《(山東專用)2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專題02 命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件(含解析)》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(山東專用)2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專題02 命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件(含解析)(8頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、專題02 命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件
一、【知識精講】
1.命題
用語言、符號或式子表達(dá)的,可以判斷真假的陳述句叫做命題,其中判斷為真的語句叫做真命題,判斷為假的語句叫做假命題.
2.四種命題及其相互關(guān)系
(1)四種命題間的相互關(guān)系
圖1-2-1
(2)四種命題的真假關(guān)系
①兩個命題互為逆否命題,它們有相同的真假性;
②兩個命題互為逆命題或互為否命題,它們的真假性沒有關(guān)系.
3.充分條件與必要條件
(1)若p?q,則p是q的充分條件,q是p的必要條件;
(2)若p?q,且qp,則p是q的充分不必要條件;
(3)若pq且q?p,則p是q的必要不充分條件;
2、(4)若p?q,則p是q的充要條件;
(5)若pq且qp,則p是q的既不充分也不必要條件.
[知識拓展] 集合與充要條件
設(shè)集合A={x|x滿足條件p},B={x|x滿足條件q},則有:
(1)若A?B,則p是q的充分條件,若AB,則p是q的充分不必要條件.
(2)若B?A,則p是q的必要條件,若BA,則p是q的必要不充分條件.
(3)若A=B,則p是q的充要條件.
二、【典例精練】
例1.(2019·菏澤模擬)有以下命題:
①“若xy=1,則x,y互為倒數(shù)”的逆命題;
②“面積相等的兩個三角形全等”的否命題;
③“若m≤1,則x2-2x+m=0有實(shí)數(shù)解”的逆否命題;
3、④“若A∩B=B,則A?B”的逆否命題.
其中真命題是( )
A.①② B.②③
C.④ D.①②③
【答案】D
【解析】?、僭}的逆命題為“若x,y互為倒數(shù),則xy=1”,是真命題;②原命題的否命題為“面積不相等的兩個三角形不全等”,是真命題;③若m≤1,Δ=4-4m≥0,所以原命題是真命題,故其逆否命題也是真命題;④由A∩B=B,得B?A,所以原命題是假命題,故其逆否命題也是假命題,故①②③正確.
【方法小結(jié)】
1.由原命題寫出其他三種命題的方法
由原命題寫出其他三種命題,關(guān)鍵要分清原命題的條件和結(jié)論,將條件與結(jié)論互換即得逆命題,將條件與結(jié)論同時否定
4、即得否命題,將條件與結(jié)論互換的同時進(jìn)行否定即得逆否命題.
例2. (1)(2017·北京高考)設(shè)m,n為非零向量,則“存在負(fù)數(shù)λ,使得m=λn”是“m·n<0”的( )
A.充分而不必要條件
B.必要而不充分條件
C.充分必要條件
D.既不充分也不必要條件
例2.(2018·天津高考)設(shè)x∈R,則“<”是“x3<1”的( )
A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
【答案】 (1)A (2)A
【解析】(1)法一 由題意知|m|≠0,|n|≠0.
設(shè)m與n的夾角為θ.
若存在負(fù)數(shù)λ,使得m=λn,
則m與n反向
5、共線,θ=180°,
∴m·n=|m||n|cos θ=-|m||n|<0.
當(dāng)90°<θ<180°時,m·n<0,此時不存在負(fù)數(shù)λ,使得m=λn.
故“存在負(fù)數(shù)λ,使得m=λn”是“m·n<0”的充分而不必要條件.
故選A.
法二 ∵m=λn,∴m·n=λn·n=λ|n|2.
∴當(dāng)λ<0,n≠0時,m·n<0.
反之,由m·n=|m||n|cos〈m,n〉<0?cos〈m,n〉<0?〈m,n〉∈,
當(dāng)〈m,n〉∈時,m,n不共線.
故“存在負(fù)數(shù)λ,使得m=λn”是“m·n<0”的充分而不必要條件.
故選A.
(2) 由<,得0<x<1,則0<x3<1,即“<”?“x3<
6、1”;
由x3<1,得x<1,
當(dāng)x≤0時,≥,
即“x3<1” “<”.
所以“<”是“x3<1”的充分而不必要條件.
【方法小結(jié)】 充分條件、必要條件的三種判斷方法
(1)定義法:根據(jù)p?q,q?p進(jìn)行判斷,適用于定義、定理判斷性問題.
(2)集合法:根據(jù)p,q成立的對象的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷,適用于命題中涉及字母的范圍的推斷問題.
