2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第二章 隨機(jī)變量及其分布 2.3 離散型隨機(jī)變量的均值與方差 2.3.2 離散型隨機(jī)變量的方差課件 新人教A版選修2-3.ppt

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1、2.3.2離散型隨機(jī)變量的方差,第二章2.3離散型隨機(jī)變量的均值與方差,,學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解取有限個值的離散型隨機(jī)變量的方差及標(biāo)準(zhǔn)差的概念.2.能計算簡單離散型隨機(jī)變量的方差,并能解決一些實(shí)際問題.3.掌握方差的性質(zhì),以及兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布的方差的求法,會利用公式求它們的方差.,,,問題導(dǎo)學(xué),達(dá)標(biāo)檢測,,題型探究,內(nèi)容索引,問題導(dǎo)學(xué),甲、乙兩名工人加工同一種零件,兩人每天加工的零件數(shù)相等,所得次品數(shù)分別為X和Y,X和Y的分布列如下:,知識點(diǎn)一方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義及方差的性質(zhì),思考1試求E(X),E(Y).,思考2能否由E(X)與E(Y)的值比較兩名工人技術(shù)水平的高低?,思考3試想用什么指標(biāo)衡量甲、

2、乙兩名工人技術(shù)水平的高低?,答案不能,因?yàn)镋(X)=E(Y).,答案方差.,梳理(1)方差及標(biāo)準(zhǔn)差的定義設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為,①方差:D(X)=;,②標(biāo)準(zhǔn)差:.,(2)方差與標(biāo)準(zhǔn)差的意義隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量的取值偏離于均值的平均程度.方差或標(biāo)準(zhǔn)差,則隨機(jī)變量偏離于均值的平均程度.(3)方差的性質(zhì):D(aX+b)=.,越小,越小,a2D(X),知識點(diǎn)二兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的方差,p(1-p),np(1-p),1.離散型隨機(jī)變量的方差越大,隨機(jī)變量越穩(wěn)定.()2.若a是常數(shù),則D(a)=0.()3.離散型隨機(jī)變量的方差反映了隨機(jī)變量偏離于均值的平均程度.(),,√,[思考辨

3、析判斷正誤],√,題型探究,(1)求X2的分布列;,例1已知X的分布列如下:,類型一求隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差,解答,從而X2的分布列為,(2)計算X的方差;,解答,(3)若Y=4X+3,求Y的均值和方差.,解因?yàn)閅=4X+3,所以E(Y)=4E(X)+3=2,D(Y)=42D(X)=11.,解答,反思與感悟方差的計算需要一定的運(yùn)算能力,公式的記憶不能出錯!在隨機(jī)變量X2的均值比較好計算的情況下,運(yùn)用關(guān)系式D(X)=E(X2)-[E(X)]2不失為一種比較實(shí)用的方法.另外注意方差性質(zhì)的應(yīng)用,如D(aX+b)=a2D(X).,(1)求方差及標(biāo)準(zhǔn)差;,跟蹤訓(xùn)練1已知η的分布列為,解答,(2)設(shè)Y=2

4、η-E(η),求D(Y).,解∵Y=2η-E(η),∴D(Y)=D(2η-E(η))=22D(η)=4384=1536.,解答,例2為防止風(fēng)沙危害,某地決定建設(shè)防護(hù)綠化帶,種植楊樹、沙柳等植物.某人一次種植了n株沙柳,各株沙柳的成活與否是相互獨(dú)立的,成活率為p,設(shè)ξ為成活沙柳的株數(shù),均值E(ξ)為3,標(biāo)準(zhǔn)差為,解答,類型二兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的方差,(1)求n和p的值,并寫出ξ的分布列;,ξ的分布列為,(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活,則需要補(bǔ)種,求需要補(bǔ)種沙柳的概率.,解答,解記“需要補(bǔ)種沙柳”為事件A,則P(A)=P(ξ≤3),,反思與感悟解決此類問題第一步是判斷隨機(jī)變量ξ服從什么分布,

5、第二步代入相應(yīng)的公式求解.若ξ服從兩點(diǎn)分布,則D(ξ)=p(1-p);若ξ服從二項(xiàng)分布,即ξ~B(n,p),則D(ξ)=np(1-p).,跟蹤訓(xùn)練2某廠一批產(chǎn)品的合格率是98%.(1)計算從中抽取一件產(chǎn)品為正品的數(shù)量的方差;,解答,解用ξ表示抽得的正品數(shù),則ξ=0,1.ξ服從兩點(diǎn)分布,且P(ξ=0)=0.02,P(ξ=1)=0.98,所以D(ξ)=p(1-p)=0.98(1-0.98)=0.0196.,(2)從中有放回地隨機(jī)抽取10件產(chǎn)品,計算抽出的10件產(chǎn)品中正品數(shù)的方差及標(biāo)準(zhǔn)差.,解答,解用X表示抽得的正品數(shù),則X~B(10,0.98),所以D(X)=100.980.02=0.196,,例

