（文理通用）江蘇省2020高考數(shù)學二輪復習 專題四 函數(shù)與導數(shù)、不等式 第21講 函數(shù)與導數(shù)的實際應(yīng)用練習

第21講 函數(shù)與導數(shù)的實際應(yīng)用1幾名大學畢業(yè)生合作開設(shè)3D打印店，生產(chǎn)并銷售某種3D產(chǎn)品已知該店每月生產(chǎn)的產(chǎn)品當月都能銷售完，每件產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為34元，該店的月總成本由兩部分組成：第一部分是月銷售產(chǎn)品的生產(chǎn)成本，第二部分是其他固定支出20 000元假設(shè)該產(chǎn)品的月銷售量t(x)(件)與銷售價格x(元/件)(xN*)之間滿足如下關(guān)系：當34x60時，t(x)a(x5)210 050；當60x70時，t(x)100x7 600.設(shè)該店月利潤為M(元)，月利潤月銷售總額月總成本(1)求M關(guān)于銷售價格x的函數(shù)關(guān)系式；(2)求該打印店月利潤M的最大值及此時產(chǎn)品的銷售價格解：(1)當x60時，t(60)1 600，代入t(x)a(x5)210 050，解得a2.M(x)即M(x)(2)設(shè)g(u)(2u220u10 000)(u34)20 000,34u60，uR，則g(u)6(u216u1 780)令g(u)0，解得u182(舍去)，u282(50,51)當34u50時，g(u)0，g(u)單調(diào)遞增；當51u60時，g(u)0，g(u)單調(diào)遞減xN*，M(50)44 000，M(51)44 226，M(x)的最大值為44 226.當60x70時，M(x)100(x2110x2 584)20 000 單調(diào)遞減，故此時M(x)的最大值為M(60)21 600.綜上所述，當x51時，月利潤M(x)有最大值44 226元答：該打印店店月利潤最大為44 226元，此時產(chǎn)品的銷售價格為51元/件2(2019·蘇州暑假測試)某公司設(shè)計如圖所示的環(huán)狀綠化景觀帶，該景觀帶的內(nèi)圈由兩條平行線段(圖中的AB，DC)和兩個半圓構(gòu)成，設(shè)ABx m，且x80.(1)若內(nèi)圈周長為400 m，則x取何值時，矩形ABCD的面積最大？(2)若景觀帶的內(nèi)圈所圍成區(qū)域的面積為 m2，則x取何值時，內(nèi)圈周長最??？解：設(shè)題中半圓的半徑為r(m)，矩形ABCD的面積為S(m2)，內(nèi)圈周長為c(m)(1)由題意知，S2rx，且2x2r400，即xr200，于是S2rx·x·(r)2(m2)，當且僅當xr100(m)時，等號成立答：當x100(m)時，矩形ABCD的面積最大(2)由題意知，2rxr2，于是x·r，從而c2x2r22rr.因為x80，所以·r80，即(r)2160·r22 5000，解得250r90，所以0<r，故.因為c··<0，所以關(guān)于r的函數(shù)cr在上是單調(diào)減函數(shù)故當r，即x·80(m)時，內(nèi)圈周長c取得最小值，且最小值為90340(m)故當x80(m)時，內(nèi)圈周長最小3圖是一棟新農(nóng)村別墅，它由上部屋頂和下部主體兩部分組成如圖，屋頂由四坡屋面構(gòu)成，其中前后兩坡屋面ABFE和CDEF是全等的等腰梯形，左右兩坡屋面EAD和FBC是全等的三角形點F在平面ABCD和BC上的射影分別為H，M.已知HM5 m，BC10 m，梯形ABFE的面積是FBC面積的2.2倍設(shè)FMH.(1)求屋頂面積S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；(2)已知上部屋頂造價與屋頂面積成正比，比例系數(shù)為k(k為正常數(shù))，下部主體造價與其高度成正比，比例系數(shù)為16k.現(xiàn)欲造一棟上、下總高度為6 m的新農(nóng)村別墅，試問：當為何值時，總造價最低？