《(山東專用)2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專題18 同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式(含解析)》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(山東專用)2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專題18 同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式(含解析)(8頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、專題18 同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式
一、【知識(shí)精講】
1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系
(1)平方關(guān)系:sin2α+cos2α=1;
(2)商數(shù)關(guān)系:tan α=.
平方關(guān)系對(duì)任意角都成立,而商數(shù)關(guān)系中α≠kπ+(k∈Z).
2.誘導(dǎo)公式
一
二
三
四
五
六
2kπ+
α(k∈Z)
π+α
-α
π-α
-α
+α
sin α
-sin α
-sin α
sin α
cos α
cos_α
cos α
-cos α
cos α
-cos_α
sin α
-sin α
tan α
tan α
-tan α
-tan_
2、α
誘導(dǎo)公式可簡(jiǎn)記為:奇變偶不變,符號(hào)看象限.“奇”“偶”指的是“k·+α(k∈Z)”中的k是奇數(shù)還是偶數(shù).“變”與“不變”是指函數(shù)的名稱的變化,若k是奇數(shù),則正、余弦互變;若k為偶數(shù),則函數(shù)名稱不變.“符號(hào)看象限”指的是在“k·+α(k∈Z)”中,將α看成銳角時(shí),“k·+α(k∈Z)”的終邊所在的象限.
二、常用結(jié)論匯總——規(guī)律多一點(diǎn)
同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的幾種變形
(1)sin2α=1-cos2α=(1+cos α)(1-cos α);
cos2α=1-sin2α=(1+sin α)(1-sin α);
(sin α±cos α)2=1±2sin αcos
3、α.
(2)sin α=tan αcos α.
二、【典例精練】
考點(diǎn)一 同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用
【例1】(1)已知sin αcos α=,且<α<,則cos α-sin α=( )
A.- B. C.- D.
【答案】B
【解析】∵<α<,
∴cos α<0,sin α<0且cos α>sin α,
∴cos α-sin α>0.
又(cos α-sin α)2=1-2sin αcos α=1-2×=,
∴cos α-sin α=.
(2) (2018·全國(guó)Ⅱ卷)已知sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,則sin(α+β)=________.
4、
【答案】-
【解析】由sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,
兩式平方相加,得2+2sin αcos β+2cos αsin β=1,
整理得sin(α+β)=-.
【解法小結(jié)】 1.利用sin2α+cos2α=1可以實(shí)現(xiàn)角α的正弦、余弦的互化,利用=tan α可以實(shí)現(xiàn)角α的弦切互化.
2.應(yīng)用公式時(shí)注意方程思想的應(yīng)用:對(duì)于sin α+cos α,sin αcos α,sin α-cos α這三個(gè)式子,利用(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α,可以知一求二.
3.注意公式逆用及變形應(yīng)用:1=sin2α+cos2α,sin2α=1-cos2α
5、,cos2α=1-sin2α.
考點(diǎn)二 誘導(dǎo)公式的應(yīng)用
例2. (1)(2017·北京卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,角α與角β均以O(shè)x為始邊,它們的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱.若sin α=,則sin β=________.
【答案】
【解析】α與β的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱,則α+β=π+2kπ,k∈Z,∴β=π-α+2kπ,k∈Z.
∴sin β=sin(π-α+2kπ)=sin α=.
(2)設(shè)f(α)=(1+2sin α≠0),則f=________.
【答案】
【解析】∵f(α)=
===,
∴f===.
【解法小結(jié)】 1.誘導(dǎo)公式的兩個(gè)應(yīng)用
(1)求值:負(fù)化正,大化小,化到銳
6、角為終了.
(2)化簡(jiǎn):統(tǒng)一角,統(tǒng)一名,同角名少為終了.
2.含2π整數(shù)倍的誘導(dǎo)公式的應(yīng)用
由終邊相同的角的關(guān)系可知,在計(jì)算含有2π的整數(shù)倍的三角函數(shù)式中可直接將2π的整數(shù)倍去掉后再進(jìn)行運(yùn)算,如cos(5π-α)=cos(π-α)=-cos α.
考點(diǎn)三 同角三角函數(shù)基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式的活用
例3.(1)已知α為銳角,且2tan(π-α)-3cos+5=0,tan(π+α)+6sin(π+β)-1=0,則sin α=( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由已知得
消去sin β,得tan α=3,
∴sin α=3cos α,代入sin2α+cos2α=1
7、,
化簡(jiǎn)得sin2α=,則sin α=(α為銳角).
(2)(2016·全國(guó)Ⅰ卷)已知θ是第四象限角,且sin=,則tan=________.
【答案】-
【解析】由題意,得cos=,∴tan=.
∴tan=tan=-=-.
【解法小結(jié)】 1.利用同角三角函數(shù)關(guān)系式和誘導(dǎo)公式求值或化簡(jiǎn)時(shí),關(guān)鍵是尋求條件、結(jié)論間的聯(lián)系,靈活使用公式進(jìn)行變形.
