同濟(jì)第六版《高等數(shù)學(xué)》教案WORD版-第03章 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

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. 第三章 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 教學(xué)目的： 1、 理解并會用羅爾定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。 2、 理解函數(shù)的極值概念，掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極值的方法，掌握函數(shù)最大值和最小值的求法及其簡單應(yīng)用。 3、 會用二階導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性，會求函數(shù)圖形的拐點(diǎn)以及水平、鉛直和斜漸近線，會描繪函數(shù)的圖形。 4、 掌握用洛必達(dá)法則求未定式極限的方法。 5、 知道曲率和曲率半徑的概念，會計(jì)算曲率和曲率半徑。 6、 知道方程近似解的二分法及切線性。 教學(xué)重點(diǎn)： 1、羅爾定理、拉格朗日中值定理； 2、函數(shù)的極值 ，判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極值的方法； 3、函數(shù)圖形的凹凸性； 4、洛必達(dá)法則。 教學(xué)難點(diǎn)： 1、羅爾定理、拉格朗日中值定理的應(yīng)用； 2、極值的判斷方法； 3、圖形的凹凸性及函數(shù)的圖形描繪； 4、洛必達(dá)法則的靈活運(yùn)用。 3. 1 中值定理 一、羅爾定理 費(fèi)馬引理 設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域U(x0)內(nèi)有定義, 并且在x0處可導(dǎo), 如果對任意xU(x0), 有 f(x)f(x0) (或f(x)f(x0)), 那么f (x0)=0. 羅爾定理 如果函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[a, b]上連續(xù), 在開區(qū)間(a, b)內(nèi)可導(dǎo), 且有f(a)=f(b), 那么在(a, b)內(nèi)至少在一點(diǎn)x , 使得f (x)=0. 簡要證明: (1)如果f(x)是常函數(shù), 則f (x)0, 定理的結(jié)論顯然成立. (2)如果f(x)不是常函數(shù), 則f(x)在(a, b)內(nèi)至少有一個(gè)最大值點(diǎn)或最小值點(diǎn), 不妨設(shè)有一最大值點(diǎn)x(a, b). 于是 , , 所以f (x)=0. 羅爾定理的幾何意義: 二、拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理 如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a, b]上連續(xù), 在開區(qū)間(a, b)內(nèi)可導(dǎo), 那么在(a, b)內(nèi)至少有一點(diǎn)x(a0或Dx<0), 則在[x, x+Dx ] (Dx>0)或[x+Dx, x ] (Dx<0)應(yīng)用拉格朗日中值公式, 得 f(x+Dx)-f(x)=f (x+qDx)Dx (00時(shí), . 證 設(shè)f(x)=ln(1+x), 顯然f(x)在區(qū)間[0, x]上滿足拉格朗日中值定理的條件, 根據(jù)定理, 就有 f(x)-f(0)=f (x)(x-0), 00, 那么函數(shù)y=f(x)在[a, b]上單調(diào)增加; (2)如果在(a, b)內(nèi)f (x)<0, 那么函數(shù)y=f(x)在[a, b]上單調(diào)減少. 證明 只證(1). 在[a, b]上任取兩點(diǎn)x1 , x2 (x1 0, 因此, 如果在(a, b)內(nèi)導(dǎo)數(shù)f (x)保持正號, 即f (x)>0, 那么也有f (x)>0. 于是 f(x2 )-f(x1 )=f (x)(x2 -x1 )>0, 即 f(x1 )0, 所以由判定法可知函數(shù)y=x-cos x 在[0, 2p]上的單調(diào)增加. 例2 討論函數(shù)y=e x -x-1的單調(diào)性. （沒指明在什么區(qū)間怎么辦？) 