2019年機(jī)器人學(xué)導(dǎo)論復(fù)習(xí)題及參考答案河南理工大學(xué).pdf

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1、1 機(jī) 器 人 學(xué) 導(dǎo) 論一 、 名 詞 解 釋 題 ：1.自 由 度 ：2.機(jī) 器 人 工 作 載 荷 ：3.柔 性 手 ：4.制 動(dòng) 器 失 效 抱 閘 ：5.機(jī) 器 人 運(yùn) 動(dòng) 學(xué) ：6.機(jī) 器 人 動(dòng) 力 學(xué) ：7.虛 功 原 理 ：8.PWM 驅(qū) 動(dòng) ：9.電 機(jī) 無 自 轉(zhuǎn) ：10.直 流 伺 服 電 機(jī) 的 調(diào) 節(jié) 特 性 ：11.直 流 伺 服 電 機(jī) 的 調(diào) 速 精 度 ：12.PID控 制 ： 13.壓 電 元 件 ：14.圖 像 銳 化 ：15.隸 屬 函 數(shù) ：16.BP網(wǎng) 絡(luò) ：17.脫 機(jī) 編 程 ：18.AUV：二 、 簡 答 題 ：1.機(jī) 器 人 學(xué) 主 要 包

2、 含 哪 些 研 究 內(nèi) 容 ？2.機(jī) 器 人 常 用 的 機(jī) 身 和 臂 部 的 配 置 型 式 有 哪 些 ？3.拉 格 朗 日 運(yùn) 動(dòng) 方 程 式 的 一 般 表 示 形 式 與 各 變 量 含 義 ？4.機(jī) 器 人 控 制 系 統(tǒng) 的 基 本 單 元 有 哪 些 ？5.直 流 電 機(jī) 的 額 定 值 有 哪 些 ？6.常 見 的 機(jī) 器 人 外 部 傳 感 器 有 哪 些 ？7.簡 述 脈 沖 回 波 式 超 聲 波 傳 感 器 的 工 作 原 理 。 8.機(jī) 器 人 視 覺 的 硬 件 系 統(tǒng) 由 哪 些 部 分 組 成 ？9.為 什 么 要 做 圖 像 的 預(yù) 處 理 ？ 機(jī) 器

3、視 覺 常 用 的 預(yù) 處 理 步 驟 有 哪 些 ？10.請 簡 述 模 糊 控 制 器 的 組 成 及 各 組 成 部 分 的 用 途 。11.從 描 述 操 作 命 令 的 角 度 看 ， 機(jī) 器 人 編 程 語 言 可 分 為 哪 幾 類 ？12.仿 人 機(jī) 器 人 的 關(guān) 鍵 技 術(shù) 有 哪 些 ？三 、 論 述 題 ：1.試 論 述 機(jī) 器 人 技 術(shù) 的 發(fā) 展 趨 勢 。2.試 論 述 精 度 、 重 復(fù) 精 度 與 分 辨 率 之 間 的 關(guān) 系 。3.試 論 述 輪 式 行 走 機(jī) 構(gòu) 和 足 式 行 走 機(jī) 構(gòu) 的 特 點(diǎn) 和 各 自 適 用 的 場 合 。4.試 論 述

4、 機(jī) 器 人 靜 力 學(xué) 、 動(dòng) 力 學(xué) 、 運(yùn) 動(dòng) 學(xué) 的 關(guān) 系 。5.機(jī) 器 人 單 關(guān) 節(jié) 伺 服 控 制 中 ， 位 置 反 饋 增 益 和 速 度 反 饋 增 益 是 如 何 確 定 的 ？6.試 論 述 工 業(yè) 機(jī) 器 人 的 應(yīng) 用 準(zhǔn) 則 。四 、 計(jì) 算 題 ： （ 需 寫 出 計(jì) 算 步 驟 ， 無 計(jì) 算 步 驟 不 能 得 分 ） ：1.已 知 點(diǎn) u 的 坐 標(biāo) 為 [7,3,2] T， 對 點(diǎn) u 依 次 進(jìn) 行 如 下 的 變 換 ： （ 1） 繞 z 軸 旋 轉(zhuǎn) 90 得 到 點(diǎn) v； （ 2） 繞 y軸 旋 轉(zhuǎn) 90 得 到 點(diǎn) w； （ 3） 沿 x 軸

5、平 移 4個(gè) 單 位 ， 再 沿 y 軸 平 移 -3個(gè) 單 位 ， 最 后 沿 z 軸 平 移 7個(gè) 單位 得 到 點(diǎn) t。 求 u, v, w, t 各 點(diǎn) 的 齊 次 坐 標(biāo) 。 2 2.如 圖 所 示 為 具 有 三 個(gè) 旋 轉(zhuǎn) 關(guān) 節(jié) 的 3R機(jī) 械 手 ， 求 末 端 機(jī) 械 手 在 基 坐 標(biāo) 系 {x0,y0}下 的 運(yùn) 動(dòng) 學(xué) 方 程 。 3.如 圖 所 示 為 平 面 內(nèi) 的 兩 旋 轉(zhuǎn) 關(guān) 節(jié) 機(jī) 械 手 ， 已 知 機(jī) 器 人 末 端 的 坐 標(biāo) 值 {x,y}， 試 求 其 關(guān) 節(jié) 旋 轉(zhuǎn) 變 量 θ 1和 θ 2. 4.如 圖 所 示 兩 自 由 度 機(jī) 械 手 在

6、 如 圖 位 置 時(shí) （ θ 1=0, θ 2=π /2） ， 生 成 手 爪 力 FA =[ fx 0]T 或 FB =[0fy ]T。 求 對 應(yīng) 的 驅(qū) 動(dòng) 力 τ A和 τ B 。 3 5.如 圖 所 示 的 兩 自 由 度 機(jī) 械 手 ， 手 部 沿 固 定 坐 標(biāo) 系 在 手 上 X0軸 正 向 以 1.0m/s 的 速 度 移 動(dòng) ， 桿 長l1=l2=0.5m。 設(shè) 在 某 時(shí) 刻 θ 1=30 ， θ 2=-60 ， 求 該 時(shí) 刻 的 關(guān) 節(jié) 速 度 。 已 知 兩 自 由 度 機(jī) 械 手 速 度 雅可 比 矩 陣 為 1 1 2 12 2 121 1 2 12 2 12l

