(山東專用)2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專題23 正弦定理與余弦定理(含解析)

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1、1專題專題 2323正弦定理與余弦定理正弦定理與余弦定理一、【知識精講】一、【知識精講】1.正、余弦定理在ABC中,若角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,R為ABC外接圓半徑,則定理正弦定理余弦定理公式asinAbsinBcsinC2Ra2b2c22bccos_A;b2c2a22cacos_B;c2a2b22abcos_C常見變形(1)a2RsinA,b2Rsin_B,c2Rsin_C;(2)sinAa2R,sinBb2R,sinCc2R;(3)abcsin_Asin_Bsin_C;(4)asinBbsinA,bsinCcsinB,asinCcsinAcosAb2c2a22bc;cosBc2

2、a2b22ac;cosCa2b2c22ab2.SABC12absinC12bcsinA12acsinBabc4R12(abc)r(r是三角形內(nèi)切圓的半徑),并可由此計算R,r.3.在ABC中,已知a,b和A時,解的情況如下:A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式absinAbsinAabab解的個數(shù)一解兩解一解一解無解微點提醒1.三角形中的三角函數(shù)關(guān)系(1)sin(AB)sinC;(2)cos(AB)cosC;(3)sinAB2cosC2;(4)cosAB2sinC2.2.三角形中的射影定理在ABC中,abcosCccosB;bacosCccosA;cbcosAacosB.23.在ABC中,兩邊之和

3、大于第三邊,兩邊之差小于第三邊,ABabsinAsinBcosAcosB.二、【典例精練】二、【典例精練】考點一利用正、余弦定理解三角形【例 1】(1)(2017全國卷)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知C60,b 6,c3,則A_.(2)(2018全國卷)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若ABC的面積為a2b2c24,則C()A.2B.3C.4D.6【答案】(1)75(2)C【解析】(1)由正弦定理,得 sinBbsinCc632322,結(jié)合bc得B45,則A180BC75.(2)因為a2b2c22abcosC,且SABCa2b2c24,所以SABC2abcos

4、C412absinC,所以 tanC1.又C(0,),故C4.【解法小結(jié)】1.三角形解的個數(shù)的判斷:已知兩角和一邊,該三角形是確定的,其解是唯一的;已知兩邊和一邊的對角,該三角形具有不唯一性,通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對大角定理進(jìn)行判斷.2.已知三角形的兩邊和其中一邊的對角解三角形.可用正弦定理,也可用余弦定理.用正弦定理時,需判斷其解的個數(shù),用余弦定理時,可根據(jù)一元二次方程根的情況判斷解的個數(shù).考點二判斷三角形的形狀【例 2】(1)在ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若cbcosA,則ABC為()A.鈍角三角形B.直角三角形C.銳角三角形D.等邊三角形(2)設(shè)ABC的內(nèi)角

5、A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若bcosCccosBasinA,則ABC的形狀為()3A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.不確定【答案】(1)A(2)B【解析】(1)由cbcosA,得sinCsinB0,所以 sinCsinBcosA,即 sin(AB)sinBcosA,所以 sinAcosB0,所以 cosB0,sinA1,即A2,ABC為直角三角形.【解法小結(jié)】1.判定三角形形狀的途徑:(1)化邊為角,通過三角變換找出角之間的關(guān)系;(2)化角為邊,通過代數(shù)變形找出邊之間的關(guān)系,正(余)弦定理是轉(zhuǎn)化的橋梁.2.無論使用哪種方法,都不要隨意約掉公因式,要移項提取公因式,否則會有

6、漏掉一種形狀的可能.注意挖掘隱含條件,重視角的范圍對三角函數(shù)值的限制.考點三和三角形面積、周長有關(guān)的問題角度 1與三角形面積有關(guān)的問題【例 31】(2017全國卷)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知 sinA 3cosA0,a2 7,b2.(1)求c;(2)設(shè)D為BC邊上一點,且ADAC,求ABD的面積.【解析】(1)由 sinA 3cosA0 及 cosA0,得 tanA 3,又 0A,所以A23.由余弦定理,得 284c24ccos23.4即c22c240,解得c6(舍去),c4.(2)由題設(shè)可得CAD2,所以BADBACCAD6.故ABD與ACD面積的比值為12ABADs