解 y=e x -1. 函數(shù)y=e x -x-1的定義域?yàn)?-, +). 因?yàn)樵?-, 0)內(nèi)y<0, 所以函數(shù)y=e x -x-1在(-, 0] 上單調(diào)減少; 因?yàn)樵?0, +)內(nèi)y>0, 所以函數(shù)y=e x -x-1在[0, +)上單調(diào)增加. 例3. 討論函數(shù)的單調(diào)性. 解: 函數(shù)的定義域?yàn)?-, +). 當(dāng)時(shí), 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為 (x0), 函數(shù)在x=0處不可導(dǎo). 當(dāng)x=0時(shí), 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不存在. 因?yàn)閤<0時(shí), y<0, 所以函數(shù)在(-, 0] 上單調(diào)減少; 因?yàn)閤>0時(shí), y>0, 所以函數(shù)在[0, +)上單調(diào)增加. 如果函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù), 除去有限個(gè)導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)外導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù), 那么只要用方程f (x)=0的根及導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)來劃分函數(shù)f(x)的定義區(qū)間, 就能保證f (x)在各個(gè)部分區(qū)間內(nèi)保持固定的符號, 因而函數(shù)f(x)在每個(gè)部分區(qū)間上單調(diào). 例4. 確定函數(shù)f(x)=2x3-9x2+12x-3的單調(diào)區(qū)間. 解 這個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)?(-, +). 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為:f (x)=6x2 -18x +12 = 6(x-1)(x-2). 導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)有兩個(gè): x1 =1、x2 =2. 列表分析: (-, 1] [1, 2] [2, +) f (x) + - + f(x) ↗ ↘ ↗ 函數(shù)f(x)在區(qū)間(-, 1]和[2, +)內(nèi)單調(diào)增加, 在區(qū)間[1, 2]上單調(diào)減少. 例5. 討論函數(shù)y=x3的單調(diào)性. 解 函數(shù)的定義域?yàn)? (-, +). 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為: y=3x2 . 除當(dāng)x=0時(shí), y=0外, 在其余各點(diǎn)處均有y>0. 因此函數(shù) y=x 3在區(qū)間(-, 0]及[0, +)內(nèi)都是單調(diào)增加的. 從而在整個(gè)定義域: (-, +)內(nèi)是單調(diào)增加的. 在x=0處曲線有一水平切線. 一般地, 如果f (x)在某區(qū)間內(nèi)的有限個(gè)點(diǎn)處為零, 在其余各點(diǎn)處均為正（或負(fù)）時(shí), 那么f(x)在該區(qū)間上仍舊是單調(diào)增加（或單調(diào)減少）的. 例6. 證明: 當(dāng)x>1時(shí), . 證明: 令, 則 . 因?yàn)楫?dāng)x>1時(shí), f (x)>0, 因此f(x)在[1, +)上f(x)單調(diào)增加, 從而當(dāng)x>1時(shí), f(x)>f(1). 由于f(1)=0, 故f(x)>f(1)=0, 即 , 也就是(x>1). 二、曲線的凹凸與拐點(diǎn) 凹凸性的概念: x1 x 2 y x O f(x2) f(x1) x1 x 2 y x O f(x2) f(x1) 定義 設(shè)f(x)在區(qū)間I上連續(xù), 如果對I上任意兩點(diǎn)x 1, x 2, 恒有 , 那么稱f(x)在I上的圖形是(向上)凹的(或凹弧); 如果恒有 , 那么稱f(x)在I上的圖形是(向上)凸的(或凸弧). 