7、 s l s l sl c l c l c??? ? ?? ??? ??? ?J 6.如 圖 所 示 的 三 自 由 度 機(jī) 械 手 （ 兩 個(gè) 旋 轉(zhuǎn) 關(guān) 節(jié) 加 一 個(gè) 平 移 關(guān) 節(jié) ， 簡 稱 RPR機(jī) 械 手 ） ， 求 末 端 機(jī) 械 手 的運(yùn) 動(dòng) 學(xué) 方 程 。 4 參 考 答 案一 、 名 詞 解 釋 題 ：1. 自 由 度 ： 指 描 述 物 體 運(yùn) 動(dòng) 所 需 要 的 獨(dú) 立 坐 標(biāo) 數(shù) 。2. 機(jī) 器 人 工 作 載 荷 ： 機(jī) 器 人 在 規(guī) 定 的 性 能 范 圍 內(nèi) ， 機(jī) 械 接 口 處 能 承 受 的 最 大 負(fù) 載 量 （ 包 括 手 部 ） 。3. 柔 性

8、手 ： 可 對 不 同 外 形 物 體 實(shí) 施 抓 取 ， 并 使 物 體 表 面 受 力 比 較 均 勻 的 機(jī) 器 人 手 部 結(jié) 構(gòu) 。4. 制 動(dòng) 器 失 效 抱 閘 ： 指 要 放 松 制 動(dòng) 器 就 必 須 接 通 電 源 ， 否 則 ， 各 關(guān) 節(jié) 不 能 產(chǎn) 生 相 對 運(yùn) 動(dòng) 。5. 機(jī) 器 人 運(yùn) 動(dòng) 學(xué) ： 從 幾 何 學(xué) 的 觀 點(diǎn) 來 處 理 手 指 位 置 與 關(guān) 節(jié) 變 量 的 關(guān) 系 稱 為 運(yùn) 動(dòng) 學(xué) 。6. 機(jī) 器 人 動(dòng) 力 學(xué) ： 機(jī) 器 人 各 關(guān) 節(jié) 變 量 對 時(shí) 間 的 一 階 導(dǎo) 數(shù) 、 二 階 導(dǎo) 數(shù) 與 各 執(zhí) 行 器 驅(qū) 動(dòng) 力 或 力

9、矩 之 間 的關(guān) 系 ， 即 機(jī) 器 人 機(jī) 械 系 統(tǒng) 的 運(yùn) 動(dòng) 方 程 。7. 虛 功 原 理 ： 約 束 力 不 作 功 的 力 學(xué) 系 統(tǒng) 實(shí) 現(xiàn) 平 衡 的 必 要 且 充 分 條 件 是 對 結(jié) 構(gòu) 上 允 許 的 任 意 位 移 （ 虛 位移 ） 施 力 所 作 功 之 和 為 零 。8. PWM 驅(qū) 動(dòng) ： 脈 沖 寬 度 調(diào) 制 （ Pulse Width Modulation） 驅(qū) 動(dòng) 。9. 電 機(jī) 無 自 轉(zhuǎn) ： 控 制 電 壓 降 到 零 時(shí) ， 伺 服 電 動(dòng) 機(jī) 能 立 即 自 行 停 轉(zhuǎn) 。 10.直 流 伺 服 電 機(jī) 的 調(diào) 節(jié) 特 性 ： 是 指 轉(zhuǎn) 矩

10、 恒 定 時(shí) ， 電 動(dòng) 機(jī) 的 轉(zhuǎn) 速 隨 控 制 電 壓 變 化 的 關(guān) 系 。11.直 流 伺 服 電 機(jī) 的 調(diào) 速 精 度 ： 指 調(diào) 速 裝 置 或 系 統(tǒng) 的 給 定 角 速 度 與 帶 額 定 負(fù) 載 時(shí) 的 實(shí) 際 角 速 度 之差 ， 與 給 定 轉(zhuǎn) 速 之 比 。12.PID 控 制 ： 指 按 照 偏 差 的 比 例 （ P, proportional） 、 積 分 （ I, integral） 、 微 分 （ D, derivative）進(jìn) 行 控 制 。13.壓 電 元 件 ： 指 某 種 物 質(zhì) 上 施 加 壓 力 就 會(huì) 產(chǎn) 生 電 信 號(hào) ， 即 產(chǎn) 生 壓

11、電 現(xiàn) 象 的 元 件 。14.圖 像 銳 化 ： 突 出 圖 像 中 的 高 頻 成 分 ， 使 輪 廓 增 強(qiáng) 。15.隸 屬 函 數(shù) ： 表 示 論 域 U 中 的 元 素 u 屬 于 模 糊 子 集 A 的 程 度 ， 在 [0, 1]閉 區(qū) 間 內(nèi) 可 連 續(xù) 取 值 。16.BP 網(wǎng) 絡(luò) ： BP (Back Propagation)神 經(jīng) 網(wǎng) 絡(luò) 是 基 于 誤 差 反 向 傳 播 算 法 的 人 工 神 經(jīng) 網(wǎng) 絡(luò) 。17.脫 機(jī) 編 程 ： 指 用 機(jī) 器 人 程 序 語 言 預(yù) 先 進(jìn) 行 程 序 設(shè) 計(jì) ， 而 不 是 用 示 教 的 方 法 編 程 。18.AUV： A

12、utonomous Underwater Vehicle 無 纜 自 治 水 下 機(jī) 器 人 ， 或 自 動(dòng) 海 底 車 。二 、 簡 答 題 ：1.答 ： 機(jī) 器 人 研 究 的 基 礎(chǔ) 內(nèi) 容 有 以 下 幾 方 面 ： (1) 空 間 機(jī) 構(gòu) 學(xué) ； (2) 機(jī) 器 人 運(yùn) 動(dòng) 學(xué) ； (3) 機(jī) 器 人 靜 力學(xué) ； (4)機(jī) 器 人 動(dòng) 力 學(xué) ； (5)機(jī) 器 人 控 制 技 術(shù) ； (6)機(jī) 器 人 傳 感 器 ； (7)機(jī) 器 人 語 言 。 2.答 ： 目 前 常 用 的 有 如 下 幾 種 形 式 ： (1)橫 梁 式 。 機(jī) 身 設(shè) 計(jì) 成 橫 梁 式 ， 用 于 懸 掛