2.(1)注意角的范圍對(duì)三角函數(shù)值符號(hào)的影響,開(kāi)方時(shí)先判斷三角函數(shù)值的符號(hào);
(2)熟記一些常見(jiàn)互補(bǔ)的角、互余的角,如-α與+α互余等.
三、【名校新題】
1.(2019·平頂山聯(lián)考)已知=5,則cos2α+sin 2α=( )
A
8、. B.- C.-3 D.3
【答案】A
【解析】由=5得=5,可得tan α=2,
則cos2α+sin 2α=cos2α+sin αcos α===.
2.(2018黑龍江齊齊哈爾三模)在平面直角坐標(biāo)系中,角與角都以為始邊,它們的終邊關(guān)于軸對(duì)稱.若,則 ( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由角與角終邊關(guān)于軸對(duì)稱知Z,所以
.故選A.
3.(2019·衡水中學(xué)調(diào)研)若cos=,則cos(π-2α)=( )
A. B. C.- D.-
【答案】D
【解析】由cos=,得sin α=.
∴cos(π-2α)=-cos
9、2α=-(1-2sin2α)=2sin2α-1=2×-1=-.
4.(2018河南八市下學(xué)期第一次測(cè)評(píng))已知,則( )
A. B. C. 5 D. 6
【答案】A
【解析】,故選A.
5.(2019·菏澤聯(lián)考)已知α∈,sin=,則tan(π+2α)=( )
A. B.± C.± D.
【答案】A
【解析】∵α∈,sin=,
∴cos α=,sin α=-,tan α==-2.
∴tan(π+2α)=tan 2α===.
6.(2018安徽蕪湖一模)若,則()
A. B. C.
10、 D.
【答案】C
【解析】,所以
,兩邊平方得,解得或(舍去).
7.(2019·湖北七州市聯(lián)考)已知α∈(0,π),且cos α=-,則sin·tan α=( )
A.- B.- C. D.
【答案】C
【解析】∵α∈(0,π),且cos α=-,∴sin α=,
因此sin·tan α=cos α·=sin α=.
8.(2019·衡水模擬)已知直線2x-y-1=0的傾斜角為α,則sin 2α-2cos2α=( )
A. B.- C.- D.-
【答案】A
【解析】 由題意知tan α=2,
∴sin 2α-2cos2α===.
9.(2019
11、·淮南十校聯(lián)考)已知sin=,則cos的值為( )
A.- B.
C. D.-
【答案】A
【解析】∵sin=,∴cos=cos=-sin=-.
10.(2019·邯鄲一模)若sin(α+β)=3sin(π-α+β),且α,β∈,則=________.
【答案】2
【解析】由條件,得sin(α+β)=3sin(α-β),
∴sin αcos β=2cos αsin β,則tan α=2tan β,
因此=2.
11.(2019·武昌調(diào)研)若tan α=cos α,則+cos4α=________.
【答案】2
【解析】tan α=cos α?=cos α?s
12、in α=cos2α,故+cos4α=+cos4α=sin α++cos4α=sin α++sin2α=sin2α+sin α+1=sin2α+cos2α+1=1+1=2.
12.(2019年荊州市八校高三第一次聯(lián)考)公元前6世紀(jì),古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派通過(guò)研究正五邊形和正十邊形的作圖,發(fā)現(xiàn)了黃金分割值約為0.618,這一數(shù)值也可表示為. 若,則.
【答案】
【解析】,
所以.
13.(湖北省重點(diǎn)高中聯(lián)考協(xié)作體2019屆高三上學(xué)期期中考試)已知,則
.
【答案】
【解析】
14.(2019年合肥二模)若,則_____________.
【答案】-49
【解析】由已知
13、得,cosα=,∴cos2α=2×132-1=-79,∴-79+13=-49
15.(江西省紅色七校2019屆高三第一次聯(lián)考)若
,
則_____________.
【答案】
【解析】由cosα+π4=13,得sin2α=-cos2α+π4=-2cos2α+π4-1=-29-1=79,
因?yàn)?<α<π2,cosα=cosα+π4-π4=2213+223=2+46,∴cos2α=2×2+462-1=429,
由sinβ2+π4=33,得cosβ=sin2β2+π4=2sinβ2+π4cosβ2+π4=2×33×63=223,
因-π2<β<0,∴sinβ=-1-2232=-13,∴cos2α+β=cos2αcosβ-sin2αsinβ=429×223-79×-13=2327.
16.(2019棗莊模擬)已知cosπ6-θ=αα≤1,則cos5π6+θ+sin2π3-θ=_____________
【答案】0
【解析】cos5π6+θ=-cosπ6-θ=- α,sin2π3-θ=sinπ2+π6-θ=cosπ6-θ=α,所以原式=0
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