE，EF和FP。為了快捷、環(huán)保和節(jié)約成本，要使線段PE，EF，F(xiàn)P之和最短，試求PE+EF+FP的最小值。(各物資站點(diǎn)與所在道路之間的距離、路寬均忽略不計(jì)),解答題專項(xiàng),解答題專項(xiàng),解答題專項(xiàng),類型2 探究圖形面積的最值問題 核
11、心素養(yǎng)及解題思想和方法 1.核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象。 2.數(shù)學(xué)思想方法：數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想。 3.常用解題方法：代數(shù)法和幾何法。 常見模型一 【問題情境】 1.如圖①，在△ABC中，BC=a,∠A=α，那么△ABC的面積和周長(zhǎng)是 否有最值？ 【通解通法】 知識(shí)必備：(1)三角形的面積公式;(2)同弧所對(duì)的圓周角相等。 【問題解決】 如圖②，BC確定，BC邊所對(duì)的角確定，故點(diǎn)A在△ABC的外接圓的 上。因?yàn)锽C為定值，所以當(dāng)BC邊上的高最大時(shí)△ABC的面積最大，而當(dāng)點(diǎn)A在 的中點(diǎn)A′時(shí),△ABC為等腰三角形(BC為底邊)，此時(shí)BC邊上的高最大，則△AB
12、C的面積最大。,解答題專項(xiàng),如圖③，延長(zhǎng)BA到點(diǎn)C′,使AC′=AC,連接C′C,取BC的中點(diǎn)O,以O(shè)為圓心，OB長(zhǎng)為半徑作⊙O，延長(zhǎng)BO交⊙O于點(diǎn)D,連接DC，則∠D=∠C′,B，C，C′，D四點(diǎn)共圓。因?yàn)锽D為直徑，所以當(dāng)點(diǎn)A在點(diǎn)O時(shí)，△ABC為等腰三角形(BC為底邊)，此時(shí)△ABC的周長(zhǎng)最大。 結(jié)論：定邊對(duì)定角，等腰時(shí)面積最大，周長(zhǎng)最大。 常見模型二 【問題情境】 如圖④,在△ABC中，∠BAC=45，高AD=4，則線段BC的最小值為多少，△ABC的面積的最小值是多少？ 【通解通法】 知識(shí)必備：(1)三角形的面積公式；(2)同弧所對(duì)的圓周角相等；(3)同弧所對(duì)的圓心角是圓周角的2倍；(4
13、)垂徑定理。,解答題專項(xiàng),【問題解決】 如圖⑤，作△ABC的外接圓⊙O,連接OA，OB，OC,過點(diǎn)O作OE⊥BC交BC于點(diǎn)E。 設(shè)BC=2x,則在Rt△BOE中，BE=OE=x，∴OB=OA= x?！郞A+OE≥AD,即 x+x≥4,解得x≥4( -1)，即BCmin=8( -1)。 ∵高AD為定值，∴△ABC的面積的最小值為16( -1)，此時(shí)AB=AC, △ABC為等腰三角形，此時(shí)，易證△ABC的周長(zhǎng)也最小。 結(jié)論：定角夾定高，等腰時(shí)面積最小，周長(zhǎng)最小。 常見模型三 【問題情境】如圖⑥，在△ABC中，AB=c，BC=a,∠B=α，高AD=h, 求S△ABC的定值和最值。 【通解通
14、法】知識(shí)必備：解直角三角形及銳角三角函數(shù)。 【問題解決】如圖⑥，在Rt△ABD中，h=csin α，所以S△ABC= ah= acsin α。 所以S△ABC的定值為 acsin α，最大值為 ac。 注：sin α≤1,當(dāng)sin α=1時(shí)，α=90。,解答題專項(xiàng),常見模型四 【問題情境】 如圖⑦，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC=m,BD=n,∠AOB=α，求四邊形ABCD的面積的最大值。 【通解通法】 知識(shí)必備：(1)解直角三角形；(2)斜大于直。 【問題解決】 如圖⑧，分別過點(diǎn)A，C作AF⊥BD,CG⊥BD,垂 足分別為F，G，則S四邊形ABCD=S△ABD+S△BCD。 在Rt△AOF