定義 設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上連續(xù), 如果函數(shù)的曲線位于其上任意一點(diǎn)的切線的上方，則稱該曲線在區(qū)間I上是凹的；如果函數(shù)的曲線位于其上任意一點(diǎn)的切線的下方，則稱該曲線在區(qū)間I上是凸的. 凹凸性的判定: 定理 設(shè)f(x)在[a, b]上連續(xù), 在(a, b)內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù), 那么 (1)若在(a, b)內(nèi)f (x)>0, 則f(x)在[a, b]上的圖形是凹的; (2)若在(a, b)內(nèi)f (x)<0, 則f(x)在[a, b]上的圖形是凸的. 簡要證明 只證(1). 設(shè)x1, x2[a, b], 且x10時(shí), y>0, 所以曲線在[0, +)內(nèi)為凹的. 例3. 求曲線y=2x 3+3x 2-2x+14的拐點(diǎn). 解: y=6x 2+6x-12, . 令y=0, 得. 因?yàn)楫?dāng)時(shí), y<0; 當(dāng)時(shí), y>0, 所以點(diǎn)(, )是曲線的拐點(diǎn). 例4. 求曲線y=3x 4-4x 3+1的拐點(diǎn)及凹、凸的區(qū)間. 解: (1)函數(shù)y=3x 4-4x 3+1的定義域?yàn)?-, +); (2),; (3)解方程y=0, 得, ; (4)列表判斷: (-, 0) 0 (0, 2/3) 2/3 (2/3, +) f (x) + 0 - 0 + f(x) 1 11/27 在區(qū)間(-, 0]和[2/3, +)上曲線是凹的, 在區(qū)間[0, 2/3]上曲線是凸的. 點(diǎn)(0, 1)和(2/3, 11/27)是曲線的拐點(diǎn). 例5 問曲線y=x 4是否有拐點(diǎn)？ 解 y=4x 3, y=12x 2. 當(dāng)x 0時(shí), y>0, 在區(qū)間(-, +)內(nèi)曲線是凹的, 因此曲線無拐點(diǎn). 例6. 求曲線的拐點(diǎn). 解 (1)函數(shù)的定義域?yàn)?-, +); (2) , ; (3)無二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn), 二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)為x=0; (4)判斷: 當(dāng)x<0當(dāng), y>0; 當(dāng)x>0時(shí), y<0. 因此, 點(diǎn)(0, 0)曲線的拐點(diǎn). 3. 5 函數(shù)的極值與最大值最小值 一、函數(shù)的極值及其求法 極值的定義: 定義 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a, b)內(nèi)有定義, x0(a, b). 如果在x0的某一去心鄰域內(nèi)有f(x)< f(x0), 則稱f(x0)是函數(shù) f(x)的一個(gè)極大值; 如果在x0的某一去心鄰域內(nèi)有f(x)>f(x0), 則稱f(x0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極小值. 設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域U(x0)內(nèi)有定義, 如果在去心鄰域U(x0)內(nèi)有f(x)f(x0)), 則稱f(x0)是函數(shù) f(x)的一個(gè)極大值(或極小值). 函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值, 使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn). 函數(shù)的極大值和極小值概念是局部性的. 如果f(x0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極大值, 那只是就x0 附近的一個(gè)局部范圍來說, f(x0)是f(x)的一個(gè)最大值; 如果就f(x)的整個(gè)定義域來說, f(x0)不一定是最大值. 關(guān)于極小值也類似. 極值與水平切線的關(guān)系: 在函數(shù)取得極值處, 曲線上的切線是水平的. 但曲線上有水平切線的地方, 函數(shù)不一定取得極值. 定理1 (必要條件)設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0 處可導(dǎo), 且在x0 處取得極值, 那么這函數(shù)在x0 處的導(dǎo)數(shù)為零, 即f (x0)=0. 