（廣東專版）2019年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專題4 圖形的認(rèn)識 4.2 三角形及其全等（試卷部分）課件.ppt
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第四章圖形的認(rèn)識4.2三角形及其全等,中考數(shù)學(xué)(廣東專用),考點(diǎn)一三角形的相關(guān)概念,A組2014-2018年廣東中考題組,五年中考,1.(2016廣州,7,3分)如圖,已知△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,DE是AC的垂直平分線,DE交AB于點(diǎn)D,連接CD,則CD=()A.3B.4C.4.8D.5,答案D∵AB=10,AC=8,BC=6,∴AB2=AC2+BC2,∴∠ACB=90.∵DE是AC的垂直平分線,∴∠AED=90,點(diǎn)E是AC的中點(diǎn),AD=DC,∴ED∥BC,∴ED是△ABC的中位線,D為AB的中點(diǎn),∴AD=AB=5,∴CD=AD=5.,2.(2014茂名,7,3分)如圖,地面上有三個洞口A,B,C,老鼠可以從任意一個洞口跑出,貓為能同時最省力地顧及三個洞口(到A、B、C三個點(diǎn)的距離相等),盡快抓到老鼠,應(yīng)該蹲守在()A.△ABC三邊垂直平分線的交點(diǎn)B.△ABC三條角平分線的交點(diǎn)C.△ABC三條高所在直線的交點(diǎn)D.△ABC三條中線的交點(diǎn),答案A△ABC三邊垂直平分線的交點(diǎn)到△ABC三個頂點(diǎn)的距離相等,故選A.,3.(2015廣州,16,3分)如圖,四邊形ABCD中,∠A=90,AB=3,AD=3,點(diǎn)M,N分別為線段BC,AB上的動點(diǎn)(含端點(diǎn),但點(diǎn)M不與點(diǎn)B重合),點(diǎn)E,F分別為DM,MN的中點(diǎn),則EF長度的最大值為.,答案3,解析連接DN,因?yàn)辄c(diǎn)E,F分別為DM,MN的中點(diǎn),所以EF是△DMN的中位線,所以EF=DN.當(dāng)點(diǎn)B、N重合時,DN有最大值=6,所以EF長度的最大值為3.,4.(2014廣東,13,4分)如圖,在△ABC中,點(diǎn)D,E分別是AB,AC的中點(diǎn),若BC=6,則DE=.,答案3,解析∵D、E分別是AB、AC的中點(diǎn),∴DE是△ABC的中位線,∴DE=BC=3.,5.(2014廣州,11,3分)△ABC中,已知∠A=60,∠B=80,則∠C的的度數(shù)是.,答案140,解析∵∠C=180-∠A-∠B=180-60-80=40,∴∠C的外角的度數(shù)是180-40=140.,6.(2015廣東,16,4分)如圖,△ABC三邊的中線AD,BE,CF的公共點(diǎn)為G,若S△ABC=12,則圖中陰影部分的面積是.,答案4,解析顯然點(diǎn)G為△ABC的重心.由三角形重心性質(zhì),可得AG=2GD,則S△BGF=S△CGE=S△ABG=S△ABD=S△ABC=12=2,∴陰影部分的面積為4.,7.(2016廣東,19,6分)如圖,已知△ABC中,D為AB的中點(diǎn).(1)請用尺規(guī)作圖法作邊AC的中點(diǎn)E,并連接DE(保留作圖痕跡,不要求寫作法);(2)在(1)的條件下,若DE=4,求BC的長.,解析(1)如圖.(2分)E點(diǎn),DE即為所求.(3分)(2)∵DE是△ABC的中位線,且DE=4,∴BC=2DE=24=8.(6分),思路分析用尺規(guī)作出線段AC的中垂線,得AC的中點(diǎn),再利用三角形中位線的性質(zhì)求BC.,解題關(guān)鍵求作AC的中點(diǎn).,8.(2014廣東,19,6分)如圖,點(diǎn)D在△ABC的AB邊上,且∠ACD=∠A.(1)作∠BDC的平分線DE,交BC于點(diǎn)E(用尺規(guī)作圖法,保留作圖痕跡,不要求寫作法);(2)在(1)的條件下,判斷直線DE與直線AC的位置關(guān)系(不要求證明).,解析(1)作圖正確(實(shí)線、虛線均可).結(jié)論:DE即為所求.(3分)(2)DE∥AC.(6分),考點(diǎn)二全等三角形的判定與性質(zhì),1.(2014深圳,8,3分)如圖,△ABC和△DEF中,AB=DE,∠B=∠DEF,添加下列哪一個條件無法證明△ABC≌△DEF?()A.AC∥DFB.∠A=∠DC.AC=DFD.∠ACB=∠F,答案C∵AC∥DF,∴∠ACB=∠F,又AB=DE,∠B=∠DEF,∴△ABC≌△DEF(AAS),故添加A、D中的條件可以證明△ABC≌△DEF;∵∠A=∠D,AB=DE,∠B=∠DEF,∴△ABC≌△DEF(ASA),故添加B中的條件可以證明△ABC≌△DEF.故選C.,2.(2014廣州,15,3分)已知命題:“如果兩個三角形全等,那么這兩個三角形的面積相等.”