經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)——定積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用

《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)——定積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)——定積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用（10頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

. 河北省高等教育自學(xué)考試 定積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用 ——定積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用 地 市：滄州市 專業(yè)：投資管理 姓名：郭夢(mèng)帆 準(zhǔn)考證號(hào)：091815100011 身份證號(hào)：131122199504140213 聯(lián)系電話：15531766187 內(nèi)容摘要 經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)本著基礎(chǔ)教學(xué)為專業(yè)服務(wù)及注重應(yīng)用、培養(yǎng)能力的原則，根據(jù)微積分、線性代數(shù)、概率統(tǒng)計(jì)的基本知識(shí)邏輯，以知識(shí)介紹為重點(diǎn)，詳略得當(dāng)；敘述上力求簡(jiǎn)明、通俗，又不失科學(xué)性。 關(guān)鍵詞： 定積分 微分 經(jīng)濟(jì)學(xué) 邊際函數(shù) 投資 經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn) 1.一元函數(shù)極值 設(shè)函數(shù)f（x）在X0的一個(gè)鄰域內(nèi)有定義，若對(duì)于該鄰域內(nèi)異于X0的X恒有:f(x)f(X0)，則f(X0)稱為函數(shù)的極小值，稱X0為極小值點(diǎn)．函數(shù)的極大值、極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值．極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為函數(shù)的極值點(diǎn)。 極值反映函數(shù)的局部性態(tài)，是一個(gè)局部概念．極大值不一定大于極小值，極大（?。┲挡灰欢ㄊ菂^(qū)間上的最大（小）值，但就極值點(diǎn)附近的范圍來說極大（?。┲稻褪亲畲螅ㄐ。┲?；區(qū)間上的極值點(diǎn)可能有若干個(gè)。 2.二元函數(shù)極值 設(shè)函數(shù)Z=f(x, y)在點(diǎn)(x0,y0)的鄰域內(nèi)有定義，對(duì)于該鄰域內(nèi)異于(x0,y0)的點(diǎn)，如果都有f(x, y)f(x0,y0)，則稱f(x, y)為函數(shù)Z=f(x, y)的極小值；極大值和極小值統(tǒng)稱為二元函數(shù)Z=(x, y)的極值；使二元函數(shù)Z=（x, y）取得極大值的點(diǎn)或者極小值的點(diǎn)f(x0,y0)，稱為極大值點(diǎn)或者極小值點(diǎn)；極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)． 求多元函數(shù)的極值，一般可以利用偏導(dǎo)數(shù)來解決．與一元函數(shù)類似，可以利用函數(shù)的極大值、極小值求解函數(shù)的最大值、最小值，但是由于自變量個(gè)數(shù)的增加，應(yīng)特別注意概念中的一些變化和計(jì)算．對(duì)于二元以上的函數(shù)極值問題可類似的加以解決，如可以將二元函數(shù)極值問題的理論推廣到多元函數(shù)的情形，以及利用泰勒公式推導(dǎo)出判斷多元函數(shù)極值存在的充分條件、極值不存在的必要條件等。 