高等數(shù)學(xué)課件：3-2洛比達法則

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1、3.2 洛比達法則洛洛必必達達法法則則型型未未定定式式解解法法型型及及一一、:00 型型未未定定式式解解法法二二、00,1,0,0 三、小結(jié)洛必達法則洛必達法則型未定式解法型未定式解法型及型及一、一、:00 定義定義.00)()(lim)()()()(型未定式型未定式或或常把這種極限稱為常把這種極限稱為在通在通可能存在、也可能不存可能存在、也可能不存極限極限大，那末大，那末都趨于零或都趨于無窮都趨于零或都趨于無窮與與時，兩個函數(shù)時，兩個函數(shù)或或如果當(dāng)如果當(dāng) xFxfxFxfxaxxax例如例如,tanlim0 xxx,sinlnsinlnlim0bxaxx)00()(.)()(lim)()(l

2、im);()()(lim)3(;0)()()(,)2(;)()(,)1(xFxfxFxfxFxfxFxFxfaxFxfaxaxaxax 那末那末或為無窮大或為無窮大存在存在且且都存在都存在及及點的某去心鄰域內(nèi)點的某去心鄰域內(nèi)在在都趨于零都趨于零及及函數(shù)函數(shù)時時當(dāng)當(dāng)設(shè)設(shè)定理定理定義定義 這種在一定條件下通過分子分母分別求導(dǎo)再這種在一定條件下通過分子分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達法則求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達法則.證證定義輔助函數(shù)定義輔助函數(shù),0),()(1 axaxxfxf,0),()(1 axaxxFxF,),(0 xaU內(nèi)任取一點內(nèi)任取一點在在,為端點的區(qū)間

3、上為端點的區(qū)間上與與在以在以xa,)(),(11件件滿足柯西中值定理的條滿足柯西中值定理的條xFxf則有則有)()()()()()(aFxFafxfxFxf )()(Ff )(之間之間與與在在ax,aax 時時當(dāng)當(dāng),)()(limAxFxfax ,)()(limAFfa .)()(lim)()(limAFfxFxfaax .,該法則仍然成立該法則仍然成立時時當(dāng)當(dāng) x使用洛必達法則，即使用洛必達法則，即定理的條件，可以繼續(xù)定理的條件，可以繼續(xù)滿足滿足型，且型，且仍屬仍屬如果如果)(),(00)()(xFxfxFxf .)()(lim)()(lim)()(lim xFxfxFxfxFxfaxaxa

4、x.)()(lim)()(limxFxfxFxfxx .,也有相應(yīng)的洛必達法則也有相應(yīng)的洛必達法則時的未定式時的未定式當(dāng)當(dāng) xax例例1 1解解.tanlim0 xxx求求)()(tanlim0 xxx原式原式1seclim20 xx.1 例例2 2解解.123lim2331 xxxxxx求求12333lim221 xxxx原式原式266lim1 xxx.23)00()00(例例3 3解解.1arctan2limxxx 求求22111limxxx 原式原式221limxxx .1 例例4 4解解.sinlnsinlnlim0bxaxx求求axbxbbxaxaxsincossincoslim0

5、原式原式.1)00()(axbxxcoscoslim0 例例5 5解解.3tantanlim2xxx 求求xxx3sec3seclim222 原式原式xxx222cos3coslim31 xxxxxsincos23sin3cos6lim312 xxx2sin6sinlim2 xxx2cos26cos6lim2 .3)(注意：洛必達法則是求未定式的一種有效方法，注意：洛必達法則是求未定式的一種有效方法，但與其它求極限方法結(jié)合使用，效果更好但與其它求極限方法結(jié)合使用，效果更好.例例6 6解解.tantanlim20 xxxxx 求求30tanlimxxxx 原式原式xxxx6tansec2lim2

6、0 22031seclimxxx xxxtanlim310.31 型未定式解法型未定式解法二、二、00,1,0,0 例例7 7解解.lim2xxex 求求)0(xexx2lim 原式原式2limxxe.關(guān)鍵關(guān)鍵:將其它類型未定式化為洛必達法則可解決將其它類型未定式化為洛必達法則可解決的類型的類型 .),00()(型型 0.1步驟步驟:,10 .0100 或或例例8 8解解).1sin1(lim0 xxx 求求)(0101 .0000 xxxxxsinsinlim0 原式原式xxxxxcossincos1lim0 .0 型型 .2步驟步驟:步驟步驟:型型00,1,0.3 ln01ln0ln010