解：(1)由題意知，F(xiàn)H平面ABCD，F(xiàn)MBC，又因為HM平面ABCD，所以FHHM.在RtFHM中，HM5，F(xiàn)MH，所以FM.因此FBC的面積為×10×.從而屋頂面積S2SFBC2S梯形ABFE2×2××2.2.所以屋頂面積S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為S.(2)在RtFHM中，F(xiàn)H5tan ，所以下部主體高度h65tan .所以別墅總造價為yS·kh·16k kk96k80k·96k.記f()，0<<，所以f()，令f()0，得sin ，又0<<，所以.當變化時，f()與f()的變化情況列表如下：f()0f()所以當時，f()有最小值故當為時，該別墅總造價最低4(2019·南京、鹽城一模)鹽城市政府響應(yīng)習總書記在十九大報告中提出的“綠水青山就是金山銀山”，對環(huán)境進行了大力整治，目前鹽城市的空氣質(zhì)量位列全國前十，吸引了大量的外地游客某旅行社組織了一個旅游團于近期來到了黃海國家森林公園，數(shù)據(jù)顯示，近期公園中每天空氣質(zhì)量指數(shù)近似滿足函數(shù)f(x)mln xx6(4x22，mR)，其中x為每天的時刻，若凌晨6點時，測得空氣質(zhì)量指數(shù)為29.6.(1)求實數(shù)m的值；(2)求近期每天時段空氣質(zhì)量指數(shù)最高的時刻(參考數(shù)值：ln 61.8)解： (1)由f(6)29.6，代入f(x)mln xx6(4x22，mR)，解得m12.(2)由已知函數(shù)求導，得f(x)600×(12x).令f(x)0，得x12.當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如表所示：x4,12)12(12,22f(x)0 f(x)極大值所以函數(shù)f(x)在x12時取極大值，也是最大值，即每天時段空氣質(zhì)量指數(shù)最高的時刻為12時5(2018·江蘇高考)記f(x)，g(x)分別為函數(shù)f(x)，g(x)的導函數(shù)若存在x0R，滿足f(x0)g(x0)且f(x0)g(x0)，則稱x0為函數(shù)f(x)與g(x)的一個“S點”(1)證明：函數(shù)f(x)x與g(x)x22x2不存在“S點”；(2)若函數(shù)f(x)ax21與g(x)ln x存在“S點”，求實數(shù)a的值；(3)已知函數(shù)f(x)x2a，g(x).對任意a>0，判斷是否存在b>0，使函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間(0，)內(nèi)存在“S點”，并說明理由解：(1)證明：因為函數(shù)f(x)x，g(x)x22x2，所以f(x)1，g(x)2x2.由f(x)g(x)且f(x)g(x)，得此方程組無解，因此f(x)與g(x)不存在“S點”(2)因為函數(shù)f(x)ax21，g(x)ln x，所以f(x)2ax，g(x).設(shè)x0為f(x)與g(x)的“S點”，由f(x0)g(x0)且f(x0)g(x0)，得即(*)所以ln x0，即x0e，所以a.當a時，x0e滿足方程組(*)，即x0為f(x)與g(x)的“S點”所以a的值為.(3)對任意a0，設(shè)h(x)x33x2axa.因為h(0)a0，h(1)13aa20，且h(x)的圖象是不間斷的，所以存在x0(0,1)，使得h(x0)0.令b，則b0.函數(shù)f(x)x2a，g(x)，則f(x)2x，g(x).由f(x)g(x)且f(x)g(x)，得即(*)此時，x0滿足方程組(*)，即x0是函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間)(0,1)內(nèi)的一個“S點”因此，對任意a0，存在b0，使函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間(0，)內(nèi)存在“S點”- 6 -