（2019高考題 2019模擬題）2020高考數(shù)學(xué) 素養(yǎng)提升練（三）理（含解析）

素養(yǎng)提升練(三)本試卷分第卷(選擇題)和第卷(非選擇題)兩部分滿分150分，考試時(shí)間120分鐘第卷(選擇題，共60分)一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1(2019·駐馬店期中)若集合Ax|x(x2)<0，且ABA，則集合B可能是()A1 B0 C1 D2答案C解析A(0,2)，ABA，BA，選項(xiàng)中只有1A，故選C.2(2019·成都外國(guó)語(yǔ)學(xué)校一模)已知復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱，z13i(i為虛數(shù)單位)，則()A.i BiCi D.i答案B解析復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱，且z13i，z23i，i.故選B.3(2019·合肥一中模擬)若sin，那么cos的值為()A. B C. D答案D解析由題意可得cossinsinsin，故選D.4(2019·全國(guó)卷)我國(guó)古代典籍周易用“卦”描述萬(wàn)物的變化每一“重卦”由從下到上排列的6個(gè)爻組成，爻分為陽(yáng)爻“”和陰爻“”，下圖就是一重卦在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，則該重卦恰有3個(gè)陽(yáng)爻的概率是()A. B. C. D.答案A解析在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，其基本事件總數(shù)n2664，恰有3個(gè)陽(yáng)爻的基本事件數(shù)為C20，所以在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，該重卦恰有3個(gè)陽(yáng)爻的概率P.故選A.5(2019·江南十校模擬)已知邊長(zhǎng)為1的菱形ABCD中，BAD60°，點(diǎn)E滿足2，則·的值是()A B C D答案D解析由題意可得大致圖象如下圖所示，；，··()·····|2|2，又|1，·|cosBAD，·×1.故選D.6(2019·珠海一模)若x，y滿足約束條件目標(biāo)函數(shù)zaxy取得最大值時(shí)的最優(yōu)解僅為(1,3)，則a的取值范圍為()A(1,1) B(0,1)C(，1)(1，) D(1,0答案A解析結(jié)合不等式組，繪制可行域，得到圖中的陰影部分，目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為yaxz，當(dāng)a0時(shí)，則a<1，此時(shí)a的取值范圍為(1,0，當(dāng)a<0時(shí)，則a>1，此時(shí)a的取值范圍為(0,1)綜上所述，a的取值范圍為(1,1)，故選A.7(2019·河南九獅聯(lián)盟聯(lián)考)下面框圖的功能是求滿足1×3×5××n>111111的最小正整數(shù)n，則空白處應(yīng)填入的是()A輸出i2 B輸出iC輸出i1 D輸出i2答案D解析根據(jù)程序框圖得到的循環(huán)是M1，i3；M1×3，i5；M1×3×5，i7；M1×3×5×7，i9；M1×3×5××(n2)，in之后進(jìn)入判斷，不符合題意時(shí)輸出，輸出的是i2.故選D.8(2019·宜賓診斷)已知直線l1：3xy60與圓心為M(0,1)，半徑為的圓相交于A，B兩點(diǎn)，另一直線l2：2kx2y3k30與圓M交于C，D兩點(diǎn)，則四邊形ACBD面積的最大值為()A5 B10C5(1) D5(1)答案A解析以M(0,1)為圓心，半徑為的圓的方程為x2(y1)25，聯(lián)立解得A(2,0)，B(1,3)，AB的中點(diǎn)為，而直線l2：2kx2y3k30恒過(guò)定點(diǎn)，要使四邊形的面積最大，只需直線l2過(guò)圓心即可，即CD為直徑，此時(shí)AB垂直CD，|AB|，四邊形ACBD面積的最大值為S×|AB|×|CD|××25.故選A.9(2019·漳州一模)我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著算法統(tǒng)宗中有如下問(wèn)題：“諸葛亮領(lǐng)八員將，每將又分八個(gè)營(yíng)，每營(yíng)里面排八陣，每陣先鋒有八人，每人旗頭俱八個(gè)，每個(gè)旗頭八隊(duì)成，每隊(duì)更該八個(gè)甲，每個(gè)甲頭八個(gè)兵”則該問(wèn)題中將官、先鋒、旗頭、隊(duì)長(zhǎng)、甲頭、士兵共有()A.(878)人 B.(898)人C8(878)人 D8(8984)人答案D解析由題意可得將官、營(yíng)、陣、先鋒、旗頭、隊(duì)長(zhǎng)、甲頭、士兵依次成等比數(shù)列，且首項(xiàng)為8，公比也是8，所以將官、先鋒、旗頭、隊(duì)長(zhǎng)、甲頭、士兵共有8848586878888(8984)，故選D.10(2019·深圳調(diào)研)已知A，B，C為球O的球面上的三個(gè)定點(diǎn)，ABC60°，AC2，P為球O的球面上的動(dòng)點(diǎn)，記三棱錐PABC的體積為V1，三棱錐OABC的體積為V2，若的最大值為3，則球O的表面積為()A. B. C. D6答案B解析由題意，設(shè)ABC的外接圓圓心為O，其半徑為r，球O的半徑為R，且|OO|d，依題意可知max3，即R2d，顯然R2d2r2，故Rr，又由2r，故r，得球O的表面積為4R2r2，故選B.11(2019·西工大附中模擬)設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：1(a>0，b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是C上一點(diǎn)，若|PF1|PF2|6a，且PF1F2的最小內(nèi)角為30°，則C的離心率為()A. B. C. D.