寫出它的逆命題:,該逆命題是命題(填“真”或“假”).,答案如果兩個三角形的面積相等,那么這兩個三角形全等;假,解析一個命題的逆命題,就是將原命題的條件與結(jié)論互換,因?yàn)槊娣e相等的兩個三角形不一定全等,所以其逆命題為假命題.,3.(2018廣東,22,7分)如圖,矩形ABCD中,AB>AD,把矩形沿對角線AC所在直線折疊,使點(diǎn)B落在點(diǎn)E處,AE交CD于點(diǎn)F,連接DE.(1)求證:△ADE≌△CED;(2)求證:△DEF是等腰三角形.,證明(1)∵△ACE是由△ACB折疊得到的,∴AD=BC=EC,AE=AB=DC,∵DE=ED,∴△ADE≌△CED.(2)由△ADE≌△CED得∠AED=∠CDE,即∠FED=∠FDE,∴FE=FD,∴△DEF是等腰三角形.,思路分析(1)由矩形的對邊相等知AD=BC,AB=DC,由折疊可得BC=EC,AB=AE,等量代換可得AD=CE,AE=CD,還有DE=ED,由“SSS”可證△ADE≌△CED.(2)由△ADE≌△CED可得∠AED=∠CDE,故由等角對等邊,可證FE=FD,即得△DEF是等腰三角形.,4.(2018廣州,18,9分)如圖,AB與CD相交于點(diǎn)E,AE=CE,DE=BE.求證:∠A=∠C.,證明在△AED和△CEB中,∴△AED≌△CEB(SAS),∴∠A=∠C.,方法總結(jié)要證角相等,可先證兩三角形全等,由全等三角形的性質(zhì)可得兩對應(yīng)角相等,而證明三角形全等應(yīng)根據(jù)邊邊邊,邊角邊,角邊角,角角邊,斜邊直角邊(僅適用于直角三角形),找全條件進(jìn)行證明.,5.(2017廣州,18,9分)如圖,點(diǎn)E,F在AB上,AD=BC,∠A=∠B,AE=BF.求證:△ADF≌△BCE.,證明∵AE=BF,∴AE+EF=BF+EF,∴AF=BE.在△ADF和△BCE中,∴△ADF≌△BCE(SAS).,6.(2016廣州,21,12分)如圖,利用尺規(guī),在△ABC的邊AC上方作∠CAE=∠ACB,在射線AE上截取AD=BC,連接CD,并證明:CD∥AB.(尺規(guī)作圖要求保留作圖痕跡,不寫作法),解析如圖為所求作的圖形.證法一:∵∠CAE=∠ACB,∴AD∥BC,又∵AD=BC,∴四邊形ABCD是平行四邊形,∴CD∥AB.證法二:∵∠ACB=∠CAE,CB=AD,AC=CA,∴△ABC≌△CDA,∴∠BAC=∠DCA,∴CD∥AB.,7.(2015梅州,20,9分)如圖,已知△ABC.按如下步驟作圖:①以A為圓心,AB長為半徑畫弧;②以C為圓心,CB長為半徑畫弧,兩弧相交于點(diǎn)D;③連接BD,與AC交于點(diǎn)E,連接AD,CD.(1)求證:△ABC≌△ADC;(2)若∠BAC=30,∠BCA=45,AC=4,求BE的長.,解析(1)證明:根據(jù)作法知,AB=AD,CB=CD.(1分)又AC=AC,(2分)∴△ABC≌△ADC.(3分)(2)由(1)可得,AB=AD,∠BAC=∠CAD,∴AE⊥BD,即AC⊥BE.(5分)Rt△ABE中,∠BAE=30,∴AE=BE,(6分)Rt△BEC中,∠BCE=45,∴EC=BE.(7分)又AE+EC=AC=4,∴BE+BE=4,(8分)∴BE==2-2.∴BE的長為2-2.(9分),考點(diǎn)一三角形的相關(guān)概念,B組2014-2018年全國中考題組,1.(2018河北,1,3分)下列圖形具有穩(wěn)定性的是(),答案A三角形具有穩(wěn)定性.故選A.,2.(2018湖北黃岡,4,3分)如圖,在△ABC中,直線DE是AC的垂直平分線,且分別交BC,AC于點(diǎn)D和E,∠B=60,∠C=25,則∠BAD為()A.50B.70C.75D.80,答案B因?yàn)橹本€DE是AC的垂直平分線,所以AD=DC,所以∠DAC=∠C=25,所以∠ADC=180-(25+25)=130.因?yàn)椤螦DC=∠B+∠BAD,所以∠BAD=∠ADC-∠B=130-60=70,故選B.,3.(2016河南,6,3分)如圖,在△ABC中,∠ACB=90,AC=8,AB=10.DE垂直平分AC交AB于點(diǎn)E,則DE的長為()A.6B.5C.4D.3,答案D在△ABC中,∠ACB=90,∵DE垂直平分AC,∴AD=DC,DE∥BC,∴E為AB的中點(diǎn),∴DE=BC,∵BC==6,∴DE=BC=3.故選D.,4.(2015遼寧沈陽,4,3分)如圖,在△ABC中,點(diǎn)D是邊AB上一點(diǎn),點(diǎn)E是邊AC上一點(diǎn),且DE∥BC,∠B=40,∠AED=60,則∠A的度數(shù)是()A.100B.90C.80D.70,答案C∵DE∥BC,∴∠AED=∠C.又∵∠AED=60,∴∠C=60.在△ABC中,∠A+∠B+∠C=180,∵∠B=40,∠C=60,∴∠A=180-∠B-∠C=180-40-60=80.故選C.,5.(2017陜西,12A,3分)如圖,在△ABC中,BD和CE是△ABC的兩條角平分線.