2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 幾個(gè)重要的不等式 2.3.2 數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用課件 北師大版選修4-5.ppt
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3.2數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用,學(xué)習(xí)目標(biāo),1.會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的不等式,特別是絕對(duì)值不等式、平均值不等式和柯西不等式.2.了解貝努利不等式,學(xué)會(huì)貝努利不等式的簡(jiǎn)單應(yīng)用.3.會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明貝努利不等式.,預(yù)習(xí)自測(cè),1.對(duì)任何實(shí)數(shù)x≥-1和任何正整數(shù)n,有(1+x)n≥1+nx.2.設(shè)α為有理數(shù),x>-1,如果01,則(1+x)α______1+αx,當(dāng)且僅當(dāng)_____時(shí)等號(hào)成立.,≤,≥,x=0,典例剖析知識(shí)點(diǎn)1用數(shù)學(xué)歸納法證明絕對(duì)值不等式,【例1】設(shè)x1,x2,…,xn為實(shí)數(shù),證明:|x1+x2+…+xn|≤|x1|+|x2|+…+|xn|.,1.證明不等式|sinnθ|≤n|sinθ|(n∈N+).,證明(1)當(dāng)n=1時(shí),上式左邊=|sinθ|=右邊,不等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1)時(shí),命題成立,即有|sinkθ|≤k|sinθ|.當(dāng)n=k+1時(shí),|sin(k+1)θ|=|sin(kθ+θ)|=|sinkθcosθ+coskθsinθ|≤|sinkθcosθ|+|coskθsinθ|≤|sinkθ|+|sinθ|≤k|sinθ|+|sinθ|=(k+1)|sinθ|.即當(dāng)n=k+1時(shí)不等式成立.由(1)(2)可知,不等式對(duì)一切正整數(shù)n均成立.,知識(shí)點(diǎn)2用數(shù)學(xué)歸納法證明平均值不等式,【反思感悟】用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的第二步,設(shè)n=k時(shí)命題成立,證n=k+1時(shí)命題也成立時(shí),往往要通過(guò)放縮法來(lái)實(shí)現(xiàn)n=k+1時(shí)命題所需要的形式.,2.證明:如果n(n為正整數(shù))個(gè)正數(shù)a1,a2,…,an的乘積a1a2…an=1,那么它們的和a1+a2+…+an≥n.,∴a3+a4+…+ak+ak+1≥k-a1a2∴a1+a2+…+ak+ak+1-(k+1)≥a1+a2+k-a1a2-k-1=a1+a2-a1a2-1=-(a1-1)(a2-1)∵a1>1,a20∴a1+a2+…+ak+ak+1-k-1>0,即a1+a2+…+ak+ak+1>k+1,∴當(dāng)n=k+1時(shí)命題成立由(1)(2)可知,對(duì)一切正整數(shù)n,如果n個(gè)正數(shù)a1,a2,…,an的乘積a1a2…an=1,那么它們的和a1+a2+…+an≥n成立.,知識(shí)點(diǎn)3用數(shù)學(xué)歸納法證明柯西不等式,【反思感悟】用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式,難點(diǎn)不在于數(shù)學(xué)歸納法的原理,而在于如何變形.放縮以便于用上假設(shè),再經(jīng)過(guò)變形運(yùn)算使命題得證.,課堂小結(jié),數(shù)學(xué)歸納法能證明與正整數(shù)n有關(guān)的不等式,但并不是所有與正整數(shù)n有關(guān)的不等式都能用數(shù)學(xué)歸納法證明.證明不等式的難點(diǎn)在于對(duì)命題的變形.在推證n=k+1命題成立時(shí),往往利用放縮法通過(guò)增加一些項(xiàng)(或舍去一些項(xiàng))或利用二項(xiàng)式定理后舍去一些項(xiàng)達(dá)到滿足n=k+1時(shí)所需要的形式.有時(shí)也會(huì)利用比較法證明n=k+1時(shí)命題成立.,隨堂演練,- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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