13、 手 臂 部 件 ， 具 有 占 地面 積 小 ， 能 有 效 地 利 用 空 間 ， 直 觀 等 優(yōu) 點(diǎn) 。 (2)立 柱 式 。 多 采 用 回 轉(zhuǎn) 型 、 俯 仰 型 或 屈 伸 型 的 運(yùn) 動(dòng) 型 式 ， 一般 臂 部 都 可 在 水 平 面 內(nèi) 回 轉(zhuǎn) ， 具 有 占 地 面 積 小 而 工 作 范 圍 大 的 特 點(diǎn) 。 (3)機(jī) 座 式 。 可 以 是 獨(dú) 立 的 、 自 成 系統(tǒng) 的 完 整 裝 置 ， 可 隨 意 安 放 和 搬 動(dòng) 。 也 可 以 具 有 行 走 機(jī) 構(gòu) ， 如 沿 地 面 上 的 專 用 軌 道 移 動(dòng) ， 以 擴(kuò) 大 其 活 動(dòng) 范圍 。 (4)屈 伸

14、式 。 臂 部 由 大 小 臂 組 成 ， 大 小 臂 間 有 相 對 運(yùn) 動(dòng) ， 稱 為 屈 伸 臂 ， 可 以 實(shí) 現(xiàn) 平 面 運(yùn) 動(dòng) ， 也 可 以 作空 間 運(yùn) 動(dòng) 。3.答 ： 拉 格 朗 日 運(yùn) 動(dòng) 方 程 式 一 般 表 示 為 ： dd L L τt q q? ?? ?? ?? ?? ?? ??式 中 ， q 是 廣 義 坐 標(biāo) ； τ是 廣 義 力 。 L 是 拉 格 朗 日 算 子 ， 表 示 為L K P? ?這 里 ， K 是 動(dòng) 能 ； P 是 位 能 。 4.答 ： 構(gòu) 成 機(jī) 器 人 控 制 系 統(tǒng) 的 基 本 要 素 包 括 ： (1) 電 動(dòng) 機(jī) ， 提 供

15、驅(qū) 動(dòng) 機(jī) 器 人 運(yùn) 動(dòng) 的 驅(qū) 動(dòng) 力 。 (2) 減 速器 ， 為 了 增 加 驅(qū) 動(dòng) 力 矩 、 降 低 運(yùn) 動(dòng) 速 度 。 (3) 驅(qū) 動(dòng) 電 路 ， 由 于 直 流 伺 服 電 動(dòng) 機(jī) 或 交 流 伺 服 電 動(dòng) 機(jī) 的 流 經(jīng) 電流 較 大 ， 機(jī) 器 人 常 采 用 脈 沖 寬 度 調(diào) 制 （ PWM） 方 式 進(jìn) 行 驅(qū) 動(dòng) 。 (4) 運(yùn) 動(dòng) 特 性 檢 測 傳 感 器 ， 用 于 檢 測 機(jī) 器 人運(yùn) 動(dòng) 的 位 置 、 速 度 、 加 速 度 等 參 數(shù) 。 (5) 控 制 系 統(tǒng) 的 硬 件 ， 以 計(jì) 算 機(jī) 為 基 礎(chǔ) ， 采 用 協(xié) 調(diào) 級(jí) 與 執(zhí) 行 級(jí) 的

16、二 級(jí)結(jié) 構(gòu) 。 (6) 控 制 系 統(tǒng) 的 軟 件 ， 實(shí) 現(xiàn) 對 機(jī) 器 人 運(yùn) 動(dòng) 特 性 的 計(jì) 算 、 機(jī) 器 人 的 智 能 控 制 和 機(jī) 器 人 與 人 的 信 息 交 換等 功 能 。5.答 ： 直 流 電 動(dòng) 機(jī) 的 額 定 值 有 以 下 幾 項(xiàng) ： (1)額 定 功 率 ， 是 指 按 照 規(guī) 定 的 工 作 方 式 運(yùn) 行 時(shí) 所 能 提 供 的 5 輸 出 功 率 。 對 電 動(dòng) 機(jī) 來 說 ， 額 定 功 率 是 指 軸 上 輸 出 的 機(jī) 械 功 率 ， 單 位 為 kW。 (2)額 定 電 壓 ， 是 電 動(dòng) 機(jī) 電 樞繞 組 能 夠 安 全 工 作 的 最

17、大 外 加 電 壓 或 輸 出 電 壓 ， 單 位 為 V。 (3)額 定 電 流 ， 是 指 電 動(dòng) 機(jī) 按 照 規(guī) 定 的 工 作 方 式運(yùn) 行 時(shí) ， 電 樞 繞 組 允 許 流 過 的 最 大 電 流 ， 單 位 為 A。 (4)額 定 轉(zhuǎn) 速 ， 指 電 動(dòng) 機(jī) 在 額 定 電 壓 、 額 定 電 流 和 輸 出額 定 功 率 的 情 況 下 運(yùn) 行 時(shí) ， 電 動(dòng) 機(jī) 的 旋 轉(zhuǎn) 速 度 ， 單 位 為 r/min。6.答 ： 常 見 的 外 部 傳 感 器 包 括 觸 覺 傳 感 器 ， 分 為 接 觸 覺 傳 感 器 、 壓 覺 傳 感 器 、 滑 覺 傳 感 器 和 力 覺

18、傳 感器 。 距 離 傳 感 器 ， 包 括 超 聲 波 傳 感 器 ， 接 近 覺 傳 感 器 ， 以 及 視 覺 傳 感 器 、 聽 覺 傳 感 器 、 嗅 覺 傳 感 器 、 味 覺傳 感 器 等 。7.答 ： 在 脈 沖 回 波 式 中 ， 先 將 超 聲 波 用 脈 沖 調(diào) 制 后 發(fā) 射 ， 根 據(jù) 經(jīng) 被 測 物 體 反 射 回 來 的 回 波 延 遲 時(shí) 間 Δt， 計(jì) 算 出 被 測 物 體 的 距 離 R， 假 設(shè) 空 氣 中 的 聲 速 為 v， 則 被 測 物 與 傳 感 器 間 的 距 離 R 為 ：/2R v t? ??如 果 空 氣 溫 度 為 T（ ℃ )， 則