答案C解析F1，F(xiàn)2是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是雙曲線上一點(diǎn)，且滿足|PF1|PF2|6a，不妨設(shè)P是雙曲線右支上的一點(diǎn)，由雙曲線的定義可知|PF1|PF2|2a，|F1F2|2c，|PF1|4a，|PF2|2a，a<c，|PF2|<|F1F2|，|PF2|為PF1F2的最小邊，PF1F2的最小內(nèi)角為PF1F230°，根據(jù)余弦定理，|PF2|2|F1F2|2|PF1|22|F1F2|PF1|·cosPF1F2，即4a24c216a22×2c×4a×，c22ca3a20，ca，e，故選C.12(2019·四川診斷)已知定義在R上的函數(shù)f(x)關(guān)于y軸對(duì)稱，其導(dǎo)函數(shù)為f(x)當(dāng)x0時(shí)，不等式xf(x)>1f(x)若xR，不等式exf(ex)exaxaxf(ax)>0恒成立，則正整數(shù)a的最大值為()A1 B2 C3 D4答案B解析xf(x)>1f(x)，xf(x)1f(x)>0，令F(x)xf(x)1，則F(x)xf(x)f(x)1>0，又f(x)是在R上的偶函數(shù)，F(xiàn)(x)是在R上的奇函數(shù)，F(xiàn)(x)是在R上的單調(diào)遞增函數(shù)，又exf(ex)axf(ax)>exax，可化為exf(ex)1>axf(ax)1，即F(ex)>F(ax)，又F(x)是在R上的單調(diào)遞增函數(shù)，exax>0恒成立，令g(x)exax，則g(x)exa，a>0，g(x)在(，ln a)上單調(diào)遞減，在(ln a，)上單調(diào)遞增，g(x)minaaln a>0，則1ln a>0，0<a<e，正整數(shù)a的最大值為2.故選B.第卷(非選擇題，共90分)二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分13(2019·武威十八中模擬)學(xué)校藝術(shù)節(jié)對(duì)A，B，C，D四件參賽作品只評(píng)一件一等獎(jiǎng)，在評(píng)獎(jiǎng)揭曉前，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)對(duì)這四件參賽作品預(yù)測(cè)如下：甲說(shuō)：“C或D作品獲得一等獎(jiǎng)”；乙說(shuō)：“B作品獲得一等獎(jiǎng)”；丙說(shuō)：“A，D兩件作品未獲得一等獎(jiǎng)”；丁說(shuō)：“C作品獲得一等獎(jiǎng)”評(píng)獎(jiǎng)揭曉后，發(fā)現(xiàn)這四位同學(xué)中只有兩位說(shuō)的話是對(duì)的，則獲得一等獎(jiǎng)的作品是_答案B解析若A為一等獎(jiǎng)，則甲、乙、丙、丁的說(shuō)法均錯(cuò)誤，不滿足題意；若B為一等獎(jiǎng)，則乙、丙的說(shuō)法正確，甲、丁的說(shuō)法錯(cuò)誤，滿足題意；若C為一等獎(jiǎng)，則甲、丙、丁的說(shuō)法均正確，不滿足題意；若D為一等獎(jiǎng)，則乙、丙、丁的說(shuō)法均錯(cuò)誤，不滿足題意綜上所述，故B獲得一等獎(jiǎng)14(2019·天津七校聯(lián)考)若二項(xiàng)式6的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為m，則3x2dx_.答案124解析由題意，二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)r1C·6r·r6rC·x123r，由123r0，得r4，所以m2·C5，則3x2dx3x2dxx35313124.15(2019·東師附中模擬)已知f(x)為奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f(x)x23x，則曲線yf(x)在點(diǎn)(1，4)處的切線方程為_(kāi)答案5xy10解析由題意，設(shè)x>0，則x<0，則f(x)(x)23(x)x23x.又由函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，所以f(x)x23x，即f(x)x23x(x>0)，則f(x)2x3，所以f(1)235，且f(1)4，由直線的點(diǎn)斜式方程可知y45(x1)5x5，所以5xy10.16(2019·煙臺(tái)適應(yīng)性測(cè)試)已知拋物線C：x24y的焦點(diǎn)為F，M是拋物線C上一點(diǎn)，若FM的延長(zhǎng)線交x軸的正半軸于點(diǎn)N，交拋物線C的準(zhǔn)線l于點(diǎn)T，且，則|NT|_.答案3解析畫(huà)出圖形如下圖所示由題意得拋物線的焦點(diǎn)F(0,1)，準(zhǔn)線為y1.設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與y軸的交點(diǎn)為E，過(guò)M作準(zhǔn)線的垂線，垂足為Q，交x軸于點(diǎn)P.由題意得NPMNOF，又，即M為FN的中點(diǎn)，|MP|OF|，|MQ|1，|FM|MN|.