證 為確定起見, 假定f(x0)是極大值(極小值的情形可類似地證明). 根據(jù)極大值的定義, 在x0 的某個(gè)去心鄰域內(nèi), 對于任何點(diǎn)x , f(x) < f(x0)均成立. 于是 當(dāng)x < x0 時(shí) , 因此 f (x0); 當(dāng)x > x0 時(shí) , 因此 ; 從而得到 f (x0) = 0 . 簡要證明: 假定f(x0)是極大值. 根據(jù)極大值的定義, 在x0的某個(gè)去心鄰域內(nèi)有f(x)< f(x0). 于是 , 同時(shí) , 從而得到f (x0) = 0 . 駐點(diǎn): 使導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)(即方程f (x) = 0的實(shí)根)叫函數(shù)f(x)的駐點(diǎn). 定理１就是說: 可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)必定是函數(shù)的駐點(diǎn). 但的過來, 函數(shù)f(x)的駐點(diǎn)卻不一定是極值點(diǎn). 考察函數(shù)f(x)=x3在x=0處的情況. 定理２(第一種充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的一個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù), 在x0的左右鄰域內(nèi)可導(dǎo). (1) 如果在x0的某一左鄰域內(nèi)f (x)>0, 在x0的某一右鄰域內(nèi)f (x)<0, 那么函數(shù)f(x)在x0處取得極大值; (2) 如果在x0的某一左鄰域內(nèi)f (x)<0, 在x0的某一右鄰域內(nèi)f (x)>0, 那么函數(shù)f(x)在x0處取得極小值; (3)如果在x0的某一鄰域內(nèi)f (x)不改變符號, 那么函數(shù)f(x)在x0處沒有極值. 定理２ (第一種充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在含x0的區(qū)間(a, b)內(nèi)連續(xù), 在(a, x0)及(x0, b)內(nèi)可導(dǎo). (1)如果在(a, x0)內(nèi)f (x)>0, 在(x0, b)內(nèi)f (x)<0, 那么函數(shù)f(x)在x0處取得極大值; (2)如果在(a, x0)內(nèi)f (x)<0, 在(x0, b)內(nèi)f (x)>0, 那么函數(shù)f(x)在x0處取得極小值; (3)如果在(a, x0)及(x0, b)內(nèi) f (x)的符號相同, 那么函數(shù)f(x)在x0處沒有極值. 定理2(第一充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在x0連續(xù), 且在x0的某去心鄰域(x0-d, x0)(x0, x0+d)內(nèi)可導(dǎo). (1)如果在(x0-d, x0)內(nèi)f (x)>0, 在(x0, x0+d)內(nèi)f (x)<0, 那么函數(shù)f(x)在x0處取得極大值; (2)如果在(x0-d, x0)內(nèi)f (x)<0, 在(x0, x0+d)內(nèi)f (x)>0, 那么函數(shù)f(x)在x0處取得極小值; (3)如果在(x0-d, x0)及(x0, x0+d)內(nèi) f (x)的符號相同, 那么函數(shù)f(x)在x0處沒有極值. 定理2也可簡單地這樣說: 當(dāng)x在x0的鄰近漸增地經(jīng)過x0時(shí), 如果f (x)的符號由負(fù)變正, 那么f(x)在x0處取得極大值; 如果f (x)的符號由正變負(fù), 那么f(x)在x0處取得極小值; 如果f (x)的符號并不改變, 那么f(x)在x0處沒有極值 (注: 定理的敘述與教材有所不同) . 確定極值點(diǎn)和極值的步驟: (1)求出導(dǎo)數(shù)f (x); (2)求出f(x)的全部駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn); (3)列表判斷(考察f (x)的符號在每個(gè)駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的左右鄰近的情況, 以便確定該點(diǎn)是否是極值點(diǎn), 如果是極值點(diǎn), 還要按定理2確定對應(yīng)的函數(shù)值是極大值還是極小值); (4)確定出函數(shù)的所有極值點(diǎn)和極值. 