(3)等價轉(zhuǎn)化法:根據(jù)一個命題與其逆否命題的等價性,把判斷的命題轉(zhuǎn)化為其逆否命題進(jìn)行判斷,適用于條件和結(jié)論帶有否定性詞語的命題.
例3. 已知P={x|x2-8x-20≤0},非空集合S={x|1-m≤x≤1+m}.若x∈P是x∈S的必
7、要條件,則m的取值范圍是________.
【答案】[0,3]
【解析】 由x2-8x-20≤0,得-2≤x≤10,
所以P={x|-2≤x≤10},
由x∈P是x∈S的必要條件,知S?P.
則所以0≤m≤3.
所以當(dāng)0≤m≤3時,x∈P是x∈S的必要條件,即所求m的取值范圍是[0,3].
【方法小結(jié)】 根據(jù)充分、必要條件求參數(shù)范圍的方法
(1)解決此類問題一般是把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系,然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(組)求解.
(2)求解參數(shù)的取值范圍時,一定要注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗,尤其是利用兩個集合之間的關(guān)系求解參數(shù)的取值范圍時,不
8、等式是否能夠取等號決定端點(diǎn)值的取舍,處理不當(dāng)容易出現(xiàn)漏解或增解的現(xiàn)象.
三、【名校新題】
1.(2019·長春質(zhì)監(jiān))命題“若x2<1,則-11或x<-1,則x2>1
D.若x≥1或x≤-1,則x2≥1
【答案】D
【解析】命題的形式是“若p,則q”,由逆否命題的知識,可知其逆否命題是“若?q,則?p”的形式,所以“若x2<1,則-1
9、a,b,c,d依次成等差數(shù)列”的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】當(dāng)a=-1,b=0,c=3,d=4時,a+d=b+c,但此時a,b,c,d不成等差數(shù)列;而當(dāng)a,b,c,d依次成等差數(shù)列時,由等差數(shù)列的性質(zhì)知a+d=b+c.所以“a+d=b+c”是“a,b,c,d依次成等差數(shù)列”的必要不充分條件,故選B.
3.(2019·湘東五校聯(lián)考)“不等式x2-x+m>0在R上恒成立”的一個必要不充分條件是( )
A.m> B.00 D.m>1
【答案】C
【解析】若不等式
10、x2-x+m>0在R上恒成立,則Δ=(-1)2-4m<0,解得m>,因此當(dāng)不等式x2-x+m>0在R上恒成立時,必有m>0,但當(dāng)m>0時,不一定推出不等式在R上恒成立,故所求的必要不充分條件可以是m>0.
4.(蚌埠一中2019屆高三考試題)已知,都是實(shí)數(shù),那么“”是“”的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
【答案】D
【解析】由條件得a>b,不能得到;反之,由得a>b,?a>b,從而2a>2b不成立。
5.(滁州市2019屆高三統(tǒng)考題)若為實(shí)數(shù),則“”是的()
A
11、.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件
C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】由條件知a,b同號。當(dāng)a,b都為正時,可得a<1b;當(dāng)a,b都為負(fù)時,可得b>1a。反之,a,b可能異號,所以ab<0.故選A
6.(安徽肥東一中2019屆高三考試題)若,是兩個非零的平面向量,則“”是“”的()
A. 充分且不必要條件 B. 必要且不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
【答案】C
12、
【解析】?a2=b2?a=b
7.(黃山市2019屆高三八校聯(lián)考)“”是“直線的傾斜角大于”的()
(A)充分而不必要條件(B)必要而不充分條件
(C)充分必要條件(D)既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】當(dāng)a<-1,直線斜率大于1,所以傾斜角大于π4;反之,當(dāng)直線傾斜角大于π4時,若大于π2,則斜率小于0,a大于0.故選A
8.(福建長汀、連城等六校2019屆高三聯(lián)考)下列關(guān)于命題的說法錯誤的是()
A. 命題“若,則”的逆否命題為“若,則”;
B. “”是“函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)”的充分不必要條件;
C. 若命題,則;
D. 命題“”是假命題.
【答案】C
【
13、解析】按照原命題與逆否命題的定義,知A正確;“函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)”的充要條件是a>1,∴“”是“函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)”的充分不必要條件,所以B正確;對于D,?x∈-∞,0,2x>3x,∴D正確;對于C,命題的否定形式錯了。
9.(2019年荊州市高三八校聯(lián)考)下列有關(guān)命題的說法正確的是()
A.,使得成立.
B.命題:任意,都有,則:存在,使得.