若∠A=52,則∠1+∠2的度數(shù)為.,答案64,解析∵BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,∴∠1=∠ABC,∠2=∠ACB,又∠ABC+∠ACB=180-∠A,∴2∠1+2∠2=180-∠A=128,∴∠1+∠2=64.,考點(diǎn)二全等三角形的判定與性質(zhì),1.(2018四川成都,6,3分)如圖,已知∠ABC=∠DCB,添加以下條件,不能判定△ABC≌△DCB的是()A.∠A=∠DB.∠ACB=∠DBCC.AC=DBD.AB=DC,答案C根據(jù)題中已有條件,分別添加∠A=∠D,∠ACB=∠DBC,AB=DC,符合判定三角形全等的AAS,ASA,SAS定理,能推出△ABC≌△DCB,故選項(xiàng)A,B,D不符合題意;添加AC=BD,不符合全等三角形的判定定理,不能推出△ABC≌△DCB,選項(xiàng)C符合題意.故選C.,2.(2016北京,16,3分)下面是“經(jīng)過已知直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線”的尺規(guī)作圖過程.已知:直線l和l外一點(diǎn)P.求作:直線l的垂線,使它經(jīng)過點(diǎn)P.作法:如圖,(1)在直線l上任取兩點(diǎn)A,B;(2)分別以點(diǎn)A,B為圓心,AP,BP長為半徑作弧,兩弧相交于點(diǎn)Q;(3)作直線PQ.所以直線PQ就是所求作的垂線.,請回答:該作圖的依據(jù)是.,答案三邊分別相等的兩個三角形全等;全等三角形的對應(yīng)角相等;等腰三角形的頂角平分線與底邊上的高重合;兩點(diǎn)確定一條直線,解析連接PA、QA、PB、QB.由題意可知PA=QA,PB=QB,又AB=AB,∴△PAB≌△QAB(三邊分別相等的兩個三角形全等),∴∠PAB=∠QAB(全等三角形的對應(yīng)角相等).由兩點(diǎn)確定一條直線作直線PQ.∵PA=QA,∴AB⊥PQ(等腰三角形的頂角平分線與底邊上的高重合).,3.(2015江西南昌,9,3分)如圖,OP平分∠MON,PE⊥OM于E,PF⊥ON于F,OA=OB,則圖中有對全等三角形.,答案3,解析根據(jù)題圖的特征以及角平分線的性質(zhì)可以得到△AOP≌△BOP,△EOP≌△FOP,△AEP≌△BFP,所以題圖中有3對全等三角形.,4.(2018陜西,18,5分)如圖,AB∥CD,E、F分別為AB、CD上的點(diǎn),且EC∥BF,連接AD,分別與EC、BF相交于點(diǎn)G、H.若AB=CD,求證:AG=DH.,證明∵AB∥CD,∴∠A=∠D.∵EC∥BF,∴∠BHA=∠CGD.(2分)∵AB=CD,∴△ABH≌△DCG,∴AH=DG,∴AG=DH.(5分),思路分析首先利用平行線的性質(zhì)得出∠A=∠D,∠BHA=∠CGD,進(jìn)而判定△ABH≌△DCG,最后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及等量減等量差相等,得出結(jié)果.,歸納總結(jié)全等三角形的判定定理有SSS、SAS、ASA、AAS和HL.要根據(jù)已知條件恰當(dāng)選擇判定定理.①當(dāng)已知兩邊對應(yīng)相等時,可考慮證夾角相等或第三邊相等.②當(dāng)已知兩角對應(yīng)相等時可考慮證夾邊相等或一角對邊相等.③當(dāng)已知角及鄰邊對應(yīng)相等時可選用SAS、ASA或AAS.,5.(2018內(nèi)蒙古呼和浩特,18,6分)如圖,已知A、F、C、D四點(diǎn)在同一條直線上,AF=CD,AB∥DE,且AB=DE.(1)求證:△ABC≌△DEF;(2)若EF=3,DE=4,∠DEF=90,請直接寫出使四邊形EFBC為菱形時AF的長度.,解析(1)證明:∵AB∥DE,∴∠A=∠D,∵AF=CD,∴AF+FC=CD+FC,即AC=DF,又∵AB=DE,∴△ABC≌△DEF.(2)(過點(diǎn)E作EO⊥CF于O,由EF=3,ED=4,∠DEF=90,可得DF=5,所以EO=2.4,又四邊形EFBC為菱形,所以FO=CO=1.8,所以AF=CD=5-3.6=1.4).,6.(2017湖北黃岡,16,6分)已知:如圖,∠BAC=∠DAM,AB=AN,AD=AM.求證:∠B=∠ANM.,證明∵∠BAC=∠DAM,∴∠BAC-∠DAC=∠DAM-∠DAC,即∠BAD=∠NAM.(2分)在△ABD和△ANM中,∴△ABD≌△ANM(SAS).(5分)∴∠B=∠ANM.(6分),7.(2017吉林,18,5分)如圖,點(diǎn)E,F在BC上,BE=CF,AB=DC,∠B=∠C.求證:∠A=∠D.,證明∵BE=CF,∴BE+EF=CF+EF.∴BF=CE.(2分)又∠B=∠C,AB=DC,∴△ABF≌△DCE.(4分)∴∠A=∠D.(5分),8.(2016河北,21,9分)如圖,點(diǎn)B,F,C,E在直線l上(F,C之間不能直接測量),點(diǎn)A,D在l異側(cè),測得AB=DE,AC=DF,BF=EC.