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Diracδ函數(shù)及其性質(zhì)【教學(xué)類別】

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Diracδ函數(shù)及其性質(zhì)【教學(xué)類別】

一、Dirac 函數(shù)函數(shù) v1Dirac函數(shù)的定義函數(shù)的定義 v2Dirac函數(shù)可以用一些連續(xù)函數(shù)的函數(shù)可以用一些連續(xù)函數(shù)的序列極限來表示序列極限來表示 v3Dirac 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) v4復(fù)合函數(shù)形式的復(fù)合函數(shù)形式的Dirac函數(shù)函數(shù)h(x)v5二維二維Dirac函數(shù)函數(shù) 1應(yīng)用2MMQQI激光脈沖及其它小光源2應(yīng)用2 早在一個多世紀前,物理學(xué)家就感到有必要引入一個數(shù)學(xué)符號來描述一類物理量,當(dāng)時用于描述這種物理量的數(shù)學(xué)符號被稱之為沖擊脈沖符號。1947年,英國物理學(xué)家P.A.M.Dirac在他的著作Principle of Quantum Mechanics中正式引入(x),并稱它為奇異函數(shù)或廣義函數(shù)。(x)函數(shù)之所以被稱為奇異函數(shù)奇異函數(shù)或廣義函數(shù)廣義函數(shù),原因在于:一、它不象普通函數(shù)那樣存在確定的函數(shù)值,而是一種極限狀態(tài),而且它的極限也和普通函數(shù)不同,不是收斂到定值,而是收斂到無窮大;二、函數(shù)不象普通函數(shù)那樣進行四則運算和乘冪運算,它對別的函數(shù)的作用只能通過積分來確定。3應(yīng)用21Dirac 函數(shù)的定義函數(shù)的定義 對于自變量為一維的函數(shù)函數(shù)(x)來說,它滿足下列條件:1)(000)(dxxxxx,(1)這表明,(x)函數(shù)在x0點處處為零,在x=0點出現(xiàn)無窮大極值,x=0點又稱為奇異點。但是,盡管(0)趨近于無窮大,對它的積分卻等于1,即對應(yīng)著函數(shù)的面積或強度等于1,所以(x)又叫做單位脈沖函數(shù)單位脈沖函數(shù)。很顯然,等式:)0()()(fdxxxf(2)成立。f(x)是定義在區(qū)間(-,)上的連續(xù)函數(shù)。4應(yīng)用2 在光學(xué)里,(x)函數(shù)常常用來表示位于坐標(biāo)原點的具有單位光功率的點光源點光源,由于點光源所占面積趨近于零,所以在x=0點功率密度趨近于無窮大。在(1)和(2)中變換原點,得到:)()()(000)(afdxaxxfaxaxax,(3)其中a為任意常數(shù)。因此用(x-a)乘x的函數(shù),并對所有x積分的過程,等效于用a代替x的過程。*定義的另外形式:5應(yīng)用22(x)可以用一些連續(xù)函數(shù)的序列極限來表示可以用一些連續(xù)函數(shù)的序列極限來表示 1)、歸一化的Gauss分布函數(shù)G(x):)2exp(21)(22xxG(4)該函數(shù)具有如下的性質(zhì):22)(1)(dxxGxdxxG(5)當(dāng)0時,G(x)就趨向于(x),即:)2exp(21lim)(lim)(2200 xxGx(6)6應(yīng)用21)(000)(dxxxxx,(1)()()(000)(afdxaxxfaxaxax,(3)7應(yīng)用2證明:由(4)式可以看出,當(dāng)x=0,0時,)2exp(21lim)(lim2200 xxG而當(dāng)x0,0時,0)2exp(21lim)(lim2200 xxG由公式(5)得:1)(lim)(lim00dxxGdxxG所以由公式(6)所定義的函數(shù)滿足(x)函數(shù)的條件(1)式??梢姎w一化的Gauss函數(shù)的序列極限可以表示(x)函數(shù)。8應(yīng)用22)、函數(shù) xxsinxxsinlim的極限 也滿足(x)函數(shù)的條件:xxxsinlim)(7)其中0。證明:當(dāng)x=0時,limsinlimsinlimxxxx 當(dāng)x0時,sin(x)/(x)以周期2/振蕩,振幅隨著|x|的增加而減小。所以,當(dāng)時,sin0 xx0sinlimsinlimxxxx于是有:9應(yīng)用2當(dāng)0時,查找定積分表可得到:dxxxsin所以有:1sinlimsinlimdxxxdxxxxxsinxxsinlim的極限 根據(jù)上述討論可知,函數(shù) 滿足(x)函數(shù)的條件,可以表示Dirac(x)函數(shù),即(7)式成立。10應(yīng)用23)、函數(shù) 22sinxx的極限 22sinlimxx也滿足(x)函數(shù)的條件,即:22sinlim)(xxx(8)其中0。證明:當(dāng)x=0時,limsinlimsinlim222xxxx當(dāng)x0時,sin(x)/(x)以周期2/振蕩,振幅隨著|x|的增加而減小。所以:當(dāng)時,sin(x)/(x)00sinlimlimsinlimsinlim2222xxxxxx于是有:11應(yīng)用2查找定積分表可得到:dxxx22sin于是有:1)()()(sinlim1sinlimsinlim222222xdxxdxxxdxxx根據(jù)上述討論可知,函數(shù) 22sinxx的極限 22sinlimxx可以表示Dirac(x)函數(shù),即式(8)成立。