7、00取對數(shù)取對數(shù).0 例例9 9解解.lim0 xxx 求求)0(0 xxxeln0lim 原式原式xxxelnlim0 2011limxxxe 0e.1 xxxe1lnlim0 例例1010解解.lim111xxx 求求)1(xxxeln111lim 原式原式xxxe 1lnlim111lim1 xxe.1 e例例1111解解.)(cotlimln10 xxx 求求)(0,)(cot)ln(cotln1ln1xxxex 取對數(shù)得取對數(shù)得)ln(cotln1lim0 xxx xxxx1sin1cot1lim20 xxxxsincoslim0 ,1 .1 e原式原式例例1212解解.coslim

8、xxxx 求求1sin1limxx 原式原式).sin1(limxx 極限不存在極限不存在洛必達法則失效。洛必達法則失效。)cos11(limxxx 原式原式.1 注意：注意：洛必達法則的使用條件洛必達法則的使用條件三、小結(jié)洛必達法則洛必達法則型型00,1,0 型型 型型 0型型00型型 gfgf1 fgfggf1111 取取對對數(shù)數(shù)令令gfy 3.3 泰勒定理一、問題的提出二、二、nP和和nR的確定的確定三、泰勒三、泰勒(Taylor)中值定理中值定理四、常用函數(shù)的麥克勞林公式常用函數(shù)的麥克勞林公式一、問題的提出1 1.設(shè)設(shè))(xf在在0 x處處連連續(xù)續(xù),則則有有2 2.設(shè)設(shè))(xf在在0

9、x處處可可導(dǎo)導(dǎo),則則有有例例如如,當(dāng)當(dāng)x很很小小時時,xex 1 ,xx )1ln()()(0 xfxf)()()()(0000 xxoxxxfxfxf （如下圖）（如下圖）)()(0 xfxf)()()(000 xxxfxfxf xey xy 1oxey oxy )1ln(xy 不足不足:問題問題:尋找函數(shù)尋找函數(shù))(xP,使得使得)()(xPxf 誤誤差差 )()()(xPxfxR 可可估估計計1、精確度不高；、精確度不高；2、誤差不能估計、誤差不能估計.設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf在在含含有有0 x的的開開區(qū)區(qū)間間),(ba內(nèi)內(nèi)具具有有直直到到)1(n階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù),)(xP為為多多項項式式函函數(shù)

10、數(shù)nnnxxaxxaxxaaxP)()()()(0202010 誤差誤差 )()()(xPxfxRnn 二二、nP和和nR的的確確定定0 x)(xfy oxy分析分析:)()(00 xfxPn)()(00 xfxPn )()(00 xfxPn 2.若有相同的切線若有相同的切線3.若彎曲方向相同若彎曲方向相同近似程度越來越好近似程度越來越好1.若在若在 點相交點相交0 x假設(shè)假設(shè) nkxfxPkkn,2,1)()(0)(0)(),(00 xfa 代代入入)(xPn中中得得nnnxxnxfxxxfxxxfxfxP)(!)()(!2)()()()(00)(200000 得得 ),2,1,0()(!1

11、0)(nkxfkakk ),(101xfa )(!202xfa ,)(!0)(xfannn 不足不足:問題問題:尋找函數(shù)尋找函數(shù))(xP,使得使得)()(xPxf 誤誤差差 )()()(xPxfxR 可可估估計計1、精確度不高；、精確度不高；2、誤差不能估計、誤差不能估計.設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf在在含含有有0 x的的開開區(qū)區(qū)間間),(ba內(nèi)內(nèi)具具有有直直到到)1(n階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù),)(xP為為多多項項式式函函數(shù)數(shù)nnnxxaxxaxxaaxP)()()()(0202010 誤差誤差 )()()(xPxfxRnn 三、泰勒三、泰勒(Taylor)(Taylor)中值定理中值定理泰勒泰勒(Taylor

12、)(Taylor)中值定理中值定理 如果函數(shù)如果函數(shù))(xf在含有在含有0 x的某個開區(qū)間的某個開區(qū)間),(ba內(nèi)具有直到內(nèi)具有直到)1(n階的導(dǎo)數(shù)階的導(dǎo)數(shù),則則當(dāng)當(dāng)x在在),(ba內(nèi)時內(nèi)時,)(xf可以表示為可以表示為)(0 xx 的一個的一個n次多項式與一個余項次多項式與一個余項)(xRn之和之和:)()(!)()(!2)()()()(00)(200000 xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn 其其中中10)1()()!1()()(nnnxxnfxR(在0 x與與x之之間間).證明證明:由由假假設(shè)設(shè),)(xRn在在),(ba內(nèi)內(nèi)具具有有直直到到)1(n階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù),且且兩函數(shù)兩函數(shù)