(1)求證:△ABC≌△DEF;(2)指出圖中所有平行的線段,并說明理由.,解析(1)證明:∵BF=EC,∴BF+FC=EC+CF,即BC=EF.(3分)又∵AB=DE,AC=DF,∴△ABC≌△DEF.(5分)(2)AB∥DE,AC∥DF.(7分)理由:∵△ABC≌△DEF,∴∠ABC=∠DEF,∠ACB=∠DFE.∴AB∥DE,AC∥DF.(9分),9.(2016重慶,19,7分)如圖,點(diǎn)A,B,C,D在同一條直線上,CE∥DF,EC=BD,AC=FD.求證:AE=FB.,證明∵CE∥DF,∴∠ACE=∠D.(3分)在△ACE和△FDB中,∵EC=BD,∠ACE=∠D,AC=FD,(5分)∴△ACE≌△FDB.(6分)∴AE=FB.(7分),10.(2014山東青島,15,4分)已知:線段a,∠α.求作:△ABC,使AB=AC=a,∠B=∠α.,解析此圖即為所求作三角形.,11.(2017濟(jì)南,23,7分)(1)如圖,在矩形ABCD中,AD=AE,DF⊥AE于點(diǎn)F.求證:AB=DF.,證明∵四邊形ABCD是矩形,∴∠B=90,AD∥BC.∴∠DAF=∠BEA.∵DF⊥AE,∴∠AFD=90.∴∠B=∠AFD=90.又∵AD=AE,∴△ADF≌△EAB.∴AB=DF.,考點(diǎn)一三角形的相關(guān)概念,C組教師專用題組,1.(2018陜西,6,3分)如圖,在△ABC中,AC=8,∠ABC=60,∠C=45,AD⊥BC,垂足為D,∠ABC的平分線交AD于點(diǎn)E,則AE的長為()A.2B.3C.D.,答案D∵AC=8,∠C=45,AD⊥BC,∴AD=ACsin45=4,過點(diǎn)E作EF⊥AB于點(diǎn)F,∵BE是∠ABC的平分線,∴DE=EF,∵∠ABC=60,AD⊥BC,∴∠BAE=30,在Rt△AEF中,EF=AE,又∵AD=4,DE=EF,∴AE=AD=,故選D.,思路分析首先利用AC的長及∠C的正弦求出AD的長,進(jìn)而通過角平分線的性質(zhì)及直角三角形中30度角的性質(zhì)確定DE和AE的數(shù)量關(guān)系,最后求出AE的長.,2.(2016河北,16,2分)如圖,∠AOB=120,OP平分∠AOB,且OP=2.若點(diǎn)M,N分別在OA,OB上,且△PMN為等邊三角形,則滿足上述條件的△PMN有()A.1個B.2個C.3個D.3個以上,答案D如圖所示,過點(diǎn)P分別作OA,OB的垂線,垂足分別為C,D,連接CD,則△PCD為等邊三角形.在OC,DB上分別取M,N,使CM=DN,則△PCM≌△PDN,所以∠CPM=∠DPN,PM=PN,∠MPN=60,則△PMN為等邊三角形,因?yàn)闈M足CM=DN的M,N有無數(shù)個,所以滿足題意的三角形有無數(shù)個.,3.(2016河北,10,3分)如圖,已知鈍角△ABC,依下列步驟尺規(guī)作圖,并保留作圖痕跡.步驟1:以C為圓心,CA為半徑畫?、?步驟2:以B為圓心,BA為半徑畫?、?交弧①于點(diǎn)D;步驟3:連接AD,交BC延長線于點(diǎn)H.下列敘述正確的是()A.BH垂直平分線段ADB.AC平分∠BADC.S△ABC=BCAHD.AB=AD,答案A由作圖可知點(diǎn)B、C到線段AD的兩個端點(diǎn)的距離分別相等,∴點(diǎn)B、C都在線段AD的垂直平分線上,即直線BC垂直平分線段AD.故選A.,4.(2015貴州遵義,11,3分)如圖,四邊形ABCD中,∠C=50,∠B=∠D=90,E、F分別是BC、DC上的點(diǎn),當(dāng)△AEF的周長最小時,∠EAF的度數(shù)為()A.50B.60C.70D.80,答案D,如圖,作點(diǎn)A關(guān)于BC所在直線的對稱點(diǎn)M,及關(guān)于CD所在直線的對稱點(diǎn)N,連接MN,分別交BC、DC于點(diǎn)E、F,此時△AEF的周長最小.易知∠M=∠BAE,∠N=∠DAF.在四邊形ABCD中,∠BAD=360-90-90-50=130,在△AMN中,∠M+∠N=180-∠MAN=180-130=50,所以∠BAE+∠DAF=50.所以∠EAF=130-50=80.故選D.,5.(2015河北,15,2分)如圖,點(diǎn)A,B為定點(diǎn),定直線l∥AB,P是l上一動點(diǎn),點(diǎn)M,N分別為PA,PB的中點(diǎn),對于下列各值:①線段MN的長;②△PAB的周長;③△PMN的面積;④直線MN,AB之間的距離;⑤∠APB的大小.其中會隨點(diǎn)P的移動而變化的是(),A.②③B.②⑤C.①③④D.④⑤,答案B∵點(diǎn)M,N分別為PA,PB的中點(diǎn),∴無論點(diǎn)P怎樣移動,總有MN=AB,直線l與直線MN的距離及直線MN,AB之間的距離不變,所以①③④中的值不變.隨著點(diǎn)P的移動,點(diǎn)P與點(diǎn)A,B的距離及∠APB的大小發(fā)生變化,故選B.,6.