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1、考前強(qiáng)化練9 解答題綜合練B
1.已知函數(shù)f(x)=12x2+mx(m>0),數(shù)列{an}的前n項和為Sn.點(n,Sn)在f(x)圖象上,且f(x)的最小值為-18.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)數(shù)列{bn}滿足bn=2an(2an-1)(2an+1-1),記數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,求證:Tn<1.
2.
(2019河南南陽一中高三一模,理18)在四棱錐P-ABCD中,AB∥CD,AB=2CD=2BC=2AD=4,∠DAB=60°,AE=BE,△PAD為正三角形,且平面PAD⊥平面ABCD.
(1)求二面角
2、P-EC-D的余弦值;
(2)線段PC上是否存在一點M,使異面直線DM和PE所成角的余弦值為68?若存在,指出點M的位置;若不存在,請說明理由.
3.(2019安徽江淮十校高三最后一卷,理19)某銷售公司在當(dāng)?shù)谹、B兩家超市各有一個銷售點,每日從同一家食品廠一次性購進(jìn)一種食品,每件200元,統(tǒng)一零售價為每件300元,兩家超市之間調(diào)配食品不計費用,若進(jìn)貨不足食品廠以每件250元補(bǔ)貨,若銷售有剩余食品廠以每件150回收.現(xiàn)需決策每日購進(jìn)食品數(shù)量,為此搜集并整理了A、B兩家超市往年同期各50天的該食品銷售記錄,得到如下數(shù)據(jù):
3、銷售件數(shù)
8
9
10
11
頻數(shù)
20
40
20
20
以這些數(shù)據(jù)的頻數(shù)代替兩家超市的食品銷售件數(shù)的概率,記X表示這兩家超市每日共銷售食品件數(shù),n表示銷售公司每日共需購進(jìn)食品的件數(shù).
(1)求X的分布列;
(2)以銷售食品利潤的期望為決策依據(jù),在n=19與n=20之中選其一,應(yīng)選哪個?
4.(2019河北石家莊高三模擬,文20)已知拋物線C:y2=2px(p>0)上一點P(x0,2)到焦點F的距離|PF|=2x0.
(1)求拋物線C的方程;
(2)過點P引圓M:(x-3)2+y2=r2(0
4、切線PA,PB,切線PA,PB與拋物線C的另一交點分別為A,B,線段AB中點的橫坐標(biāo)記為t,求t的取值范圍.
5.(2019山東濰坊高三二模,理)已知函數(shù)f(x)=xex-1-aln x(無理數(shù)e=2.718…).
(1)若f(x)在(1,+∞)單調(diào)遞增,求實數(shù)a的取值范圍;
(2)當(dāng)a=0時,設(shè)g(x)=ex·f(x)-x2-x,證明:當(dāng)x>0時,g(x)>1-ln22-ln222.
6.已知直線l的參數(shù)方程為x=4+22t,y=22t(t為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,x軸的
5、非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cos θ,直線l與圓C交于A,B兩點.
(1)求圓C的直角坐標(biāo)方程及弦AB的長;
(2)動點P在圓C上(不與A,B重合),試求△ABP的面積的最大值.
7.已知函數(shù)f(x)=|2x-1|+|x+1|.
(1)求函數(shù)f(x)的值域M;
(2)若a∈M,試比較|a-1|+|a+1|,32a,72-2a的大小.
參考答案
考前強(qiáng)化練9 解答題綜合練B
1.(1)解f(x)=12(x+m)2-m22,故f(x)的最小值為-m22=
6、-18,又m>0,所以m=12,即Sn=12n2+12n,所以當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=n;當(dāng)n=1時,a1=1也適合上式,所以數(shù)列{an}的通項公式為an=n.
(2)證明由(1)知bn=2an(2an-1)(2an+1-1)=12n-1-12n+1-1,
所以Tn=1-13+13-17+…+12n-1-12n+1-1=1-12n+1-1,所以Tn<1.
2.解(1)設(shè)O是AD的中點,連接PO,OE,△PAD為正三角形,則PO⊥AD.
∵平面PAD⊥平面ABCD,
∴PO⊥平面ABCD.
∵AD=AE=2,∠DAB=60°,
故△ADE為正三角形.
∴OE⊥AD.
7、建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系O-xyz,
則P(0,0,3),E(0,3,0),C(-2,3,0),D(-1,0,0),
于是PC=(-2,3,-3),PE=(0,3,-3),DP=(1,0,3),
設(shè)平面PEC的法向量為n1=(x,y,z),
由PC·n1=0,PE·n1=0
得-2x+3y-3z=0,3y-3z=0,
不妨取y=1,則z=1,x=0.
∴n1=(0,1,1).
平面EDC的一個法向量為n2=(0,0,1),設(shè)二面角P-EC-D的平面角為θ,
則|cosθ|=|cos|=12=22.
由圖知θ為銳角,所以二面角P-EC-D的余弦值為22.
8、
(2)設(shè)PM=λPC(0≤λ≤1),則PM=(-2λ,3λ,-3λ),
DM=DP+PM=(1-2λ,3λ,3-3λ),PE=(0,3,-3),
所以|cos|=DM·PE|DM||PE|=|6λ-3|6×10λ2-10λ+4=68,解得λ=13或λ=23,
所以存在點M為線段PC的三等分點.
3.解(1)由已知兩家超市銷售食品件數(shù)8,9,10,11的概率分別為15,25,15,15.
