(課標通用版)2020版高考數(shù)學大一輪復習 第十一章 統(tǒng)計、統(tǒng)計案例 第3講 變量間的相關關系、統(tǒng)計案例檢測 文

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1、第3講 變量間的相關關系、統(tǒng)計案例 [基礎題組練] 1.某商品的銷售量y(件)與銷售價格x(元/件)存在線性相關關系.根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,…,n),用最小二乘法建立的回歸方程為=-5x+150,則下列結論正確的是(  ) A.y與x具有正的線性相關關系 B.若r表示y與x之間的線性相關系數(shù),則r=-5 C.當銷售價格為10元時,銷售量為100件 D.當銷售價格為10元時,銷售量為100件左右 解析:選D.由回歸直線方程知,y與x具有負的線性相關關系,A錯,若r表示y與x之間的線性相關系數(shù),則|r|≤1,B錯.當銷售價格為10元時,=-5×10+150=1

2、00,即銷售量為100件左右,C錯,故選D. 2.通過隨機詢問110名性別不同的大學生是否愛好某項運動,得到如下的列聯(lián)表: 男 女 總計 愛好 40 20 60 不愛好 20 30 50 總計 60 50 110 由K2=, 算得K2=≈7.8. 附表: P(K2≥k0) 0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.828 參照附表,得到的正確結論是(  ) A.在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下,認為“愛好該項運動與性別有關” B.在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下,認為“愛好該項運動與性別無關”

3、 C.有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關” D.有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別無關” 解析:選C.根據(jù)獨立性檢驗的定義,由K2≈7.8>6.635,可知我們在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下,即有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關”,故選C. 3.(2019·惠州市第二次調研)某商場為了了解毛衣的月銷量y(件)與月平均氣溫x(℃)之間的關系,隨機統(tǒng)計了某4個月的月銷售量與當月平均氣溫,其數(shù)據(jù)如下表: 月平均氣溫x/℃ 17 13 8 2 月銷售量y/件 24 33 40 55 由表中數(shù)據(jù)算出線性回歸方程=x+中的=-2,氣象部門

4、預測下個月的平均氣溫約為6 ℃,據(jù)此估計該商場下個月毛衣銷售量約為________件. 解析:由題中數(shù)據(jù),得=10,=38,回歸直線=x+過點(,),且=-2,代入得=58,則回歸方程=-2x+58,所以當x=6時,y=46. 答案:46 4.有甲、乙兩個班級進行一門課程的考試,按照學生考試成績優(yōu)秀和不優(yōu)秀統(tǒng)計后,得到如下的列聯(lián)表: 優(yōu)秀 不優(yōu)秀 總計 甲班 10 35 45 乙班 7 38 45 總計 17 73 90 利用列聯(lián)表的獨立性檢驗估計,則成績與班級________(填“有關”或“無關”). 解析:成績與班級有無關系,就是看隨機變量的值與

5、臨界值2.706的大小關系. 由公式得K2的觀測值k=≈0.653<2.706,所以成績與班級無關. 答案:無關 5.(2019·廣東省六校聯(lián)考)某市調研考試后,某校對甲、乙兩個文科班的數(shù)學考試成績進行分析,規(guī)定:大于或等于120分為優(yōu)秀,120分以下為非優(yōu)秀.統(tǒng)計成績后,得到如下的列聯(lián)表,且已知在甲、乙兩個文科班全部110人中隨機抽取1人為優(yōu)秀的概率為. 優(yōu)秀 非優(yōu)秀 總計 甲班 10 乙班 30 總計 110 (1)請完成上面的列聯(lián)表; (2)根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),若按99.9%的可靠性要求,能否認為“成績與班級有關系”. 參考公式與

6、臨界值表:K2=. P(K2≥k0) 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 解:(1)列聯(lián)表如下: 優(yōu)秀 非優(yōu)秀 總計 甲班 10 50 60 乙班 20 30 50 總計 30 80 110 (2)根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),得到 K2=≈7.486<10.828.因此按99.9%的可靠性要求,不能認為“成績與班級有關系”. 6.(2019·廣州市高中綜合測試(一))某地1~10歲男童年齡xi(單位:歲)與身高的中位數(shù)yi(單位:cm)(i=1,

7、2,…,10)如下表: x/歲 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y/cm 76.5 88.5 96.8 104.1 111.3 117.7 124.0 130.0 135.4 140.2 對上表的數(shù)據(jù)作初步處理,得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值. (xi-)2 (yi-)2 (xi-)(yi-) 5.5 112.45 82.50 3 947.71 566.85 (1)求y關于x的線性回歸方程(線性回歸方程系數(shù)精確到0.01); (2)某同學認為y=px2+qx+r更適宜作為y關于x的回歸方程類型,他求

