2019年高考數(shù)學(xué) 高考題和高考模擬題分項(xiàng)版匯編 專題14 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 理（含解析）

專題14 坐標(biāo)系與參數(shù)方程1【2019年高考北京卷理數(shù)】已知直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），則點(diǎn)（1，0）到直線l的距離是ABCD【答案】D【解析】由題意，可將直線化為普通方程：，即，即，所以點(diǎn)（1，0）到直線的距離，故選D【名師點(diǎn)睛】本題考查直線參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，點(diǎn)到直線的距離，屬于容易題，注重基礎(chǔ)知識(shí)、基本運(yùn)算能力的考查2【2019年高考全國(guó)卷理數(shù)】在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為（1）求C和l的直角坐標(biāo)方程；（2）求C上的點(diǎn)到l距離的最小值【答案】（1）；的直角坐標(biāo)方程為；（2）【解析】（1）因?yàn)?，且，所以C的直角坐標(biāo)方程為的直角坐標(biāo)方程為（2）由（1）可設(shè)C的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）C上的點(diǎn)到的距離為當(dāng)時(shí)，取得最小值7，故C上的點(diǎn)到距離的最小值為【名師點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化、求解橢圓上的點(diǎn)到直線距離的最值問(wèn)題求解本題中的最值問(wèn)題通常采用參數(shù)方程來(lái)表示橢圓上的點(diǎn)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值求解問(wèn)題3【2019年高考全國(guó)卷理數(shù)】在極坐標(biāo)系中，O為極點(diǎn)，點(diǎn)在曲線上，直線l過(guò)點(diǎn)且與垂直，垂足為P（1）當(dāng)時(shí)，求及l(fā)的極坐標(biāo)方程；（2）當(dāng)M在C上運(yùn)動(dòng)且P在線段OM上時(shí)，求P點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程【答案】（1），l的極坐標(biāo)方程為；（2）【解析】（1）因?yàn)樵贑上，當(dāng)時(shí)，由已知得設(shè)為l上除P的任意一點(diǎn)在中，經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)在曲線上所以，l的極坐標(biāo)方程為（2）設(shè)，在中，即因?yàn)镻在線段OM上，且，故的取值范圍是所以，P點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程為【名師點(diǎn)睛】本題主要考查極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，熟記公式即可，屬于常考題型4【2019年高考全國(guó)卷理數(shù)】如圖，在極坐標(biāo)系Ox中，弧，所在圓的圓心分別是，曲線是弧，曲線是弧，曲線是?。?）分別寫(xiě)出，的極坐標(biāo)方程；（2）曲線由，構(gòu)成，若點(diǎn)在M上，且，求P的極坐標(biāo)【答案】（1）的極坐標(biāo)方程為，的極坐標(biāo)方程為，的極坐標(biāo)方程為（2）或或或【解析】（1）由題設(shè)可得，弧所在圓的極坐標(biāo)方程分別為，所以的極坐標(biāo)方程為，的極坐標(biāo)方程為，的極坐標(biāo)方程為（2）設(shè)，由題設(shè)及（1）知若，則，解得；若，則，解得或；若，則，解得綜上，P的極坐標(biāo)為或或或【名師點(diǎn)睛】此題考查了極坐標(biāo)中過(guò)極點(diǎn)的圓的方程，思考量不高，運(yùn)算量不大，屬于中檔題5【2019年高考江蘇卷數(shù)學(xué)】在極坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)，直線l的方程為（1）求A，B兩點(diǎn)間的距離；（2）求點(diǎn)B到直線l的距離【答案】（1）；（2）2【解析】（1）設(shè)極點(diǎn)為O在OAB中，A（3，），B（，），由余弦定理，得AB=（2）因?yàn)橹本€l的方程為，則直線l過(guò)點(diǎn)，傾斜角為又，所以點(diǎn)B到直線l的距離為【名師點(diǎn)睛】本題主要考查曲線的極坐標(biāo)方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力6【重慶西南大學(xué)附屬中學(xué)校2019屆高三第十次月考數(shù)學(xué)】在平面直角坐標(biāo)系中，已知曲線的參數(shù)方程為，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為（1）求曲線與曲線兩交點(diǎn)所在直線的極坐標(biāo)方程；（2）若直線的極坐標(biāo)方程為，直線與軸的交點(diǎn)為，與曲線相交于兩點(diǎn)，求的值【答案】（1）；（2）【解析】（1）曲線的普通方程為：，曲線的普通方程為：，即，由兩圓心的距離，所以兩圓相交，所以兩方程相減可得交線為，即所以直線的極坐標(biāo)方程為（2）直線的直角坐標(biāo)方程：，則與軸的交點(diǎn)為，直線的參數(shù)方程為