例1求函數(shù)的極值. 解(1)f(x)在(-, +)內(nèi)連續(xù), 除x=-1外處處可導(dǎo), 且 ; (2)令f (x)=0, 得駐點(diǎn)x=1; x=-1為f(x)的不可導(dǎo)點(diǎn); (3)列表判斷 x (-, -1) -1 (-1, 1) 1 (1, +) f (x) + 不可導(dǎo) - 0 + f(x) ↗ 0 ↘ ↗ (4)極大值為f(-1)=0, 極小值為. 定理3 (第二種充分條件) 設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處具有二階導(dǎo)數(shù)且f (x0)=0, f (x0)0, 那么 (1)當(dāng)f (x0)<0時(shí), 函數(shù)f(x)在x0處取得極大值; (1)當(dāng)f (x0)>0時(shí), 函數(shù)f(x)在x0處取得極小值; 證明 在情形(1), 由于f (x0)<0, 按二階導(dǎo)數(shù)的定義有 . 根據(jù)函數(shù)極限的局部保號性, 當(dāng)x 在x0的足夠小的去心鄰域內(nèi)時(shí), . 但f (x0)=0, 所以上式即 . 從而知道, 對于這去心鄰域內(nèi)的x來說, f (x)與x-x0符號相反. 因此, 當(dāng)x-x0<0即x0; 當(dāng)x-x0>0即x>x0時(shí), f (x)<0. 根據(jù)定理2, f(x)在點(diǎn)x0處取得極大值. 類似地可以證明情形(2). 簡要證明: 在情形(1), 由于f (x0)<0, f (x0)=0, 按二階導(dǎo)數(shù)的定義有 . 根據(jù)函數(shù)極限的局部保號性, 在x0的某一去心鄰域內(nèi)有 . 從而在該鄰域內(nèi), 當(dāng)x0; 當(dāng)x>x0時(shí), f (x)<0. 根據(jù)定理2, f(x)在點(diǎn)x0處取得極大值. 定理3 表明, 如果函數(shù)f(x)在駐點(diǎn)x0處的二導(dǎo)數(shù)f (x0) 0, 那么該點(diǎn)x0一定是極值點(diǎn), 并且可以按二階導(dǎo)數(shù)f (x0)的符來判定f(x0)是極大值還是極小值. 但如果f (x0)=0, 定理3就不能應(yīng)用. 討論: 函數(shù)f (x)=-x4, g(x)=x3在點(diǎn)x=0是否有極值？ 提示: f (x)=4x 3, f (0)=0; f (x)=12x2, f (0)=0. 但當(dāng)x<0時(shí)f (x)<0, 當(dāng)x>0時(shí)f (x)>0, 所以f(0) 為極小值. g (x)=3x2, g (0)=0; g (x)=6x, g (0)=0. 但g(0) 不是極值． 例2 求函數(shù)f(x)=(x2-1)3+1的極值. 解 (1)f (x)=6x(x2-1)2. (2)令f (x)=0, 求得駐點(diǎn)x1=-1, x2=0, x3=1. (3)f (x)=6(x2-1)(5x2-1). (4)因f (0)=6>0, 所以f (x)在x=0處取得極小值, 極小值為f(0)=0. (5)因f (-1)=f (1)=0, 用定理3無法判別. 因?yàn)樵?1的左右鄰域內(nèi)f (x)<0, 所以f(x)在-1處沒有極值; 同理, f(x)在1處也沒有極值. 二、最大值最小值問題 在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、工程技術(shù)及科學(xué)實(shí)驗(yàn)中, 常常會遇到這樣一類問題: 在一定條件下, 怎樣使“產(chǎn)品最多”、“用料最省”、“成本最低”、“效率最高”等問題, 這類問題在數(shù)學(xué)上有時(shí)可歸結(jié)為求某一函數(shù)（通常稱為目標(biāo)函數(shù)）的最大值或最小值問題. 極值與最值的關(guān)系: 設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a, b]上連續(xù), 則函數(shù)的最大值和最小值一定存在. 函數(shù)的最大值和最小值有可能在區(qū)間的端點(diǎn)取得, 如果最大值不在區(qū)間的端點(diǎn)取得, 則必在開區(qū)間(a, b)內(nèi)取得, 在這種情況下, 最大值一定是函數(shù)的極大值. 