15、和Rt△COG中，AF=OAsin α,CG=OCsin α, ∴S四邊形ABCD= BDAF+ BDCG= n(AF+CG)= (OA+OC)n sin α= mn sin α。 ∴四邊形ABCD的面積的最大值為 mn。,解答題專項(xiàng),注：sin α≤1,當(dāng)sin α=1時(shí)，α=90。 面積定值或最值問題常見其他考點(diǎn)：面積與圖形變換(旋轉(zhuǎn)、平移、對(duì)稱、位似)相結(jié)合；面積與函數(shù)相結(jié)合等等。 知識(shí)必備：(1)相似三角形的相似比等于對(duì)應(yīng)高的比；,解答題專項(xiàng),例2 (2016陜西中考)【問題提出】 (1)如圖①，已知△ABC，請(qǐng)畫出△ABC關(guān)于直線AC對(duì)稱的三角形。 【問題探究】 (2)如圖②，在矩
16、形ABCD中，AB=4，AD=6，AE=4，AF=2，是否在邊BC，CD上分別存在點(diǎn)G，H，使四邊形EFGH的周長(zhǎng)最??？若存在，求出它的周長(zhǎng)的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由。 【問題解決】 (3)如圖③，有一矩形板材ABCD，AB=3 m， AD=6 m?，F(xiàn)想從此板材中裁出一個(gè)面積盡可 能大的四邊形EFGH部件，使∠EFG=90， EF=FG= m，∠EHG=45。經(jīng)研究，只 有當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別在邊AD，AB，BC上，且AF＜BF，并滿足點(diǎn)H在矩形ABCD內(nèi)部或邊上時(shí)，才有可能裁出符合要求的部件。試問：能否裁得符合要求的面積盡可能大的四邊形EFGH部件？若能，求出裁得的四邊形EFGH部件的面積
17、；若不能，請(qǐng)說明理由。,解答題專項(xiàng),解答題專項(xiàng),解答題專項(xiàng),解答題專項(xiàng),類型3 探究圖形面積的分割問題 核心素養(yǎng)及解題思想和方法 1.核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象。 2.數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想。 3.解題方法：代數(shù)法和幾何法。 (一) 過定點(diǎn)的三角形面積等分線 常見模型一 1.如圖①，在△ABC中 ，過點(diǎn)A作一條直線，將 三角形的面積平分。 【通法通解】 (1)理論依據(jù)：等底同高的三角形的面積相等。 (2)作法：如圖②，找出BC邊的中點(diǎn)D，過AD作一條直線即可平分△ABC的面積。,解答題專項(xiàng),常見模型二 三角形等積變換(又稱“蝴蝶型”) 如圖③，已知
18、△ABC，求作△DBC，使S△ABC=S△DBC。 理論依據(jù)：同底等高的三角形的面積相等。 作法： 如圖③，過點(diǎn)A作線段BC的平行線l,直線l上(點(diǎn)A除外)的任何一點(diǎn)滿足題目要求。易證S△BOD=S△AOC。 模型拓展 中線+蝴蝶型1 如圖④，在△ABC中，D為BC上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作一條直線，把△ABC的面積平分。,解答題專項(xiàng),【通法通解】 (1)理論依據(jù)：①等底同高的三角形的面積相等；②同底等高的三角形的面積相等。 (2)作法：找出邊BC上的中線AE，連接AD，過點(diǎn)E作EF∥AD,連接DF，DF即為所求。 (3)說理:運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，找出BC的中點(diǎn)E,則S△ABE=S△ACE。由EF∥AD，得
19、S△DEF=S△AEF，故S△FDC=S△ACE。即直線DF即為所求。 模型拓展 中線+蝴蝶型2 如圖⑤，在四邊形ABCD中，過點(diǎn)A作一條直線，把四邊形 ABCD的面積平分。 (1)理論依據(jù)：同上例。 (2)作法：連接AC,過點(diǎn)D作DE∥AC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接AE，作△ABE的邊BE上的中線AF，直線AF即為所求。 【結(jié)論】三角形的中線將三角形的面積平分，對(duì)于多邊形來說，經(jīng)過特定點(diǎn)的一條直線將面積平分等問題往往是“中線+蝴蝶型”的應(yīng)用，它是平面圖形面積平分的有效方法之一。,解答題專項(xiàng),(二)中心對(duì)稱圖形的面積等分線 如圖⑥，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O,過點(diǎn)O作一