，帶入曲線得設(shè)兩點(diǎn)的參數(shù)為，所以，所以，同號(hào)所以【名師點(diǎn)睛】本題考查了極坐標(biāo)，參數(shù)方程和普通方程的互化和用參數(shù)方程計(jì)算長(zhǎng)度，是常見(jiàn)考題7【山東省鄆城一中等學(xué)校2019屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，點(diǎn)M的極坐標(biāo)為，直線l的極坐標(biāo)方程為（1）求直線l的直角坐標(biāo)方程與曲線C的普通方程；（2）若N是曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，P為線段MN的中點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線l的距離的最大值【答案】（1），；（2）【解析】（1）因?yàn)橹本€l的極坐標(biāo)方程為，即sincos40由xcos，ysin，可得直線l的直角坐標(biāo)方程為xy40將曲線C的參數(shù)方程，消去參數(shù)a，得曲線C的普通方程為（2）設(shè)N（，sin），0，2）點(diǎn)M的極坐標(biāo)（，），化為直角坐標(biāo)為（2，2）則所以點(diǎn)P到直線l的距離，所以當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M到直線l的距離的最大值為【名師點(diǎn)睛】本題主要考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程和普通方程的互化，考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，考查點(diǎn)到直線的距離的最值的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力8【河南省周口市20182019學(xué)年度高三年級(jí)（上）期末調(diào)研考試數(shù)學(xué)】在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為（1）求直線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線與曲線交于兩點(diǎn)，且設(shè)定點(diǎn)，求的值【答案】（1）普通方程為，C直角坐標(biāo)方程為；（2）【解析】（1）由直線的參數(shù)方程消去，得普通方程為等價(jià)于，將代入上式，得曲線的直角坐標(biāo)方程為，即（2）點(diǎn)在直線上，所以直線的參數(shù)方程可以寫(xiě)為為參數(shù)），將上式代入，得設(shè)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，則，所以【名師點(diǎn)睛】本題考查了直線的參數(shù)方程，考查了簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程，解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義9【河南省鄭州市第一中學(xué)2019屆高三上學(xué)期入學(xué)摸底測(cè)試數(shù)學(xué)】以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸已知點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為，點(diǎn)M的極坐標(biāo)為若直線l過(guò)點(diǎn)P，且傾斜角為，圓C以M為圓心、4為半徑（1）求直線l的參數(shù)方程和圓C的極坐標(biāo)方程；（2）試判定直線l和圓C的位置關(guān)系【答案】（1）（為參數(shù)），；（2）直線與圓相離【解析】（1）直線的參數(shù)方程（為參數(shù)），M點(diǎn)的直角坐標(biāo)為（0，4），圓C的半徑為4，圓C的方程為，將代入，得圓C的極坐標(biāo)方程為，即；（2）直線的普通方程為，圓心M到的距離為，直線與圓C相離【名師點(diǎn)睛】主要是考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化，以及運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題10【全國(guó)I卷2019屆高三五省優(yōu)創(chuàng)名校聯(lián)考數(shù)學(xué)】在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，橢圓的極坐標(biāo)方程為，其左焦點(diǎn)在直線上（1）若直線與橢圓交于兩點(diǎn)，求的值；（2）求橢圓的內(nèi)接矩形面積的最大值【答案】（1）；（2）【解析】（1）將代入2cos232sin248，得x23y248，即，因?yàn)閏2481632，所以F的坐標(biāo)為（，0），又因?yàn)镕在直線l上，所以把直線l的參數(shù)方程代入x23y248，化簡(jiǎn)得t24t80，所以t1t24，t1t28，所以（2）由橢圓C的方程，可設(shè)橢圓C上在第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，4sin）（），所以內(nèi)接矩形的面積，當(dāng)時(shí)，面積S取得最大值【名師點(diǎn)睛】直角坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)為極坐標(biāo)方程的關(guān)鍵是利用公式，而極