19、 聲 速 v 可 由 下 式 求 得 ：? ?331.5 0.607 m/sv T? ? 8.答 ： (1) 景 物 和 距 離 傳 感 器 ， 常 用 的 有 攝 像 機(jī) 、 CCD圖 像 傳 感 器 、 超 聲 波 傳 感 器 和 結(jié) 構(gòu) 光 設(shè) 備 等 ；(2) 視 頻 信 號(hào) 數(shù) 字 化 設(shè) 備 ， 其 任 務(wù) 是 把 攝 像 機(jī) 或 者 CCD輸 出 的 信 號(hào) 轉(zhuǎn) 換 成 方 便 計(jì) 算 和 分 析 的 數(shù) 字 信 號(hào) ； (3)視 頻 信 號(hào) 處 理 器 ， 視 頻 信 號(hào) 實(shí) 時(shí) 、 快 速 、 并 行 算 法 的 硬 件 實(shí) 現(xiàn) 設(shè) 備 ： 如 DSP系 統(tǒng) ； (4) 計(jì)

20、算 機(jī) 及 其 設(shè) 備 ，根 據(jù) 系 統(tǒng) 的 需 要 可 以 選 用 不 同 的 計(jì) 算 機(jī) 及 其 外 設(shè) 來 滿 足 機(jī) 器 人 視 覺 信 息 處 理 及 其 機(jī) 器 人 控 制 的 需 要 ； (5)機(jī) 器 人 或 機(jī) 械 手 及 其 控 制 器 。9.答 ： 預(yù) 處 理 的 主 要 目 的 是 清 楚 原 始 圖 像 中 各 種 噪 聲 等 無 用 的 信 息 ， 改 進(jìn) 圖 像 的 質(zhì) 量 ， 增 強(qiáng) 興 趣 的 有用 信 息 的 可 檢 測 性 。 從 而 使 得 后 面 的 分 割 、 特 征 抽 取 和 識(shí) 別 處 理 得 以 簡 化 ， 并 提 高 其 可 靠 性 。 機(jī)

21、器 視 覺 常用 的 預(yù) 處 理 包 括 去 噪 、 灰 度 變 換 和 銳 化 等 。10.答 ： 模 糊 邏 輯 控 制 器 由 4 個(gè) 基 本 部 分 組 成 ， 即 模 糊 化 、 知 識(shí) 庫 、 推 理 算 法 和 逆 模 糊 化 。 (1) 模 糊化 ： 將 檢 測 輸 入 變 量 值 變 換 成 相 應(yīng) 的 論 域 ， 將 輸 入 數(shù) 據(jù) 轉(zhuǎn) 換 成 合 適 的 語 言 值 。 (2) 知 識(shí) 庫 ： 包 含 應(yīng) 用 領(lǐng) 域的 知 識(shí) 和 控 制 目 標(biāo) ， 它 由 數(shù) 據(jù) 和 模 糊 語 言 控 制 規(guī) 則 組 成 。 (3) 推 理 算 法 ： 從 一 些 模 糊 前 提 條

22、 件 推 導(dǎo) 出 某 一結(jié) 論 ， 這 種 結(jié) 論 可 能 存 在 模 糊 和 確 定 兩 種 情 況 。 (4) 逆 模 糊 化 ： 將 推 理 所 得 到 的 模 糊 值 轉(zhuǎn) 換 為 明 確 的 控 制訊 號(hào) ， 作 為 系 統(tǒng) 的 輸 入 值 。11.答 ： 機(jī) 器 人 編 程 語 言 可 分 為 ： (1) 動(dòng) 作 級(jí) ： 以 機(jī) 器 人 末 端 執(zhí) 行 器 的 動(dòng) 作 為 中 心 來 描 述 各 種 操 作 ， 要 在 程 序 中 說 明 每 個(gè) 動(dòng) 作 。 (2) 對 象 級(jí) ： 允 許 較 粗 略 地 描 述 操 作 對 象 的 動(dòng) 作 、 操 作 對 象 之 間 的 關(guān) 系 等

23、 ， 特別 適 用 于 組 裝 作 業(yè) 。 (3) 任 務(wù) 級(jí) ： 只 要 直 接 指 定 操 作 內(nèi) 容 就 可 以 了 ， 為 此 ， 機(jī) 器 人 必 須 一 邊 思 考 一 邊 工 作 。12.答 ： (1) 仿 人 機(jī) 器 人 的 機(jī) 構(gòu) 設(shè) 計(jì) ； (2) 仿 人 機(jī) 器 人 的 運(yùn) 動(dòng) 操 作 控 制 ， 包 括 實(shí) 時(shí) 行 走 控 制 、 手 部 操作 的 最 優(yōu) 姿 態(tài) 控 制 、 自 身 碰 撞 監(jiān) 測 、 三 維 動(dòng) 態(tài) 仿 真 、 運(yùn) 動(dòng) 規(guī) 劃 和 軌 跡 跟 蹤 ； (3) 仿 人 機(jī) 器 人 的 整 體 動(dòng) 力 學(xué)及 運(yùn) 動(dòng) 學(xué) 建 模 ； (4) 仿 人 機(jī) 器

24、人 控 制 系 統(tǒng) 體 系 結(jié) 構(gòu) 的 研 究 ； (5) 仿 人 機(jī) 器 人 的 人 機(jī) 交 互 研 究 ， 包 括 視 覺 、語 音 及 情 感 等 方 面 的 交 互 ； (6) 動(dòng) 態(tài) 行 為 分 析 和 多 傳 感 器 信 息 融 合 。三 、 論 述 題 ：1.答 ： 科 學(xué) 技 術(shù) 水 平 是 機(jī) 器 人 技 術(shù) 的 基 礎(chǔ) ， 科 學(xué) 與 技 術(shù) 的 發(fā) 展 將 會(huì) 使 機(jī) 器 人 技 術(shù) 提 高 到 一 個(gè) 更 高 的 水平 。 未 來 機(jī) 器 人 技 術(shù) 的 主 要 研 究 內(nèi) 容 集 中 在 以 下 幾 個(gè) 方 面 ： (1) 工 業(yè) 機(jī) 器 人 操 作 機(jī) 結(jié) 構(gòu) 的

25、優(yōu) 化 設(shè) 計(jì) 技 術(shù) 。探 索 新 的 高 強(qiáng) 度 輕 質(zhì) 材 料 ， 進(jìn) 一 步 提 高 負(fù) 載 -自 重 比 ， 同 時(shí) 機(jī) 構(gòu) 向 著 模 塊 化 、 可 重 構(gòu) 方 向 發(fā) 展 。 (2) 機(jī) 器人 控 制 技 術(shù) 。 重 點(diǎn) 研 究 開 放 式 、 模 塊 化 控 制 系 統(tǒng) ， 人 機(jī) 界 面 更 加 友 好 ， 語 言 、 圖 形 編 程 界 面 正 在 研 制 之 中 。機(jī) 器 人 控 制 器 的 標(biāo) 準(zhǔn) 化 和 網(wǎng) 絡(luò) 化 以 及 基 于 PC 機(jī) 網(wǎng) 絡(luò) 式 控 制 器 已 成 為 研 究 熱 點(diǎn) 。 (3) 多 傳 感 系 統(tǒng) 。 為 進(jìn) 一步 提 高 機(jī) 器 人 的