3. 定積分 定積分就是求函數(shù)f(X)在區(qū)間[a, b]中圖線下包圍的面積。即由 y=0,x=a, x=b, y=f(X)所圍成圖形的面積。這個(gè)圖形稱為曲邊梯形，特例是曲邊三角形。 設(shè)函數(shù)f(x) 在區(qū)間[a, b]上連續(xù)，將區(qū)間[a, b]分成n個(gè)子區(qū)間[x0,x1], (x1,x2], (x2,x3], …, (xn-1,xn]，其中x0=a，x n=b?？芍鲄^(qū)間的長(zhǎng)度依次是：△x1=x1-x0, △x2=x2-x1, …, △x n=xn-xn-1。在每個(gè)子區(qū)間(xi-1,xi]中任取一點(diǎn) ξ I （1,2,...,n），作和式 設(shè)λ=max{△x1, △x2, …, △ x n}（即λ是最大的區(qū)間長(zhǎng)度），則當(dāng)λ→0時(shí)，該和式無限接近于某個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)叫做函數(shù)f(x) 在區(qū)間[a, b]的定積分，記為 定理1：設(shè)f(x)在區(qū)間[a, b]上連續(xù)，則f(x)在[a, b]上可積。 定理2：設(shè)f(x)區(qū)間[a, b]上有界，且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則f(x)在[a, b]上可積。 定理3：設(shè)f(x)在區(qū)間[a, b]上單調(diào)，則f(x)在[a, b]上可積。 4.概率模型 概率模型是基于以下理論：給定一個(gè)用戶的查詢串和集合中的文檔 概率模型來估計(jì)用戶查詢串與文檔 相關(guān)的概率。概率模型假設(shè)這種概率只決定于查詢串和文檔。更進(jìn)一步說，該模型假定存在一個(gè)所有文檔的集合，即相對(duì)于查詢串 的結(jié)果文檔子集，這種理想的集合用R表示，集合中的文檔是被預(yù)料與查詢串相關(guān)的。 下面將具體討論一種簡(jiǎn)單的算法。 在查詢的開始間段只定義了查詢串，還沒有得到結(jié)果文檔集。我們不得不作一些簡(jiǎn)單的假設(shè)，例如：（a）假定 對(duì)所有的索引術(shù)語 來說是常數(shù)（一般等于0.5）；（b）假定索引術(shù)語在非相關(guān)文檔中的分布可以由索引術(shù)語在集合中所有文檔中的分布來近似表示。這兩種假設(shè)用公式表示如下： 表示出現(xiàn)索引術(shù)語 的文檔的數(shù)目，N是集合中總的文檔的數(shù)目。在上面的假設(shè)下，我們可以得到部分包含查詢串的文檔，并為他們提供一個(gè)初始的相關(guān)概率。 5．期望 離散隨機(jī)變量的一切可能值與其對(duì)應(yīng)的概率P的乘積之和稱為數(shù)學(xué)期望，決定可靠性的因素常規(guī)的安全系數(shù)是根據(jù)經(jīng)驗(yàn)而選取的,即取材料的強(qiáng)度極限均值(概率理論中稱為數(shù)學(xué)期望)與工作應(yīng)力均值(數(shù)學(xué)期望)之比。 定積分在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用 一直以來，定積分都是大學(xué)數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，它是解決實(shí)際問題的重要工具，在經(jīng)濟(jì)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，所以本文對(duì)定積分的概念以及它在經(jīng)濟(jì)學(xué)上的應(yīng)用做了重點(diǎn)研究，并利用一些例題對(duì)定積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)上的應(yīng)用進(jìn)行了舉例分析。 1.定積分在邊際函數(shù)中的應(yīng)用 積分是微分的逆運(yùn)算，因此，用積分的方法可以由邊際函數(shù)求出總函數(shù). 