13、)(xRn及及10)(nxx在以在以0 x及及x為端點的為端點的區(qū)間上滿足柯西中值定理的條件區(qū)間上滿足柯西中值定理的條件,得得)()(1()(01011之間之間與與在在xxxnRnn 0)()()()()(10010 nnnnnxxxRxRxxxR0)()()()(0)(000 xRxRxRxRnnnnn如如此此下下去去,經(jīng)經(jīng)過過)1(n次次后后,得得 兩兩函函數(shù)數(shù))(xRn 及及nxxn)(1(0 在在以以0 x及及1 為為端端點點的的區(qū)區(qū)間間上上滿滿足足柯柯西西中中值值定定理理的的條條件件,得得0)(1()()()(1()(0101011 nnnnnxnxRRxnR !1)()()()1(

14、10 nRxxxRnnnn (之間之間與與在在nx 0,也在也在0 x與與x之間之間)()(1()(1021022之間之間與與在在 xxnnRnn nkkknxxkxfxP000)()(!)()(稱稱為為)(xf按按)(0 xx 的的冪冪展展開開的的 n n 次次近近似似多多項項式式 nknkkxRxxkxfxf000)()()(!)()(稱稱為為)(xf按按)(0 xx 的的冪冪展展開開的的 n n 階階泰泰勒勒公公式式 )()(!1)()(010)1(之間之間與與在在xxxxnfxRnnn 則則由由上上式式得得,0)()1(xPnn)()()1()1(xfxRnnn 拉格朗日形式的余項拉格

15、朗日形式的余項 1010)1()(!1)(!1)()(nnnnxxnMxxnfxR)()(!)()(0000)(nknkkxxoxxkxfxf )()(!1)()(010)1(之間之間與與在在xxxxnfxRnnn 皮亞諾形式的余項皮亞諾形式的余項0)()(lim00 nnxxxxxR及及.)()(0nnxxoxR 即即注意注意:1 1.當(dāng)當(dāng)0 n時時,泰泰勒勒公公式式變變成成拉拉氏氏中中值值公公式式 )()()()(000之間之間與與在在xxxxfxfxf 2.2.取取00 x,在在0與與x之間之間,令令)10(x 則余項則余項 1)1()!1()()(nnnxnxfxR)(!)0(!2)0

16、()0()0()()(2nnnxOxnfxfxffxf )10()!1()(!)0(!2)0()0()0()(1)1()(2 nnnnxnxfxnfxfxffxf麥克勞林麥克勞林(MaclaurinMaclaurin)公式公式四、常用函數(shù)的麥克勞林公式常用函數(shù)的麥克勞林公式例例 1 1 求求xexf)(的的n階階麥麥克克勞勞林林公公式式.解解,)()()()(xnexfxfxf 1)0()0()0()0()(nffffxnexf )()1(注意到注意到代入公式代入公式,得得).10()!1(!2112 nxnxxnenxxxe由公式可知由公式可知!212nxxxenx 估計誤差估計誤差)0(x

17、設(shè)設(shè)!1!2111,1nex 取取.)!1(3 n其誤差其誤差)!1(neRn).10()!1()!1()(11 nxnxnxnexnexR 常用函數(shù)的麥克勞林公式常用函數(shù)的麥克勞林公式)()!12()1(!5!3sin221253 nnnxonxxxxx)()!2()1(!6!4!21cos22642nnnxonxxxxx )(1)1(32)1ln(1132 nnnxonxxxxx)(1112nnxoxxxx )(!)1()1(!2)1(1)1(2nnmxoxnnmmmxmmmxx 例例 2 2 計算計算 403cos2lim2xxexx .解解)(!2114422xoxxex )(!4!2

18、1cos542xoxxx )()!412!21(3cos2442xoxxex 4440)(127limxxoxx 原式原式.127 *1515)1,0(21)(:,1)(),1()0(,1,0)(xxfxfffxf證明證明且且上二階可微上二階可微在在若函數(shù)若函數(shù)證證,1,00 x設(shè)設(shè)有有展成一階泰勒公式展成一階泰勒公式處把處把在在,)(0 xfx20000)(21)()()(xxfxxxfxfxf 則有則有令令,1,0 xx201000)(21)()()0(xfxxfxff 202000)1)(21)1)()()1(xfxxfxff 2022010)1)(21)(21)(xfxfxf ,),1()0(ff 注意到注意到則有則有,1)(xf20200)1(2121)(xxxf 41)21(20 x,1,00知知又由又由 x,21210 x21)(0 xf于是有于是有.,0可知命題成立可知命題成立的任意性的任意性由由 x