2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第二章 證明不等式的基本方法 2.1 比較法課件 新人教A版選修4-5.ppt

一比較法,1.作差比較法(1)原理:a-b>0a>b;a-b=0a=b;a-b<0a<b.(2)步驟:作差變形確定符號下結(jié)論.,名師點(diǎn)撥作差比較時(shí),為了判斷差的符號,需要先對差式進(jìn)行變形,這是證明的關(guān)鍵步驟,變形的常用方法有:因式分解、配方、分子(或分母)有理化等.,2.作商比較法(2)步驟:作商變形確定商與1的大小關(guān)系下結(jié)論.,特別提醒作商比較時(shí),需要注意a,b的符號,當(dāng)a,b<0時(shí),思考辨析判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)畫“”,錯(cuò)誤的畫“”.,探究一,探究二,思維辨析,用作差比較法證明不等式【例1】已知正數(shù)a,b,c成等比數(shù)列,求證a2-b2+c2(a-b+c)2.分析：先由a,b,c成等比數(shù)列得出a,b,c滿足的關(guān)系式,再利用作差法進(jìn)行證明.證明：因?yàn)檎龜?shù)a,b,c成等比數(shù)列,所以b2=ac,b=所以(a2-b2+c2)-(a-b+c)2=(a2-b2+c2)-(a2+b2+c2-2ab+2ac-2bc)=-2b2+2ab-2ac+2bc=-4b2+2ab+2bc,探究一,探究二,思維辨析,反思感悟作差比較法證明不等式的技巧1.在作差比較法中,變形具有承上啟下的作用,變形的目的在于判斷差的符號,而不用考慮差能否化簡或值是多少.2.變形所用的方法有配方、因式分解等,要具體情況具體分析.3.因式分解是常用的變形手段,為了便于判斷差式的符號,常將差式變形為一個(gè)常數(shù),或幾個(gè)因式積的形式,當(dāng)所得的差式是某字母的二次三項(xiàng)式時(shí),常用判別式法判斷符號.,探究一,探究二,思維辨析,變式訓(xùn)練1若a,b均為負(fù)數(shù),求證a3+b3a2b+ab2.證明：a3+b3-(a2b+ab2)=(a3-a2b)+(b3-ab2)=a2(a-b)-b2(a-b)=(a-b)2(a+b).因?yàn)閍,b均為負(fù)數(shù),所以a+bcos-sin.分析：當(dāng)作差比較法不易證明時(shí),可采用作商比較法證明.,探究一,探究二,思維辨析,反思感悟作商比較法證明不等式的一般步驟1.作商,將不等式左右兩邊的式子進(jìn)行作商.2.變形,化簡商式到最簡形式.3.判斷,判斷商與1的大小關(guān)系.4.得出結(jié)論.注意:不能忽視判斷左右兩邊的式子的符號.,探究一,探究二,思維辨析,探究一,探究二,思維辨析,誤用作商比較法致錯(cuò)典例已知a>0,求證log(a+1)a0,所以log(a+1)a0,所以log(a+1)a1時(shí),因?yàn)閘og(a+1)a>0,log(a+2)(a+1)>0,所以log(a+1)a<log(a+2)(a+1).綜上,不等式log(a+1)a0,log(a+2)(a+1)>0,所以證明是不嚴(yán)密的.,探究一,探究二,思維辨析,變式訓(xùn)練已知a,b(0,+),nN+,求證(a+b)(an+bn)2(an+1+bn+1).證明：(a+b)(an+bn)-2(an+1+bn+1)=an+1+abn+anb+bn+1-2an+1-2bn+1=an(b-a)+bn(a-b)=(a-b)(bn-an).當(dāng)a>b>0時(shí),a-b>0,bn-ana>0時(shí),a-b0,則(a-b)(bn-an)0時(shí),a-b=0,則(a-b)(bn-an)=0,即(a-b)(bn-an)0,故(a+b)(an+bn)2(an+1+bn+1).,1234,1.若P=x2+y2+1,Q=xy-x-y,則()A.P>QB.PQC.Pb>0,則abba與aabb的大小關(guān)系是()A.abbaaabbD.abbaaabb,答案：A,1234,3.已知a1,a2(0,1),M=a1a2,N=a1+a2+1,則M,N的大小關(guān)系是.解析：M-N=a1a2-a1-a2-1=(a1-1)(a2-1)-2,因?yàn)閍1,a2(0,1),所以a1-1,a2-1(-1,0).所以(a1-1)(a2-1)(0,1).則(a1-1)(a2-1)-2<0,故M<N.答案：M<N,1234,