設(shè)總量函數(shù)P(x)在區(qū)間I 上可導(dǎo)，其邊際函數(shù)為P′(x)，[a, x]∈ I ，則總有函數(shù) 當(dāng) x 從a 變到b 時(shí)，P(x)的改變量為 將 x 改為產(chǎn)量Q，且a=0 時(shí)，將P(x)代之以總成本C(Q)、總收入R(Q)、總利潤(rùn)L(Q)， 可得 其中即為固定成本，為可變成本． （ 因?yàn)椋? 例 1. 已知某公司獨(dú)家生產(chǎn)某產(chǎn)品，銷售Q 單位商品時(shí)，邊際收入函數(shù)為 （元/單位）（a>0,b>0,c>0） 求：(1)公司的總收入函數(shù)；(2)該產(chǎn)品的需求函數(shù). 解 ：(1)總收入函數(shù)為 === (2)設(shè)產(chǎn)品的價(jià)格為P，則，得需求函數(shù)為 2 .利用定積分由變化率求總量問題 如果求總函數(shù)在某個(gè)范圍的改變量, 則直接采用定積分來解決。 例2．已知某產(chǎn)品總產(chǎn)量的變化率為 ( 件/天) , 求從第5 天到第10 天產(chǎn)品的總產(chǎn)量。 解 所求的總產(chǎn)量為 (件) 3 .利用定積分求經(jīng)濟(jì)函數(shù)的最大值和最小值 例3．設(shè)生產(chǎn)x 個(gè)產(chǎn)品的邊際成本C = 100+ 2x , 其固定成本為元,產(chǎn)品單價(jià)規(guī)定為500元。假設(shè)生產(chǎn)出的產(chǎn)品能完全銷售,問生產(chǎn)量為多少時(shí)利潤(rùn)最大? 并求出最大利潤(rùn)。 解：總成本函數(shù)為 = 總收益函數(shù)為R( x ) = 500x 總利潤(rùn)函數(shù)為L(zhǎng) ( x ) = R ( x ) - C( x ) = = 400- 2x 令= 0, 得x= 200 因?yàn)?( 200) < 0 所以, 生產(chǎn)量為200 單位時(shí), 利潤(rùn)最大。最大利潤(rùn)為L(zhǎng)( 200)=400 200--1000=39000( 元) 。 4． 利用定積分求消費(fèi)者剩余與生產(chǎn)者剩余 在經(jīng)濟(jì)管理中, 一般說來, 商品價(jià)格低, 需求就大; 反之, 商品價(jià)格高, 需求就小, 因此需求函數(shù)Q = f( P)是價(jià)格P的單調(diào)遞減函數(shù)。 同時(shí)商品價(jià)格低, 生產(chǎn)者就不愿生產(chǎn), 因而供給就少; 反之, 商品價(jià)格高, 供給就多, 因此供給函數(shù)Q= g( P)是價(jià)格P的單調(diào)遞增函數(shù)。 由于函數(shù)Q = f( P)與Q = g( P)都是單調(diào)函數(shù), 所以分別存在反函數(shù)P=與P= , 此時(shí)函數(shù)P=也稱為需求函數(shù), 而P=也稱為供給函數(shù)。 需求曲線(函數(shù)) P=與供給曲線(函數(shù)) P=的交點(diǎn)A( P* , Q* )稱為均衡點(diǎn)。在此點(diǎn)供需達(dá)到均衡。均衡點(diǎn)的價(jià)格P* 稱為均衡價(jià)格, 即對(duì)某商品而言, 顧客愿買、生產(chǎn)者愿賣的價(jià)格。如果消費(fèi)者以比他們?cè)瓉眍A(yù)期的價(jià)格低的價(jià)格(如均衡價(jià)格)購(gòu)得某種商品, 由此而節(jié)省下來的錢的總數(shù)稱它為消費(fèi)者剩余。 假設(shè)消費(fèi)者以較高價(jià)格P= 購(gòu)買某商品并情愿支付, Q* 為均衡商品量, 則在[ Q, Q+]內(nèi)消費(fèi)者消費(fèi)量近似為, 故消費(fèi)者的總消費(fèi)量為,它是需求曲線P=在與 Q*之間的曲邊梯形OQ*的面積, 如圖 如果商品是以均衡價(jià)格P* 出售, 那么消費(fèi)者實(shí)際銷售量為P* Q* , 因此, 消費(fèi)者剩余為 它是曲邊三角形的面積。 