X取值為16,17,18,19,20,21.
P(X=16)=15×15=125;
P(X=17)=15×25×2=425;
P(X=18)=25×25+15×15×2=625;
9、
P(X=19)=15×25×2+15×15×2=625;
P(X=20)=15×15+25×15×2=525;
P(X=21)=15×15×2=225;
P(X=22)=15×15=125.
所以X的分布列為
X
16
17
18
19
20
21
22
P
125
425
625
625
525
225
125
(2)當(dāng)n=19時,記Y1為A,B兩家超市銷售該食品的利潤,則Y1的分布列為
Y1
1450
1600
1750
1900
1950
2000
2050
P
125
425
625
625
525
225
10、
125
E(Y1)=1450×125+1600×425+1750×625+1900×625+1950×525+2000×225+2050×125=1822.
當(dāng)n=20時,記Y2為A,B兩家超市銷售該食品的利潤,則Y2的分布列為
Y2
1400
1550
1700
1850
2000
2050
2100
P
125
425
625
625
525
225
125
E(Y2)=1400×125+1550×425+1700×625+1850×625+2000×525+2050×225+2100×125=1804.
因為E(Y1)>E(Y2),故應(yīng)
11、選n=19.
4.解(1)由拋物線定義,得|PF|=x0+p2,
由題意得2x0=x0+p2,2px0=4,p>0,解得p=2,x0=1,
所以拋物線的方程為y2=4x.
(2)由題意知,過P引圓(x-3)2+y2=r2(0
12、,k1+k2=8r2-4,k1k2=1.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
由y=k1(x-1)+2,y2=4x,得k1y2-4y-4k1+8=0,
由韋達(dá)定理知,2y1=8-4k1k1,
所以y1=4-2k1k1=4k1-2=4k2-2,
同理可得y2=4k1-2.
設(shè)點D的橫坐標(biāo)為x0,則x0=x1+x22=y12+y228=(4k2-2)2+(4k1-2)28=2(k12+k22)-2(k1+k2)+1=2(k1+k2)2-2(k1+k2)-3.
設(shè)t=k1+k2,則t=8r2-4∈[-4,-2),
所以x0=2t2-2t-3,對稱軸t=12>-2,所以9
13、7.
5.(1)解由題意可得f'(x)=(1+x)ex-1-ax=(x+x2)ex-1-ax≥0在(1,+∞)內(nèi)恒成立.
∴a≤(x+x2)ex-1.
令h(x)=(x+x2)ex-1,則h'(x)=(1+3x+x2)ex-1>0,
∴函數(shù)h(x)=(x+x2)ex-1在(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.
∴a≤h(1)=2.
∴實數(shù)a的取值范圍是(-∞,2].
(2)證明當(dāng)a=0時,g(x)=ex·f(x)-x2-x=ex-x2-x.
g'(x)=ex-2x-1.
令u(x)=g'(x)=ex-2x-1,
則u'(x)=ex-2,可得x=ln2時,函數(shù)u(x)取得極小值,
g'(
14、ln2)=u(ln2)=1-2ln2<0.
∵g'(0)=0,又g'1+12ln2=e1+12ln2-21+12ln2-1=2e-3-ln2>0.
∴存在x0∈ln2,1+12ln2,使得g'(x0)=ex0-2x0-1=0,ex0=2x0+1.
由單調(diào)性可得,當(dāng)x=x0時,函數(shù)g(x)取得極小值,即最小值,
∴g(x)≥g(x0)=ex0-x02-x0=2x0+1-x02-x0=-x02+x0+1=-x0-122+54.
由x0∈ln2,1+12ln2,可得函數(shù)y=g(x0)單調(diào)遞減,
故g(x)≥g(x0)>-1+12ln2-122+54>1-ln22-ln222.
∴當(dāng)x>
15、0時,g(x)>1-ln22-ln222.
6.解(1)由ρ=4cosθ得ρ2=4ρcosθ,
所以x2+y2-4x=0,所以圓C的直角坐標(biāo)方程為(x-2)2+y2=4.
將直線l的參數(shù)方程代入圓C:(x-2)2+y2=4,并整理得t2+22t=0,解得t1=0,t2=-22,
所以直線l被圓C截得的弦長為|t1-t2|=22.
(2)直線l的普通方程為x-y-4=0.
圓C的參數(shù)方程為x=2+2cosθ,y=2sinθ(θ為參數(shù)),
可設(shè)圓C上的動點P(2+2cosθ,2sinθ),則點P到直線l的距離
d=2+2cosθ-2sinθ-42
=2cos(θ+π4)-2.
16、當(dāng)cosθ+π4=-1時,d取最大值,且d的最大值為2+2,
所以S△ABP≤12×22×(2+2)=2+22,即△ABP的面積的最大值為2+22.
7.解(1)f(x)=-3x,x<-1,2-x,-1≤x≤12,3x,x>12,根據(jù)函數(shù)f(x)的單調(diào)性可知,當(dāng)x=12時,f(x)min=f12=32.
所以函數(shù)f(x)的值域M=32,+∞.
(2)∵a∈M,∴a≥32,∴0<32a≤1.
又|a-1|+|a+1|=a-1+a+1=2a≥3,
∴a≥32,知a-1>0,4a-3>0,
∴(a-1)(4a-3)2a>0,
∴32a>72-2a,
所以|a-1|+|a+1|>32a>72-2a.
15
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