20、條直線，將四邊形ABCD的面積平分。 【通法通解】 (1)理論依據(jù)：①中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)；②全等三角形的 面積相等。 (2)作法:過點(diǎn)O任作一條直線，即可將其面積平分。 (3)說理：易證S△AOE=S△COF，S△DOE=S△BOF，S△AOB=S△DOC,故EF平分平行四邊形的面積。 【結(jié)論】平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，過對(duì)角線交點(diǎn)的任何一條直線，都可以將平行四邊形的面積平分。矩形、菱形、正方形等特殊的平行四邊形，同樣可以采用此法將其面積平分。 模型拓展 組合圖形面積平分,解答題專項(xiàng),【通法通解】 (1)理論依據(jù)：中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)。 (2)作法：對(duì)于組合圖形，只要
21、我們把它分割成兩個(gè)常見基本圖形，如圖⑦，可分割成兩個(gè)平行四邊形，分別找出每個(gè)圖形的對(duì)稱中心，然后過兩個(gè)對(duì)稱中心作直線，該直線即可將組合圖形的面積平分。 (三)軸對(duì)稱圖形的面積等分線 常見模型三 如圖⑧，正五邊形的對(duì)稱軸將正五邊形的面積平分。 【通法通解】 (1)理論依據(jù)：軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)。 (2)作法:根據(jù)圖形的特點(diǎn)，畫出它的對(duì)稱軸。 軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸是它的面積平分線。,解答題專項(xiàng),【模型特例】 等分積周線 軸對(duì)稱圖形：它的對(duì)稱軸既平分它的面積又平分它的周長(zhǎng)；中心對(duì)稱圖形：過對(duì)稱中心的任何一條直線既平分它的面積又平分它的周長(zhǎng)。這樣的線叫做這個(gè)圖形的等分積周線。 以三角形為例：一般三角形，是否
22、有等分積周線？ 如圖⑨，作△ABC的BC邊上的中線AD,由模型一可知，AD平 分△ABC的面積。又∵AB≠AC，BD=DC,∴△ABD與△ACD 的周長(zhǎng)不相等?！噙^定點(diǎn)不存在這樣的線。,解答題專項(xiàng),分類討論思想： 如圖⑩，假設(shè)存在這樣一條直線EF,與邊BC，AB分別交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，并且平分△ABC的周長(zhǎng)，作FG⊥BC，AH⊥BC。設(shè)△ABC的面積為S，AB=c，BC=a，AC=b，則周長(zhǎng)C=a+b+c。 ∵EF平分△ABC的周長(zhǎng),∴BF+BE= ,AH= 。設(shè)BE=x，則BF= 。 易證△BGF∽△BHA,則 ,即 ，∴FG= ,當(dāng)S△BFE= S△ABC時(shí)，
23、建立方程,即 。 若有解，則EF為等分積周線。若無解，則AB， AC上不存在等分積周線。同理在AB，AC；AC，BC邊上分別尋找 滿足條件的直線。其他兩種情況，請(qǐng)同學(xué)們自己完成求解過程。,解答題專項(xiàng),例3 (2017陜西中考)【問題提出】 (1)如圖①，△ABC是等邊三角形，AB=12，若點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心，則OA的長(zhǎng)為 。 【問題探究】 (2)如圖②，在矩形ABCD中，AB=12，AD=18，如果P是AD邊上一點(diǎn)，且AP=3，那么BC邊上是否存在一點(diǎn)Q，使得線段PQ將矩形ABCD的面積平分？若存在，求出PQ的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由。 【問題解決】 (3)某城市街角有一草