如果生產(chǎn)者以均衡價(jià)格P* 出售某商品, 而沒有以他們本來計(jì)劃的以較低的售價(jià)出售該商品, 由此所獲得的額外收入, 稱它為生產(chǎn)者剩余。 同理分析可知: P* Q* 是生產(chǎn)者實(shí)際出售商品的收入總額, 是生產(chǎn)者按原計(jì)劃以較低價(jià)格售出商品所獲得的收入總額, 故生產(chǎn)者剩余為 它是曲邊三角形的面積。 例4. 設(shè)某產(chǎn)品的需求函數(shù)是P=。 如果價(jià)格固定在每件10元, 試計(jì)算消費(fèi)者剩余。 解：已知需求函數(shù)P=, 首先求出對(duì)應(yīng)于P* = 10 的Q*值, 令 = 10, 得Q* = 10000。 于是消費(fèi)者剩余為 = =(30Q- =66666.67(元)。 例5.　設(shè)需求函數(shù)Q＝8-，供給函數(shù)Q＝，求消費(fèi)者剩余和生產(chǎn)者剩余. 解:　首先求出均衡價(jià)格與供需量. 得 ＝15，＝3. 令8-＝0，得P1＝24，令＝0，得＝9，代入(3)、(4)式得 CS＝， PS＝. 5. 利用定積分計(jì)算資本現(xiàn)值和投資 對(duì)于一個(gè)正常運(yùn)營(yíng)的企業(yè)而言，其資金的收入與支出往往是分散地在一定時(shí)期發(fā)生的，比如購(gòu)買一批原料后支出費(fèi)用，售出產(chǎn)品后得到貨款等等.但這種資金的流轉(zhuǎn)在企業(yè)經(jīng)營(yíng)過程中經(jīng)常發(fā)生，特別對(duì)大型企業(yè)，其收入和支出更是頻繁的進(jìn)行著.在實(shí)際分析過程中為了計(jì)算的方便，我們將它近似地看做是連續(xù)地發(fā)生的，并稱之為收入流(或支出流).若已知在t時(shí)刻收入流的變化率為f(t)(單位：元/年、元/月等)，那么如何計(jì)算收入流的終值和現(xiàn)值呢? 企業(yè)在［0，T］這一段時(shí)間內(nèi)的收入流的變化率為f(t)，連續(xù)復(fù)利的年利率為r.為了能夠利用計(jì)算單筆款項(xiàng)現(xiàn)值的方法計(jì)算收入流的現(xiàn)值，將收入流分成許多小收入段，相應(yīng)地將區(qū)間［0，T］平均分割成長(zhǎng)度為Δt的小區(qū)間.當(dāng)Δt很小時(shí)，f(t)在每一子區(qū)間內(nèi)的變化很小，可看做常數(shù)，在t與t+Δt之間收入的近似值為f(t)Δt，相應(yīng)收入的現(xiàn)值為f(t)e-rtΔt，再將各小時(shí)間段內(nèi)收入的現(xiàn)值相加并取極限，可求總收入的現(xiàn)值為 現(xiàn)值＝，　　 類似地可求得總收入的終值為終值＝.　 例6．現(xiàn)對(duì)某企業(yè)給予一筆投資A, 經(jīng)測(cè)算,該企業(yè)在T 年中可以按每年a 元的均勻收入率獲得收入, 若年利潤(rùn)為r, 試求: ( 1) 該投資的純收入貼現(xiàn)值; ( 2) 收回該筆投資的時(shí)間為多少? 解 ：( 1) 求投資純收入的貼現(xiàn)值: 因收入率為a, 年利潤(rùn)為r, 故投資后的T 年中獲總收入的現(xiàn)值為 Y= 從而投資所獲得的純收入的貼現(xiàn)值為 ( 2) 求收回投資的時(shí)間: 收回投資, 即為總收入的現(xiàn)值等于投資。由得T = 即收回投資的時(shí)間為T= 總結(jié) 定積分在數(shù)學(xué)中占重要地位。同時(shí)，它和經(jīng)濟(jì)學(xué)也有很大的聯(lián)系，以上幾個(gè)方面的應(yīng)用也只是定積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中應(yīng)用的一部分, 定積分還有很多在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用之處。只要勤于學(xué)習(xí), 善于思考, 勇于探索,就一定能從中感受到定積分的無窮魅力, 同時(shí)也能提高應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。 .