(2017吉林長春,5,3分)如圖,在△ABC中,點(diǎn)D在AB上,點(diǎn)E在AC上,DE∥BC,若∠A=62,∠AED=54,則∠B的大小為()A.54B.62C.64D.74,答案C∵DE∥BC,∴∠C=∠AED=54,∵∠A=62,∴∠B=180-∠A-∠C=64.故選C.,7.(2016陜西,6,3分)如圖,在△ABC中,∠ABC=90,AB=8,BC=6.若DE是△ABC的中位線,延長DE交△ABC的外角∠ACM的平分線于點(diǎn)F,則線段DF的長為()A.7B.8C.9D.10,答案B∵DE是△ABC的中位線,∴DE∥BC,DE=BC=3,∴∠EFC=∠FCM.∵AB=8,BC=6,∠ABC=90,∴AC==10,∵E是AC的中點(diǎn),∴EC=AC=5.∵CF平分∠ACM,∴∠ACF=∠FCM,∴∠ACF=∠EFC,∴EF=EC=5,∴DF=DE+EF=8.故選B.,8.(2014江蘇鎮(zhèn)江,5,2分)如圖,CD是△ABC的中線,點(diǎn)E、F分別是AC、DC的中點(diǎn),EF=1,則BD=.,答案2,解析∵點(diǎn)E、F分別是AC、DC的中點(diǎn),∴EF是△ACD的中位線,∴AD=2EF=2,又∵CD是△ABC的中線,∴BD=AD=2.,9.(2014江蘇揚(yáng)州,14,3分)如圖,△ABC的中位線DE=5cm,把△ABC沿DE折疊,使點(diǎn)A落在邊BC上的點(diǎn)F處,若A、F兩點(diǎn)間的距離是8cm,則△ABC的面積為cm2.,答案40,解析連接AF,因?yàn)镈E是中位線,且DE=5cm,所以DE∥BC,且BC=2DE=10cm,因?yàn)锳、F關(guān)于DE對稱,所以AF⊥DE,所以AF⊥BC,所以△ABC的面積為108=40cm2.,10.(2014湖南郴州,14,3分)如圖,在△ABC中,若E是AB的中點(diǎn),F是AC的中點(diǎn),∠B=50,則∠AEF=.,答案50,解析因?yàn)镋、F分別為AB、AC的中點(diǎn),所以EF∥BC,所以∠AEF=∠B=50.,11.(2018江西,15,6分)如圖,在四邊形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,E為AB的中點(diǎn).請僅用分別按下列要求畫圖(保留畫圖痕跡).(1)在圖1中,畫出△ABD的BD邊上的中線;(2)在圖2中,若BA=BD,畫出△ABD的AD邊上的高.,解析畫法如圖.(1)AF即為所求.(2)BF即為所求.,思路分析(1)(見答案第一個圖)連接EC,通過判斷四邊形BEDC是平行四邊形得出EC和BD的交點(diǎn)F為線段BD的中點(diǎn),進(jìn)而畫出所求;(2)(見答案第二個圖)連接EC,ED,連接點(diǎn)A與EC和BD的交點(diǎn),利用三角形重心的性質(zhì)及等腰三角形三線合一的知識畫出△ABD的AD邊上的高.,解題關(guān)鍵本題考查復(fù)雜作圖,解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)和三角形的重心及等腰三角形三線合一等知識解決問題.,12.(2017福建,19,8分)如圖,△ABC中,∠BAC=90,AD⊥BC,垂足為D.求作∠ABC的平分線,分別交AD,AC于P,Q兩點(diǎn),并證明AP=AQ.(要求:尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不寫作法),解析如圖,BQ是所求作的∠ABC的平分線,P,Q是所求作的點(diǎn).證明如下:∵AD⊥BC,∴∠ADB=90,∴∠BPD+∠PBD=90.∵∠BAC=90,∴∠AQP+∠ABQ=90.∵∠ABQ=∠PBD,∴∠BPD=∠AQP.∵∠BPD=∠APQ,∴∠APQ=∠AQP,∴AP=AQ.,考點(diǎn)二全等三角形的判定與性質(zhì),1.(2018云南昆明,15,6分)如圖,在△ABC和△ADE中,AB=AD,∠B=∠D,∠1=∠2.求證:BC=DE.,證明∵∠1=∠2,∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC,即∠BAC=∠DAE,(1分)在△ABC和△ADE中,(3分)∴△ABC≌△ADE(ASA),(5分)∴BC=DE.(6分)(其他證法參照此標(biāo)準(zhǔn)給分),2.(2018河北,23,9分)如圖,∠A=∠B=50,P為AB中點(diǎn),點(diǎn)M為射線AC上(不與點(diǎn)A重合)的任意一點(diǎn),連接MP,并使MP的延長線交射線BD于點(diǎn)N,設(shè)∠BPN=α.(1)求證:△APM≌△BPN;(2)當(dāng)MN=2BN時,求α的度數(shù);(3)若△BPN的外心在該三角形的內(nèi)部,直接寫出α的取值范圍.,解析(1)證明:∵P為AB中點(diǎn),∴PA=PB.又∵∠A=∠B,∠MPA=∠NPB,∴△APM≌△BPN.