7、in612ACAD1.又ABC的面積為1242sinBAC2 3,所以ABD的面積為 3.角度 2與三角形周長有關(guān)的問題【例 32】(2018 江蘇)在中,角所對的邊分別為,的平分線交于點D,且,則的最小值為【答案】9【解析】因為,的平分線交于點,所以,由三角形的面積公式可得,化簡得,又,所以,則,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,故的最小值為 9【解法小結(jié)】1.對于面積公式S12absinC12acsinB12bcsinA,一般是已知哪一個角就使用哪一個公式.2.與面積周長有關(guān)的問題,一般要用到正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊和角的轉(zhuǎn)化.【思維升華】1.正弦定理和余弦定理其主要作用是將已知條件中的邊、角關(guān)系轉(zhuǎn)化為角

8、的關(guān)系或邊的關(guān)系.2.在已知關(guān)系式中,既含有邊又含有角,通常的解題思路是:先將角都化成邊或邊都化成角,再結(jié)合正弦定理、余弦定理即可求解.3.在ABC中,若a2b2c2,由 cosCa2b2c22abb,則B()A.6B.3C.23D.56【答案】A【解析】asinBcosCcsinBcosA12b,根據(jù)正弦定理可得 sinAsinBcosCsinCsinBcosA12sinB,即 sinB(sinAcosCsinCcosA)12sinBsinB0,sin(AC)12,即 sinB12.ab,AB,即B為銳角,B6.3.(2019山西五校聯(lián)考)在ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若

9、bcosAacosBc2,a6b2,則ABC的周長為()A7.5B7C6D5【答案】D【解析】bcos Aacos Bc2,由余弦定理可得 bb2c2a22bcaa2c2b22acc2,整理可得 2c22c3,解得 c1,則ABC 的周長為 abc2215.4.(2019棗莊二模)已知ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若(ab)(sinAsinB)(cb)sinC,則A()A.6B.3C.56D.23【答案】B【解析】(ab)(sinAsinB)(cb)sinC,由正弦定理得(ab)(ab)c(cb),即b2c2a2bc.所以 cosAb2c2a22bc12,又A(0,),所以A3

10、.5(2019山西大同聯(lián)考)在ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若 2(bcosAacosB)c2,b3,3cosA1,則a()A.5B3C.10D4【答案】B【解析】由正弦定理可得 2(sinBcosAsinAcosB)csinC,2(sinBcosAsinAcosB)2sin(AB)2sinC,2sinCcsinC,sinC0,c2,由余弦定理得a2b2c22bccosA3222232139,a3.6.(2019開封模擬)在ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若A3,3sin2CcosC2sinAsinB,且b6,則c()A.2B.3C.4D.6【答案】C【解析】在A

11、BC中,A3,b6,a2b2c22bccosA,即a236c26c,7又3sin2CcosC2sinAsinB,3c2cosC2ab,即 cosC3c22aba2b2c22ab,a2364c2,由解得c4 或c6(不合題意,舍去).因此c4.7.(2019鄭州二模)在ABC中,A,B,C的對邊分別為a,b,c.若 2cos2AB2cos 2C1,4sinB3sinA,ab1,則c的值為()A.13B.7C.37D.6【答案】A【解析】由 2cos2AB2cos 2C1,可得 2cos2AB21cos 2C0,則有 cos 2CcosC0,即 2cos2CcosC10,解得 cosC12或 co

12、sC1(舍),由 4sinB3sinA,得 4b3a,又ab1,聯(lián)立,得a4,b3,所以c2a2b22abcosC1691213,則c 13.8(江西省紅色七校 2019 屆高三第一次聯(lián)考)的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知3cossin3baCC,2a,2 63c,則角C()A34B3C6D4【答案】D【解析】由正弦定理可得sinB=sinAcosC+33sinAsinC,由sinB=sinA+C=sinAcosC+cosAsinC,所以有tanA=3,A=3,再有正弦定理得:232=2 63sinC,sinC=22,c a,C A,C=49.(2019廣州調(diào)研)ABC的內(nèi)角A,B

13、,C所對的邊分別為a,b,c,已知b 7,c4,cosB34,則ABC的面積等于()A3 7B.3 728C9D.92【答案】3 72【解析】由余弦定理b2a2c22accosB,代入數(shù)據(jù),得a3,又 cosB34,B(0,),所以 sinB74,所以SABC12acsinB3 72.10(2019安徽名校聯(lián)盟聯(lián)考)在ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若bc1,b2ccosA0,則當(dāng)角B取得最大值時,ABC的周長為()A2 3B2 2C3D3 2【答案】A【解析】由b2ccosA0,得b2cb2c2a22bc0,整理得 2b2a2c2.由余弦定理,得 cosBa2c2b22aca