24、坪，草坪是由△ABM草地和弦AB與其所對(duì)的劣弧圍成的草地組成，如圖③。管理員王師傅在M處的水管上安裝了一噴灌龍頭，以后，他想只用噴灌龍頭,解答題專項(xiàng),來給這塊草坪澆水，并且在用噴灌龍頭澆水時(shí)，既要能確保草坪的每個(gè)角落都能澆上水，又能節(jié)約用水。于是，他讓噴灌龍頭的轉(zhuǎn)角正好等于∠AMB(即每次噴灌時(shí)噴灌龍頭由MA轉(zhuǎn)到MB，再轉(zhuǎn)回，這樣往復(fù)噴灌)，同時(shí)，再合理設(shè)計(jì)好噴灌龍頭噴水的射程就可以了。 如圖③，已測(cè)出AB=24 m，MB=10 m，△AMB的面積為96 m2；過弦AB的中點(diǎn)D作DE⊥AB交 于點(diǎn)E，又測(cè)得DE=8 m。 請(qǐng)你根據(jù)以上提供的信息，幫助王師傅計(jì)算噴灌龍頭的射程至少多少米時(shí)，才能
25、實(shí)現(xiàn)他的想法？為什么？(結(jié)果保留根號(hào)或精確到0.01 m),解答題專項(xiàng),解答題專項(xiàng),解答題專項(xiàng),類型4 探究符合條件的點(diǎn)的問題 核心素養(yǎng)及解題思想和方法 1.核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象。 2.數(shù)學(xué)思想方法：數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想。 3.解題方法：代數(shù)法和幾何法。 (一)圖形中符合條件的點(diǎn)的問題 常見模型一 1.滿足最大張角(視野)的點(diǎn)的問題(米勒張角) 1471年，德國數(shù)學(xué)家米勒向諾德爾教授提出了一個(gè)有趣問題：在地球表面的什么部位，一根垂直的懸桿最長(zhǎng)？即在什么部位，視角最大？最大視角問題是數(shù)學(xué)史上100個(gè)著名的極值問題中的第一個(gè)極值問題。因?yàn)榈聡鴶?shù)學(xué)家米勒曾
26、提出這個(gè)問題，所以最大視角問題又稱為“米勒問題”，更一般的米勒問題如下： 如圖①，已知點(diǎn)A，B是∠MON的邊ON上的兩個(gè)定點(diǎn)，在OM邊上求作一點(diǎn)P，使得∠APB最大。,解答題專項(xiàng),【通法通解】 (1)知識(shí)必備：①射影定理；②圓的切線判定；③圓中同弧所對(duì)圓內(nèi) 角、圓周角、圓外角的關(guān)系。 (2)找點(diǎn)：①如圖②，以O(shè)B的長(zhǎng)為直徑作圓;②過點(diǎn)A作ON的垂線交 前圓于點(diǎn)D；③連接OD，以點(diǎn)O′為圓心，以O(shè)′B的長(zhǎng)為半徑畫弧， OM于點(diǎn)P;④連接PA，PB，則點(diǎn)P就是所要求作的點(diǎn)。 (3)說理：以P，A，B為三點(diǎn)作圓，連接BD，則∠ODB=90。又∵DA⊥OB,易證△OAD∽△ODB,∴OD2=OAOB。
27、又∵OD=OP,∴OP2=OAOB，得 。又∵∠POA=∠BOP,∴△OPA∽△OBP,∴∠OPA=∠PBO,∴OP為⊙O′的切線，P為切點(diǎn)，根據(jù)同弧所對(duì)圓周角大于圓外角，故∠APB最大。 【反思】最大視角問題在近幾年中考中頻頻亮相，常常以解析幾何、平面幾何和實(shí)際應(yīng)用為背景進(jìn)行考查，若能從題設(shè)中挖掘出其中的米勒問題模型，并能直接運(yùn)用米勒定理解題，這將會(huì)突破思維瓶頸，大大減少運(yùn)算量，降低思維難度，縮短解題長(zhǎng)度，從而使問題順利解決。否則,這類問題會(huì)成為學(xué)生的一道難題甚至一籌莫展，即使求得結(jié)果也費(fèi)時(shí)費(fèi)力，在此，我們繼續(xù)強(qiáng)化數(shù)學(xué)建模思想在壓軸題中的運(yùn)用。,解答題專項(xiàng),常見模型二 2.圖中符合條件的定
28、角問題 在矩形ABCD中，以AB為一邊，AB=a,AD≥a,在其他三邊上是否存在點(diǎn)P,使∠APB=45，若存在，請(qǐng)找出點(diǎn)P，若不存在，請(qǐng)說明理由。 【通法通解】 (1)知識(shí)必備：圓中圓心角與圓周角的關(guān)系。 (2) 找點(diǎn)：①如圖③，以AB為斜邊作等腰直角三角形ABO,使∠AOB=90;②過點(diǎn)A以點(diǎn)O為圓心，以O(shè)A的長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交AD,DC,BC于點(diǎn)P;④連接PA,PB，則點(diǎn)P就是所要求作的點(diǎn)。 (3)說理:(分類討論)∵AB=a，AD=BC≥a,故以點(diǎn)O為圓心， OA(或OB)為半徑的圓與AD,BC必有交點(diǎn)。當(dāng)a＜AD＜ 時(shí)， 與BC邊有兩個(gè)交點(diǎn)P;當(dāng)AD= 時(shí)，與DC邊有一個(gè)交點(diǎn);