(2)由(1)得PM=PN,∴MN=2PN,∵M(jìn)N=2BN,∴PN=BN,∴α=∠B=50.(3)40<α<90.詳解:∵△BPN的外心在該三角形的內(nèi)部,∴△BPN是銳角三角形,∴∠BPN和∠BNP都為銳角,又∵∠B=50,∴40<∠BPN<90,即40<α<90.,思路分析(1)根據(jù)ASA可證明:△APM≌△BPN;(2)根據(jù)△APM≌△BPN得MN=2PN,結(jié)合MN=2BN得出PN=BN,由等邊對等角可得結(jié)果;(3)只有銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部,根據(jù)∠BPN和∠BNP都為銳角及∠B=50可得α的取值范圍.,方法歸納證明三角形全等的一般思路:,1.如果已知兩邊:(1)找夾角,利用SAS求解;(2)找直角,利用HL或SAS求解;(3)找另一條邊,利用SSS求解.,2.已知一邊和一角:(1)邊為角的對邊,則找任一角,利用AAS求解;(2)邊為角的一條邊:①找角的另一邊,利用SAS求解,②找邊的另一角,利用ASA求解,③找邊的對角,利用AAS求解.,3.已知兩角:(1)找夾邊,利用ASA求解;(2)找兩角中任意一角的對邊,利用AAS求解.,3.(2016安徽,23,14分)如圖1,A,B分別在射線OM,ON上,且∠MON為鈍角.現(xiàn)以線段OA,OB為斜邊向∠MON的外側(cè)作等腰直角三角形,分別是△OAP,△OBQ,點(diǎn)C,D,E分別是OA,OB,AB的中點(diǎn).(1)求證:△PCE≌△EDQ;(2)延長PC,QD交于點(diǎn)R.①如圖2,若∠MON=150,求證:△ABR為等邊三角形;②如圖3,若△ARB∽△PEQ,求∠MON的大小和的值.,解析(1)證明:∵點(diǎn)C,D,E分別是OA,OB,AB的中點(diǎn),∴DE??OC,CEOD.∴四邊形ODEC為平行四邊形.∴∠OCE=∠ODE.又∵△OAP,△OBQ都是等腰直角三角形,∴∠PCO=∠QDO=90.∴∠PCE=∠PCO+∠OCE=∠QDO+∠ODE=∠EDQ.又∵PC=AO=CO=ED,CE=OD=OB=DQ,∴△PCE≌△EDQ.(5分)(2)①證明:如圖,連接OR.,∵PR與QR分別為線段OA與OB的中垂線,∴AR=OR=BR,∠ARC=∠ORC,∠ORD=∠BRD.在四邊形OCRD中,∠OCR=∠ODR=90,∠MON=150,∴∠CRD=30.∴∠ARB=∠ARO+∠BRO=2∠CRO+2∠ORD=2∠CRD=60.∴△ABR為等邊三角形.(9分),②如圖,由(1)知EQ=PE,∠DEQ=∠CPE.又∵AO∥ED,∴∠CED=∠ACE.∴∠PEQ=∠CED-∠CEP-∠DEQ=∠ACE-∠CEP-∠CPE=∠ACE-∠RCE=∠ACR=90,即△PEQ為等腰直角三角形.由于△ARB∽△PEQ,所以∠ARB=90.于是在四邊形OCRD中,∠OCR=∠ODR=90,∠CRD=∠ARB=45,∴∠MON=135.此時P,O,B在一條直線上,△PAB為直角三角形且∠APB為直角,所以AB=2PE=2PQ=PQ,則=.(14分),4.(2016河南,22,10分)(1)發(fā)現(xiàn)如圖1,點(diǎn)A為線段BC外一動點(diǎn),且BC=a,AB=b.填空:當(dāng)點(diǎn)A位于時,線段AC的長取得最大值,且最大值為(用含a,b的式子表示).圖1(2)應(yīng)用點(diǎn)A為線段BC外一動點(diǎn),且BC=3,AB=1.如圖2所示,分別以AB,AC為邊,作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE,連接CD,BE.①請找出圖中與BE相等的線段,并說明理由;②直接寫出線段BE長的最大值.,圖2(3)拓展如圖3,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(5,0),點(diǎn)P為線段AB外一動點(diǎn),且PA=2,PM=PB,∠BPM=90.請直接寫出線段AM長的最大值及此時點(diǎn)P的坐標(biāo).,解析(1)CB延長線上;a+b.(2分)(2)①DC=BE.理由如下:∵△ABD和△ACE為等邊三角形,∴AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60.∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC,即∠CAD=∠EAB.(5分)∴△CAD≌△EAB.∴DC=BE.(6分)②BE長的最大值是4.(8分)(3)AM的最大值為3+2,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2-,).(10分)【提示】如圖a,構(gòu)造△BNP≌△MAP,則NB=AM.由(1)知,當(dāng)點(diǎn)N在BA的延長線上時,NB有最大值(如圖b).易得AN=2,∴AM=NB=3+2.