26、智 能 和 適 應(yīng) 性 ， 多 種 傳 感 器 的 使 用 是 其 問 題 解 決 的 關(guān) 鍵 。 其 研 究 熱 點(diǎn) 在 于 有 效 可 行 的 多 傳感 器 融 合 算 法 ， 特 別 是 在 非 線 性 及 非 平 穩(wěn) 、 非 正 態(tài) 分 布 的 情 形 下 的 多 傳 感 器 融 合 算 法 。 (4) 機(jī) 器 人 遙 控 及 監(jiān) 控 技 術(shù) ， 機(jī) 器 人 半 自 主 和 自 主 技 術(shù) 。 多 機(jī) 器 人 和 操 作 者 之 間 的 協(xié) 調(diào) 控 制 ， 通 過 網(wǎng) 絡(luò) 建 立 大 范 圍 內(nèi) 的 機(jī) 器人 遙 控 系 統(tǒng) ， 在 有 時(shí) 延 的 情 況 下 ， 建 立 預(yù) 先 顯

27、示 進(jìn) 行 遙 控 等 。 (5) 虛 擬 機(jī) 器 人 技 術(shù) 。 基 于 多 傳 感 器 、 多 媒體 和 虛 擬 現(xiàn) 實(shí) 以 及 臨 場 感 應(yīng) 技 術(shù) ， 實(shí) 現(xiàn) 機(jī) 器 人 的 虛 擬 遙 控 操 作 和 人 機(jī) 交 互 。 (6) 多 智 能 體 控 制 技 術(shù) 。 這 是目 前 機(jī) 器 人 研 究 的 一 個(gè) 嶄 新 領(lǐng) 域 。 主 要 對 多 智 能 體 的 群 體 體 系 結(jié) 構(gòu) 、 相 互 間 的 通 信 與 磋 商 機(jī) 理 ， 感 知 與 學(xué)習(xí) 方 法 ， 建 模 和 規(guī) 劃 、 群 體 行 為 控 制 等 方 面 進(jìn) 行 研 究 。 (7) 微 型 和 微 小 機(jī) 器 人

28、 技 術(shù) 。 這 是 機(jī) 器 人 研 究 的 一個(gè) 新 的 領(lǐng) 域 和 重 點(diǎn) 發(fā) 展 方 向 。 過 去 的 研 究 在 該 領(lǐng) 域 幾 乎 是 空 白 ， 因 此 該 領(lǐng) 域 研 究 的 進(jìn) 展 將 會(huì) 引 起 機(jī) 器 人 技術(shù) 的 一 場 革 命 ， 并 且 對 社 會(huì) 進(jìn) 步 和 人 類 活 動(dòng) 的 各 個(gè) 方 面 產(chǎn) 生 不 可 估 量 的 影 響 ， 微 型 機(jī) 器 人 技 術(shù) 的 研 究 主 要集 中 在 系 統(tǒng) 結(jié) 構(gòu) 、 運(yùn) 動(dòng) 方 式 、 控 制 方 ， 法 、 傳 感 技 術(shù) 、 通 信 技 術(shù) 以 及 行 走 技 術(shù) 等 方 面 。 (8) 軟 機(jī) 器 人 技 術(shù) 。

29、6 主 要 用 于 醫(yī) 療 、 護(hù) 理 、 休 閑 和 娛 樂 場 合 。 傳 統(tǒng) 機(jī) 器 人 設(shè) 計(jì) 未 考 慮 與 人 緊 密 共 處 ， 因 此 其 結(jié) 構(gòu) 材 料 多 為 金 屬或 硬 性 材 料 ， 軟 機(jī) 器 人 技 術(shù) 要 求 其 結(jié) 構(gòu) 、 控 制 方 式 和 所 用 傳 感 系 統(tǒng) 在 機(jī) 器 人 意 外 地 與 環(huán) 境 或 人 碰 撞 時(shí) 是 安全 的 ， 機(jī) 器 人 對 人 是 友 好 的 。 (9) 仿 人 和 仿 生 技 術(shù) 。 這 是 機(jī) 器 人 技 術(shù) 發(fā) 展 的 最 高 境 界 ， 目 前 僅 在 某 些 方 面進(jìn) 行 一 些 基 礎(chǔ) 研 究 。2.答 ： 精

30、度 、 重 復(fù) 精 度 和 分 辨 率 用 來 定 義 機(jī) 器 人 手 部 的 定 位 能 力 。精 度 是 一 個(gè) 位 置 量 相 對 于 其 參 照 系 的 絕 對 度 量 ， 指 機(jī) 器 人 手 部 實(shí) 際 到 達(dá) 位 置 與 所 需 要 到 達(dá) 的 理 想 位 置 之 間的 差 距 。 機(jī) 器 人 的 精 度 決 定 于 機(jī) 械 精 度 與 電 氣 精 度 。重 復(fù) 精 度 指 在 相 同 的 運(yùn) 動(dòng) 位 置 命 令 下 ， 機(jī) 器 人 連 續(xù) 若 干 次 運(yùn) 動(dòng) 軌 跡 之 間 的 誤 差 度 量 。 如 果 機(jī) 器 人 重 復(fù) 執(zhí) 行某 位 置 給 定 指 令 ， 它 每 次 走

31、過 的 距 離 并 不 相 同 ， 而 是 在 一 平 均 值 附 近 變 化 ， 該 平 均 值 代 表 精 度 ， 而 變 化 的幅 度 代 表 重 復(fù) 精 度 。分 辨 率 是 指 機(jī) 器 人 每 根 軸 能 夠 實(shí) 現(xiàn) 的 最 小 移 動(dòng) 距 離 或 最 小 轉(zhuǎn) 動(dòng) 角 度 。 精 度 和 分 辨 率 不 一 定 相 關(guān) 。 一 臺(tái) 設(shè) 備的 運(yùn) 動(dòng) 精 度 是 指 命 令 設(shè) 定 的 運(yùn) 動(dòng) 位 置 與 該 設(shè) 備 執(zhí) 行 此 命 令 后 能 夠 達(dá) 到 的 運(yùn) 動(dòng) 位 置 之 間 的 差 距 ， 分 辨 率 則 反映 了 實(shí) 際 需 要 的 運(yùn) 動(dòng) 位 置 和 命 令 所 能 夠