又，即，解得|TN|3.三、解答題：共70分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟第1721題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答(一)必考題：60分17(本小題滿分12分)(2019·淄博模擬)已知在等比數(shù)列an中，a12，且a1，a2，a32成等差數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列bn滿足：bn2log2an1，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.解(1)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，a1，a2，a32成等差數(shù)列，2a2a1(a32)2(a32)a3，q2ana1qn12n(nN*)(2)bn2log2an1n2log22n1n2n1，Sn135(2n1)n2n1(nN*)18(本小題滿分12分)(2019·廣州二模)科研人員在對(duì)人體脂肪含量和年齡之間關(guān)系的研究中，獲得了一些年齡和脂肪含量的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本數(shù)據(jù)，如表：x(年齡/歲)26273941495356586061y(脂肪含量/%)14.517.821.225.926.329.631.433.535.234.6根據(jù)上表的數(shù)據(jù)得到如下的散點(diǎn)圖(1)根據(jù)上表中的樣本數(shù)據(jù)及其散點(diǎn)圖：求；計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)(精確到0.01)，并刻畫(huà)它們的相關(guān)程度；(2)若y關(guān)于x的線性回歸方程為1.56x，求的值(精確到0.01)，并根據(jù)回歸方程估計(jì)年齡為50歲時(shí)人體的脂肪含量參考數(shù)據(jù)：27，xiyi13527.8，x23638，y7759.6，6.56，54.18.參考公式：相關(guān)系數(shù)r，回歸方程x中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，.解(1)根據(jù)上表中的樣本數(shù)據(jù)及其散點(diǎn)圖知，47.回歸系數(shù)r .因?yàn)?.56，54.18，所以r0.98.由樣本相關(guān)系數(shù)r0.98，可以推斷人體脂肪含量和年齡的相關(guān)程度很強(qiáng)(2)因?yàn)榛貧w方程為1.56x，即1.56，所以0.54.所以y關(guān)于x的線性回歸方程為0.54x1.56，將x50代入線性回歸方程得0.54×501.5628.56，所以根據(jù)回歸方程預(yù)測(cè)年齡為50歲時(shí)人的脂肪含量為28.56%.19(本小題滿分12分)(2019·咸陽(yáng)模擬)如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是菱形，ABC120°，PAPC，PBPD，ACBDO.(1)求證：PO平面ABCD；(2)若PA與平面ABCD所成的角為30°，求二面角BPCD 的余弦值解(1)證明：四邊形ABCD是菱形，O為AC，BD的中點(diǎn)，又PAPC，PBPD，POAC，POBD，ACBDO，且AC，BD平面ABCD，PO平面ABCD.(2)設(shè)菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2t(t>0)，ABC120°，BAD60°，OAt.由(1)知PO平面ABCD，PA與平面ABCD所成的角為PAO30°，得到POt，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則B(0，t,0)，C(t,0,0)，P(0,0，t)，D(0，t,0)，得到(0，t，t)，(t,0，t)設(shè)平面PBC的法向量n1(x1，y1，z1)，平面PCD的法向量n2(x2，y2，z2)則即令x11，則y1z1，得到n1(1，)同理可得n2(1，)，|cosn1，n2|.二面角BPCD為鈍二面角，則余弦值為.20(本小題滿分12分)(2019·廣州六校聯(lián)考)已知ABC中，AB2，且sinA(12cosB)sinB(12cosA)0.以邊AB的中垂線為x軸，以AB所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系(1)求動(dòng)點(diǎn)C的軌跡E的方程；(2)已知定點(diǎn)P(0,4)，不垂直于AB的動(dòng)直線l與軌跡E相交于M，N兩點(diǎn)，若直線MP，NP關(guān)于y軸對(duì)稱，求PMN面積的取值范圍解(1)由sinA(12cosB)sinB(12cosA)0得，sinAsinB2sinC，由正弦定理|CA|CB|2|AB|4>|AB|，所以點(diǎn)C的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的橢圓(除y軸上的點(diǎn))，其中a2，c1，則b，故軌跡E的方程為1(x0)(2)由題可知，P(0,4)，直線l的斜率存在，設(shè)l的方程為ykxm(mk0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，將直線l的方程代入軌跡E的方程得，(3k24)x26kmx3m2120.