8、得的回歸方程是=-0.30x2+10.17x+68.07.經(jīng)調查,該地11歲男童身高的中位數(shù)為145.3 cm.與(1)中的線性回歸方程比較,哪個回歸方程的擬合效果更好? 附:回歸方程=+x中的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為:=,=-. 解:(1)==≈6.871≈6.87, =-=112.45-6.871×5.5≈74.66, 所以y關于x的線性回歸方程為=6.87x+74.66. (2)若回歸方程為=6.87x+74.66,當x=11時,=150.23. 若回歸方程為=-0.30x2+10.17x+68.07,當x=11時,y=143.64. |143.64-145.3|

9、=1.66<|150.23-145.3|=4.93, 所以回歸方程=-0.30x2+10.17x+68.07對該地11歲男童身高中位數(shù)的擬合效果更好. [綜合題組練] 1.(2019·陜西省質量檢測(一))基于移動互聯(lián)網(wǎng)技術的共享單車被稱為“新四大發(fā)明”之一,短時間內就風靡全國,帶給人們新的出行體驗.某共享單車運營公司的市場研究人員為了解公司的經(jīng)營狀況,對該公司最近六個月內的市場占有率進行了統(tǒng)計,結果如下表: 月份 2018.8 2018.9 2018.10 2018.11 2018.12 2019.1 月份代碼x 1 2 3 4 5 6 市場占有率y(%)

10、 11 13 16 15 20 21 (1)請在給出的坐標紙中作出散點圖,并用相關系數(shù)說明能否用線性回歸模型擬合市場占有率y與月份代碼x之間的關系; (2)求y關于x的線性回歸方程,并預測該公司2019年2月份的市場占有率. 參考數(shù)據(jù):(xi-)2=17.5,(xi-)(yi-)=35,≈36.5. 參考公式:相關系數(shù)r=; 回歸直線方程為=x+,其中=, =-. 解:(1)作出散點圖如下. ==16,所以(yi-)2=76. 所以r===≈≈0.96. 所以兩變量之間具有較強的線性相關關系,故可用線性回歸模型擬合市場占有率y與月份代碼x之間的關系.

11、(2)===2, ==3.5,所以=-=16-2×3.5=9. 所以y關于x的線性回歸方程為=2x+9. 2019年2月的月份代碼為x=7,所以=2×7+9=23, 所以估計該公司2019年2月份的市場占有率為23%. 2.(綜合型)(2019·鄭州第一次質量預測)近年來鄭州空氣污染較為嚴重,現(xiàn)隨機抽取一年(365天)內100天的空氣中PM2.5指數(shù)的檢測數(shù)據(jù),統(tǒng)計結果如下: PM2.5 指數(shù) [0,50] (50,100] (100,150] (150,200] (200,250] (250,300] >300 空氣 質量 優(yōu) 良 輕微污染 輕度污染

12、 中度污染 中度重 污染 重度污染 天數(shù) 4 13 18 30 9 11 15 記某企業(yè)每天由空氣污染造成的經(jīng)濟損失為S(單位:元),PM2.5指數(shù)為x.當x在區(qū)間[0,100]內時對企業(yè)沒有造成經(jīng)濟損失;當x在區(qū)間(100,300]內時對企業(yè)造成的經(jīng)濟損失成直線模型(當PM2.5指數(shù)為150時造成的經(jīng)濟損失為500元,當PM2.5指數(shù)為200時,造成的經(jīng)濟損失為700元);當PM2.5指數(shù)大于300時造成的經(jīng)濟損失為2 000元. (1)試寫出S(x)的表達式; (2)試估計在本年內隨機抽取一天,該天經(jīng)濟損失S大于500元且不超過900元的概率; (3)若本次抽

13、取的樣本數(shù)據(jù)有30天是在供暖季,其中有8天為重度污染,完成下面列聯(lián)表,并判斷是否有95%的把握認為鄭州市本年度空氣重度污染與供暖有關? 非重度污染 重度污染 總計 供暖季 非供暖季 總計 100 附: P(K2≥k0) 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 K2=,其中n=a+b+c+d. 解:(1)依題意,可得S(x)= (2)設“在本年內隨機抽取一天,該天經(jīng)濟損失S大于500元且不超過900元”為事件A, 由5003.841, 所以有95%的把握認為空氣重度污染與供暖有關. 7

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