32、設(shè) 定 的 位 置 之 間 的 差 距 。工 業(yè) 機(jī) 器 人 的 精 度 、 重 復(fù) 精 度 和 分 辨 率 要 求 是 根 據(jù) 其 使 用 要 求 確 定 的 。 機(jī) 器 人 本 身 所 能 達(dá) 到 的 精 度 取 決 于 機(jī) 器 人 結(jié) 構(gòu) 的 剛 度 、 運(yùn) 動(dòng) 速 度 控 制 和 驅(qū) 動(dòng) 方 式 、 定 位 和 緩 沖 等 因 素 。由 于 機(jī) 器 人 有 轉(zhuǎn) 動(dòng) 關(guān) 節(jié) ， 不 同 回 轉(zhuǎn) 半 徑 時(shí) 其 直 線 分 辨 率 是 變 化 的 ， 因 此 造 成 了 機(jī) 器 人 的 精 度 難 以 確 定 。 由于 精 度 一 般 較 難 測 定 ， 通 常 工 業(yè) 機(jī) 器 人 只 給

33、 出 重 復(fù) 精 度 。3.答 ： 輪 式 行 走 機(jī) 器 人 是 機(jī) 器 人 中 應(yīng) 用 最 多 的 一 種 機(jī) 器 人 ， 在 相 對 平 坦 的 地 面 上 ， 用 車 輪 移 動(dòng) 方 式 行走 是 相 當(dāng) 優(yōu) 越 的 。 車 輪 的 形 狀 或 結(jié) 構(gòu) 形 式 取 決 于 地 面 的 性 質(zhì) 和 車 輛 的 承 載 能 力 。 在 軌 道 上 運(yùn) 行 的 多 采 用 實(shí)心 鋼 輪 ， 室 外 路 面 行 駛 的 采 用 充 氣 輪 胎 ， 室 內(nèi) 平 坦 地 面 上 的 可 采 用 實(shí) 心 輪 胎 。 足 式 行 走 對 崎 嶇 路 面 具 有 很好 的 適 應(yīng) 能 力 ， 足 式 運(yùn)

34、 動(dòng) 方 式 的 立 足 點(diǎn) 是 離 散 的 點(diǎn) ， 可 以 在 可 能 到 達(dá) 的 地 面 上 選 擇 最 優(yōu) 的 支 撐 點(diǎn) ， 而 輪 式行 走 工 具 必 須 面 臨 最 壞 的 地 形 上 的 幾 乎 所 有 點(diǎn) ； 足 式 運(yùn) 動(dòng) 方 式 還 具 有 主 動(dòng) 隔 震 能 力 ， 盡 管 地 面 高 低 不 平 ，機(jī) 身 的 運(yùn) 動(dòng) 仍 然 可 以 相 當(dāng) 平 穩(wěn) ； 足 式 行 走 在 不 平 地 面 和 松 軟 地 面 上 的 運(yùn) 動(dòng) 速 度 較 高 ， 能 耗 較 少 。4.答 ： 靜 力 學(xué) 指 在 機(jī) 器 人 的 手 爪 接 觸 環(huán) 境 時(shí) ， 在 靜 止 狀 態(tài) 下 處

35、理 手 爪 力 F 與 驅(qū) 動(dòng) 力 τ 的 關(guān) 系 。 動(dòng) 力 學(xué)研 究 機(jī) 器 人 各 關(guān) 節(jié) 變 量 對 時(shí) 間 的 一 階 導(dǎo) 數(shù) 、 二 階 導(dǎo) 數(shù) 與 各 執(zhí) 行 器 驅(qū) 動(dòng) 力 或 力 矩 之 間 的 關(guān) 系 ， 即 機(jī) 器 人 機(jī) 械系 統(tǒng) 的 運(yùn) 動(dòng) 方 程 。 而 運(yùn) 動(dòng) 學(xué) 研 究 從 幾 何 學(xué) 的 觀 點(diǎn) 來 處 理 手 指 位 置 與 關(guān) 節(jié) 變 量 的 關(guān) 系 。在 考 慮 控 制 時(shí) ， 就 要 考 慮 在 機(jī) 器 人 的 動(dòng) 作 中 ， 關(guān) 節(jié) 驅(qū) 動(dòng) 力 τ 會(huì) 產(chǎn) 生 怎 樣 的 關(guān) 節(jié) 位 置 θ 、 關(guān) 節(jié) 速 度 θ?、 關(guān) 節(jié)加 速 度 θ??， 處

36、 理 這 種 關(guān) 系 稱 為 動(dòng) 力 學(xué) （ dynamics） 。 對 于 動(dòng) 力 學(xué) 來 說 ， 除 了 與 連 桿 長 度 有 關(guān) 之 外 ， 還 與 各 連 桿 的 質(zhì) 量 ， 繞 質(zhì) 量 中 心 的 慣 性 矩 ， 連 桿 的 質(zhì) 量 中 心 與 關(guān) 節(jié) 軸 的 距 離 有 關(guān) 。運(yùn) 動(dòng) 學(xué) 、 靜 力 學(xué) 和 動(dòng) 力 學(xué) 中 各 變 量 的 關(guān) 系 如 下 圖 所 示 。 圖 中 用 虛 線 表 示 的 關(guān) 系 可 通 過 實(shí) 線 關(guān) 系 的 組 合 表 示 ，這 些 也 可 作 為 動(dòng) 力 學(xué) 的 問 題 來 處 理 。5.答 ： 二 階 系 統(tǒng) 的 特 性 取 決 于 它 的

37、無 阻 尼 自 然 頻 率 ω n和 阻 尼 比 ξ。 為 了 安 全 起 見 ， 我 們 希 望 系 統(tǒng) 具 有臨 界 阻 尼 或 過 阻 尼 ， 即 要 求 系 統(tǒng) 的 阻 尼 比 ξ≥ 1（ 注 意 ， 系 統(tǒng) 的 位 置 反 饋 增 益 kp＞ 0表 示 負(fù) 反 饋 ） 。 把 由 二 階系 統(tǒng) 特 征 方 程 標(biāo) 準(zhǔn) 形 式 所 求 得 的 ωn代 入 可 得 ： a eff a b a va p eff a 12R f k k k kξ k k J R? ?? ? 7 因 而 速 度 反 饋 增 益 k v為 ： a p eff a a eff a bv a2 k k J R R