因此, 函數(shù)在閉區(qū)間[a, b]上的最大值一定是函數(shù)的所有極大值和函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值中最大者. 同理, 函數(shù)在閉區(qū)間[a, b]上的最小值一定是函數(shù)的所有極小值和函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值中最小者. 最大值和最小值的求法: 設(shè)f(x)在(a, b)內(nèi)的駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)(它們是可能的極值點(diǎn))為x1, x2, , xn, 則比較 f(a), f(x 1), , f(x n), f(b) 的大小, 其中最大的便是函數(shù)f(x)在[a, b]上的最大值, 最小的便是函數(shù)f(x)在[a, b]上的最小值. 例3求函數(shù)f(x)=|x2-3x+2|在[-3, 4]上的最大值與最小值. 解 , 在(-3, 4)內(nèi), f(x)的駐點(diǎn)為; 不可導(dǎo)點(diǎn)為x=1和x=2. 由于f(-3)=20, f(1)=0,, f(2)=0, f(4)=6, 比較可得f(x)在x=-3處取得它在[-3, 4]上的最大值20, 在x=1和x=2處取它在[-3, 4]上的最小值0. 例4 工廠鐵路線上AB段的距離為100km. 工廠C距A處為20km, AC垂直于AB. 為了運(yùn)輸需要, 要在AB線上選定一點(diǎn)D向工廠修筑一條公路. 已知鐵路每公里貨運(yùn)的運(yùn)費(fèi)與公路上每公里貨運(yùn)的運(yùn)費(fèi)之比3:5. 為了使貨物從供應(yīng)站B運(yùn)到工廠C的運(yùn)費(fèi)最省, 問D點(diǎn)應(yīng)選在何處？ 解 設(shè)AD=x (km), 則 DB=100-x , . 設(shè)從B點(diǎn)到C點(diǎn)需要的總運(yùn)費(fèi)為y, 那么 y=5kCD+3kDB (k是某個(gè)正數(shù)), 即 +3k(100-x) (0x100). 現(xiàn)在, 問題就歸結(jié)為: x 在[0, 100]內(nèi)取何值時(shí)目標(biāo)函數(shù)y的值最小. 先求y對x的導(dǎo)數(shù): . 解方程y=0, 得x=15(km). 由于y|x=0=400k, y|x=15=380k,, 其中以y|x=15=380k為最小, 因此當(dāng)AD=x=15km時(shí), 總運(yùn)費(fèi)為最省. 例2 工廠C與鐵路線的垂直距離AC為20km, A點(diǎn)到火車站B的距離為100km. 欲修一條從工廠到鐵路的公路CD. 已知鐵路與公路每公里運(yùn)費(fèi)之比為3:5. 為了使火車站B與工廠C間的運(yùn)費(fèi)最省, 問D點(diǎn)應(yīng)選在何處？ 解 設(shè)AD=x (km), B與C間的運(yùn)費(fèi)為y, 則 y=5kCD+3kDB (0x100), 其中k是某一正數(shù). 由=0, 得x=15. 由于y|x=0=400k, y|x=15=380k,, 其中以y|x=15=380k為最小, 因此當(dāng)AD=x=15km時(shí), 總運(yùn)費(fèi)為最省. 注意: f(x)在一個(gè)區(qū)間(有限或無限, 開或閉)內(nèi)可導(dǎo)且只有一個(gè)駐點(diǎn)x0 , 并且這個(gè)駐點(diǎn)x0 是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn), 那么, 當(dāng)f(x0)是極大值時(shí), f(x0)就是f(x)在該區(qū)間上的最大值; 當(dāng)f(x0)是極小值時(shí), f(x0)就是f(x)在該區(qū)間上的最小值. f(x 0) O a x 0 b x y=f(x ) y f(x 0) O a x 0 b x y=f(x ) y 應(yīng)當(dāng)指出, 實(shí)際問題中, 往往根據(jù)問題的性質(zhì)就可以斷定函數(shù)f(x)確有最大值或最小值, 而且一定在定義區(qū)間內(nèi)部取得. 這時(shí)如果f(x)在定義區(qū)間內(nèi)部只有一個(gè)駐點(diǎn)x0, 那么不必討論f(x0)是否是極值, 就可以斷定f(x0)是最大值或最小值. d h b 例6 把一根直徑為d 的圓木鋸成截面為矩形的梁. 問矩形截面的高h(yuǎn)和寬b應(yīng)如何選擇才能使梁的抗彎截面模量W ()最大? 