14、23c24ac2 3ac4ac32,當(dāng)且僅當(dāng)a 3c時等號成立,此時角B取得最大值,將a 3c代入2b2a2c2可得bc.又因為bc1,所以bc1,a 3,故ABC的周長為 2 3.11.(湖北省重點高中聯(lián)考協(xié)作體 2019 屆高三上學(xué)期期中考試)ABC中有:若AB,則;若22sin Asin B,則ABC定為等腰三角形;若,則ABC定為直角三角形.以上結(jié)論中正確的個數(shù)有()A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】由正弦定理及大對大角可知正確;或ABC是直角三角形或等腰三角形;所以錯誤;由已知及余弦定理可得22222222acbbcaabcacbc,化簡得222abc,所以正確.故選 C.1

15、2.(2019武漢模擬)在ABC中,C23,AB3,則ABC的周長為()A.6sinA3 3B.6sinA6 3C.2 3sinA3 3D.2 3sinA6 3【答案】C9【解析】設(shè)ABC的外接圓半徑為R,則 2R3sin232 3,于是BC2RsinA2 3sinA,AC2RsinB2 3sin3A.于是ABC的周長為 2 3 sinAsin3A32 3sinA3 3.13.(2018泰安二模)在ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且cb2casinAsinBsinC,則角B_.【答案】4【解析】由正弦定理可得cb2casinAsinBsinCabc,c2b2 2aca2,c2a

16、2b2 2ac,cosBa2c2b22ac22,0B,B4.14.(2019合肥模擬)我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶發(fā)現(xiàn)了由三角形三邊求三角形面積的“三斜公式”,設(shè)ABC的三個 內(nèi)角A,B,C的對邊 分別為a,b,c,面積 為S,則“三斜求 積”公式為S14a2c2a2c2b222.若a2sinC4sinA,(ac)212b2,則用“三斜求積”公式求得ABC的面積為_.【答案】3【解析】根據(jù)正弦定理及a2sinC4sinA,可得ac4,由(ac)212b2,可得a2c2b24,所以SABC14a2c2a2c2b22214(164)3.15.(2019荊州一模)設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,

17、b,c,已知a2 2,cosA34,sinB2sinC,則ABC的面積是_.【答案】7【解析】由 sinB2sinC,cosA34,A為ABC一內(nèi)角可得b2c,sinA 1cos2A74,10由a2b2c22bccosA,可得 84c2c23c2,解得c2(舍負(fù)),則b4.SABC12bcsinA122474 7.16.(2019長春一模)在ABC中,三個內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若12bsinCcosAsinAcosC,且a2 3,則ABC面積的最大值為_.【答案】3 3【解析】因為12bsinCcosAsinAcosC,所以12bcosAsinCcosAsinAcosC,所以1

18、2bcosAsin(AC),所以12bcosAsinB,所以cosA2sinBb,又sinBbsinAa,a2 3,所以cosA2sinA2 3,得 tanA 3,又A(0,),則A3,由余弦定理得(2 3)2b2c22bc12b2c2bc2bcbcbc,即bc12,當(dāng)且僅當(dāng)bc23時取等號,從而ABC面積的最大值為1212323 3.17(2019綿陽模擬)在ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對邊,且 2asinA(2bc)sinB(2cb)sinC.(1)求A的大??;(2)若 sinBsinC1,試判斷ABC的形狀【解析】(1)由已知,結(jié)合正弦定理,得 2a2(2bc)b(2cb)

19、c,即a2b2c2bc.又由余弦定理,得a2b2c22bccosA,所以bc2bccosA,即 cosA12.由于A為ABC的內(nèi)角,所以A23.(2)由已知 2asinA(2bc)sinB(2cb)sinC,11結(jié)合正弦定理,得 2sin2A(2sinBsinC)sinB(2sinCsinB)sinC,即 sin2Asin2Bsin2CsinBsinCsin22334.又由 sinBsinC1,得 sin2Bsin2C2sinBsinC1,所以 sinBsinC14,結(jié)合 sinBsinC1,解得 sinBsinC12.因為BCA3,所以BC6,所以ABC是等腰三角形18.(2019濰坊一模)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知(a2c)cosBbcosA0.(1)求B;(2)若b3,ABC的周長為 32 3,求ABC的面積.【解析】(1)由已知及正弦定理得(sinA2sinC)cosBsinBcosA0,(sinAcosBsinBcosA)2sinCcosB0,sin(AB)2sinCcosB0,又 sin(AB)sinC,且C(0,),sinC0,cosB12,0B,B23.(2)由余弦定理,得 9a2c22accosB.a2c2ac9,則(ac)2ac9.abc32 3,b3,ac2 3,ac3,SABC12acsinB123323 34.12

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