38、f k kk k? ??取 方 程 等 號(hào) 時(shí) ， 系 統(tǒng) 為 臨 界 阻 尼 系 統(tǒng) ； 取 不 等 號(hào) 時(shí) ， 為 過 阻 尼 系 統(tǒng) 。在 確 定 位 置 反 饋 增 益 k p時(shí) ， 必 須 考 慮 操 作 臂 的 結(jié) 構(gòu) 剛 性 和 共 振 頻 率 ， 它 與 操 作 臂 的 結(jié) 構(gòu) 、 尺 寸 、 質(zhì)量 分 布 和 制 造 裝 配 質(zhì) 量 有 關(guān) 。為 了 不 至 于 激 起 結(jié) 構(gòu) 的 振 盈 和 系 統(tǒng) 的 共 振 ， Paul于 1981年 建 議 ： 閉 環(huán) 系 統(tǒng) 無 阻 尼 自 然 頻 率 ω n必 須 限制 在 關(guān) 節(jié) 結(jié) 構(gòu) 共 振 頻 率 的 一 半 之 內(nèi) ，

39、即 ： n r0.5ω ω?根 據(jù) 這 一 要 求 來 調(diào) 整 反 饋 增 益 kp， 可 以 求 出 ： 20 0 ap a0 4ω J Rk k? ?k p求 出 后 ， 相 應(yīng) 的 速 度 反 饋 增 益 k v可 求 得 ：a 0 0 eff a eff a bv aR ω J J R f k kk k? ??6.答 ： 設(shè) 計(jì) 和 應(yīng) 用 工 業(yè) 機(jī) 器 人 時(shí) ， 應(yīng) 全 面 考 慮 和 均 衡 機(jī) 器 人 的 通 用 性 、 環(huán) 境 的 適 應(yīng) 性 、 耐 久 性 、 可 靠性 和 經(jīng) 濟(jì) 性 等 因 素 ， 具 體 遵 循 的 準(zhǔn) 則 如 下 。(1)從 惡 劣 工 種 開 始

40、 采 用 機(jī) 器 人機(jī) 器 人 可 以 在 有 毒 、 風(fēng) 塵 、 噪 聲 、 振 動(dòng) 、 高 溫 、 易 燃 易 爆 等 危 險(xiǎn) 有 害 的 環(huán) 境 中 長 期 穩(wěn) 定 地 工 作 。 在 技 術(shù) 、經(jīng) 濟(jì) 合 理 的 情 況 下 ， 采 用 機(jī) 器 人 逐 步 把 人 從 這 些 工 作 崗 位 上 代 替 下 來 ， 將 從 根 本 上 改 善 勞 動(dòng) 條 件 。(2)在 生 產(chǎn) 率 和 生 產(chǎn) 質(zhì) 量 落 后 的 部 門 應(yīng) 用 機(jī) 器 人現(xiàn) 代 化 的 大 生 產(chǎn) 分 工 越 來 越 細(xì) ， 操 作 越 來 越 簡 單 ， 勞 動(dòng) 強(qiáng) 度 越 來 越 大 。 機(jī) 器 人 可 以 高

41、效 地 完 成 一 些 簡 單 、重 復(fù) 性 的 工 作 ， 使 生 產(chǎn) 效 率 、 產(chǎn) 品 質(zhì) 量 獲 得 明 顯 的 改 善 。 (3)要 估 計(jì) 長 遠(yuǎn) 需 要一 般 來 講 ， 人 的 壽 命 比 機(jī) 械 的 壽 命 長 ， 不 過 ， 如 果 經(jīng) 常 對 機(jī) 械 進(jìn) 行 保 養(yǎng) 和 維 修 ， 對 易 換 件 進(jìn) 行 補(bǔ) 充 和 更 換 ，有 可 能 使 機(jī) 械 壽 命 超 過 人 。 另 外 ； 工 人 會(huì) 由 于 其 自 身 的 意 志 而 放 棄 某 些 工 作 ， 造 成 辭 職 或 停 工 ， 而 工 業(yè) 機(jī)器 人 沒 有 自 己 的 意 愿 ， 因 此 機(jī) 器 人 的 使

42、 用 不 會(huì) 在 工 作 中 途 因 故 障 以 外 的 原 因 停 止 工 作 ， 能 夠 持 續(xù) 從 事 所 交給 的 工 作 ， 直 至 其 機(jī) 械 壽 命 完 結(jié) 。(4)機(jī) 器 人 的 投 入 和 使 用 成 本雖 說 機(jī) 器 人 可 以 使 人 類 擺 脫 很 臟 、 很 危 險(xiǎn) 或 很 繁 重 的 勞 動(dòng) ， 但 是 工 廠 經(jīng) 理 們 極 關(guān) 心 的 是 機(jī) 器 人 的 經(jīng) 濟(jì) 性 。在 經(jīng) 濟(jì) 方 面 所 考 慮 的 因 素 包 括 勞 力 、 材 料 、 生 產(chǎn) 率 、 能 源 、 設(shè) 備 和 成 本 等 。可 以 用 償 還 期 Y 定 量 地 衡 量 機(jī) 器 人 使 用

43、 的 合 理 性 。 如 果 機(jī) 器 人 的 使 用 壽 命 大 于 其 償 還 期 ， 使 用 機(jī) 器 人 是 有效 益 的 。(5)應(yīng) 用 機(jī) 器 人 時(shí) 需 要 人在 應(yīng) 用 工 業(yè) 機(jī) 器 人 代 替 工 人 操 作 時(shí) ， 要 考 慮 工 業(yè) 機(jī) 器 人 的 現(xiàn) 實(shí) 能 力 以 及 工 業(yè) 機(jī) 器 人 技 術(shù) 知 識(shí) 的 現(xiàn) 狀 和 未 來 給 予 預(yù) 測 。 用 現(xiàn) 有 的 機(jī) 器 人 原 封 不 動(dòng) 地 取 代 目 前 正 在 工 作 的 所 有 工 人 ， 并 接 替 他 們 的 工 作 ， 顯 然 是 不 可 能的 。 8 在 平 均 能 力 方 面 ， 與 工 人 相 比

44、， 工 業(yè) 機(jī) 器 人 顯 得 過 于 遜 色 ； 但 在 承 受 環(huán) 境 條 件 的 能 力 和 可 靠 性 方 面 ， 工 業(yè)機(jī) 器 人 比 人 優(yōu) 越 。 因 此 要 把 工 業(yè) 機(jī) 器 人 安 排 在 生 產(chǎn) 線 中 的 恰 當(dāng) 位 置 上 ， 使 它 成 為 工 人 的 好 助 手 。四 、 計(jì) 算 題 ：1.解 ： 點(diǎn) u 的 齊 次 坐 標(biāo) 為 ： ? ?7,3,2,1 Tv = Rot(z,90 )u = 0 1 0 0 7 31 0 0 0 3 70 0 1 0 2 20 0 0 1 1 1? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ??? ?? ? ?