解 b 與h 有下面的關(guān)系: h 2=d 2-b 2, 因而 (00, 相反時(shí)s<0. 顯然, 弧s=是x的函數(shù): s=s(x), 而且s(x)是x的單調(diào)增加函數(shù). 下面來求s(x)的導(dǎo)數(shù)及微分. 設(shè)x , Dx 為(a, b)內(nèi)兩個(gè)鄰近的點(diǎn), 它們在曲線y=f(x)上的對應(yīng)點(diǎn)為M, N, 并設(shè)對應(yīng)于x的增量Dx , 弧s的增量為Ds, 于是 , , 因?yàn)?=1, 又=y, 因此 =. 由于s=s(x)是單調(diào)增加函數(shù), 從而>0, =. 于是ds=dx. 這就是弧微分公式. 因?yàn)楫?dāng)Dx0時(shí), Ds~, Dx又Ds與同號, 所以 . 因此 , 這就是弧微分公式. 二、曲率及其計(jì)算公式 曲線彎曲程度的直觀描述: 設(shè)曲線C是光滑的, 在曲線C上選定一點(diǎn)M 0作為度量弧s 的基點(diǎn). 設(shè)曲線上點(diǎn)M 對應(yīng)于弧s, 在點(diǎn)M處切線的傾角為a , 曲線上另外一點(diǎn)N對應(yīng)于弧s+Ds , 在點(diǎn)N處切線的傾角為a+Da . 我們用比值, 即單位弧段上切線轉(zhuǎn)過的角度的大小來表達(dá)弧段的平均彎曲程度. 記, 稱為弧段MN的平均曲率. 記, 稱K為曲線C在點(diǎn)M處的曲率. 在=存在的條件下, . 曲率的計(jì)算公式: 設(shè)曲線的直角坐標(biāo)方程是y=f(x), 且f(x)具有二階導(dǎo)數(shù)（這時(shí)f (x)連續(xù), 從而曲線是光滑的）. 因?yàn)閠an a=y , 所以 sec 2a da=ydx, . 又知ds=dx, 從而得曲率的計(jì)算公式 . 例1. 計(jì)算直線y=a x+b上任一點(diǎn)的曲率. 例2. 計(jì)算半徑為R的圓上任一點(diǎn)的曲率. 討論: 1. 計(jì)算直線y=a x+b上任一點(diǎn)的曲率. 提示: 設(shè)直線方程為y=ax+b, 則y=a, y= 0. 于是K=0. 2. 若曲線的參數(shù)方程為x=j(t), y=y(t)給, 那么曲率如何計(jì)算？ 提示: . 3. 計(jì)算半徑為R的圓上任一點(diǎn)的曲率. 提示: 圓的參數(shù)方程為x=R cos t, y=R sin t . 例1. 計(jì)算等雙曲線x y =1在點(diǎn)(1, 1)處的曲率. 解: 由, 得 , . 因此 y|x=1=-1, y|x=1=2. 曲線xy =1在點(diǎn)(1, 1)處的曲率為 . 例4 拋物線y=a x 2+b x+c 上哪一點(diǎn)處的曲率最大？ 解: 由y=a x 2+b x+c, 得 y=2a x +b , y=2a , 代入曲率公式, 得 . 顯然, 當(dāng)2ax+b=0時(shí)曲率最大. 曲率最大時(shí), x=-, 對應(yīng)的點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn). 因此, 拋物線在頂點(diǎn)處的曲率最大, 最大曲率為K=|2a| . 三、曲率圓與曲率半徑 設(shè)曲線在點(diǎn)M(x, y)處的曲率為K (K0) . 在點(diǎn)M 處的曲線的法線上, 在凹的一側(cè)取一點(diǎn)D, 使|DM| =K-1=r. 以D 為圓心, r為半徑作圓, 這個(gè)圓叫做曲線在點(diǎn)M處的曲率圓, 曲率圓的圓心D叫做曲線在點(diǎn)M處的曲率中心, 曲率圓的半徑 r 叫做曲線在點(diǎn)M處的曲率半徑. 設(shè)曲線在點(diǎn)M處的曲率為K(K0), 在曲線凹的一側(cè)作一個(gè)與曲線相切于M且半徑為r=K-1的圓, 則這個(gè)圓叫做曲線在點(diǎn)M處的曲率圓, 其圓心叫做曲率中心, 其半徑r 叫做曲率半徑. 曲線在點(diǎn)M處的曲率K(K 0)與曲線在點(diǎn)M處的曲率半徑 r 有如下關(guān)系: r =, K =. 例3 設(shè)工件表面的截線為拋物線y=0.4x 2. 現(xiàn)在要用砂輪磨削其內(nèi)表面. 問用直徑多大的砂輪才比較合適？ 解 砂輪的半徑不應(yīng)大于拋物線頂點(diǎn)處的曲率半徑. y=0.8x , y=0.8, y|x=0=0, y|x=0=0.8. 把它們代入曲率公式, 得 =0.8. 拋物線頂點(diǎn)處的曲率半徑為 r=K-1 = 1.25. 所以選用砂輪的半徑不得超過1.25單位長, 即直徑不得超過2.50單位長. .