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程的關(guān)鍵是利用公式，后者也可以把極坐標(biāo)方程變形，盡量產(chǎn)生，以便轉(zhuǎn)化另一方面，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在圓錐曲線運(yùn)動(dòng)變化時(shí)，我們可以用一個(gè)參數(shù)來(lái)表示動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，從而利用一元函數(shù)求與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的最值問(wèn)題11【河北衡水金卷2019屆高三12月第三次聯(lián)合質(zhì)量測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)】在直角坐標(biāo)系中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸，取相同的長(zhǎng)度單位建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為（1）當(dāng)時(shí)，寫(xiě)出直線l的普通方程及曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）已知點(diǎn)，設(shè)直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，試確定的取值范圍【答案】（1）；（2）【解析】（1）當(dāng)時(shí)，直線的參數(shù)方程為消去參數(shù)t得由曲線C的極坐標(biāo)方程為，得，將，及代入得，即；（2）由直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），可知直線是過(guò)點(diǎn)P（1，1）且傾斜角為的直線，又由（1）知曲線C為橢圓，所以易知點(diǎn)P（1，1）在橢圓C內(nèi)，將代入中，整理得，設(shè)A，B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，則，所以，因?yàn)椋?，所以，所以的取值范圍為【名師點(diǎn)睛】利用直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義求解問(wèn)題經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（x0，y0），傾斜角為的直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）若A，B為直線l上兩點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，線段AB的中點(diǎn)為M，點(diǎn)M所對(duì)應(yīng)的參數(shù)為，則以下結(jié)論在解題中經(jīng)常用到：（1）；（2）；（3）；（4）12【河南省信陽(yáng)高級(jí)中學(xué)20182019學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)】在平面直角坐標(biāo)系中，以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為；直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）直線與曲線分別交于兩點(diǎn)（1）寫(xiě)出曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的普通方程；（2）若點(diǎn)的極坐標(biāo)為，求的值【答案】（1）曲線的直角坐標(biāo)方程為：，直線的普通方程為（2）【解析】（1）由，得，所以曲線的直角坐標(biāo)方程為，即，直線的普通方程為（2）將直線的參數(shù)方程代入并化簡(jiǎn)、整理，得因?yàn)橹本€與曲線交于兩點(diǎn)所以，解得由根與系數(shù)的關(guān)系，得因?yàn)辄c(diǎn)的直角坐標(biāo)為，在直線上所以，解得，此時(shí)滿足且，故【名師點(diǎn)睛】參數(shù)方程主要通過(guò)代入法或者已知恒等式（如等三角恒等式）消去參數(shù)化為普通方程，通過(guò)選取相應(yīng)的參數(shù)可以把普通方程化為參數(shù)方程，利用關(guān)系式等可以把極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化，這類問(wèn)題一般我們可以先把曲線方程化為直角坐標(biāo)方程，用直角坐標(biāo)方程解決相應(yīng)問(wèn)題13【河南省豫南九校（中原名校）2017屆高三下學(xué)期質(zhì)量考評(píng)八數(shù)學(xué)】己知直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），曲線C的極坐標(biāo)方程為，直線與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)（1）求直線的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）求的值【答案】（1），；（2）【解析】（1）直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），消去參數(shù)，可得直線l的普通方程，曲線C的極坐標(biāo)方程為，即，曲線C的直角坐標(biāo)方程為，（2）直線的參數(shù)方程改寫(xiě)