過點(diǎn)P作PE⊥x軸于E,PE=AE=,∴P(2-,).,5.(2015福建福州,19,8分)如圖,∠1=∠2,∠3=∠4,求證:AC=AD.,證明∵∠3=∠4,∴∠ABC=∠ABD.在△ABC和△ABD中,∴△ABC≌△ABD(ASA).∴AC=AD.,6.(2014北京,13,5分)如圖,點(diǎn)B在線段AD上,BC∥DE,AB=ED,BC=DB.求證:∠A=∠E.,證明∵BC∥DE,∴∠ABC=∠D.在△ABC和△EDB中,∴△ABC≌△EDB.∴∠A=∠E.,7.(2014陜西,18,6分)如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90.點(diǎn)D在邊AB上,使DB=BC,過點(diǎn)D作EF⊥AC,分別交AC于點(diǎn)E、CB的延長線于點(diǎn)F.求證:AB=BF.,證明∵EF⊥AC,∴∠F+∠C=90.∵∠A+∠C=90,∴∠F=∠A.(3分)又∵∠FBD=∠ABC,DB=BC,∴△FBD≌△ABC.∴AB=BF.(6分),8.(2014江蘇南京,27,11分)【問題提出】學(xué)習(xí)了三角形全等的判定方法(即“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL”)后,我們繼續(xù)對“兩個三角形滿足兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等”的情形進(jìn)行研究.【初步思考】我們不妨將問題用符號語言表示為:在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E.然后,對∠B進(jìn)行分類,可分為“∠B是直角、鈍角、銳角”三種情況進(jìn)行探究.【深入探究】第一種情況:當(dāng)∠B是直角時,△ABC≌△DEF.(1)如圖,在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E=90,根據(jù),可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF.,第二種情況:當(dāng)∠B是鈍角時,△ABC≌△DEF.(2)如圖,在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B、∠E都是鈍角.求證:△ABC≌△DEF.,第三種情況:當(dāng)∠B是銳角時,△ABC和△DEF不一定全等.(3)在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B、∠E都是銳角,請你用尺規(guī)在圖中作出△DEF,使△DEF和△ABC不全等.(不寫作法,保留作圖痕跡)(4)∠B還要滿足什么條件,就可以使△ABC≌△DEF?請直接填寫結(jié)論:在△ABC和△DEF中,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B、∠E都是銳角,若,則△ABC≌△DEF.,解析(1)HL.(2分)(2)證明:如圖①,分別過點(diǎn)C、F作對邊AB、DE上的高CG、FH,其中G、H為垂足.∵∠ABC、∠DEF都是鈍角,∴G、H分別在AB、DE的延長線上.∵CG⊥AG,FH⊥DH,∴∠CGA=∠FHD=90.∵∠CBG=180-∠ABC,∠FEH=180-∠DEF,∠ABC=∠DEF,∴∠CBG=∠FEH.在△BCG和△EFH中,∵∠CGB=∠FHE,∠CBG=∠FEH,BC=EF,∴△BCG≌△EFH.∴CG=FH.又∵AC=DF,∴Rt△ACG≌Rt△DFH.∴∠A=∠D.在△ABC和△DEF中,∵∠ABC=∠DEF,∠A=∠D,AC=DF,∴△ABC≌△DEF.(6分),圖①(3)如圖②,△DEF就是所求作的三角形.,圖②(9分)(4)本題答案不唯一,下列解法供參考.∠B≥∠A.(11分),9.(2017山東濟(jì)南,27,9分)某學(xué)習(xí)小組的學(xué)生在學(xué)習(xí)中遇到了下面的問題:如圖1,在△ABC和△ADE中,∠ACB=∠AED=90,∠CAB=∠EAD=60,點(diǎn)E,A,C在同一條直線上,連接BD,點(diǎn)F是BD的中點(diǎn),連接EF,CF,試判斷△CEF的形狀并說明理由.問題探究:(1)小婷同學(xué)提出解題思路:先探究△CEF的兩條邊是否相等,如EF=CF,以下是她的證明過程.,請根據(jù)以上證明過程,解答下列兩個問題:①在圖1中作出證明中所描述的輔助線;②在證明的括號中填寫理由(請在SAS,ASA,AAS,SSS中選擇).(2)在(1)的探究結(jié)論的基礎(chǔ)上,請你幫助小婷求出∠CEF的度數(shù),并判斷△CEF的形狀.問題拓展:(3)如圖2,當(dāng)△ADE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)某個角度時,連接CE,延長DE交BC的延長線于點(diǎn)P,其他條件不變,判斷△CEF的形狀并給出證明.,解析(1)①證明中所敘述的輔助線如圖所示:,②證明的括號中的理由是:AAS.