6、3為選拔奧運(yùn)會射擊選手,對甲、乙兩名射手進(jìn)行選拔測試.已知甲、乙兩名射手在一次射擊中的得分為兩個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量ξ,η,甲、乙兩名射手在每次射擊中擊中的環(huán)數(shù)均大于6環(huán),且甲射中10,9,8,7環(huán)的概率分別為0.5,3a,a,0.1,乙射中10,9,8環(huán)的概率分別為0.3,0.3,0.2.(1)求ξ,η的分布列;,類型三方差的實(shí)際應(yīng)用,解答,解依據(jù)題意知,0.5+3a+a+0.1=1,解得a=0.1.∵乙射中10,9,8環(huán)的概率分別為0.3,0.3,0.2,∴乙射中7環(huán)的概率為1-(0.3+0.3+0.2)=0.2.∴ξ,η的分布列分別為,(2)求ξ,η的均值與方差,并以此比較甲、乙的射擊技術(shù)

7、并從中選拔一人.,解答,解結(jié)合(1)中ξ,η的分布列,可得E(ξ)=100.5+90.3+80.1+70.1=9.2,E(η)=100.3+90.3+80.2+70.2=8.7,D(ξ)=(10-9.2)20.5+(9-9.2)20.3+(8-9.2)20.1+(7-9.2)20.1=0.96,D(η)=(10-8.7)20.3+(9-8.7)20.3+(8-8.7)20.2+(7-8.7)20.2=1.21.∵E(ξ)>E(η),說明甲平均射中的環(huán)數(shù)比乙高.又∵D(ξ)D(η),所以兩個保護(hù)區(qū)內(nèi)每個季度發(fā)生的違規(guī)事件的平均次數(shù)相同,但甲保護(hù)區(qū)的違規(guī)事件次數(shù)相對分散和波動,乙保護(hù)區(qū)內(nèi)的違規(guī)事件

8、次數(shù)更集中和穩(wěn)定.,達(dá)標(biāo)檢測,1.已知隨機(jī)變量X的分布列為,√,答案,解析,1,2,3,4,5,答案,2.有甲、乙兩種水稻,測得每種水稻各10株的分蘗數(shù)據(jù),計算出樣本均值E(X甲)=E(X乙),方差分別為D(X甲)=11,D(X乙)=3.4.由此可以估計A.甲種水稻比乙種水稻分蘗整齊B.乙種水稻比甲種水稻分蘗整齊C.甲、乙兩種水稻分蘗整齊程度相同D.甲、乙兩種水稻分蘗整齊程度不能比較,√,1,2,3,4,5,答案,解析,3.同時拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣10次,設(shè)兩枚硬幣同時出現(xiàn)反面的次數(shù)為ξ,則D(ξ)等于,√,1,2,3,4,5,4.已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表所示,若E(X)=0,D(

9、X)=1,則a=________,b=________.,答案,解析,1,2,3,4,5,解答,5.編號為1,2,3的三位學(xué)生隨意入座編號為1,2,3的三個座位,每位學(xué)生坐一個座位,設(shè)與座位編號相同的學(xué)生的人數(shù)是ξ,求E(ξ)和D(ξ).,1,2,3,4,5,解ξ的所有可能取值為0,1,3,ξ=0表示三位同學(xué)全坐錯了,有2種情況,即編號為1,2,3的座位上分別坐了編號為2,3,1或3,1,2的學(xué)生,,1,2,3,4,5,ξ=1表示三位同學(xué)只有1位同學(xué)坐對了,,ξ=3表示三位同學(xué)全坐對了,即對號入座,,所以ξ的分布列為,1,2,3,4,5,1.隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度,以及隨機(jī)變量取值偏離于均值的平均程度.方差D(X)或標(biāo)準(zhǔn)差越小,則隨機(jī)變量取值偏離均值的平均程度越小;方差D(X)或標(biāo)準(zhǔn)差越大,表明偏離的平均程度越大,說明X的取值越分散.2.求離散型隨機(jī)變量X的均值、方差的步驟(1)理解X的意義,寫出X的所有可能的取值.(2)求X取每一個值的概率.,規(guī)律與方法,(3)寫出隨機(jī)變量X的分布列.(4)由均值、方差的定義求E(X),D(X).特別地,若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布或二項(xiàng)分布,可根據(jù)公式直接計算E(X)和D(X).,

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