由>0得3k24>m2，且x1x2，x1x2，因?yàn)橹本€MP，NP關(guān)于y軸對(duì)稱，所以kMPkNP0，即0.化簡(jiǎn)得2kx1x2(m4)(x1x2)0，所以2k·(m4)·0，得m1，那么直線l過(guò)點(diǎn)B(0,1)，x1x2，x1x2，所以PMN的面積S·|BP|·|x1x2|18，設(shè)k21t，則t>1，S18·，顯然S在t(1，)上單調(diào)遞減，所以S.即PMN面積的取值范圍為.21(本小題滿分12分)(2019·濟(jì)南模擬)已知函數(shù)f(x)xln xx2(a1)x，其導(dǎo)函數(shù)f(x)的最大值為0.(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)若f(x1)f(x2)1(x1x2)，證明：x1x2>2.解(1)由題意，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，)，其導(dǎo)函數(shù)f(x)ln xa(x1)，記h(x)f(x)，則h(x).當(dāng)a0時(shí)，h(x)0恒成立，所以h(x)在(0，)上單調(diào)遞增，且h(1)0.所以x(1，)，有h(x)f(x)>0，故a0時(shí)不成立；當(dāng)a>0時(shí)，若x，則h(x)>0；若x，則h(x)<0.所以h(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減所以h(x)maxhln aa10.令g(a)ln aa1，則g(a)1.當(dāng)0<a<1時(shí)，g(a)<0；當(dāng)a>1時(shí)，g(a)>0.所以g(a)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1，)上單調(diào)遞增所以g(a)g(1)0，故a1.(2)證明：當(dāng)a1時(shí)，f(x)xln xx2，則f(x)1ln xx.由(1)知f(x)1ln xx0恒成立，所以f(x)xln xx2在(0，)上單調(diào)遞減，且f(1)，f(x1)f(x2)12f(1)，不妨設(shè)0<x1<x2，則0<x1<1<x2，欲證x1x2>2，只需證x2>2x1，因?yàn)閒(x)在(0，)上單調(diào)遞減，則只需證f(x2)<f(2x1)，又因?yàn)閒(x1)f(x2)1，則只需證1f(x1)<f(2x1)，即f(2x1)f(x1)>1.令F(x)f(x)f(2x)(其中x(0,1)，且F(1)1.所以欲證f(2x1)f(x1)>1，只需證F(x)>F(1)，x(0,1)，由F(x)f(x)f(2x)1ln xx1ln (2x)2x，整理得F(x)ln xln (2x)2(1x)，x(0,1)，F(xiàn)(x)>0，x(0,1)，所以F(x)ln xln (2x)2(1x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增，所以x(0,1)，F(xiàn)(x)ln xln (2x)2(1x)<F(1)0，所以函數(shù)F(x)f(x)f(2x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，所以有F(x)>F(1)，x(0,1)，故x1x2>2.(二)選考題：10分請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分22(本小題滿分10分)選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程(2019·全國(guó)卷)在極坐標(biāo)系中，O為極點(diǎn)，點(diǎn)M(0，0)(0>0)在曲線C：4sin上，直線l過(guò)點(diǎn)A(4,0)且與OM垂直，垂足為P.(1)當(dāng)0時(shí)，求0及l(fā)的極坐標(biāo)方程；(2)當(dāng)M在C上運(yùn)動(dòng)且P在線段OM上時(shí)，求P點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程解(1)因?yàn)镸(0，0)在曲線C上，當(dāng)0時(shí)，04sin2.由已知得|OP|OA|cos2.設(shè)Q(，)為l上除P外的任意一點(diǎn)在RtOPQ中，cos|OP|2.經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)P在曲線cos2上，所以，l的極坐標(biāo)方程為cos2.(2)設(shè)P(，)，在RtOAP中，|OP|OA|cos4cos，即4cos.因?yàn)镻在線段OM上，且APOM，所以的取值范圍是.所以，P點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程為4cos，.23(本小題滿分10分)選修45：不等式選講(2019·漳州質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)|2x|4x|.(1)關(guān)于x的不等式f(x)a23a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若f(m)f(n)4，且m<n，求mn的取值范圍解(1)f(x)所以f(x)min2，因?yàn)閒(x)a23a恒成立，所以a23af(x)min2，解得1a2.(2)因?yàn)閒(x)max2，所以f(m)2，f(n)2，則f(m)f(n)4，又f(m)f(n)4，所以f(m)f(n)2，于是n>m4，故mn>8.15