C.命題“若且,則且”的逆命題為真命題.
D.若數(shù)列是等比數(shù)列,則是的必要不充分條件.
【答案】D
【解析】選項A,設(shè),則,在上單調(diào)遞減,所以當(dāng)時,取得最小值3,故A錯誤;
選項B,:存在,使得,所以B錯誤.
選項C,逆命題為:“
14、若且,則且”當(dāng)時,滿足且,但不滿足且,所以C錯誤.
選項D,若數(shù)列是等比數(shù)列,,則,
反過來,若數(shù)列是等比數(shù)列,當(dāng)公比為1時,,不能推出,故D正確.
10.(合肥一六八中學(xué)2019屆高三上學(xué)期周考試題)以下有關(guān)命題的說法錯誤的是()
A. 命題“若,則”的逆否命題為“若,則”
B. “”是“”成立的必要不充分條件
C. 對于命題,使得,則,均有
D. 若為真命題,則與至少有一個為真命題
【答案】D
【解析】若p真q假,則為真,但與都是假命題,所以D錯
11.(江西省紅色七校2019屆高三第一次聯(lián)考)設(shè),是非零向量,“”是“”的( ?。?
A.充分而不必要條件
15、 B.必要而不充分條件
C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】當(dāng)a∕∕b時,a?b=±ab,所以A正確。
12.(江西省紅色七校2019屆高三第一次聯(lián)考)下列命題正確的個數(shù)是( )
①.“在三角形ABC中,若sinA>sinB,則A>B”的逆命題是真命題;
②.命題p:x≠2或y≠3,命題q:x+y≠5則p是q的必要不充分條件;
③.“?x∈R,x3﹣x2+1≤0”的否定是“?x∈R,x3﹣x2+1>0”;
④.“若a>b,則2a>2b﹣1”的否命題為“若a≤b,則2a≤2b﹣1”.
A.1 B.2 C.3 D
16、.4
【答案】C
【解析】①③④正確
13.(合肥市2019屆高三一模(理科))已知偶函數(shù)在上單調(diào)遞增,則對實(shí)數(shù),“”是“”的( ).
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】因fx是偶函數(shù),且在上單調(diào)遞增,a>b?a>b,所以有fa>fb;反之可得a>b,得不出a>b,故A正確
14. (合肥市2019屆高三一模(文科))已知函數(shù),對于實(shí)數(shù),“”是“”的( ).
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】函數(shù)fx是奇函數(shù)且在R上增,所以C正確
17、
15.(2019年皖北協(xié)作區(qū)高三聯(lián)考)設(shè)為正數(shù),則“”是“”的
A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件
C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】當(dāng)a+b>c,取a=b=2,c=3,則a2+b2=8,c2=9,8<9,所以a2+b2>c2不成立;當(dāng)a2+b2>c2時,若a+b≤c,則0
18、ABC中,sin B>sin C是B>C的充要條件”是真命題;
③“a=1”是“直線x-ay=0與直線x+ay=0互相垂直”的充要條件;
④命題“若x<-1,則x2-2x-3>0”的否命題為“若x≥-1,則x2-2x-3≤0”.
以上說法正確的是________(填序號).
【答案】①②④
【解析】對于①,“若x+y=,則sin x=cos y”的逆命題是“若sin x=cos y,則x+y=”,當(dāng)x=0,y=時,有sin x=cos y成立,但x+y=,故逆命題為假命題,①正確;對于②,在△ABC中,由正弦定理得sin B>sin C?b>c?B>C,②正確;對于③,“a=±1”是
19、“直線x-ay=0與直線x+ay=0互相垂直”的充要條件,故③錯誤;對于④,根據(jù)否命題的定義知④正確.
17.(合肥市2019屆高三二模)若“”是“”的必要不充分條件,則的取值范圍是
【答案】
【解析】逆命題成立,所以
18.(南京市2019屆高三第一學(xué)期綜合模擬)已知四邊形為梯形, ,為空間一直線,則“垂直于兩腰”是“垂直于兩底”的條件(填寫“充分不必要”,“必要不充分”,“充要”,“既不充分也不必要”中的一個).
【答案】充分不必要
【解析】因為l是空間任一直線,ABCD是梯形,所以AD,BC不平行,若l與兩腰都平行,則l必與平面ABCD平行,從而l也與AB,CD平行,所以原命題正確;但當(dāng)l與AB,CD垂直時,因AB與CD平行,顯然不能推出l與兩腰都垂直,所以逆命題不成立。故填充分不必要條件。
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