45、?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ? w = Rot(y,90 )v = 0 0 1 0 3 20 1 0 0 7 71 0 0 0 2 30 0 0 1 1 1?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ??? ?? ? ? ??? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?t = Trans(4,-3,7)w = 1 0 0 4 2 60 1 0 3 7 40 0 1 7 3 100 0 0 1 1 1? ?? ? ? ?? ?? ? ? ??? ?? ? ? ??? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?2.解 ： 建 立 如 圖 1的 參 考 坐 標(biāo)

46、系 ， 則10T = 1 11 1 0 00 00 0 1 00 0 0 1c ss c?? ?? ?? ?? ?? ?? ? , 21T = 2 2 12 2 00 00 0 1 00 0 0 1c s Ls c?? ?? ?? ?? ?? ?? ? , 32T = 3 3 23 3 00 00 0 1 00 0 0 1c s Ls c?? ?? ?? ?? ?? ?? ? 圖 1 9 30T = 10T 21T 32T = 123 123 1 1 2 12123 123 1 1 2 12000 0 1 00 0 0 1c s Lc L cs c L s L s? ?? ?? ??? ??

47、?? ?? ?其 中 ? ? ? ?123 1 2 3 123 1 2 3cos , sinc s? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? .3.解 ： 如 圖 2所 示 ， 逆 運(yùn) 動(dòng) 學(xué) 有 兩 組 可 能 的 解 。 圖 2第 一 組 解 ： 由 幾 何 關(guān) 系 得 ? ?1 1 2 1 2cos cosx L L? ? ?? ? ? （ 1）? ?1 1 2 1 2sin siny L L? ? ?? ? ? （ 2）（ 1） 式 平 方 加 （ 2） 式 平 方 得2 2 2 21 2 1 2 22 cosx y L L L L ?? ? ? ?2 2 2 21 22 1 2ar

48、ccos 2x y L LL L? ? ?? ? ??? ? ? ?? ? 2 21 1 2 2sinarctan arctan cosLyx L L ?? ?? ?? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?第 二 組 解 ： 由 余 弦 定 理 ， ? ?2 2 2 21 21 2arccos 2x y L LL L? ? ?? ? ? ?? ?? ? ?? ?2? ? ?? ? 10 ? ?1 arctan2 yx? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?4.解 ： 由 關(guān) 節(jié) 角 給 出 如 下 姿 態(tài) ：? ? ? ?? ? ? ?1 1 2 1 2 2 1 2 2 211 1 2 1

49、 2 2 1 2sin sin sin 0cos cos cosL L L L LJ LL L L? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ?? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ?由 靜 力 學(xué) 公 式 TJ F? ? 22 12 20 0 xxTA A xL fL L fJ F L L f? ?? ? ?? ?? ?? ? ? ? ?? ?? ?? ?? ?? ? ? ?12 1 2 00 0 yTB B y L fL LJ F fL? ? ? ? ? ?? ?? ? ?? ? ? ?? ??? ?? ? ? ?5.解 ： 因 為 ： 1 1 2 1

50、2 2 121 1 2 12 2 12l s l s l sl c l c l c??? ? ?? ??? ??? ?J因 此 ， 逆 雅 可 比 矩 陣 為 ： 2 12 2 121 1 1 2 12 1 1 2 121 2 21 l c l sl c l c l s l sl l s ? ??? ? ?? ? ?? ? ? ?? ?J因 為 ， 1??? J v? ， 且 v=[1,0]T， 即 v X=1m/s， vY=0， 因 此1 2 12 2 121 1 2 12 1 1 2 121 2 22 121 1 2 1 122 2 2 1 2 11 01 rad/s=-2rad/s0.5

51、 4rad/sl c l sl c l c l s l sl l scl s c cl s l s? ? ???? ??? ? ?? ? ? ?? ??? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?? ?? ??? ? ????? （ 算 出 最 后 結(jié) 果 2 分 ）因 此 ， 在 該 瞬 時(shí) 兩 關(guān) 節(jié) 的 位 置 分 別 為 ， θ 1=30 ， θ 2=-60 ； 速 度 分 別 為 1?? =-2rad/s， 2?? =4rad/s；手 部 瞬 時(shí) 速 度 為 1m/s。式 中 ： ??????1 112 1 2sθ =sinθs =sin(θ +θ )6.解 ： 建 立 如

52、 圖 的 坐 標(biāo) 系 ， 則 各 連 桿 的 DH參 數(shù) 為 ： 11 連 桿 轉(zhuǎn) 角 n? 偏 距 nd 扭 角 1i? ? 桿 長 1ia ?1 1? 1L 0 02 0 2d 90 03 3? 2L 0 0由 連 桿 齊 次 坐 標(biāo) 變 換 遞 推 公 式 11 1 1 11 1 1 1 100 0 0 1i i ii i i i i i ii i i i i i i i ic s as c c c s d sT s s c s c d c? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ??? ?? ?? ?? ??? ?? ?? ?有 1 1 1 10

53、1 10 00 00 0 10 0 0 1c ss cT L? ?? ??? ?? ?? ??? ?? ?? ? ， 212 1 0 0 00 0 10 1 0 00 0 0 1dT ? ?? ?? ?? ??? ?? ?? ? ， 3 33 323 20 00 00 0 10 0 0 1c ss cT L? ?? ??? ?? ?? ??? ?? ?? ?故 1 3 1 3 1 1 2 1 21 3 1 3 1 1 2 1 20 0 1 23 1 2 3 3 3 100 0 0 1c c c s s s L s ds c s s c c L c dT T T T s c L? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ?? ?? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ? （ 寫 出 最 后 結(jié) 果 2分 ）式 中 ： 1 11 1sincossc? ?? ?????