(2)△CEF是等邊三角形.證明如下:設(shè)AE=a,AC=b,則AD=2a,AB=2b,DE=a,BC=b,CE=a+b.∵△BGF≌△DEF,∴BG=DE=a.∴CG=BC+BG=(a+b).,∵==,=,∴=.又∵∠ACB=∠ECG,∴△ACE∽△ECG.∴∠CEF=∠CAB=60.又∵CF=EF,∴△CEF是等邊三角形.(3)△CEF是等邊三角形.證法一:如圖2,過點(diǎn)B作BN∥DE,交EF的延長線于點(diǎn)N,連接CN,則∠DEF=∠FNB.又∵DF=BF,∠DFE=∠BFN,∴△DEF≌△BNF.∴BN=DE,EF=FN.設(shè)AC=a,AE=b,則BC=a,DE=b.∵∠AEP=∠ACP=90,∴∠P+∠EAC=180.∵DP∥BN,∴∠P+∠CBN=180.∴∠CBN=∠EAC.在△AEC和△BNC中,∵===,∠CBN=∠EAC,∴△AEC∽△BNC.∴∠ECA=∠NCB.∴∠ECN=90.,又∵EF=FN,∴CF=EN=EF.又∵∠CEF=60,∴△CEF是等邊三角形.證法二:如圖3,取AB的中點(diǎn)M,連接CM,FM,則CM=AB=AC.又∵∠CAM=60,∴△ACM是等邊三角形.∴∠ACM=∠AMC=60.,∵AM=BM,DF=BF,∴MF是△ABD的中位線.∴MF=AD=AE且MF∥AD.∴∠DAB+∠AMF=180.∴∠DAB+∠AMF+∠AMC=180+60=240.即∠DAB+∠CMF=240.又∵∠CAE+∠DAB=360-∠DAE-∠BAC=360-60-60=240,∴∠DAB+∠CMF=∠CAE+∠DAB,∴∠CMF=∠CAE.又∵CM=AC,MF=AE,∴△CAE≌△CMF.∴CE=CF,∠ECA=∠FCM.又∵∠ACM=∠ACF+∠FCM=60,∴∠ACF+∠ECA=60,即∠ECF=60.又∵CE=CF,∴△CEF是等邊三角形.,10.(2014江蘇蘇州,23,6分)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90,點(diǎn)D,F分別在AB,AC上,CF=CB.連接CD,將線段CD繞點(diǎn)C按順時針方向旋轉(zhuǎn)90后得CE,連接EF.(1)求證:△BCD≌△FCE;(2)若EF∥CD,求∠BDC的度數(shù).,解析(1)證明:∵CD繞點(diǎn)C按順時針方向旋轉(zhuǎn)90后得CE,∴CD=CE,∠DCE=90.∵∠ACB=90,∴∠BCD=90-∠ACD=∠FCE.在△BCD和△FCE中,∴△BCD≌△FCE.(2)由△BCD≌△FCE得∠BDC=∠E.∵EF∥CD,∴∠E=180-∠DCE=90.∴∠BDC=90.,11.(2015江蘇蘇州,24,8分)如圖,在△ABC中,AB=AC.分別以B、C為圓心,BC長為半徑在BC下方畫弧,設(shè)兩弧交于點(diǎn)D,與AB、AC的延長線分別交于點(diǎn)E、F,連接AD、BD、CD.(1)求證:AD平分∠BAC;(2)若BC=6,∠BAC=50,求、的長度之和(結(jié)果保留π).,解析(1)證明:由題意可知BD=CD,在△ABD和△ACD中,∴△ABD≌△ACD(SSS).∴∠BAD=∠CAD,即AD平分∠BAC.(2)∵AB=AC,∠BAC=50,∴∠ABC=∠ACB=65.∵BD=CD=BC,∴△BDC為等邊三角形.∴∠DBC=∠DCB=60,∴∠DBE=∠DCF=55,∵BC=6,∴BD=CD=6.∴的長度=的長度==.,∴、的長度之和為+=.,考點(diǎn)一三角形的相關(guān)概念,三年模擬,A組2016—2018年模擬基礎(chǔ)題組,1.(2018東莞五校一模,7)下列長度的三條線段能組成三角形的是()A.2,3,5B.7,4,2C.3,4,8D.3,3,4,答案DA.∵2+3=5,∴2,3,5不能組成三角形,故A錯誤;B.∵4+24,∴3,3,4能組成三角形,故D正確.故選D.,2.(2017茂名模擬,9)如圖,在△ABC中,CD是∠ACB的平分線,∠A=80,∠ACB=60,那么∠BDC=()A.80B.90C.100D.110,答案D∵∠ACB=60,CD平分∠ACB,∴∠ACD=30.∵∠BDC=∠A+∠ACD,∠A=80,∴∠BDC=110.故選D.,3.(2017深圳南山外國語學(xué)校模擬,6)如圖,直線AB∥CD,∠A=40,∠D=45,則∠1的度數(shù)是()A.80B.85C.90D.95,答案B∵AB∥CD,∴∠C=∠A=40,∵∠1=∠C+∠D,∠D=45,∴∠1=40+45=85,故選B.,4.(2016清遠(yuǎn)二模,5)已知△ABC中,AB=6,BC=4,那么邊AC的長可能是()A.11B.5C.2D.1,答案B由三角形的三邊關(guān)系得2下載提示(請認(rèn)真閱讀)
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