29、當(dāng) AD＞ 時(shí)，與DC沒有交點(diǎn)。,解答題專項(xiàng),【反思】“數(shù)無形時(shí)難直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微”，根據(jù)條件運(yùn)用基本知識(shí)點(diǎn)借助“隱圓”找點(diǎn)，再通過相關(guān)數(shù)據(jù)準(zhǔn)確地判斷滿足條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)，達(dá)到數(shù)形結(jié)合萬般好的效果，實(shí)現(xiàn)逢河架橋、逢山開路之境界！ 隱形圓的判定：1.到定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)共圓；2.一組對(duì)角互補(bǔ)的四邊形共圓； 3.一個(gè)外角等于和它不相鄰的內(nèi)對(duì)角的四邊形共圓；4.蝴蝶型對(duì)應(yīng)角相等；5.定邊對(duì)定角、定高對(duì)定角必有隱形圓。,(二)平面中符合條件的其他圖形的點(diǎn)的存在性問題 符合條件的圖形的點(diǎn)及解的問題處理策略： 等腰三角形：利用“兩圓一線”法找點(diǎn)，建立坐標(biāo)系或用方程解決問題； 直角三角形：“兩線一圓”
30、法找點(diǎn)，利用勾股定理或相似解決問題； 平行四邊形：“平行線構(gòu)造”法或“對(duì)角線互相平分”法找點(diǎn)，利用平移規(guī)律、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、全等解決問題。 以上模型，前文已有詳細(xì)講解，此處不再贅述。,解答題專項(xiàng),【小技巧】(1)60角考慮等邊三角形或特殊直角三角形，探究點(diǎn)的問題，常見“隱圓”常做腳手架；(2)當(dāng)出現(xiàn)90角的問題，常與“隱圓”、相似、三角函數(shù)轉(zhuǎn)移角結(jié)合；(3)點(diǎn)的特殊性決定角或邊的情況，分類討論是靈魂。 相似三角形中的幾個(gè)重要結(jié)論和模型： 1.如圖④，普通母子型,結(jié)論：AC2 =ADAB。 2.如圖⑤，射影定理(特殊母子型) 結(jié)論：AC2 =ADAB;BC2 =BDAB;CD2 =BDAD。 3.
31、一線三等角 如圖⑥，三垂直(∠C=∠ABE=∠D),△ACB∽△BDE。 如圖⑦，三個(gè)60(∠B=∠ADE=∠C),△ABD∽△DCE。 如圖⑧，三等角(∠B=∠ACE=∠D), △ABC∽△CDE。,解答題專項(xiàng),例4 【問題探究】 (1)如圖①，在矩形ABCD中，AB=2,BC=4,如果BC邊上存在點(diǎn)P，使△APD為直角三角形，那么請(qǐng)畫出滿足條件的一個(gè)直角三角形，并求出此時(shí)AP的長(zhǎng)； (2)如圖②，在四邊形ABCD中，AB∥CD,∠B=90,AD=10,AB=7,CD=1,點(diǎn)P在邊BC上，且∠APD=90，求BP的長(zhǎng)。 【問題解決】 (3)如圖③，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B，C分 別是某單位的門房及兩個(gè)倉庫，其中OA=100 m， AB=200 m，OC=300 m，單位負(fù)責(zé)人想選一點(diǎn)P安裝 監(jiān)控裝置，用來監(jiān)控AB,使△APB的面積最大，且 ∠APB=2∠ACB,是否存在滿足條件的點(diǎn)P？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。,解答題專項(xiàng),
2019屆中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 專項(xiàng)二 解答題專項(xiàng) 十一、幾何綜合探究題課件.ppt