22sinlim)(xxx(8)12應(yīng)用24)、階躍函數(shù)的導(dǎo)數(shù)也可以表示Dirac(x)函數(shù)。根據(jù)第一次課所講的內(nèi)容可知,階躍函數(shù)step(x)也稱為Heaviside函數(shù),也可以用H(x)表示,其定義如下:axaxaxaxH,2101)(9)函數(shù)H(x-a)對x的導(dǎo)數(shù)也滿足(x)的條件,即:)()(axHdxdx(10)13應(yīng)用2很容易看出,當(dāng)xa時,0lim0dxdHxHx而當(dāng)x=a時,dxdHxHx0lim利用分步法計算積分,有:aaafxffdxxffdxxfaxHxfaxHdxaxHdxdxf)(|)()()()()()(|)()()()(根據(jù)以上討論,再結(jié)合式(3)可知,Heaviside函數(shù)H(x-a)對x的導(dǎo)數(shù)可以表示Dirac(x)函數(shù),即式(10)成立。證明:14應(yīng)用23Dirac函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1)、積分性質(zhì)、積分性質(zhì):函數(shù)的定義式:1)(dxx1)(0dxxx即表明了函數(shù)的積分性質(zhì),這個積分也可稱之為函數(shù)的強度。性質(zhì)性質(zhì)2)、篩選性質(zhì)、篩選性質(zhì):式(2)表明了函數(shù)的篩選性質(zhì)。)()()(afdxaxxf則是其推論。)0()()(fdxxxf(2)而式(3)中的由此得出推論:15應(yīng)用2性質(zhì)性質(zhì)3)、坐標(biāo)縮放性質(zhì)、坐標(biāo)縮放性質(zhì),設(shè)a為常數(shù),且不為零,則有:)0(|)()(aaxax推論1:(-x)=(x)說明函數(shù)具有偶對稱性。推論2:)0)(|)(axaax16應(yīng)用2性質(zhì)性質(zhì)4)、函數(shù)的乘法性質(zhì)函數(shù)的乘法性質(zhì):如果f(x)在x0點連續(xù),則有:)()()()(000 xfxxxxxf由此得出推論:x(x)=0和)()(xxdxdx)()()(badxbxxa17應(yīng)用24復(fù)合函數(shù)形式的復(fù)合函數(shù)形式的函數(shù)函數(shù)h(x)設(shè)方程h(x)=0有n個實數(shù)根x1,x2,xn,則在任意實根xi附近足夠小的鄰域內(nèi)有:h(x)=h(xi)(x-xi)其中h(xi)是h(x)在x=xi處的一階導(dǎo)數(shù)。如果h(xi)0,則在xi附近可以寫出:|)(|)(iixhxxh(x)=h(xi)(x-xi)=18應(yīng)用2上式表明,h(x)是由n個脈沖構(gòu)成的脈沖系列,各個脈沖位置由方程h(x)=0的n個實根確定,各脈沖的強度則由系數(shù)|h(xi)|-1來確定。若h(xi)在n個實根處皆不為零,則有:niiixhxxxh1|)(|)()(h(xi)0)0)()(21)(22aaxaxaax)()(|1)(babxaxbabxax)()(|2xxxnnxx)(1)sin(推論:19應(yīng)用25二維函數(shù)二維函數(shù)函數(shù)函數(shù)*1、直角坐標(biāo)系的情況二維函數(shù)表示為(x,y),它是位于xy平面坐標(biāo)原點處的一個單位脈沖。二維函數(shù)是可分離變量函數(shù),即有:(x,y)=(x)(y)二維函數(shù)的性質(zhì)以及其證明過程與一維函數(shù)的情形相同。*2、極坐標(biāo)系的情況(x,y)(r,),必須要保證:1)、脈沖位置相同;2)、二者強度(即曲面下體積)相同。只有這樣,坐標(biāo)變換才是等價的。20應(yīng)用2直角坐標(biāo)系(x,y)極坐標(biāo)系(r,)(x,y)(r)(x-x0,y)(r-x0,)(x,y-y0)(x+x0,y)(r-x0,-)(x,y+y0)(x-x0,y-y0)2,(0 yr)23,(0 yr),(00rr幾個二維函數(shù)在兩種坐標(biāo)系中的位置關(guān)系 20200yxr)arctan(000 xy表121應(yīng)用2考慮到脈沖強度的對應(yīng)關(guān)系,下面給出兩個二維函數(shù)坐標(biāo)變換的例子:顯然,(x,y)和(r)的位置相同。)(1),(rryx1),(dxdyyx1)(21)(120020 ddrrrdrdrr例1)、可見,脈沖位置和強度都相同,所以坐標(biāo)變換成立。rr)(曲面下的體積為:而證明:(x,y)曲面下的體積為:22應(yīng)用2例2)、),(1),(0000rrryyxx其中,20200yxr)arctan(000 xy顯然,(x-x0,y-y0)與(r-r0,-0)的位置是相同的。1),(00dxdyyyxx而(r-r0,-0)曲面下的體積為:1)()()()(12000020000ddrrrdrdrrrr可見強度也相同,所以坐標(biāo)變換成立。證明:(x-x0,y-y0)曲面下的體積為:23應(yīng)用2

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