為（t為參數(shù)），代入，【名師點(diǎn)睛】由直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)互換公式，利用這個(gè)公式可以實(shí)現(xiàn)直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的相互轉(zhuǎn)化14【河南省開(kāi)封市2019屆高三上學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué)】在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程是（t為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程是（為參數(shù)），以為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系（1）求直線和曲線的極坐標(biāo)方程；（2）已知射線（其中）與曲線交于兩點(diǎn)，射線與直線交于點(diǎn)，若的面積為1，求的值和弦長(zhǎng)【答案】（1），；（2）【解析】（1）直線的普通方程為，極坐標(biāo)方程為，曲線的普通方程為，極坐標(biāo)方程為（2）依題意，【名師點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變變換，參數(shù)方程直角坐標(biāo)方程和極坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)換，三角形面積公式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題型15【四川省成都市第七中學(xué)2019屆高三一診模擬考試數(shù)學(xué)】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)標(biāo)方程為（其中為參數(shù)），在以為極點(diǎn)、軸的非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系（兩種坐標(biāo)系的單位長(zhǎng)度相同）中，直線的極坐標(biāo)方程為（1）求曲線的極坐標(biāo)方程；（2）求直線與曲線的公共點(diǎn)的極坐標(biāo)【答案】（1）（2）【解析】（1）消去參數(shù)，得曲線的直角坐標(biāo)方程將代入，得所以曲線的極坐標(biāo)方程為（2）將與的極坐標(biāo)方程聯(lián)立，消去得展開(kāi)得因?yàn)?，所以于是方程的解為，即代入可得，所以點(diǎn)的極坐標(biāo)為【名師點(diǎn)睛】本題考查曲線的極坐標(biāo)方程與普通方程的互化，直線的極坐標(biāo)方程與曲線極坐標(biāo)方程聯(lián)立求交點(diǎn)的問(wèn)題，考查計(jì)算能力16【黑龍江省大慶市第一中學(xué)2019屆高三下學(xué)期第四次模擬（最后一卷）數(shù)學(xué)】在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的極坐標(biāo)方程為（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程，并指出該曲線是什么曲線；（2）若直線與曲線的交點(diǎn)分別為，求【答案】（1）曲線方程為，表示焦點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為軸的拋物線；（2）10【解析】（1）因?yàn)?，所以，即，所以曲線表示焦點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為軸的拋物線（2）設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，則直線參數(shù)方程為化為一般方程為，代入曲線的直角坐標(biāo)方程，得，所以所以【名師點(diǎn)睛】本題考查極坐標(biāo)方程化直角坐標(biāo)方程，直線的參數(shù)方程化一般方程，弦長(zhǎng)公式等，屬于簡(jiǎn)單題17【河北省石家莊市2018屆高中畢業(yè)班模擬考試（二）數(shù)學(xué)】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的方程為，直線的參數(shù)方程（為參數(shù)），若將曲線上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，得曲線（1）寫(xiě)出曲線的參數(shù)方程；（2）設(shè)點(diǎn)，直線與曲線的兩個(gè)交點(diǎn)分別為，求的值【答案】（1）（為參數(shù)）；（2）【解析】（1）若將曲線上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，則曲線的直角坐標(biāo)方程為，整理得，曲線的參數(shù)方程（為參數(shù)）（2）將直線的參數(shù)方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為（為參數(shù)），將參數(shù)方程帶入得整理得，【名師點(diǎn)睛】本題考查了參數(shù)方程與普通方程的互化，及直線的參數(shù)方程的應(yīng)用，重點(diǎn)考查了轉(zhuǎn)化與化歸能力遇到求曲線交點(diǎn)、距離、線段長(zhǎng)等幾何問(wèn)題時(shí)，求解的一般方法是分別化為普通方程和直角坐標(biāo)方程后求解，或者直接利用直線參數(shù)的幾何意義求解要結(jié)合題目本身特點(diǎn)，確定選擇何種方程16